2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練《基本不等式及應(yīng)用》

1、2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與變式演練基本不等式及應(yīng)用【題型一】：基本不等式 ab 三之上的理解2【題型二】：利用基本不等式 VObalb求最值2【題型三】：基本不等式應(yīng)用【題型四】：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【題型一】：基本不等式 ab < s 的理解2【例1】.a >0, b>0,給出下列推導(dǎo)，其中正確的有 (填序號(hào))(1) a+b+-的最小值為242 ； .ab一11 ,(2) (a +b)(十一)的取小值為4 ; a b(3) a+-的最小值為-2.a 4【解析】(1) ; (2)(1) V a >0, b>0,a+b之2廟十二之2亞(當(dāng)且僅當(dāng)

2、a = b=滅時(shí)取等號(hào)). . ab.、ab2(2) v a>0 , b>0 ,(a+b)(1 +1) 2 2jOb，一= =4 (當(dāng)且僅當(dāng) a = b時(shí)取等號(hào))a b,一 ab111(3) . a>0 , ；a+= a+4+-4 >2. (a+ 4)4 = 2,a 4a 4 a 41(當(dāng)且僅當(dāng)a+4= 即a+ 4=1, a = -3時(shí)取等號(hào))a 4V a>0,與a = -3矛盾，上式不能取等號(hào)，即a+>-2 a 4【總結(jié)升華】在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：一正二定三取 等，缺一不可.【變式訓(xùn)練】：【變式11給出下面四個(gè)推導(dǎo)過程： ;

3、a,b w R+ .-+b >2 b aba=2；7x, yWR +,1g x +lg y 2 2 Jlg x 1g y ;44 a=R' a#0, a 3 2 2J a = 4 ; a a. x,ywR, xy<0, /. x+y =_(_-)+(_2) _2(_)(_2) = 2 .y x y x y x其中正確的推導(dǎo)為()A.B.C.DM【解析】: a,bwR+, .2awR+,符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確. a b雖然x,ywR *,但當(dāng)xw(0,1)或yw(0,1)時(shí)，lgx,lg y是負(fù)數(shù)，的推導(dǎo)是錯(cuò)誤的由aw R,不符合基本不等式的條件,f+a之2，4w=

4、4是錯(cuò)誤的. a a由xy<0,得 2/均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過程中，將整體提出負(fù)號(hào)后，x yy x（_x）+（_y四變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確.選D. y x【變式2】下列命題正確的是（A.函數(shù)y=x+1的最小值為2.B.函數(shù)y = -x=上的最小值為2xx2 244C.函數(shù) y = 23x（x >0）取大值為 2-453 D.函數(shù) y = 23x-一（x > 0）的取小 xx值為2【答案】C【解析】A選項(xiàng)中，: x=0, .當(dāng)x >0,時(shí)由基本不等式x +122;x當(dāng)x<0時(shí)x+1 W2-.選項(xiàng)A錯(cuò)誤.xB選項(xiàng)中，= y = x2 + 2 + 1 =

5、"x2十2十一二的最小值為2x2 2x2 2x2 2（當(dāng)且僅當(dāng)Vx2 +2=1時(shí)，成立）但是 收+2之2,這是不可能的.選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C 選項(xiàng)中,< x>0, 二 y=23x4 = 2 （3x+4）W245/3,故選項(xiàng) C 正確。 xx【題型二】：利用基本不等式 后宅皿求最值【例2L ®a>b>0,則a2+工+1一的最小值是ab a(a-b)A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】+ +ab a(a-b)12=a -ab ab+ab a(a - b)=a(a -b) (aba(a -b),4a(a -'b)-當(dāng)且僅當(dāng)ab)即a = V2,b =

6、 立時(shí)取等號(hào).,12ab =ab【變式訓(xùn)練】：【變式U若xc0,求f(x) =4x+?的最大值.x【解析】因?yàn)閤<0,所以-x>0,由基本不等式得：-f(x) = (4x +9) =(4x) +( 9) >2J(x) (-9) =2736 = 12 ,(當(dāng)且僅當(dāng)-4x=-9即 x3 , 一一x=_e時(shí),取等號(hào))故當(dāng)3 -x = 一 一時(shí)，f (x) =4x229取得最大值-12. x【變式2已知x<0,求f(x)=20+4x + 16的最大值. x【解析】: x <0,-x>0 ,-2時(shí)，等號(hào)成立)即x=2時(shí)，等號(hào)(-x) +>2j(-x) =2X2=

7、4.(當(dāng)且僅當(dāng)x=2,即 x-x-x- xf (x) =20 4(x) + 土420 4父4=4 (當(dāng)且僅當(dāng) x = & , xxx成立)故當(dāng)x = -2時(shí)，f(x)的最大值為4.1 4 一【例3】.已知a>0, b>0, a+b=2,則y= +的最小值是 a bA.B. 4C.D. 5【解析】: a >0,b >0 ,14 1141 b 4a 1a L2；b)(a b)型5 a 鏟-2(5 2b 4a)= 9a b 2【答案】選C【變式訓(xùn)練】【變式1 若x>0,yA0,且2 + =1，求xy的最小值 x y【解析】: X >0, y >0 ,

8、.一 .281(當(dāng)且僅當(dāng)=?=即X = 4, y =16時(shí)，等號(hào)成立)x y 2xy >64 （當(dāng)且僅當(dāng)x = 4, y=16時(shí)，等號(hào)成立）故當(dāng)x=4, y=16時(shí)，xy的最小值為64.【變式2已知x>0, y>0,且1+旦=1,求x+y的最小值 x y一19/19y9x【解析】: 一十 = 1,. x+y = (x + y)，一+ =10 + + 一 xy<xy Jxy. x>0, y>0,人打會(huì)產(chǎn)=6 x y x y(當(dāng)且僅當(dāng)、=9x,即y=3x時(shí)，取等號(hào)) x y19又一+=1,x=4, y=12x y當(dāng)x=4, y=12時(shí)，x+y取最小值16?！绢}型

9、三】：基本不等式應(yīng)用【例 4】.設(shè) x,y w R：x + y =1,求證：(x + 1)(y+1)至空 x y 425【證明】>42 2 , 一 25，一x y1 -2xy - xy 1 _ 0二 x2 y2 - xy 2 , 0o 1 n-：xy-8 xy- -0 -x xy -c1_0二.xy -8 xy -4成立【變式訓(xùn)練】：【變式1已知a >3,求證：-4+a27 a -3 44-4【解析】a =(a -3) 3-2 (a-3) 3 = 2.4 3 = 7 a-3a3a-3(當(dāng)且僅當(dāng)-=a-3即a =5,等號(hào)成立). a-3【例 5】已知 a >0,b >0,

10、c>0 ,且 a+b+c=1.(1)若 a =b =c則'1-1 I.I 1 -1 I.I1 -1 的值為 a b c.一111求證：-1- -1 -1>8,abc11111【斛析】(1)由就息可行a = b = c = -市入計(jì)算可行-1 I _ -1 I _ -1 =8 3a b c(2)由題意和基本不等式可得 a+b之2后3>0, a +c>2>/ac >0 , b+c之2jbcA0 *a b c =11 11 a b c a b c a b c1 1 1 = -1 -1 Ia b ca. bcb c a c a b 2 . bc 2 . ac

11、 2 , ab=8a b c a b c-1 - -1 - -1 _8a b c【變式訓(xùn)練】：【變式】已知函數(shù)f (x )= Jx+1| 十 |x3 -m的定義域?yàn)镽.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.若m的最大值為n,當(dāng)正數(shù)a、b滿足一2= n時(shí)，求7a+4b的最小值. 3a b a 2b【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,二x +1 + x -3 m至0恒成立設(shè)函數(shù)g (x )=|x +1 - x -3則m不大于g(x)的最小值'/ x +1 +|x 3| 之 x 十1 (x3 ) = 4 即 g(x )的最小值為 4, m <4(2)由(1)知 n=4二2+=4 3a b a 2b121

12、.7a 4b 6a 2b a 2b I43a 2b a 2b5 2 2 3a 2ba 2b ,a 2b 3a b2(3a +2b )+2(a +2b f> 1a+2b 3a +b 14當(dāng)且僅當(dāng)a +2b =3a+b時(shí)，即b = 2a時(shí)取等號(hào).9二7a+4b的取小值為一4【題型四】：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例6.某農(nóng)場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地區(qū)重新建立一座豬圈, 平面圖為矩形，面積為112m2,預(yù)計(jì)(1)修復(fù)1m舊墻的費(fèi)用是建造1m新墻費(fèi)用的25% , (2) 拆去1m舊墻用以改造建成1m新墻的費(fèi)用是建1m新墻的50%, (3)為安裝圈門，要在圍墻的 適當(dāng)處留出1m的空缺。試問：這里建造豬圈的圍墻應(yīng)怎樣利用舊墻，才能使所需的總費(fèi)用最小？【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。設(shè)修復(fù)成新墻的舊墻為xm，則拆改成新墻的舊墻為(12-x)m, 于是還需要建造新墻的長為2 112 (x -1)-(12-x) =2x 絲4-13.設(shè)建造1m新墻需用a元，建造圍墻的總造價(jià)為y元,224貝 1 y = x a 25% (12 x)a 50% (2x 13)ax7x 224=a(-7) _a(28、2 -7) 4 x(當(dāng)且僅當(dāng) G=224即x = 8點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立)4 x故拆除改造舊墻約為12-8”米時(shí)，總造價(jià)最小.【變式訓(xùn)練】：【