專題7.3直線、平面平行的判定及性質(zhì)(原卷版)

1、第七篇 立體幾何與空間向量專題7.03直線、平面平行的判定及性質(zhì)【考綱要求】1 .能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題【命題趨勢】線線平行、線面平行、面面平行的判定與證明；由線面平行或面面平行探求動(dòng)點(diǎn)的位置.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)【素養(yǎng)清單？基礎(chǔ)知識】1 .直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文子語百圖形語百符號語后判定定理平囿外一條直線與此平囿內(nèi)的一條直線 平行，則該直線與此平面平行（線線平 行？線面平行）- l / a,a? a ,l

2、? a , l / a性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直 線的平囿與此平囿的交線與該直線 平行（簡記為“線面平行？線線平行”）l / a , l ? 3 , a n 3 = b, 1. l / b位用判定定理時(shí)，要注意“內(nèi)” “外” “平行”三個(gè)條件必 %都具備，缺一不可.2 .平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語百圖形語百符號語后判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交 直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（簡記為“線面平行？面 面平行”）1卜 i)'-all 3 ， b / 3 ,an b=p, a?a ,b?a ,- a / 3性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平囿同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么

3、它們的交線平行Wb 77a / 3 , aAy= a,3ny= b,a/ b-如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平I面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行I符號表示：-a? “ ， b? a , anb=O, a' ? 3 , b' ? 3 , a/ a' , b/ b' ? “ / 3【素養(yǎng)清單？常用結(jié)論】平面與平面平行的三個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長度相等.(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.【真題體驗(yàn)】1.【2019年高考全國n卷理數(shù)】設(shè) “，為兩個(gè)

4、平面，則 a / 3的充要條件是A. a內(nèi)有無數(shù)條直線與3平行B. a內(nèi)有兩條相交直線與3平行C. a , 3平行于同一條直線D. a , 3垂直于同一平面2.【2018年高考浙江卷】已知平面a ,直線mjn 滿足m-a , nU a ,則 “m/n” 是 “ m/ a ” 的A.充分不必要條件.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3 .【2019年高考全國I卷理數(shù)】如圖，直四棱柱ABCD ABGD的底面是菱形，AA=4,AB=2,/BA摩60°,E, M, N分別是BC, BB, A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN/平面CDE;(2)求二面角 A-MA N的正弦值.4

5、 .【2019年高考天津卷理數(shù)】如圖， AE_L平面ABCD , CF / AE, AD / BC ,AD _L AB, AB =AD =1,AE =BC =2 .(1)求證：BF /平面ADE ;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角E -BD -F的余弦值為1,求線段CF的長.3AB=BC5 .【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABG- ABC中，D, E分別為BC AC的中點(diǎn),求證：(1) AB/平面DEC;(2) BE!GE.考法一直線與平面平行的判定與性質(zhì)解題技巧：解決直線與平面平行的三種思維方式(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平

6、面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.(2)構(gòu)造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關(guān)系證明兩直線平行等.(3)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線 面平行”，再到“面面平行”，而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反.1【例1】 如圖，四棱錐 PABC由，AD/ BC AB= BC= 2AD E, F, H分別為線段 AD PC, CD的中點(diǎn)，ACfBE交于點(diǎn)Q G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：APT面 BEF(2)求證：GH/平面PADH C【例2】 如圖所示，四邊形 ABCD1平行四邊形，點(diǎn) P是平面ABCB卜一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)

7、，在 DM上取一點(diǎn)G 過G和PA作平面PAH或平面BMDF GH求證：PA/ GH考法二平面與平面平行的判定與性質(zhì)解題技巧：判定面面平行的四種方法(1)利用定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn).(2)利用面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行.(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行.【例3】 如圖所示，在三棱柱 ABCAiG中，E, F, G H分別是AB, AC AB, AC的中點(diǎn)，求證:(1) B, C, H, G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA/平面BCHG【例4】 如圖所示，在斜三棱柱 ABG- ABC中，點(diǎn)D, D分別為AC AC上的點(diǎn).A

8、DD5的值等于何值時(shí),BC / 平面 ABD ;AD, 一(2)a若平面BCD/平面 ABD,求dC勺值考法三空間平行關(guān)系的探索性問題歸納總結(jié)解決探索性問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存在，從這個(gè)結(jié)果出發(fā)，尋找使這個(gè)結(jié)論成立的充分條件，如果找到了使結(jié)論成立的充分條件，則存在；如果找不到使結(jié)論成立的充分條件（出現(xiàn)矛盾），則不存在.而對于探求點(diǎn)的問題，一般是先探求點(diǎn)的位置，多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn)，然后給出符合要求的證明.【例5】 如圖，四邊形 ABCW, ABL AD AD/ BC AD= 6, BC= 4, E, F分別在 BC AD上，EF/ AB現(xiàn)將 四邊形ABCD& EF折起，使平面A

9、BEFL平面EFDC若BE= 1,在折疊后的線段 AD上是否存在一點(diǎn) P,且A%入PD使得CP/平面ABEF若存在，求出 入的 值；若不存在，說明理由.【易錯(cuò)警示】 易錯(cuò)點(diǎn)使用面面平行的性質(zhì)進(jìn)行判定時(shí)犯錯(cuò)【典例】 已知三個(gè)平面 ”，3 , 丫，滿足“ / 3 / 丫，直線a與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)A, B, C,直線b與這三個(gè)平面依次交于點(diǎn)E, F, G求證：AB= EFBC FG【錯(cuò)解】：設(shè)a, b所在的同一平面為 0 ,連接AE, BF, CG因?yàn)?e H 8 H 丫， a A 0 = AE, 3 rI 0 = BF, y A 0 = CG所以 AE/ BF/ CG據(jù)平行線分線段成比例可知A

10、B_EFBCT FG【錯(cuò)因分析】：解題時(shí)，不清楚a與b不一定共面，還可能異面，從而致錯(cuò).【正解】：(1)當(dāng)a, b共面時(shí)，設(shè)a, b所在的同一平面為。，連接AE BF CG因?yàn)?e H 8 H 丫， a A 0 = AE, 3 rI 0 = BF, y A 0 = CG所以 AE/ BF/ CG據(jù)平行線分線段成比例可知AB EFBCT FG(2)當(dāng)a, b異面時(shí)，如圖，連接 AG交3于點(diǎn)Q連接OB OF因?yàn)? / 丫，3門平面ACG= OB 丫門平面ACG= CG 所以 OB/ CG同理可得OF/ AE,所以翳OG OG EG所以AB EFBCT FG【跟蹤訓(xùn)練】 如圖，四棱柱 ABCMCD的

11、底面ABCO正方形，O為底面中心， AOL平面ABCD AB=。2, AA=2.證明：平面ABD/平面CDB;(2)求三棱柱ABDABD的體積.【遞進(jìn)題組】1 .有下列命題：若直線l平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線 l / a ；若直線a在平面a外，則a / a ；若直線a / b, b / a ,則a / a ；若直線a / b, b/ a ,則a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A. 1B. 2C. 3D.42.已知m n是兩條直線，”，3是兩個(gè)平面，給出下列命題：若 n± a , n，3,則 a/ 3；若平面a上有不共線的三點(diǎn)到平面3的距離相等，則 a / 3

12、 ；若 m, n 為異面直線，n? a , n / 3 , m? 3 , m/ a ,則 a / 3 .其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A. 3B.2C. 1D.03.如圖，已知四棱錐 PABCDJ底面為直角梯形， AB/ CD / DA莊90。，PL底面ABCD且PA= AD= D的112AB= 1, M是PB的中點(diǎn).(1)求證：AM= CM(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN/平面AMC4.如圖所示，在正方體 ABCDA1CD中，O為底面ABCD勺中心，P是DD的中點(diǎn)，設(shè) Q是CC上的點(diǎn)，則當(dāng) 點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面 DBQ/平面PAO?【考卷送檢】一、選擇題1.已知兩個(gè)不同的平面 a , 3 ,兩

13、條不同的直線 a, b, a? “，b? ”，則“ a/ 3 , b/ 3 ”是“ a /3 ” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.如圖所示，在空間四邊形 ABC用，E, F分別為邊 AB AD上的點(diǎn)，且 AE： EB= AF： FA 1 ： 4,又H, G 分別為BC CD的中點(diǎn)，則（）A. BD/平面EFGH且四邊形EFGK矩形B. EF/平面BCD且四邊形EFGH1梯形C. HG/平面ABD且四邊形EFGH1菱形D. EH/平面ADC且四邊形EFGH1平行四邊形3 .能使直線a與平面”平行的條件是（）A,直線與平面內(nèi)的一條直線平行B.直線與

14、平面內(nèi)的某條直線不相交C.直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行D.直線與平面內(nèi)的所有直線不相交4 . （2019 山東師大附中月考）如圖，在長方體 ABCD- A B C D中，下列直線與平面 AD C平行的是（）A. B' CBC. A BD5.已知a, b表示不同的直線，口 ,3表示不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若 a / a , b / 3 , a / 3 ,則 a / bB.若 a/ b, a? a , b? 3 ,貝U a / 3C.若 a / b, a n 3 = a,貝U b / a 或 b / 3D.若直線a與b異面，a? a , b? 3 ,則a / 36.已知rq

15、n為兩條不同的直線,a , 3為兩個(gè)不同的平面，給出下列命題:、m? aml aml 3ml ai? n/ a ；I? m/ n；"a / 3 ；n? 3 ¥? m/ n.其中正確命題mlnn± 3ml 3“a / 3J的序號是（）A,B.C.D.二、填空題7 .如圖，在正方體ABCDAJGD中，AB= 2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF/平面ABC,則線段EF的長度等于.圾8 .設(shè)a , 3 , 丫是二個(gè)不同平面，a, b是兩條不同直線，有下列二個(gè)條件： a/ 丫，b? 3 ;a/ 丫 , b/ 3 ；b/ 3 , a? 丫 .如果命題"a n 3 =a, b? 丫，且,則a/ b”為真命題，則可以在橫線 處填入的條件是（把所有符合題意條件的序號填上）.9 . （2019 吉安調(diào)考）在正四棱柱 ABCD- ABGD中，O為底面 ABCD勺中心，P是DD的中點(diǎn)，設(shè) Q是CC上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件 時(shí)，有平面DBQ/平面PAO三、解答題10 .如圖，P是ABO在平面外一點(diǎn)， A' , B' , C'分別是 PBC PCA PAB勺重心.求證：平面A B C /平面 ABC11 . （2019 忻州二中模擬）如圖，四邊形 ABCDf四邊形 ADE叨平行四邊形， M N, G分別是AB, AD EF 的中點(diǎn)，求證：