第二章數(shù)據(jù)的機器級表示

1、Ch2: Data Representation數(shù)據(jù)的機器級表示數(shù)據(jù)的機器級表示第一講第一講 數(shù)值數(shù)據(jù)的表示數(shù)值數(shù)據(jù)的表示第二講第二講 非數(shù)值數(shù)據(jù)表示及非數(shù)值數(shù)據(jù)表示及 數(shù)據(jù)的寬度、存儲排列、糾數(shù)據(jù)的寬度、存儲排列、糾/檢錯檢錯2022-3-22第一講：數(shù)值數(shù)據(jù)的表示第一講：數(shù)值數(shù)據(jù)的表示主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容定點數(shù)的表示定點數(shù)的表示進位計數(shù)制進位計數(shù)制定點數(shù)的二進制編碼定點數(shù)的二進制編碼原碼、補碼、移碼表示原碼、補碼、移碼表示定點整數(shù)的表示定點整數(shù)的表示無符號整數(shù)、帶符號整數(shù)無符號整數(shù)、帶符號整數(shù)浮點數(shù)格式和表示范圍浮點數(shù)格式和表示范圍浮點數(shù)的規(guī)格化浮點數(shù)的規(guī)格化IEEE754浮點數(shù)標(biāo)準浮點

2、數(shù)標(biāo)準單精度浮點數(shù)、雙精度浮點數(shù)單精度浮點數(shù)、雙精度浮點數(shù)特殊數(shù)的表示形式特殊數(shù)的表示形式C語言程序中的整數(shù)類型、浮點數(shù)類型語言程序中的整數(shù)類型、浮點數(shù)類型十進制數(shù)表示十進制數(shù)表示2022-3-22信息的二進制編碼信息的二進制編碼u計算機的外部信息與內(nèi)部機器級數(shù)據(jù)計算機的外部信息與內(nèi)部機器級數(shù)據(jù) u機器級數(shù)據(jù)分兩大類：機器級數(shù)據(jù)分兩大類：u數(shù)值數(shù)據(jù)：無符號整數(shù)、帶符號整數(shù)、浮點數(shù)（實數(shù)）、十進制數(shù)值數(shù)據(jù)：無符號整數(shù)、帶符號整數(shù)、浮點數(shù)（實數(shù)）、十進制數(shù)數(shù)u非數(shù)值數(shù)據(jù)：邏輯數(shù)（包括位串）、西文字符和漢字非數(shù)值數(shù)據(jù)：邏輯數(shù)（包括位串）、西文字符和漢字u計算機內(nèi)部所有信息都用二進制（即：計算機內(nèi)部所

3、有信息都用二進制（即：0和和1）進行編碼）進行編碼u用二進制編碼的原因：用二進制編碼的原因：u制造二個穩(wěn)定態(tài)的物理器件容易制造二個穩(wěn)定態(tài)的物理器件容易u二進制編碼、計數(shù)、運算規(guī)則簡單二進制編碼、計數(shù)、運算規(guī)則簡單u正好與邏輯命題對應(yīng)，便于邏輯運算，并可方便地用邏輯電路實正好與邏輯命題對應(yīng)，便于邏輯運算，并可方便地用邏輯電路實現(xiàn)算術(shù)運算現(xiàn)算術(shù)運算u真值和機器數(shù)真值和機器數(shù)u機器數(shù)：用機器數(shù)：用0和和1編碼的計算機內(nèi)部的編碼的計算機內(nèi)部的0/1序列序列u真值：機器數(shù)真正的值，即：現(xiàn)實中帶正負號的數(shù)真值：機器數(shù)真正的值，即：現(xiàn)實中帶正負號的數(shù)首先考慮數(shù)值數(shù)據(jù)的表示首先考慮數(shù)值數(shù)據(jù)的表示C語言中哪些類

4、型是數(shù)語言中哪些類型是數(shù)值數(shù)據(jù)？哪些是非值數(shù)據(jù)？哪些是非？ 無符號整數(shù) 有符號整數(shù) 高級語言程序員角度 圖、樹、鏈表等結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)描述 文字、圖、表、聲音、視頻等各種媒體信息 輸出設(shè)備 用戶角度 輸入設(shè)備 低級語言程序員和系統(tǒng)設(shè)計者角度 二進制編碼表示的各種數(shù)據(jù) 指令系統(tǒng)能識別的基本類型數(shù)據(jù) 數(shù)值型數(shù)據(jù) 非數(shù)值型數(shù)據(jù) 整數(shù)（定點數(shù)） 實數(shù)（浮點數(shù)） 二進制數(shù) 二進制編碼的十進制數(shù) 邏輯數(shù)據(jù) 西文字符和漢字 BACKP.26 圖圖2.12022-3-22數(shù)值數(shù)據(jù)的表示數(shù)值數(shù)據(jù)的表示u數(shù)值數(shù)據(jù)表示的三要素數(shù)值數(shù)據(jù)表示的三要素u進位計數(shù)制進位計數(shù)制u定、浮點表示定、浮點表示u如何用二進制編碼如何用二進

5、制編碼u即：要確定一個數(shù)值數(shù)據(jù)的值必須先確定這三個要素。即：要確定一個數(shù)值數(shù)據(jù)的值必須先確定這三個要素。u例如，機器數(shù)例如，機器數(shù) 01011001的值是多少？的值是多少？u進位計數(shù)制進位計數(shù)制u十進制、二進制、十六進制、八進制數(shù)及其相互轉(zhuǎn)換十進制、二進制、十六進制、八進制數(shù)及其相互轉(zhuǎn)換u定定/浮點表示（解決小數(shù)點問題）浮點表示（解決小數(shù)點問題）u定點整數(shù)、定點小數(shù)定點整數(shù)、定點小數(shù)u浮點數(shù)（可用一個定點小數(shù)和一個定點整數(shù)來表示）浮點數(shù)（可用一個定點小數(shù)和一個定點整數(shù)來表示）u定點數(shù)的編碼（解決正負號問題）定點數(shù)的編碼（解決正負號問題）u原碼、補碼、反碼、移碼原碼、補碼、反碼、移碼 （反碼很少

6、用）（反碼很少用）答案是：不知道！答案是：不知道！2022-3-22 Sign and Magnitude （原碼的表示）（原碼的表示）BinaryDecimal0123456700000001001000110100010101100111u 容易理解容易理解, 但是：但是：u 0 的表示不唯一，不利于程序員編程的表示不唯一，不利于程序員編程u 加、減運算方式不統(tǒng)一加、減運算方式不統(tǒng)一u 需額外對符號位進行處理，不利于硬件設(shè)計需額外對符號位進行處理，不利于硬件設(shè)計u 特別當(dāng)特別當(dāng) ab時，實現(xiàn)時，實現(xiàn) a- b比較困難比較困難從從 50年代開始，整數(shù)都采用補碼來表示年代開始，整數(shù)都采用補碼來

7、表示但浮點數(shù)的尾數(shù)用原碼定點小數(shù)表示但浮點數(shù)的尾數(shù)用原碼定點小數(shù)表示BinaryDecimal-0-1-2-3-4-5-6-7100010011010101111001101111011112022-3-22補碼特性補碼特性 - 模運算（模運算（modular運算）運算）時鐘是一種模時鐘是一種模-12系統(tǒng)系統(tǒng) 假定鐘表時針指向假定鐘表時針指向10點，要將它撥向點，點，要將它撥向點， 則有兩種撥法：則有兩種撥法： 倒撥倒撥4格：格：10- 4 = 6 順撥順撥8格：格：10+8 = 18 6 (mod 12) 模模12系統(tǒng)中：系統(tǒng)中： 10- 4 10+8 (mod 12) - 4 8 (mod

8、 12) 則，稱則，稱8是是- 4對模對模12的補碼。的補碼。 同樣有同樣有 -3 9 （mod 12） -5 7 （mod 12）等）等結(jié)論結(jié)論2： 對于某一確定的模，某數(shù)減去小于模的另一數(shù)，總可以用該對于某一確定的模，某數(shù)減去小于模的另一數(shù)，總可以用該數(shù)加上另一數(shù)負數(shù)的補碼來代替。數(shù)加上另一數(shù)負數(shù)的補碼來代替。補碼（補碼（modular運算）：運算）：+ and 的統(tǒng)一的統(tǒng)一 重要概念：在一個模運算系統(tǒng)中，一個數(shù)與它除以“?！焙蟮挠鄶?shù)等價。結(jié)論結(jié)論1： 一個負數(shù)的補碼等于模減該負數(shù)的絕對值。一個負數(shù)的補碼等于模減該負數(shù)的絕對值。2022-3-22模運算系統(tǒng)舉例模運算系統(tǒng)舉例例例1：“鐘表鐘

9、表”模運算系統(tǒng)模運算系統(tǒng) 假定時針只能順撥，從假定時針只能順撥，從10點倒撥點倒撥4格后是幾點？格后是幾點？10- 4 = 10+(12- 4) = 10+8 = 6 （mod 12）例例2：“4位十進制數(shù)位十進制數(shù)” 模運算系統(tǒng)模運算系統(tǒng) 假定算盤只有四檔，且只能做加法，則在算盤上計算假定算盤只有四檔，且只能做加法，則在算盤上計算 9828-1928等于多少？等于多少？9828-1928=9828+(104-1928) =9828 = 1 7900 =7900（mod 104）取模的含義就是只留余數(shù)，高位的取模的含義就是只留余數(shù)，高位的“1”被被丟棄！相當(dāng)于只有低丟棄！相當(dāng)于只有低4位留在算

10、盤上。位留在算盤上。2022-3-22運算器是一個模運算系統(tǒng)，適合用補碼表示和運算運算器是一個模運算系統(tǒng)，適合用補碼表示和運算0000000110000010010011101111011101011010101111001101001101101001計算機中運算器只有有限位。假定為計算機中運算器只有有限位。假定為n位，則運算結(jié)果只能保留低位，則運算結(jié)果只能保留低n位，位，故可看成是個只有故可看成是個只有n檔的二進制算盤。所以，其模為檔的二進制算盤。所以，其模為2n 。當(dāng)當(dāng)n=4時，共有時，共有16個機器數(shù)：個機器數(shù)：0000 1111，可看成是模為，可看成是模為24 的鐘表系統(tǒng)。的鐘表系統(tǒng)

11、。真值范圍為：真值范圍為：-8 +7補碼的定義補碼的定義 假定補碼有假定補碼有n位，則：位，則：定點整數(shù)：定點整數(shù)：X補補= 2n + X （-2nX 2n ，mod 2n）定點小數(shù)：定點小數(shù)：X補補= 2 + X （-1X1，mod 2）1514111312109765483210-2-3-4-5-1-6-7-812-8,-1 is shifted to 8,15. The modul here is 10000 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 01112022-3-22求特

12、殊數(shù)的補碼求特殊數(shù)的補碼 -1補補= 2n - 001 = 111（n個個1） （mod 2n）假定機器數(shù)有假定機器數(shù)有n位位 -2n-1補補= 2n - 2n-1 = 100（n-1個個0） （mod 2n） -1.0補補= 2 - 1.0 = 1.000（n-1個個0） （mod 2） +0補補= -0補補= 000（n個個0） 2022-3-22補碼與真值之間的簡便轉(zhuǎn)換補碼與真值之間的簡便轉(zhuǎn)換例例: 設(shè)機器數(shù)有設(shè)機器數(shù)有8位，求位，求123和和-123的補碼表示。的補碼表示。解解: 123 = 127- 4 = 01111111B - 100B = 01111011B -123= - 0

13、1111011B 01111011補補= 28 + 01111011 = 100000000 + 01111011 = 01111011 (mod 28)，即，即 7BH。 - 01111011補補= 28 01111011 = 10000 = 1111 1111 0111 1011 +1 = 1000 0100 +1 = 1000 0101，即，即 85H。如何快速得到如何快速得到123的二進制表示？的二進制表示？各位取反，末位加各位取反，末位加12022-3-22 Twos Complement （補碼的表示）（補碼的表示）u正數(shù)：符號位（正數(shù)：符號位（sign bit）為）為0，數(shù)值部分

14、不變，數(shù)值部分不變u負數(shù)：符號位為負數(shù)：符號位為1，數(shù)值部分，數(shù)值部分“各位取反，末位加各位取反，末位加1”+0和和-0表表示唯一示唯一變形（模變形（模4）補碼：雙符號，用于存放可溢出的中間結(jié)果。）補碼：雙符號，用于存放可溢出的中間結(jié)果。值太大，用值太大，用4位補碼無法表示，故位補碼無法表示，故“溢出溢出”！但用變形補碼可保留符號位和最高數(shù)值位！但用變形補碼可保留符號位和最高數(shù)值位。BitwiseInverse111111101101110010111010100110000111Decimal012345678補碼補碼000000010010001101000101011001111000D

15、ecimal-0-1-2-3-4-5-6-7-8 補碼補碼000011111110110111001011101010011000變形補碼變形補碼000000000100010000110010000101001100011101000變形補碼變形補碼0000011111111101110111100110111101011001110002022-3-22如何求補碼的真值如何求補碼的真值根據(jù)補碼各位上的根據(jù)補碼各位上的“權(quán)權(quán)”，可以求出一個補碼的值，可以求出一個補碼的值當(dāng)當(dāng)N=4時，范圍為：時，范圍為：-23 23 -1 （即：（即：-8 +7）當(dāng)當(dāng)N=32時，范圍為：時，范圍為：-231

16、231 -1真值范圍：真值范圍： 令：令：A補補= an-1an-2 a1a0 則：則： A= -an-1.2n-1+an-2 .2n-2+ a1 .21+ a0 .20 2022-3-22Excess (biased) notion- 移碼表示移碼表示什么是什么是“excess (biased) notation-移碼表示移碼表示”？ 將每一個數(shù)值加上一個偏置常數(shù)（將每一個數(shù)值加上一個偏置常數(shù)（ Excess / bias）一般來說，當(dāng)編碼位數(shù)為一般來說，當(dāng)編碼位數(shù)為 n時，時，bias取取 2n-1 Ex. n=4: Ebiased = E+ 23 ( bias= 23 =10002 )

17、-8 (+8) 00002 -7 (+8) 00012 0 (+8) 10002 +7 (+8) 11112為什么要用移碼來表示指數(shù)（階碼）為什么要用移碼來表示指數(shù)（階碼）? 便于浮點數(shù)加減運算時的對階操作便于浮點數(shù)加減運算時的對階操作例：例：1.01 x2 -1+1.11 x23 簡化比較簡化比較補碼：補碼：1111 0011 ? (-1) (3)1.01 x2-1+4+1.11 x23+4 移碼：移碼：0011 0111 (3) (7)移碼主要用來表示移碼主要用來表示浮點數(shù)階碼！浮點數(shù)階碼！0的移碼表示惟一的移碼表示惟一移碼和補碼僅第一位不同移碼和補碼僅第一位不同2022-3-22 Uns

18、igned integer(無符號整數(shù)無符號整數(shù))u機器中字的位排列順序有兩種方式：（例：機器中字的位排列順序有兩種方式：（例：32位字位字: 0010112）u高到低位從左到右：高到低位從左到右：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011u高到低位從右到左：高到低位從右到左：1101 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000uMIPS采用高到低從左往右排列采用高到低從左往右排列uLeftmost和和rightmost這兩個詞有歧義，故用這兩個詞有歧義，故用LSB(Least Significant Bit)來表示最低有效位，用來

19、表示最低有效位，用MSB來表示最高有效位來表示最高有效位u一般在全部是正數(shù)運算且不出現(xiàn)負值結(jié)果的場合下，可使用無符號數(shù)表一般在全部是正數(shù)運算且不出現(xiàn)負值結(jié)果的場合下，可使用無符號數(shù)表示。例如，地址運算示。例如，地址運算u無符號數(shù)的編碼中沒有符號位無符號數(shù)的編碼中沒有符號位u在字長相同的情況下，它的表示范圍大于有符號數(shù)在字長相同的情況下，它的表示范圍大于有符號數(shù)u無符號數(shù)總是整數(shù)，所以很多時候就簡稱為無符號數(shù)總是整數(shù)，所以很多時候就簡稱為“無符號數(shù)無符號數(shù)”u最大最大8位無符號整數(shù)是位無符號整數(shù)是11111111B，其值為，其值為255 MSB LSB2022-3-22Signed intege

20、r（帶符號整數(shù)）（帶符號整數(shù)）u計算機必須能處理正數(shù)計算機必須能處理正數(shù)(positive) 和負數(shù)和負數(shù)(negative)，MSB表表示數(shù)符示數(shù)符u有三種表示方式有三種表示方式uSigned magnitude （原碼）（原碼）u 用來表示浮點（實）數(shù)的尾數(shù)用來表示浮點（實）數(shù)的尾數(shù)uOnes complement （反碼）（反碼）u 現(xiàn)已不用現(xiàn)已不用uTwos complement （補碼）（補碼）u 50年代以來，所有計算機都用補碼來表示定點（整）數(shù)年代以來，所有計算機都用補碼來表示定點（整）數(shù)u為什么用補碼表示帶符號整數(shù)？為什么用補碼表示帶符號整數(shù)？u補碼運算系統(tǒng)是模運算系統(tǒng)，加、減

21、運算統(tǒng)一補碼運算系統(tǒng)是模運算系統(tǒng)，加、減運算統(tǒng)一u數(shù)數(shù)0的表示惟一，方便使用的表示惟一，方便使用u比原碼和反碼多表示一個最小負數(shù)比原碼和反碼多表示一個最小負數(shù)u與移碼相比，其符號位和真值的符號對應(yīng)關(guān)系清楚與移碼相比，其符號位和真值的符號對應(yīng)關(guān)系清楚2022-3-22帶符號數(shù)和無符號數(shù)的比較帶符號數(shù)和無符號數(shù)的比較u擴充操作有差別擴充操作有差別u例如，例如，MIPS提供了兩種加載指令提供了兩種加載指令u無符號數(shù)：無符號數(shù)：lbu $t0, 0($s0) ; $t0高高24位補位補0 （稱為（稱為0擴展）擴展）u帶符號整數(shù)：帶符號整數(shù)： lb $t0, 0($s0) ; $t0高高24位補符位補符

22、 （稱為符號擴展）（稱為符號擴展）u數(shù)的比較有差異數(shù)的比較有差異u無符號數(shù)：無符號數(shù)：MSB為為1的數(shù)比的數(shù)比MSB為為0的數(shù)大的數(shù)大u帶符號整數(shù)：帶符號整數(shù)： MSB為為1的數(shù)比的數(shù)比MSB為為0的數(shù)小的數(shù)小u例如，例如，MIPS中提供了不同的比較指令，如：中提供了不同的比較指令，如：u無符號數(shù)：無符號數(shù)：sltu $t0, $s0, $s1 （set less than unsigned）u帶符號整數(shù)：帶符號整數(shù)： slt $t1, $s0, $s1 （set less than）u 假定：假定： $s0=1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111u $

23、s1=0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001u 則：則：$t0和和$t1分別為多少？分別為多少？ 答案：答案：$t0和和$t1分別為分別為0和和1。u溢出判斷有差異（無符號數(shù)根據(jù)最高位是否有進位判斷溢出，通常不判）溢出判斷有差異（無符號數(shù)根據(jù)最高位是否有進位判斷溢出，通常不判）uMIPS規(guī)定：無符號數(shù)運算溢出時，不產(chǎn)生規(guī)定：無符號數(shù)運算溢出時，不產(chǎn)生“溢出異常溢出異?！?022-3-22C語言程序中的整數(shù)語言程序中的整數(shù)關(guān)系表達式關(guān)系表達式運算類運算類型型結(jié)果結(jié)果說明說明0 = = 0U-1 0-1 -2147483647-12147483647U -2

24、147483647-12147483647 (int) 2147483648U-1 -2(unsigned) -1 -2無符號數(shù)：無符號數(shù)：unsigned int ( short / long)；帶符號整數(shù)：；帶符號整數(shù)： int ( short / long)常在一個數(shù)的后面加一個常在一個數(shù)的后面加一個“u”“u”或或“U”“U”表示無符號數(shù)表示無符號數(shù)若同時有無符號數(shù)和帶符號整數(shù)，則若同時有無符號數(shù)和帶符號整數(shù)，則C編譯器隱含將帶符號整數(shù)強制轉(zhuǎn)換為編譯器隱含將帶符號整數(shù)強制轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)無符號數(shù)假定以下關(guān)系表達式在假定以下關(guān)系表達式在3232位用補碼表示的機器上執(zhí)行，結(jié)果是什么？位用補碼

25、表示的機器上執(zhí)行，結(jié)果是什么？2022-3-22C語言程序中的整數(shù)語言程序中的整數(shù)關(guān)系關(guān)系表達式表達式類類型型結(jié)結(jié)果果說明說明0 = = 0U-1 0-1 -2147483647 - 12147483647U -2147483647 - 12147483647 (int) 2147483648U-1 -2(unsigned) -1 -2無無帶帶無無帶帶無無帶帶帶帶無無11 0*1 0* 1*11000B = 000B111B (-1) 000B(0)0111B (231-1) 1000B (-231)0111B (231-1) 1000B (-231)111B (-1) 1110B (-2)1

26、11B (232-1) 1110B (232-2)帶帶* *的結(jié)果與常規(guī)預(yù)想的相反！的結(jié)果與常規(guī)預(yù)想的相反！2022-3-22Example:mantissa (尾數(shù)尾數(shù)) exponent(階碼、指數(shù)階碼、指數(shù)) 6.02 x 10 21 decimal point radix (base，基，基) Normalized form（規(guī)格化形式）（規(guī)格化形式）: 小數(shù)點前只有一位非小數(shù)點前只有一位非0數(shù)數(shù) 同一個數(shù)有多種表示形式。例：對于數(shù)同一個數(shù)有多種表示形式。例：對于數(shù) 1/1,000,000,000 Normalized (唯一的規(guī)格化形式唯一的規(guī)格化形式): 1.0 x 10-9 Un

27、normalized（非規(guī)格化形式不唯一）（非規(guī)格化形式不唯一）: 0.1 x 10-8, 10.0 x 10-10科學(xué)計數(shù)法(Scientific Notation)與浮點數(shù) mantissa（尾數(shù)） exponent（指數(shù)） 1.011two x 2 -10 binary point 基為2for Binary Numbers:只要對尾數(shù)和指數(shù)分別編碼，就可表示一個浮點數(shù)（即：實數(shù)）只要對尾數(shù)和指數(shù)分別編碼，就可表示一個浮點數(shù)（即：實數(shù)）2022-3-22浮點數(shù)浮點數(shù)(Floating Point)的表示范圍的表示范圍例：畫出下述例：畫出下述32位浮點數(shù)格式的表數(shù)范圍。位浮點數(shù)格式的表數(shù)范

28、圍。 0 1 8 9 31 第第0位數(shù)符位數(shù)符S；第；第18位為位為8位移碼表示階碼位移碼表示階碼E（偏置常數(shù)為（偏置常數(shù)為128）；第）；第931位為位為24位二進制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)位二進制原碼小數(shù)表示的尾數(shù)M。規(guī)格化尾數(shù)的第一位總是。規(guī)格化尾數(shù)的第一位總是1，故，故規(guī)定第一位默認的規(guī)定第一位默認的“1”不明顯表示出來。這樣可用不明顯表示出來。這樣可用23個數(shù)位表示個數(shù)位表示24位尾數(shù)位尾數(shù)。S階碼階碼E尾數(shù)尾數(shù)M最大正數(shù)：最大正數(shù)：0.111 x 2111 =(1-2-24) x 2127 最小正數(shù)：最小正數(shù)：0.100 x 2000 =(1/2) x 2-128 因為原碼是對稱的，所以

29、其表示范圍是關(guān)于原點對稱的。因為原碼是對稱的，所以其表示范圍是關(guān)于原點對稱的。機器機器0 0：階碼為：階碼為0 0 或或 落在下溢區(qū)中的數(shù)落在下溢區(qū)中的數(shù)浮點數(shù)范圍比定點數(shù)大，但數(shù)的個數(shù)沒變多，故數(shù)之間更稀疏，且不均勻浮點數(shù)范圍比定點數(shù)大，但數(shù)的個數(shù)沒變多，故數(shù)之間更稀疏，且不均勻 正下溢 負下溢 - (1-2-24) 2127 數(shù)軸 零 可表示的正數(shù) 可表示的負數(shù) -2-129129 0 2-129129 (1-2-24) 2127 正上溢 負上溢 2022-3-22浮點數(shù)的表示浮點數(shù)的表示Normal format（規(guī)格化數(shù)形式）（規(guī)格化數(shù)形式） ： +/-1.xxxxxxxxxxtwo

30、x 2Exponent32-bit 規(guī)格化數(shù)：規(guī)格化數(shù)： 31 0 S Exponent Significand 1 bit ? bits ? bits S 是符號位（是符號位（Sign） Exponent用用 excess (or biased) notation(移碼移碼/增碼增碼)來表示來表示 Significand 表示表示 xxxxxxxxxxxxx，尾數(shù)部分，尾數(shù)部分 (基可以是基可以是 2/ 4 / 8 / 16，約定信息，無需顯式表示，約定信息，無需顯式表示 )早期的計算機，各自定義自己的浮點數(shù)格式早期的計算機，各自定義自己的浮點數(shù)格式問題：浮點數(shù)表示不統(tǒng)一會帶來什么問題？問題

31、：浮點數(shù)表示不統(tǒng)一會帶來什么問題？小數(shù)點前面總是“1”，故可隱含表示2022-3-22“Father” of the IEEE 754 standard現(xiàn)在所有計算機都采用現(xiàn)在所有計算機都采用IEEE754IEEE754來表示浮點數(shù)來表示浮點數(shù)19701970年代后期年代后期, IEEE, IEEE成立委員會著手制定浮點數(shù)標(biāo)準成立委員會著手制定浮點數(shù)標(biāo)準19851985年完成浮點數(shù)標(biāo)準年完成浮點數(shù)標(biāo)準IEEE754IEEE754的制定的制定Prof. William Kahan ieee754status/754story.htmlThis standard was primarily the

32、 work of one person, UC Berkeley math professor William Kahan. 直到直到80年代初，各個機器內(nèi)部的浮點數(shù)表示格式還沒有統(tǒng)一年代初，各個機器內(nèi)部的浮點數(shù)表示格式還沒有統(tǒng)一 因而相互不兼容，機器之間傳送數(shù)據(jù)時，帶來麻煩因而相互不兼容，機器之間傳送數(shù)據(jù)時，帶來麻煩 2022-3-22IEEE 754 Floating Point Standard Single Precision ： ( Double Precision is similar ) S Exponent Significand 1 bit 8 bits 23 bits Si

33、gn bit: 1 表示表示negative ; 0表示表示 positiveSignificand（尾數(shù)）: 規(guī)格化尾數(shù)最高位總是1，所以隱含表示，省1位 1 + 23 bits （ single），1 + 52 bits （double）Exponent（階碼 / 指數(shù)）: SP規(guī)格化數(shù)階碼范圍為0000 0001 (-126) 1111 1110 (127)bias為127 (single), 1023 (double)SP: (-1)S x (1 + Significand) x 2(Exponent-127)DP: (-1)S x (1 + Significand) x 2(Expo

34、nent-1023)全全0 0和全和全1 1用來表示特殊值！用來表示特殊值！為什么用為什么用127127？若用？若用128,128,則階碼范圍為多少？則階碼范圍為多少？0000 0001 (-127) 1111 1110 (126)2022-3-22Ex: Converting Binary FP to Decimal10111 1101 110 0000 0000 0000 0000 0000Sign: 1 = negativeExponent: 0111 1101two = 125ten Bias adjustment: 125 - 127 = -2Significand: 1 + 1x2

35、-1+ 1x2-2 + 0 x2-3 + 0 x2-4 + 0 x2-5 +. =1+2-1 +2-2 = 1+0.5 +0.25 = 1.75Represents: -1.75tenx2-2 = -0.4375 (= -4.375x10-1 )(-1)S x (1 + Significand) x 2(Exponent-127)BEE00000H is the hex. Rep. Of an IEEE 754 SP FP number2022-3-22Ex: Converting Decimal to FP-1.275 x 1011. Denormalize: -12. 752. Conve

36、rt integer part: 12 = 8 + 4 = 110023. Convert fractional part: .75 = .5 + .25 = .1124. Put parts together and normalize: 1100.11 = 1.10011 x 235. Convert exponent: 127 + 3 = 128 + 2 = 1000 0010211000 0010 100 1100 0000 0000 0000 0000The Hex rep. is C14C0000H2022-3-22Normalized numbers（規(guī)格化數(shù)）（規(guī)格化數(shù)）Exp

37、onent Significand Object1-254 anything Norms implicit leading 10 0 ?0 nonzero ? 255 0 ?255 nonzero ?前面的定義都是針對規(guī)格化數(shù)（前面的定義都是針對規(guī)格化數(shù)（normalized form）How about other patterns?2022-3-22Representation for 0How to represent 0? exponent: all zeros significand: all zeros What about sign? Both cases valid. +0:

38、0 00000000 00000000000000000000000 -0: 1 00000000 000000000000000000000002022-3-22Representation for +/- How to represent +/-? Exponent : all ones (11111111B = 255) Significand: all zeros + : 0 11111111 00000000000000000000000 - : 1 11111111 00000000000000000000000Operations 5 / 0 = +, -5 / 0 = - 5+

39、(+) = +, (+)+(+) = + 5 - (+) = -, (-) - (+) = - etc為什么要這樣處理為什么要這樣處理? 可以利用可以利用+/-作比較。作比較。 例如：例如：X/0Y可作為有效比較可作為有效比較In FP, 除數(shù)為除數(shù)為0的結(jié)果是的結(jié)果是 +/- , 不是溢出異常不是溢出異常. ：infinity2022-3-22Representation for “Not a Number”Sqrt (- 4.0) = ? 0/0 = ? Called Not a Number (NaN) - “非非數(shù)數(shù)”O(jiān)perations sqrt (-4.0) = NaN 0/0 =

40、 NaN op (NaN,x) = NaN +(-) = NaN +- (+) = NaN / = NaN etc. How to represent NaN Exponent = 255 Significand: nonzero NaNs can help with debugging2022-3-22What have we defined so far? (for SP)Representation for Denorms(非規(guī)格化數(shù)非規(guī)格化數(shù)) Used to represent Denormalized numbers Exponent Significand Object0 0 +

41、/-00 nonzero Denorms 1-254 anything Norms implicit leading 1255 0 +/- infinity255 nonzero NaN2022-3-22Representation for Denorms2-1262-1252-1242-1231.00 x2-126 1.11x2-1260.00 x2-126 0.11x2-1262-1262-1252-1242-12300GAP Normalized numbersDenorms(-1)s0.aaa 2-1262022-3-22Questions about IEEE 754uWhats t

42、he range of representable values?uThe largest number for single: +1.111X 2127 uHow about double?uWhat about following type converting: not always true!u if ( i = (int) (float) i) ) u printf (“true”);u u if ( f = (float) (int) f) ) u printf (“true”);u uHow about FP add associative? FALSE!u x = 1.5 x

43、1038, y = 1.5 x 1038, z = 1.0u (x+y)+z = (1.5x1038+1.5x1038 ) +1.0 = 1.0u x+(y+z) = 1.5x1038+ (1.5x1038+1.0) = 0.0How about double? How about double?True!Not always true!約約 +3.4 X 1038約約 +1.8 X 103082022-3-22u數(shù)值數(shù)據(jù)（數(shù)值數(shù)據(jù)（numerical data）的兩種表示）的兩種表示uBinary (二進制數(shù)二進制數(shù))u定點整數(shù)：定點整數(shù)：Fixed-point number (intege

44、r)uUnsigned and signed intu浮點數(shù)：浮點數(shù)：Floating-point number (real number)uDecimal (十進制數(shù)十進制數(shù))u 用用ASCII碼表示碼表示u用用BCD（Binary coded Decimal）碼表示）碼表示u計算機中為什么要用十進制數(shù)表示數(shù)值？計算機中為什么要用十進制數(shù)表示數(shù)值？u日常使用的都是十進制數(shù)，所以，計算機外部都使用十進制數(shù)。在日常使用的都是十進制數(shù)，所以，計算機外部都使用十進制數(shù)。在一些有大量數(shù)據(jù)輸入一些有大量數(shù)據(jù)輸入/出的系統(tǒng)中，為減少二進制數(shù)和十進制數(shù)之出的系統(tǒng)中，為減少二進制數(shù)和十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，在計算

45、機內(nèi)部直接用十進制數(shù)表示數(shù)值。間的轉(zhuǎn)換，在計算機內(nèi)部直接用十進制數(shù)表示數(shù)值。u 十進制數(shù)的表示十進制數(shù)的表示2022-3-22用用ASCII碼表示十進制數(shù)碼表示十進制數(shù)u前分隔數(shù)字串前分隔數(shù)字串u符號位單獨用一個字節(jié)表示，位于數(shù)字串之前。符號位單獨用一個字節(jié)表示，位于數(shù)字串之前。u正號用正號用“+”的的ASCII碼碼(2BH)表示；負號用表示；負號用“-”的的ASCII碼碼(2DH)表示表示u例：十進制數(shù)例：十進制數(shù)+236表示為表示為: 2B 32 33 36Hu 0010 1011 0011 0010 0011 0011 0011 0110Bu 十進制數(shù)十進制數(shù)-2369表示為表示為: 2

46、D 32 33 36 39Hu 0010 1101 0011 0010 0011 0011 0011 0110 0011 1001Bu后嵌入數(shù)字串后嵌入數(shù)字串u符號位嵌入最低位數(shù)字的符號位嵌入最低位數(shù)字的ASCII碼高碼高4位中。比前分隔方式省一個字節(jié)。位中。比前分隔方式省一個字節(jié)。u正數(shù)不變；負數(shù)高正數(shù)不變；負數(shù)高4位變?yōu)槲蛔優(yōu)?111.u例：十進制數(shù)例：十進制數(shù)+236表示為表示為: 32 33 36Hu 0011 0010 0011 0011 0011 0110Bu 十進制數(shù)十進制數(shù)-2369表示為表示為: 32 33 36 79Hu 0011 0010 0011 0011 0011 0

47、110 0111 1001Bu缺點：占空間大，且需轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)或缺點：占空間大，且需轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)或BCD碼才能計算。碼才能計算。2022-3-22u編碼思想編碼思想: 每個十進數(shù)位至少有每個十進數(shù)位至少有4位二進制表示。而位二進制表示。而4位二進制位可組合成位二進制位可組合成16種狀態(tài)，去掉種狀態(tài)，去掉10種狀態(tài)后還有種狀態(tài)后還有6種冗余狀態(tài)。種冗余狀態(tài)。u編碼方案編碼方案u1 十進制有權(quán)碼十進制有權(quán)碼u每個十進制數(shù)位的每個十進制數(shù)位的4個二進制位（稱為基個二進制位（稱為基2碼）都有一個確定的權(quán)。碼）都有一個確定的權(quán)。8421碼碼是最常用的十進制有權(quán)碼。也稱自然是最常用的十進制有權(quán)碼。也稱

48、自然BCD（NBCD）碼。）碼。u2 十進制無權(quán)碼十進制無權(quán)碼u每個十進制數(shù)位的每個十進制數(shù)位的4個基個基2碼沒有確定的權(quán)。在無權(quán)碼方案中，用的較多的碼沒有確定的權(quán)。在無權(quán)碼方案中，用的較多的是余是余3碼和格雷碼。碼和格雷碼。u3其他編碼方案其他編碼方案 （5中取中取2碼、獨熱碼等）碼、獨熱碼等）u符號位的表示：符號位的表示：u “+”：1100 ； “-”：1101u例：例：+236=(1100 0010 0011 0110)8421 (占占2個字節(jié)個字節(jié))u - 2369=(1101 0000 0010 0011 0110 1001)8421 (占占3個字節(jié)個字節(jié))用用BCD碼表示十進制數(shù)

49、碼表示十進制數(shù)補補0 0以使數(shù)占滿一個字節(jié)以使數(shù)占滿一個字節(jié)2022-3-22第一講小結(jié)第一講小結(jié)u在機器內(nèi)部編碼后的數(shù)稱為機器數(shù)，其值稱為真值在機器內(nèi)部編碼后的數(shù)稱為機器數(shù)，其值稱為真值u定義數(shù)值數(shù)據(jù)有三個要素：進制、定點定義數(shù)值數(shù)據(jù)有三個要素：進制、定點/浮點、編碼浮點、編碼u整數(shù)的表示整數(shù)的表示u無符號數(shù)：正整數(shù)，用來表示地址等；帶符號整數(shù)：用補碼表示無符號數(shù)：正整數(shù)，用來表示地址等；帶符號整數(shù)：用補碼表示uC語言中的整數(shù)語言中的整數(shù)u無符號數(shù)：無符號數(shù)：unsigned int ( short / long)；帶符號數(shù)：；帶符號數(shù)： int ( short / long)u浮點數(shù)的表示

50、浮點數(shù)的表示u符號；尾數(shù)：定點小數(shù)；指數(shù)（階）：定點整數(shù)（基不用表示）符號；尾數(shù)：定點小數(shù)；指數(shù)（階）：定點整數(shù)（基不用表示）u浮點數(shù)的范圍浮點數(shù)的范圍u正上溢、正下溢、負上溢、負下溢；與階碼的位數(shù)和基的大小有關(guān)正上溢、正下溢、負上溢、負下溢；與階碼的位數(shù)和基的大小有關(guān)u浮點數(shù)的精度：與尾數(shù)的位數(shù)和是否規(guī)格化有關(guān)浮點數(shù)的精度：與尾數(shù)的位數(shù)和是否規(guī)格化有關(guān)u浮點數(shù)的表示（浮點數(shù)的表示（IEEE754標(biāo)準）：單精度標(biāo)準）：單精度SP（float）和雙精度）和雙精度DP（double）u規(guī)格化數(shù)規(guī)格化數(shù)(SP)：階碼：階碼1254，尾數(shù)最高位隱含為，尾數(shù)最高位隱含為1u“零零” (階為全階為全0，尾

51、為全，尾為全0)u (階為全階為全1，尾為全，尾為全0)uNaN (階為全階為全1，尾為非，尾為非0)u非規(guī)格化數(shù)非規(guī)格化數(shù) (階為全階為全0，尾為非，尾為非0，沒有隱藏位，沒有隱藏位)u十進制數(shù)的表示：用十進制數(shù)的表示：用ASCII碼或碼或BCD碼表示碼表示2022-3-22第二講第二講 非數(shù)值數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)排列、糾非數(shù)值數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)排列、糾/檢錯檢錯主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示非數(shù)值數(shù)據(jù)的表示邏輯數(shù)據(jù)、西文字符、漢字邏輯數(shù)據(jù)、西文字符、漢字數(shù)據(jù)的寬度數(shù)據(jù)的寬度數(shù)據(jù)的存儲排列數(shù)據(jù)的存儲排列大端方式、小端方式大端方式、小端方式數(shù)據(jù)的糾錯和檢錯數(shù)據(jù)的糾錯和檢錯奇偶校驗、海明校驗、循環(huán)冗余奇偶

52、校驗、海明校驗、循環(huán)冗余校驗校驗2022-3-22u表示表示u用一位表示用一位表示 真：真：1 / 假：假：0uN位二進制數(shù)可表示位二進制數(shù)可表示N個邏輯數(shù)據(jù)，或一個位串個邏輯數(shù)據(jù)，或一個位串u運算運算u按位進行按位進行u如如:按位與按位與 / 按位或按位或 / 邏輯左移邏輯左移 / 邏輯右移邏輯右移 等等 u識別識別u邏輯數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)在形式上并無差別，也是一串邏輯數(shù)據(jù)和數(shù)值數(shù)據(jù)在形式上并無差別，也是一串0/1序列，機器靠指令來識別。序列，機器靠指令來識別。u u 邏輯數(shù)據(jù)的編碼表示邏輯數(shù)據(jù)的編碼表示2022-3-22u特點特點u是一種拼音文字，用有限幾個字母可拼寫出所有單詞是一種拼音文字，

53、用有限幾個字母可拼寫出所有單詞u只對有限個字母和數(shù)學(xué)符號、標(biāo)點符號等輔助字符編碼只對有限個字母和數(shù)學(xué)符號、標(biāo)點符號等輔助字符編碼u所有字符總數(shù)不超過所有字符總數(shù)不超過256個，使用個，使用7或或8個二進位可表示個二進位可表示u表示（常用編碼為表示（常用編碼為7位位ASCII碼）碼）u 要求必須熟悉數(shù)字、字母和空格要求必須熟悉數(shù)字、字母和空格(SP)的表示的表示u十進制數(shù)字：十進制數(shù)字：0/1/2/9u英文字母：英文字母：A/B/Z/a/b/zu專用符號：專用符號：+/-/%/*/&/ u控制字符（不可打印或顯示）控制字符（不可打印或顯示）u操作操作u字符串操作，如字符串操作，如:傳送傳

54、送/比較等比較等 西文字符的編碼表示西文字符的編碼表示2022-3-22u特點特點u漢字是表意文字，一個字就是一個方塊圖形。漢字是表意文字，一個字就是一個方塊圖形。u漢字數(shù)量巨大，總數(shù)超過漢字數(shù)量巨大，總數(shù)超過6萬字，給漢字在計算機內(nèi)部的表示、漢字的萬字，給漢字在計算機內(nèi)部的表示、漢字的傳輸與交換、漢字的輸入和輸出等帶來了一系列問題。傳輸與交換、漢字的輸入和輸出等帶來了一系列問題。u編碼形式編碼形式u有以下幾種漢字代碼：有以下幾種漢字代碼：u輸入碼：對漢字用相應(yīng)按鍵進行編碼表示，用于輸入輸入碼：對漢字用相應(yīng)按鍵進行編碼表示，用于輸入u內(nèi)碼：用于在系統(tǒng)中進行存儲、查找、傳送等處理內(nèi)碼：用于在系統(tǒng)

55、中進行存儲、查找、傳送等處理u字模點陣或輪廓描述字模點陣或輪廓描述: 描述漢字字模點陣或輪廓，用于顯示描述漢字字模點陣或輪廓，用于顯示/打印打印u 漢字及國際字符的編碼表示漢字及國際字符的編碼表示問題：西文字符有沒有輸入碼？有沒有內(nèi)碼？問題：西文字符有沒有輸入碼？有沒有內(nèi)碼？有沒有字模點陣或輪廓描述？有沒有字模點陣或輪廓描述？2022-3-22向計算機輸入漢字的方式：向計算機輸入漢字的方式： 手寫漢字聯(lián)機識別輸入，或者是印刷漢字掃描輸入后自動識別，這兩手寫漢字聯(lián)機識別輸入，或者是印刷漢字掃描輸入后自動識別，這兩種方法現(xiàn)均已達到實用水平。種方法現(xiàn)均已達到實用水平。 用語音輸入漢字，雖然簡單易操作

56、，但離實用階段還相差很遠。用語音輸入漢字，雖然簡單易操作，但離實用階段還相差很遠。 利用英文鍵盤輸入漢字：每個漢字用一個或幾個鍵表示，這種對每個利用英文鍵盤輸入漢字：每個漢字用一個或幾個鍵表示，這種對每個漢字用相應(yīng)按鍵進行的編碼稱為漢字漢字用相應(yīng)按鍵進行的編碼稱為漢字“輸入碼輸入碼”，又稱外碼。輸入碼的碼，又稱外碼。輸入碼的碼元為按鍵。是最簡便、最廣泛的漢字輸入方法。元為按鍵。是最簡便、最廣泛的漢字輸入方法。 常用的方法有：搜狗拼音、五筆字型、智能常用的方法有：搜狗拼音、五筆字型、智能ABC、微軟拼音等、微軟拼音等使用漢字輸入碼的原因：使用漢字輸入碼的原因： 鍵盤面向西文設(shè)計，一個或兩個西文字

57、符對應(yīng)一個按鍵，非常方便。鍵盤面向西文設(shè)計，一個或兩個西文字符對應(yīng)一個按鍵，非常方便。 漢字是大字符集，專門的漢字輸入鍵盤由于鍵多、查找不便、成本高漢字是大字符集，專門的漢字輸入鍵盤由于鍵多、查找不便、成本高等原因而幾乎無法采用。等原因而幾乎無法采用。漢字的輸入碼漢字的輸入碼2022-3-22問題：西文字符常用的內(nèi)碼是什么？其內(nèi)碼就是問題：西文字符常用的內(nèi)碼是什么？其內(nèi)碼就是ASCII碼。碼。對于漢字內(nèi)碼的選擇，必須考慮以下幾個因素：對于漢字內(nèi)碼的選擇，必須考慮以下幾個因素： 不能有二義性，即不能和不能有二義性，即不能和ASCII碼有相同的編碼。碼有相同的編碼。 盡量與漢字在字庫中的位置有關(guān)，

58、便于漢字查找和處理。盡量與漢字在字庫中的位置有關(guān)，便于漢字查找和處理。 編碼應(yīng)盡量短。編碼應(yīng)盡量短。國標(biāo)碼（國標(biāo)交換碼）國標(biāo)碼（國標(biāo)交換碼） 1981年我國頒布了信息交換用漢字編碼字符集年我國頒布了信息交換用漢字編碼字符集基本集基本集(GB231280)。該標(biāo)準選出。該標(biāo)準選出6763個常用漢字，為每個漢字規(guī)個常用漢字，為每個漢字規(guī)定了標(biāo)準代碼，以供漢字信息在不同計算機系統(tǒng)間交換使用定了標(biāo)準代碼，以供漢字信息在不同計算機系統(tǒng)間交換使用可在漢字國標(biāo)碼的基礎(chǔ)上產(chǎn)生漢字機內(nèi)碼可在漢字國標(biāo)碼的基礎(chǔ)上產(chǎn)生漢字機內(nèi)碼字符集與漢字的內(nèi)碼字符集與漢字的內(nèi)碼2022-3-22u由三部分組成：由三部分組成：u 字

59、母、數(shù)字和各種符號，包括英文、俄文、日文平假名與片假名字母、數(shù)字和各種符號，包括英文、俄文、日文平假名與片假名、羅馬字母、漢語拼音等共、羅馬字母、漢語拼音等共687個個u 一級常用漢字，共一級常用漢字，共3755個，按漢語拼音排列個，按漢語拼音排列u 二級常用漢字，共二級常用漢字，共3008個個 ，不太常用，按偏旁部首排列，不太常用，按偏旁部首排列u漢字的區(qū)位碼漢字的區(qū)位碼u碼表由碼表由94行、行、94列組成，行號為區(qū)號，列號為位號，各占列組成，行號為區(qū)號，列號為位號，各占7位位u指出漢字在碼表中的位置，共指出漢字在碼表中的位置，共14位，區(qū)號在左、位號在右位，區(qū)號在左、位號在右u漢字的國標(biāo)碼

60、漢字的國標(biāo)碼u每個漢字的區(qū)號和位號各自加上每個漢字的區(qū)號和位號各自加上32（20H），得到其），得到其“國標(biāo)碼國標(biāo)碼”u國標(biāo)碼中區(qū)號和位號各占國標(biāo)碼中區(qū)號和位號各占7位。在計算機內(nèi)部，為方便處理與存儲，位。在計算機內(nèi)部，為方便處理與存儲，前面添一個前面添一個0，構(gòu)成一個字節(jié)，構(gòu)成一個字節(jié)GB2312-80字符集字符集2022-3-22漢字內(nèi)碼漢字內(nèi)碼u至少需至少需2個字節(jié)才能表示一個漢字內(nèi)碼。為什么？個字節(jié)才能表示一個漢字內(nèi)碼。為什么？u由漢字的總數(shù)決定！由漢字的總數(shù)決定！u可在可在GB2312國標(biāo)碼的基礎(chǔ)上產(chǎn)生漢字內(nèi)碼國標(biāo)碼的基礎(chǔ)上產(chǎn)生漢字內(nèi)碼u為與為與ASCII碼區(qū)別，將國標(biāo)碼的兩個字節(jié)的第一位置