函數(shù)極限的性質(zhì)

1、函數(shù)極限的性質(zhì)第一頁，共26頁。v定理3.2 如果當(dāng)如果當(dāng)xx0時(shí)時(shí)f(x)的極限存的極限存, , 那么這極限是唯一的那么這極限是唯一的 證明， x x f B A 時(shí)的極限時(shí)的極限 當(dāng)當(dāng) 都是都是 設(shè)設(shè) 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e e d d d d e e - - - - $ $ A x f x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 則則 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d - - - - $ $ B x f x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 故有故有 同時(shí)成立同時(shí)成立 時(shí)時(shí) 則當(dāng)則當(dāng) 取取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1

2、d d d d d d d d - - = = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e e $ $ = = = = . 1 ) ( 1 ) ( + + - - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 內(nèi)有界內(nèi)有界 在在 即即 d d x U x f o o 第三頁，共26頁。3. 局部局部保號(hào)性保號(hào)性).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 d d d d$ $ = =xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理3.4證明證明 設(shè)設(shè)A0,對任何對任何0,A- ,rAre=取d則存在0,使得對一切使得對一切0;xUxdo有 ,

3、f xAre- =這就證得結(jié)論這就證得結(jié)論.對于對于A 0的情形可的情形可類似地證明類似地證明.).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 d d d d$ $= =AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論第四頁，共26頁。v定理3.4(函數(shù)極限的局部保號(hào)性) 如果如果f(x)A(xx0), , 而且而且A 0(或或A 0), , 那么對任何正數(shù)那么對任何正數(shù)rA (或或 r r0 (或或f(x) -r $ $ - - = = 使得使得 則則 取取 設(shè)設(shè) . ) ( r A x f = = - - e e 有有 . 0 的情形類似可證的情形類似可證 對于

4、對于 r 推論 如果在如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)的某一去心鄰域內(nèi)f(x) 0(或或f(x) 0), , 而且而且 f(x)A(xx0), , 那么那么A 0(或或A 0) 3. 局部保號(hào)性局部保號(hào)性第五頁，共26頁。v定理3.5(函數(shù)極限的保不等式性) 證明). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 則則 內(nèi)有內(nèi)有 極限都存在且在極限都存在且在 時(shí)時(shí) 如果如果 d d o o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x

5、 = = = = 設(shè)設(shè) ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - - - $ $ e e d d d d e e 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 則則 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ B x g x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 于是有于是有 同時(shí)成立同時(shí)成立 與與 不等式不等式 時(shí)時(shí) 則當(dāng)則當(dāng) 令令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - - = = d d d d d d d d d d , ) ( ) ( e e e e + + - -

6、B x g x f A . , 2 B A B A + + 的任意性知的任意性知 由由 從而從而 e e e e 4 保不等式保不等式第六頁，共26頁。).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx d d$ $ = = =有有則則且且設(shè)設(shè)推論推論第七頁，共26頁。v定理3.6 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)、g(x)及及h(x)滿足下列條件滿足下列條件 (1) g(x) f(x) h(x), , (2)lim g(x)= =A, , lim h(x)= =A, , 那么那么lim f(x)存在存在, , 且且lim f(x)= =A 證明), ( 0

7、 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - - - $ $ e e d d d d e e 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 按假設(shè)按假設(shè) . ) ( 0 , 0 2 0 2 e e d d d d + + - - $ $ A x h x x 時(shí)有時(shí)有 當(dāng)當(dāng) 故有故有 同時(shí)成立同時(shí)成立 時(shí)上兩不等式與時(shí)上兩不等式與 則當(dāng)則當(dāng) 令令 , ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - - = = d d d d d d d d , ) ( ) ( ) ( e e e e + + - - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x

8、 f ， A x f x x = = - - 即即 由此得由此得 e e 5 迫斂性迫斂性第八頁，共26頁。定理定理3.7設(shè)設(shè) , 則 1）2）3）6 四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則第九頁，共26頁。(3)的證明的證明 只要證， 令，由 Bxgxx=)(lim0，使得當(dāng) 時(shí)，有 ， 即 , 仍然由 Bxgxx=)(lim0，.，使得當(dāng) 時(shí)，有 . 取 ，則當(dāng) 時(shí)，有 即 第十頁，共26頁。推論推論1 1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論推論2 2定理的條件：定理的條件：)(lim),(limxgxf存在存在商的情形還須加上分母的極限不為商的情形還須加上分母的極限不為0定理

9、簡言之即是：和、差、積、商的極限定理簡言之即是：和、差、積、商的極限等于極限的和、差、積、商等于極限的和、差、積、商定理中極限號(hào)下面沒有指明極限過程，是指對定理中極限號(hào)下面沒有指明極限過程，是指對任何一個(gè)過程都成立任何一個(gè)過程都成立).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf= =則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf= =則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果第十一頁，共26頁。二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限二、利用函數(shù)極限的性質(zhì)計(jì)算某些函數(shù)的極限.已證明過以下幾個(gè)極限： ;coscoslim ,sinsinlim ,li

10、m ,lim0000000 xxxxxxCCxxxxxxxx=.2lim , 01lim=arctgxxxx（ 注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 ） 利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限, 代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限. 這些極限可作為公式用. 在計(jì)算一些簡單極限時(shí), 有五組基本極限作為公式用, 參閱 4P3738. 我們將陸續(xù)證明這些公式.第十二頁，共26頁。 利用“迫斂性”和“四則運(yùn)算”，可以從一些“簡單函數(shù)極限”出發(fā)，計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的極限。例求例求01limxxx.4lim (1)xxtgx-例求例求.例求例求.224sinsinlim4

11、=xx.22coslim4=xx( 利用極限和 ) 3113lim . ( 1 )11xxx-+第十三頁，共26頁。e ee e+ + - -11xa只只須須)1(log)1(loge ee e+ + - -aax又又只只須須)1(log,11minloge ee ed d+ +- -= =aa令令時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)d d |0 x)1(log11loge ed dd de e+ + - - - - -aaxe ee e+ + - -11xae e = =aaxx證證0 e e（不妨設(shè)（不妨設(shè)1）e e - - |1|xa要使要使第十四頁，共26頁。.523735lim233+-xxxxx例例6求求例例

12、5求求xx註註: 關(guān)于關(guān)于的有理分式當(dāng)時(shí)的極限. 參閱4P37 .11lim1071-xxx).1)(1(121+-=-aaaaannn 利用公式 .74lim222-=-+BxBAxxx求A和B. 1620(, .)33AB= -=補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 已知 第十五頁，共26頁。求極限方法舉例求極限方法舉例例例7 7.531lim232+ +- - -xxxx求求解解)53(lim22+ +- -xxx5lim3limlim2222+ +- -= =xxxxx5limlim3)lim(2222+ +- -= =xxxxx52322+ + - -= =, 03 = =531lim232+ +- -

13、-xxxx)53(lim1limlim22232+ +- - -= =xxxxxx3123- -= =.37= =第十六頁，共26頁。小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf+ + + += =- -nnxxnxxxxaxaxaxf+ + + += =- -110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa+ + + += =- -10100).(0 xf= =則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 = =xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx= =)()(00 xQxP= =).(0 xf= =., 0)(0則

14、商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若= =xQ第十七頁，共26頁。例例8 8.3214lim21- -+ +- -xxxx求求解解)32(lim21- -+ +xxx, 0= =商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1- -xx又又, 03 = =1432lim21- - -+ +xxxx. 030= = =由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得.3214lim21 = =- -+ +- -xxxx第十八頁，共26頁。例例9 9.321lim221- -+ +- -xxxx求求解解.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x)00(型型.1后再求極限后再求極限因子因子

15、先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- -+ +- -+ += =- -+ +- -xxxxxxxxx31lim1+ + += =xxx.21= =(消去零因子法消去零因子法)第十九頁，共26頁。例例1010.147532lim2323- -+ + + + xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- -+ + + += =- -+ + + +

16、.72= =(無窮小因子分出法無窮小因子分出法)第二十頁，共26頁。小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 = = =+ + + + + + +- - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分子以分母中自變量的最高次冪除分子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求極限.第二十一頁，共26頁。例例1111).21(lim222nnnnn+ + + + 求求解解是是無無窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n先變形再求極限先變形再求極限.2222

17、21lim)21(limnnnnnnnn+ + + += =+ + + + 2)1(21limnnnn+ += = )11(21limnn+ += = .21= =第二十二頁，共26頁。 由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求由以上幾例可見，在應(yīng)用極限的四則運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有極限時(shí)，必須注意定理的條件，當(dāng)條件不具備時(shí)，有時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時(shí)可時(shí)可作適當(dāng)?shù)淖冃?，以?chuàng)造應(yīng)用定理的條件，有時(shí)可以利用無窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求以利用無窮小的運(yùn)算性質(zhì)或無窮小與無窮大的關(guān)系求極限。極限。三、復(fù)合函數(shù)極限三、復(fù)合函數(shù)極限定理定理

18、 （復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則（復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則變量代換法則）變量代換法則）AufxfAufaxxaxauxxauxx= = = = = =)(lim)(lim,)(lim,)(,)(lim000 則則又又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在但在設(shè)設(shè)第二十三頁，共26頁。證證知知由由Aufau= =)(lim0,0 $ $ e e有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng),|0 - - aue e $ $ d d ，對對上上述述有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng),|00d d - - xx - -|)(|axax )( 又又 - - |)(|0axe e - -|)(|Axf由極限定義得由極限定義得Aufxfauxx= = =)(lim)(lim0 第二十四頁，共26頁。此定理表明：此定理表明：滿滿足足定定理理的的條條件件與與若若)()(xuf