數(shù)列復(fù)習(xí)總結(jié)(通項公式、求和方法)

1、數(shù)列復(fù)習(xí)總結(jié)、根底知識:數(shù)列:1. 數(shù)列、項的概念:按一定 次序 排列的一列數(shù)，叫做 數(shù)列，其中的每一個數(shù)叫 做數(shù)列的項2. 數(shù)列的項的性質(zhì):有序性：確定性：可重復(fù)性.3. 數(shù)列的表示：通常用字母加右下角標表示數(shù)列的項，其中右下角標表示項的位置 序號，因此數(shù)列的一般形式可以寫成 ai, a2, as,，an，簡記作 an.其 中an是該數(shù)列的第 衛(wèi)項，列表法、 圖象法、 符號法、 列舉法、 解析法、 公 式法通項公式、涕推公式、求和公式都是表示數(shù)列的方法.4. 數(shù)列的一般性質(zhì):單調(diào)性;周期性.5. 數(shù)列的分類： 按項的數(shù)量分： 有窮數(shù)列、無窮數(shù)列; 按相鄰項的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列、

2、常數(shù)列、擺動數(shù)列、其他; 按項的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他： 按項的變化范圍分：有界數(shù)列、無界數(shù)列.6 .數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與它的序號n之間的函數(shù)關(guān)系可以用 一個公式 an=fnnM或其有限子集1 , 2, 3,，n來表示，那么這個 公式叫做這個數(shù)列的 通項公式數(shù)列的項是指數(shù)列中一個確定的數(shù)， 是函數(shù)值， 而序號是指數(shù)列中項的位置，是自變量的值.由通項公式可知數(shù)列的圖象是 散點 生，點的橫坐標是項的序號值，縱坐標是各項的值不是所有的數(shù)列都有通 項公式，數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一.7 .數(shù)列的遞推公式：如果數(shù)列an的第一項或前幾項，且任一項an與它的前一項an

3、-1或前幾項an-1, an-2，間關(guān)系可以用一個公式_an=fan1n=2, 3,或 an=fan 1,an 2(n=3, 4, 5,)，來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式8. 數(shù)列的求和公式：設(shè)S表示數(shù)列an和前n項和，即S=ai+a2+an，如果S與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個公式S= fnn =1, 2, 3,來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的 求和公式.9. 通項公式與求和公式的關(guān)系：通項公式an與求和公式S的關(guān)系可表示為：anS(n 1)Si & 1 (n 2)等差數(shù)列與等比數(shù)列:等差數(shù)列等比數(shù)列文字定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一 項與它的前一項的差是同一個常數(shù)

4、，那么 這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差 數(shù)列的公差。一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每 一項與它的前一項的比是同一個常數(shù)， 那么這個數(shù)列就叫等比數(shù)列，這個常數(shù) 叫等比數(shù)列的公比。符號定義an 1and也 q(q 0)an分 類遞增數(shù)列：d 0遞減數(shù)列：d 0常數(shù)數(shù)列：d 0遞增數(shù)列：耳0,q1或印0,q 1遞減數(shù)列：a0,q1或a10,0q 1擺動數(shù)列：q 0常數(shù)數(shù)列：q 1通 項an q (n 1)d pn q am (n m)d其中p d,q a dn in m佔q oanaiqa刖Snn(ai an)n(n 1)d2napnqnai(iq )(q i)n2 2項 和甘十dd其中p-

5、,qai-22inq(q i)中 項a,b,c成等差的充要條件：2b a ca,b,c成等比的必要不充分條件：b2 ac等和性：等差數(shù)列an等積性：等比數(shù)列3n假設(shè)m n p q那么假設(shè)mn p q那么amanapaqamanapaq主要推論：假設(shè) m n 2p 那么推論：假設(shè)m n 2p 貝y性2質(zhì)為an 2a paman (ap)an kan k2anan k an k(an)2aiana2an 1a3an 2aiana2 an ia3 an 2即:首尾顛倒相加，那么和相等即:首尾顛倒相乘，那么積相等I、等比數(shù)列中連續(xù)項的和，組成的新數(shù)1、等差數(shù)列中連續(xù)m項的和，組成的新列是等比數(shù)列。即：

6、數(shù)列是等差數(shù)列。即：為,S2m Sm, S3mS2m,等比，公比為qm。sm,S2m Sm , S3mS2m,等差，么差為2、從等比數(shù)列中抽取等距離的項組成其/、2 md 那么有 S3m 3(S?m Sm)的數(shù)列是一個等比數(shù)列。2、從等差數(shù)列中抽取等距離的項組成的如:3 , a4 , a7 , ai0 ,下標成等差數(shù)列數(shù)列是一個等差數(shù)列。如:3、an , bn等比,那么a2n ， a2n i ， kanai,a4,a7,aio,下標成等差數(shù)列也等比。其中k 03、an , bn 等迸，那么a2n，a2n 1，4、等比數(shù)列的通項公式類似于 函數(shù)，n的指數(shù)kan b , pan qd 也等差。即：

7、an cqn，其中c 仝q4、等差數(shù)列aIn的通項公式是n的一次它等比數(shù)列的前n項和公式是一個平移函數(shù)，即：andn c( d 0)加振幅的n的指數(shù)函數(shù)，即：Sn cqn c(q 1)等差數(shù)列an的前n項和公式;是一個沒有常數(shù)項的n的一次函數(shù)，5、等比數(shù)列中連續(xù)相同項數(shù)的積組成的 新數(shù)列是等比數(shù)列。即：SnAn2Bn (d 0)5、項數(shù)為奇數(shù)2n 1的等差數(shù)列有：s奇nS奇S偶ana中S禺n 1性S2n i(2n1)an項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列有:跆anS 禺 ndS偶an 1S2nn(Onan 1)6、anm,amn 那么 am n 0質(zhì)5sm 那么 smn 0(n m)Sn m,Sm n

8、那么 Sm n(m n)證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的方法:證證明一個數(shù)列為等比數(shù)列的方法:明1、定義法：an1 an d(常數(shù))1、定義法：an 1 q常數(shù)方法2、中項法：an1 an 12an(n2)an3. 、通項公式：an kn bk,b為常數(shù)4、 前n項和：Sn An2 Bn A, B為常數(shù)2、中項法：an 1 an 1 (an)2(n 2耳 0)設(shè)元技巧二數(shù)等差：a d,a,a d四數(shù)等差：a 3d,a d,a d,a 3d三數(shù)等比： ,a,aq或a, aq, aq2 q四數(shù)等比： a,aq,aq2,aq3聯(lián) 系1、假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，那么數(shù)列 Can是等比數(shù)列，公比為Cd，其中C是

9、常 數(shù)，d是an的公差。2、 假設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，且an 0 ,那么數(shù)列l(wèi)ogaan是等差數(shù)列，公差為loga q， 其中a是常數(shù)且a 0, a 1， q是an的公比。二.考點分析數(shù)列是高考熱點內(nèi)容，考查主要為等差，等比數(shù)列的根本性質(zhì)、數(shù)列的通項公式的 求法、數(shù)列前n項和的求法，其中數(shù)列的通項公式的求法根底，在復(fù)習(xí)過程中注意等 差、等比數(shù)列定義及性質(zhì)要復(fù)習(xí)扎實，常用的通項公式的求法是重點，難點。在復(fù)習(xí) 過程中一定要學(xué)生注意課后穩(wěn)固。等差與等比數(shù)列例1：等差數(shù)列an 中, a4=10,且a3，a6，a p成等比數(shù)列.求數(shù)列an前20項的和 豈.練習(xí)：1.等差數(shù)歹 a n 中，a3a71684

10、 36 0求an的前門項和.2. a n為等差數(shù)列，a3+a8=22,a6=7,求85；3. 等差數(shù)列a n的前m項和為30,前2m項和為100,求它的前3m項的和4. 等差數(shù)列an、b的前n項和分別是Sn、Tn,且 空求玉Tn3n 2b6等差數(shù)列前n項和的最值問題:1、假設(shè)等差數(shù)列an的首項a1 0 ,公差d0,那么前n項和Sn有最大值。i假設(shè)通項an，那么Sn最大an0an 10ii假設(shè)Snpn2 qn,那么當(dāng)n取最靠近2qp的非零自然數(shù)時最大;2、假設(shè)等差數(shù)列an的首項a1 0 ,公差d0,那么前n項和Sn有最小值i假設(shè)通項an，那么Sn最小an0an 10ii假設(shè)Snpn2 qn,那么

11、當(dāng)n取最靠近2qp的非零自然數(shù)時最小;例2.在等差數(shù)列an中，a1=20,前n項和為Sn,且可0=可5,求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值數(shù)列通項的求法：公式法：等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。作差、商法：Sn 即a1 a2anf (n)丨求an，用作差法：anS1,(n1)Sn51 1 , (n 2)f(1),(n 1)口 a1 *a2一*4f(n)求 an，用作商法：anf(n) (n 2)。f(n 1)，(n 2)條件中既有Sn還有an，有時先求Sn，再求an ;有時也可直接求an 累1 加法假設(shè)an 1anf(n)求an用累加法an(anan 1 )(an 1an 2

12、)2 aja1 (n2)。累乘法an 1anf(n)求 an，用累乘法:ananan 1an 1an 2a?(n 2)。a1構(gòu)造法遞推關(guān)系求an ,用構(gòu)造法構(gòu)造等差、等比數(shù)列特別地，1形如an kan 1 b、an kan 1 bn k, b為常數(shù)的遞推數(shù)列都 可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an kan 1 kn的 遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求耳o2形如anan1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項kan 1 b3形如an 1 ank的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項。7理科數(shù)學(xué)歸納法。8當(dāng)遇到am am d或也 q時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可能是分段

13、an 1形式。數(shù)列求和的常用方法：1公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。2分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式中“同類項先 合并在一起，再運用公式法求和。3倒序相加法：假設(shè)和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和這也是等差數(shù) 列前n和公式的推導(dǎo)方法.4錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項 相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法5裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差 關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和的形式，且相鄰項分裂后相.常用裂項形式有:

14、1)n(nk)1k2 * * 11(k 1)k1(k n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)(n 1)!1 ；(n 1)!；2、.n，丁1、解題方法:求數(shù)列通項公式的常用方法:1、公式法等差數(shù)列an是遞增數(shù)列, 數(shù)列an的通項公式2前n項和為Sn，且a1，a5 a9成等比數(shù)列，S5 a5 .求解：設(shè)數(shù)列an公差為dd 02a1, a3, a9 成等比數(shù)列，二 a3 a1a95a1d佝 4d)2a1由得：(n1)注：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義，設(shè)法求出首項與公差公比 后再寫出通項。2、前n項和，求通項公式例1.數(shù)列an的前n項和為Sn 2n解：n 1 時，a1 2

15、1 5，二 a1 14 1 1 3n，求數(shù)列aj的通項公式解:1當(dāng) n=1 時，a1S1,2當(dāng) n 2 時，anSnSi1 4n 5a11,適合 an4n 5, an4n5注：一般的利用公式anSnS, n 1& 1, n 2求an，特別要注意a1是否適宜anSnSn 1,(n 2)an的前n項和Sn -(an 1)2，求數(shù)列a.的通項公式a14數(shù)列an 的前n項和為Sn,且滿足2Sn Sn-1 0(n 2)(1) 求證：是等差數(shù)列;a21尹 an1 2n 1 52求an的表達式.3、求差商法1 1 1如：an滿足2a1 22a2 2an 2門512n14 (n 1)2n 1 (n 2)練習(xí)5

16、數(shù)列an滿足 Sm 3% 1，ai4，求 an(注意到an 1 Sn 1 Sn代入得:Sn 1Sn又S14,二Sn是等比數(shù)列，Sn 4nn 2時，an Sn Sn 13 4n 14、累乘法例如：數(shù)列an中，a13,亞1 ，求anan n 1解:a2a1a3a2an 123an1a1n3又a13，ann f(n) f(n)累乘法是反復(fù)利用遞推關(guān)系得到 n 1注：假設(shè)數(shù)列滿足an，且可求和，個式子累乘求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n 1項的積，要注意求積的 技巧.5、累加法由an an 1 f(n)，aa，求a.，用迭加法n 2時，a2 a1f(2)a3a?f(3)兩邊相加，得:an

17、an 1 f(n)an ai f(2) f(3)f(n)anaof(2)f(3)f(n)練習(xí)數(shù)列 an , a11, an 3n 1 an 1 n 2，求 an求形如an an 1f(n)f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列的數(shù)列通項，注：可用累加法，即令n=2, 3，n 1得到n 1個式子累加求得通項，累加法是反復(fù)利 用遞推關(guān)系得到n 1個式子累加求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求f(n)的前n 1項的和，要注意求和的技巧.6、等比型遞推公式例:數(shù)列an滿足a1=1，且an+1 = 3an +2，求an解：設(shè)an 1t3(ant)，那么an 13an 2tt 1，an 113(an1)an

18、1為等比數(shù)列，an 1佝1)3n 12 3n1，%2 3n 11練習(xí)數(shù)列 an 滿足a1 9，3an 1 a. 4，求a.n 14(an 831)求遞推式如an 1 Pan q p、q為常數(shù)的數(shù)列通項，可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟 注：知的數(shù)列求解，相當(dāng)如換元法。求遞推式形如an 1 Pan qp、q為常數(shù)的數(shù)列通項，可用迭1 =p(an+ p 1 )來求得也可用“歸納一猜測一證明法來求,qq代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+1+ p這也是近年高考考得很多的一種題型.例：數(shù)列an滿足耳1, 3n解：將an 3 2an 1兩邊同除3n，得2an 1 (n 2). 求 Oi. 幕12 an 1annn

19、3，變形為31 2勒3 3n 13bn1bn3(bn 13)得t3 .條件可化成3,bn3是以b 13a13 8數(shù)列33為首項,23為公差的等比數(shù)列.anbn 38 (2)n 133因bn3n，所以anbn3n=3n(3)得 an=3n2n2a22設(shè)b 扌，那么bn 1 3bn1 .令bn t 3(bn1 t),即 bnan 1 n 1n 1mpan q P、為常數(shù)時，可同除q ，得q罟1 bq q，令q得數(shù)列an 1 an是以 a2 a1 1為首項13為公差的等比數(shù)列,an 1 an從而化歸為K1 PKqp、q為常數(shù)型.2 1數(shù)列an滿足1,a22, an 23an 13求 an例：解：設(shè)

20、an 2 S4 1t(an 1san).展開后，得an 2(t s) an1 tsan.2 s t, st1s 1,t1由33，解得3 ,點評：遞推式為an 11條件可以化為an2 an13(an1 an)an 7-( 1)n1an 2 sq 1 t(an 1 sq)，其待題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得4 4 3注：遞推式為寺2 Pan 1 P、q為常數(shù)時，可以設(shè)定常數(shù)S、t由s t p, stq求出，從而化歸為上述題型.7、倒數(shù)法例如：a12an+1,a-1 丁，求a由得:1 an 2an 12an2 an1 1 1 an 2an 1為等差數(shù)列,1,ana11公差為-2an- a