數(shù)理方法復(fù)習(xí)-孟堅(jiān)

1、例例 計(jì)算積分計(jì)算積分 22cosd .(1)(9)xxxx 解記解記 則則2221( ),(1)(3 )f zzz 12, 3zi zi 是是f (z)在上半平面的全體孤立奇點(diǎn)在上半平面的全體孤立奇點(diǎn), 都是都是1級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn). 顯然顯然f (z)滿足滿足 的條件的條件, 所以所以22d(1)(9)ixexxx 2Res ( ), Res ( ),3 izizif z eif z ei 2232limlim()(9)(1)(3 )izizzizieeizizzzi 1323231 .164824eeieiie 其實(shí)部其實(shí)部(虛部為零虛部為零)就是所要求的積分，即就是所要求的積分，即 2223

2、cosd31 .(1)(9)24xxexxe 1( )( )2ii tf tfede d f t 付氏積分公式定義定義 設(shè)設(shè)f (t)和和F( )都是在都是在 上絕對(duì)上絕對(duì) (,) 可積函數(shù)，稱可積函數(shù)，稱( )ditft et 為為f (t)的的Fourier變換變換，稱，稱 1( )d2i tFe 為為F( )的的Fourier逆變換逆變換, 記為記為 和和 ( )f tF F1( ),F F F 001( )0,)(),( )( )( )Laplace ( )( )( )( )Laplace( ) ( ).( )( )ststf tsjF sf t edtf tf tF sf t edt

3、f tF sf tF sF sf t設(shè)是上的實(shí) 或復(fù) 值函數(shù)，若對(duì)參數(shù)在s平面的某一區(qū)域內(nèi)收斂，則稱其為的變換，記為稱為的逆變換，記為稱為像函數(shù)，稱為原像函數(shù).LL經(jīng)典的分離變量法有界弦的自由振動(dòng)22222,(0, ),0( ,0)( ),( ,0)( ),0, (0, )( , )0,0tuuaxl ttxu xxu xxxlutu l tt定解問題：物理現(xiàn)象：物理現(xiàn)象： 一根長為一根長為 l 的弦，的弦，兩端固定兩端固定，給定初始位移和速，給定初始位移和速度，在沒有強(qiáng)迫外力作用下的度，在沒有強(qiáng)迫外力作用下的自由振動(dòng)自由振動(dòng)。一個(gè)定解問題的三要素：一個(gè)定解問題的三要素：l自變量的區(qū)域；自變量

4、的區(qū)域；l微分方程（泛定方程）；微分方程（泛定方程）；l定解條件（邊界條件、初始條件）。定解條件（邊界條件、初始條件）。經(jīng)典的（基本的）分離變量法對(duì)這三個(gè)要素的要求：經(jīng)典的（基本的）分離變量法對(duì)這三個(gè)要素的要求：有界域上的問題；有界域上的問題；齊次微分方程；齊次微分方程；齊次邊界條件。齊次邊界條件。 求解的基本步驟求解的基本步驟第一步：第一步：求滿足求滿足齊次方程齊次方程和和齊次邊界條件齊次邊界條件的的變量分離形式的解。變量分離形式的解。( , )( ) ( )u x tX x T t本征值本征值問題問題( )( )0(0, )(0)( )0XxX xxlXX l，X(x)：2( )( )0T taT tT(t)：第二步：第二步：求本征值求本征值和本征函數(shù)和本征函數(shù) X(x)。本征值和本征值和本征函數(shù)本征函數(shù)2,( )sin,1,2,3,nnnlnXxxln012233424535( )1( )1( )(31)21( )(53 )21( )(35303)81( )(637015co)8sP xP xxP xxP xxxP xxxP xxxx Legendre多項(xiàng)式（或稱 Legendre