多面體與球的接切問題PPT課件

1、簡單多面體與球簡單多面體與球的接切問題的接切問題與定點的距離等于定長的點的集與定點的距離等于定長的點的集合，叫做合，叫做 。 半圓以它的直徑為旋轉軸，旋半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做轉所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所圍成的幾何體叫做圍成的幾何體叫做球體球體.球的旋轉定球的旋轉定義義球的集合定義球的集合定義與定點的距離等于或小于定長的與定點的距離等于或小于定長的 點的集合，叫做點的集合，叫做球體球體。 球面球面 性質性質2: 球心和截面圓心的連線垂球心和截面圓心的連線垂 直于截面直于截面22dRr性質性質1：用一個平面去截用一個平面去截球球，截面是，截面是圓面圓面； 用一個平面去

2、截用一個平面去截球面球面， 截線是截線是圓圓。大圓大圓-截面過球心，半徑等于球半徑；截面過球心，半徑等于球半徑；小圓小圓-截面不過球心截面不過球心性質性質3: 球心到截面的距離球心到截面的距離d與球與球 的半徑的半徑R及截面的半徑及截面的半徑r 有下面的關系有下面的關系:A31.3ara結論：邊長為 的正三角形的外接圓半徑2.2ccr 斜邊為 的直角三角形的外接圓半徑223.2ababr長為 ，寬為 的矩形的外接圓半徑正方體的內切球正方體的內切球,外接球外接球,棱切球棱切球正方體與球正方體與球切點：切點：各個面的中心各個面的中心。球心：球心：正方體的中心正方體的中心。直徑：直徑：相對兩個面中心

3、連線相對兩個面中心連線。o球的直徑等于正方體棱長。aR 2一、正方體的內切球一、正方體的內切球二、球與正方體的棱相切二、球與正方體的棱相切球的直徑等于正方體一個面上的對角線長aR22切點：切點：各棱的中點各棱的中點。球心：球心：正方體的中心正方體的中心。直徑：直徑： “對棱對棱”中點連線中點連線三、三、 正方體的外接球正方體的外接球球直徑等于球直徑等于正方體的（體）對角線aR32正方體的內切球正方體的內切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球三個球心合一三個球心合一1:2 :3半徑之比為半徑之比為：長方體與球長方體與球一、長方體的外接球一、長方體的外接球長方體的（體）對角線等于球直徑Rcbalc

4、ba2222，則、分別為設長方體的長、寬、高 一般的長方體有內切球嗎？一般的長方體有內切球嗎？沒有。沒有。一個球在長方體內部，最多一個球在長方體內部，最多可以和該長方體的可以和該長方體的5個面相切。個面相切。如果一個長方體有內切球，如果一個長方體有內切球， 那么它一定是那么它一定是正方體正方體？例：例：例：如圖，半球內有一內接正方體，正方體例：如圖，半球內有一內接正方體，正方體的一個面在半球底面圓內。則這個半球的面的一個面在半球底面圓內。則這個半球的面積與正方體表面積的比為積與正方體表面積的比為 （ ）將半球補成整球將半球補成整球aaaal6)2(222分析分析2222222,22,232OA

5、aOBRABaaaRRaOABOAB設球心為設球心為O，則，則O亦為底面正方形的中心亦為底面正方形的中心。如圖，連結如圖，連結OA、OB，則得，則得RtOAB.設正方體棱長為設正方體棱長為a，易知：，易知：222223662SRaSaa半球正方體例例. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四點，且四點，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，兩兩互相垂直，若若PA=PB=PC=a，求這個球的表面積，求這個球的表面積和體積。和體積。變式：將上面的條件改為“PA=a,PB=b,PC=c”3VS表表內切球半徑公式：r=，其中V為幾何體的體積，S 為幾何體的表面積例：如圖為某幾何體的三視圖，該幾何

6、體的內切球體積為_334221=34=12311=3 +3 4 2+3 5 2=36223=1VSVS 四棱錐表表內切球半徑r正四面體與球正四面體與球1.棱長為棱長為a的正四面體的正四面體的外接球的半徑的外接球的半徑為為_PABCMORR.正四面體的外接球可利用直角三角形勾股定理來求DPADO ME226.4Ra將正四面體放到正方體中，得正方體的棱長為a,且正四面體的外接球即正方體的外接球，所以 2.棱長為棱長為a的正四面體的棱切球的半徑的正四面體的棱切球的半徑_ 24Ra3.棱長為棱長為a的正四面體的內切球的半徑的正四面體的內切球的半徑_ rShSV全面積底面積3131ar126 ShSr

7、底面積全面積14SrSh底面積全面積14rh？63haOPABCDKH正四面體的正四面體的內切球還可利用截面三角形來求ABEO O1Far126內切64Ra外 接24Ra棱切正四面體的內切球正四面體的內切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球3:1:33半徑之比為半徑之比為：正四面體的四條高相交于同一點，這點叫做正四面體的中心。正四面體的外接球、內切球是同心球，球心即為正四面體的中心。正四面體常常補成正四面體常常補成正方體正方體求外接球的半徑求外接球的半徑三條側棱兩兩垂直的三棱錐常補成三條側棱兩兩垂直的三棱錐常補成長方體長方體小結小結:常見的補形常見的補形OPABCDHMOHPABCDM球心在高

8、PH上，即在錐體內部球心在高PH的延長線上，即在錐體外部球心與底面正中心H重合OPACDMHB正三棱錐與球正三棱錐與球正三棱錐的外接球的球心在它的高所在直線上正三棱錐的外接球的球心在它的高所在直線上度量關系：設正三棱錐底面邊長為b，側棱長為a，高為h，外接圓半徑為R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即正三棱錐P-ABC的側棱長為1，底面邊長為 ，它的四個頂點在同一個球面上，則球的體積為 （ ）23622332AH339396122AHPAPHA解：設P在底面ABC上的射影為H，則H為正ABC的中心.延長PH交球面于

9、M，則PM為球的一直徑，PAM=90由Rt中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱錐的高PH的延長線上。在RtAHO,有：23,)33()36(222RRR 題目： 球與棱柱切接問題正三棱柱的外接球球心在上下底面中心連線的中點。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，中在設球半徑為R，球心到底面ABC的距離為d，ABC的外接圓半徑為r.設正三棱柱高AA1=h，底面邊長為a。正三棱柱的內切球如果一個正三棱柱有內切球，則球心為正三棱柱上下底面中心連線的中點，球直徑等于正三棱柱的側棱長。各面中心即為切點（共5個）。底面正三角形中心到一邊的距離即為球半徑r。rarlhrahl322:, )則正三棱柱內切球半徑為邊長為底面正（即為其高設正三棱柱側棱長為（2009全國卷理）直三棱柱 的各頂點都在同一球面上，若 , ，則此球的表面積等于 。 111ABCA