線性代數§6.3

1、 在上一節(jié)中，數域在上一節(jié)中，數域F上的任一二次型，都可經過上的任一二次型，都可經過適當的非退化線性變換化為標準形。但標準形不唯一。適當的非退化線性變換化為標準形。但標準形不唯一。問題：能否找到有關標準形的不變量？問題：能否找到有關標準形的不變量？一個實二次型，既可以通過正交變換化為標一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可以通過拉格朗日配方法化為標準形，準形，也可以通過拉格朗日配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數是確定的，項數等于二次型的秩中所含有的項數是確定的，項數等于二次型的秩下面我們限定所用的變換為

2、下面我們限定所用的變換為實變換實變換，來研究，來研究二次型的標準形所具有的性質二次型的標準形所具有的性質定理定理：（慣性定理）：（慣性定理）對于一個對于一個 n 元二次型元二次型，Tx Ax不論做怎樣的可逆變換使之化為標準形，其中正平不論做怎樣的可逆變換使之化為標準形，其中正平方項的項數方項的項數p和負平方項的項數和負平方項的項數q都是唯一確定的。都是唯一確定的。或者說，對于一個或者說，對于一個 n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣A，不論取怎樣，不論取怎樣的可逆矩陣的可逆矩陣C，只要使，只要使1100ppTp qdddC ACd0(1,2,),idipqpqn成立，則成立，則 p 和和 q 是由是由

3、A唯一確定的唯一確定的.證明：設證明：設 中的正數個數為中的正數個數為p，而，而 中中的正數個數為的正數個數為q，則，則p=q.用反證法：由用反證法：由 故有故有即即 設有實二次型設有實二次型 它的秩為它的秩為 ，有兩個實的，有兩個實的可逆變換可逆變換 及及 使使及及 則則 中正中正數與數與 中正數的個數相等。中正數的個數相等。 Tfx Ax rxP y 1xP z 2 rrifk yk yk yk22211220 rrifzzz22211220,kkr1,r 1,kkr1,r 1,xp y xp z 12p yp z 12即即 且且 zpp y 121pppprrqqqqrrk yk yky

4、kyk yzzzzz 2222211221122222112211設設nnnnnnllllllpplll 111212122212112（*）故有故有qqqqppnnqqqqqqqqqqppqnnqqqqqqqqqqppqnnnnnnqqzlylylylylylyzlylylylylylyzlylylylylylyzlylyly 11111221111111122111111221111111122nqqnppnnnlylyly 11（1）考慮方程組考慮方程組nnqqqnnpnlylylylylylyyy 1111221112210000即即qzzz 120（2）由方程組（由方程組（2）含有）

5、含有n個未知量，而含有個未知量，而含有q+(n-p)=n-(p-q)q 不正確，從而我們有：不正確，從而我們有： pq 同理可證：同理可證： 所以所以 qp pq 由定理知：由定理知：1）在實可逆變換下，二次型標準形中的）在實可逆變換下，二次型標準形中的正項與負項數是確定的常數，不因變換的改變而改變，正項與負項數是確定的常數，不因變換的改變而改變，正、負項數之和為正、負項數之和為()r Ar 2）在實可逆變換下，若正、負項之和為）在實可逆變換下，若正、負項之和為 ，則，則A的特征值中的特征值中0特征值的個數為特征值的個數為 個。個。()r Ar ()nr Anr 定義：定義：二次型二次型Tx

6、Ax的標準形中，正平方項的項數的標準形中，正平方項的項數（即與（即與A合同的對角陣中正對角元的個數），稱為二合同的對角陣中正對角元的個數），稱為二次型（或次型（或A）的）的正慣性指數正慣性指數；負平方項的項數（即與負平方項的項數（即與A合同的對角陣中負對角元的個數），稱為二次型（或合同的對角陣中負對角元的個數），稱為二次型（或A）的）的負慣性指數負慣性指數；正、負慣性指數的差稱為；正、負慣性指數的差稱為符號差符號差；正、負慣性指數的和為矩陣正、負慣性指數的和為矩陣A的秩，也是二次型的秩的秩，也是二次型的秩. 設設n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A的秩為的秩為r，正慣性指數為，正慣性指數為p，則負，則

7、負慣性指數為慣性指數為qrp，與，與A合同的對角陣的零對角元的合同的對角陣的零對角元的個數為個數為nr. 有定義和定理知，二次型的正、負慣性指數有定義和定理知，二次型的正、負慣性指數以及符號差是惟一的。以及符號差是惟一的。從這里知道，要求二次型的秩，有兩種方法：從這里知道，要求二次型的秩，有兩種方法：（1）求二次型對應的矩陣的秩；）求二次型對應的矩陣的秩；（2）將二次型化為標準形）將二次型化為標準形(用可逆變換用可逆變換)，標準，標準形中的項數即為二次型的秩形中的項數即為二次型的秩.例例1：求二次型求二次型(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331的秩的秩.解：解：(,

8、)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222f 對應的矩陣為對應的矩陣為211121112A 下面求矩陣下面求矩陣A的秩，的秩， 因為因為213012即即A中有一個非零中有一個非零2階子式階子式且且|A|=0,所以所以r(A)=2,從而二次型的秩為從而二次型的秩為2.也可用初等變換的方法求也可用初等變換的方法求A的秩的秩另解：另解：(,)()()()f x xxxxxxxx222123122331xxxx xx xx x222123122313222222()xx xx xxxx x2221121323232222(

9、)xxxxxx xxxx x 2222212323232323111122222222222123232311332()32222xxxxxx x 22123231132()()222xxxxx 即做可逆線性變換即做可逆線性變換1123223331122yxxxyxxyx即即11232233312xyyyxyyxy得到的標準形中只有兩項，所以秩為得到的標準形中只有兩項，所以秩為2.推論：推論：設設A為為n階實對稱矩陣，若階實對稱矩陣，若A的正、負慣性指數的正、負慣性指數分別為分別為 p 和和 q，則，則(1,1, 1, 1,0,0)Adiag其中有其中有 p 個個 1，q 個個 1，n（pq）

10、個）個 0.或者說：對于二次型或者說：對于二次型Tx Ax,存在坐標變換存在坐標變換xCy，使得，使得222211ppp qAyyyyTxx =事實上：任一二次型事實上：任一二次型( ,)TTTTf x x xx Axy p Apyyy 123其中其中(, )pprdiag kkkk 1100取取(, )prpQdiagkkkk 11111111則則(,)TTTTTTTpprf x xxx Axy p Apyyyz QQzz Dzzzzz 123222211其中其中TQQ 111100定義：定義：若若222211Tppp qx Ax = yyyy則稱二次型則稱二次型222211ppp qyyy

11、y為二次型為二次型ATxx的標準規(guī)范形的標準規(guī)范形, 稱對角矩陣稱對角矩陣(1,1, 1, 1,0,0)diag為矩陣為矩陣A的合同規(guī)范形的合同規(guī)范形.(1)兩個兩個n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A與與B合同合同A和和B有相同的正慣性指數和負慣性指數有相同的正慣性指數和負慣性指數.(2)全體全體n階實對稱矩陣，按其合同規(guī)范形分類，共有階實對稱矩陣，按其合同規(guī)范形分類，共有(1)2n n 類（不考慮類（不考慮1，1，0的排列次序的排列次序).等價（相抵）變換等價（相抵）變換保秩。保秩。相似變換相似變換保秩，保特征值，保行列式。保秩，保特征值，保行列式。合同變換合同變換保秩，保正、負慣性指數，保秩，保

12、正、負慣性指數， 保對稱性，保正定性。保對稱性，保正定性。例例2 設設A 是三階實對稱矩陣，其對應的二次型的正、負是三階實對稱矩陣，其對應的二次型的正、負慣性指數均為慣性指數均為1，且滿足，且滿足 計算計算| |AIAI 0|AI 32解：解：由題設知，二次型的符號差為零，且由題設知，二次型的符號差為零，且, 1211都是二次型矩陣都是二次型矩陣A的單特征值，故二次型的標準形為：的單特征值，故二次型的標準形為：fyyy2221230所以所以 是其另一個特征值，是其另一個特征值， 30 又又 的特征值為的特征值為 ： 即為即為32AI 321,2,3ii 2, 1,5 所以所以 |32 |2 (

13、 1) 510AI 例例3 求二次型求二次型 的慣性指數。的慣性指數。(,)f x xxxx x21231232解：作變換解：作變換|xyxyyxcycxyy 112233230所以所以 故二次型的正、負慣性指故二次型的正、負慣性指數分別為數分別為2，1 fyyy2221232將一個二次型化為標準形將一個二次型化為標準形, 可以用可以用正交變換法正交變換法, 也也可以用可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法, 或者或者其它方法其它方法, 這取決于問題這取決于問題的要求的要求. 如果要求找出一個正交矩陣如果要求找出一個正交矩陣, 無疑應使用正交無疑應使用正交變換法變換法; 如果只需要找出一個可逆的線

14、性變換如果只需要找出一個可逆的線性變換, 那么各那么各種方法都可以使用種方法都可以使用. 正交變換法的好處是有固定的步正交變換法的好處是有固定的步驟驟, 可以按部就班一步一步地求解可以按部就班一步一步地求解, 但計算量通常較大但計算量通常較大; 如果二次型中變量個數較少如果二次型中變量個數較少, 使用拉格朗日配方法反使用拉格朗日配方法反而比較簡單而比較簡單. 需要注意的是需要注意的是, 使用不同的方法使用不同的方法, 所得到所得到的標準形可能不相同的標準形可能不相同, 但但標準形中含有的項數必定相標準形中含有的項數必定相同同, 項數等于所給二次型的秩項數等于所給二次型的秩. f = x1x2 + x1x3 + x2x3化二次型化二次型為標準形為標準形, 并求所用的線性變換矩陣并求所用的線性變換矩陣. 33212211yxyyxyyx由于所給二次型不含平方項由于所給