換個角度看問題--數(shù)學(xué)一題多解

1、換個角度看問題，這邊風(fēng)景獨(dú)好題多解面面觀山東省鄆城一中梁桂梅數(shù)學(xué)是一個有機(jī)的整體，它的各個局部之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)每一分 支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫穿，這里所說的橫向聯(lián)系， 主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路， 穩(wěn)固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，到達(dá)開發(fā)潛能，發(fā) 展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。下面僅舉一例進(jìn)行一題多解和一題多變來說明：例：x、y > 0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。解答此題的方法比擬多，下面給出幾種常見的思想方法，以作例如。解法

2、一：函數(shù)思想由x+y=1得y=1-x，那么1 1x 2+y2= x2+ 1-x2=2x2 2x+1=2x q2+由于x 0,1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知1 1當(dāng)x=2時，x2+y2取最小值q ；當(dāng)x=0或1時，x2+y2取最大值1。評注：函數(shù)思想是中學(xué)階段根本的數(shù)學(xué)思想之一，揭示了一種變量之間的聯(lián) 系，往往用函數(shù)觀點(diǎn)來探求變量的最值。對于二元或多元函數(shù)的最值問題，往往 是通過變量替換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，這是一種根本的數(shù)學(xué)思想方法。解決函 數(shù)的最值問題，我們已經(jīng)有比擬深的函數(shù)理論，函數(shù)性質(zhì)，如單調(diào)性的運(yùn)用、導(dǎo) 數(shù)的運(yùn)用等都可以求函數(shù)的最值。解法二：三角換元思想由于x+y=1，x、y>0

3、，那么可設(shè)22nx=cos 0， y=sin 0 其中 0，貝U x2+y2= cos4 0 +sin 4 0 = cos2 0 +sin 2 02 2 cos2 0 sin 2 01=1 一 _1 22 1 22sin 0 cos 0=1 2 sin 2 011 cos4 031=1 x 2=4 +4 cos4 01于是，當(dāng)cos4 0 = 1時，x2+y2取最小值2 ;當(dāng)cos4 0 =1時，x2+y2取最小值1。評注：三角換元思想也是高中數(shù)學(xué)的根本思想方法之一，通過三角換元就將問題轉(zhuǎn)化為三角恒等式變形后來解決，而三角恒等變形卻有著一系列的三角公 式，所以運(yùn)用三角換元解決某些問題往往比擬方

4、便。解法三：對稱換元思想由于x+y=1，x、y>0，那么可設(shè)11卄亠11x= 2 +t， y= 2 t，其中 t 2，2 111 1 于是，x2+y2= 2 +t2+1 t2=2 +2t2 t 2 0，4 11所以，當(dāng)t2=0時，x2+y2取最小值2 ;當(dāng)t2=4時，x2+y2取最大值1。評注：對稱換元將減元結(jié)果進(jìn)行簡化了，從而更容易求最值。這三種方法，在本質(zhì)上都一樣，都是通過函數(shù)觀點(diǎn)來求最值，只是換元方式 的不同而已，也就導(dǎo)致了化簡運(yùn)算量大小不同， 教師通過引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生主動思 考、運(yùn)用，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也增強(qiáng)了學(xué)生思維能力的提高。解法四：運(yùn)用根本不等式由于x、y >0且

5、x+y=1貝 Uxy w4 = ，從而 Ow xy <1于是，x2+y2= x+y2 2xy=1 2xy1i所以，當(dāng)xy=O時，x2+y2取最大值1;當(dāng)xy=-時，x2+y2取最小值°。評注：運(yùn)用根本不等式可以解決一些含有兩個未知量的最值問題，但要注意等號成立的條件是否同時滿足。解法四：解析幾何思想設(shè)d= x2+y2，那么d為動點(diǎn)Cx，y到原點(diǎn)0，x y 10的距離，于是只需求線段x 0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大和最小距離就可y 0fy當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時，dma=1，貝U X2+y2maFl f B當(dāng) OCL AB 時 dmin= 2 ，貝U X2+y2min=2、A .評注：用幾何

6、的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的養(yǎng)成， 使 學(xué)生在數(shù)和形的理解把握好一個聯(lián)系的尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而到達(dá)快速解決這類問題的目的。 事實(shí)上，有許多解析幾何最值問 題和代數(shù)中許多最值問題都可以用類似的方法解決，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培 養(yǎng)，有著很積極的作用。解法五：數(shù)形結(jié)合思想設(shè)x2+y2=r2r >0，此二元方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑為r的動圓，記為。F于是，問題轉(zhuǎn)化為。F與線段有公共點(diǎn)，求r的變化范圍。當(dāng)。F經(jīng)過線段AB端點(diǎn)時rma=1;1貝U° w x2+y2 w 1評注：此解法與解法四并無本質(zhì)區(qū)別，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的形成。至此，解答此題的幾種常見方法介紹完畢，下面展示對此題的變式和推廣解法六：設(shè)z x2 y2.x y 1,2 2. 1 . 2 .1 211z x y x y1 (x )