數(shù)學(xué)名師葉中豪整理高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何講義(完整版)

1、高中平面幾何葉中豪sinsintan13。求證：2EF=DE+DC。 10081902.gsp學(xué)習(xí)要點(diǎn)幾何問題的轉(zhuǎn)化圓幕與根軸P'olemy定理及應(yīng)用幾何變換及相似理論 位似及其應(yīng)用完全四邊形與Miquel點(diǎn) 垂足三角形與等角共軛 反演與配極，調(diào)和四邊形 射影幾何 復(fù)數(shù)法及重心坐標(biāo)方法例題和習(xí)題1 .四邊形ABCD中,AB=BC , DE 丄 AB , CD 丄 BC , EF 丄 BC ,且A2 .相交兩圓0和O'交于A、B兩點(diǎn)，且O'恰在圓O上，P為圓O的AO'B 弧段上任意一點(diǎn)。/ APB的平分線交圓O'于Q點(diǎn)。求證：PQ2=PAX PB。1009

2、2401-1. gsp3 .設(shè)三角形 ABC的Fermat點(diǎn)為R,連結(jié) AR, BR, CR,三角形ABR , BCR,ACR的九點(diǎn)圓心分別為 D,E,F,那么三角形DEF為正三角形。10082602.gspABC4.在 ABC中，/ A的內(nèi)角平分線和外角平分線分別交外接圓于 D、E, 點(diǎn)A關(guān)于D、E的對(duì)稱點(diǎn)分別為F、G,AADG和厶AEF的外接圓交于A 和另一點(diǎn) P。求證：AP/BC。 10092102.gsp5 圓Oi和圓02相交于A、B兩點(diǎn)，P是直線AB上一點(diǎn)，過P作兩圓作切線， 分別切圓Oi和圓02于點(diǎn)C、D，又兩圓的一條外公切線分別切圓 Oi和圓 02于點(diǎn) E，F(xiàn)。求證：AB、CE、

3、DF 共點(diǎn)。10092201.gsp6 .四邊形ABCD中，M是AB邊中點(diǎn)，且 MC=MD，過C、D分別作BC、AD 的垂線，兩條垂線交于 P點(diǎn)，再作PQ丄AB于Q。求證：/ PQC=Z PQD。10081601-26.gspDM Q7 .RTAABD srtAADC , M是BC中點(diǎn)，AD與BC交于E,自C作AM 垂線交 AD 于 F。求證：DE=EF。 10083001.gspC8 .在 ABC中，AB=AC , D為BC邊的中點(diǎn)，E是厶ABC外一點(diǎn)，滿足 CE丄 AB，BE=BD。過線段BE的中點(diǎn) M 作直線 MF丄BE,交 ABD的外接圓 的劣弧AD于點(diǎn)F。求證：ED丄DF。 2022

4、年女子競(jìng)賽10081601-4.gspI1D與9.設(shè)圓Ii是厶ABC的BC邊外的旁切圓，D、E、F分別是切點(diǎn)，假設(shè)EF交于P點(diǎn)。求證：AP平分底邊BC o 10082001-8.gsp10.如圖O切厶ABC的邊AB于點(diǎn)D，切邊AC于點(diǎn)C，M是邊BC上點(diǎn)，AM交CD于點(diǎn)N 求證：M是BC中點(diǎn)的充要條件是 ON丄BC09031302.gsp11：BC是圓上的定弦，而動(dòng)點(diǎn) A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是AC中點(diǎn)，作MP丄AB 于 P。求 P 點(diǎn)的軌跡。10081601-4.gsp12 . ABC外接圓為圓O, P為AB上一點(diǎn)，過P分別作OA、OB的垂線，與AC、BC交于S、T,與AB交于M、N。求證：PM=MS

5、的充要條件是 PN=NT。 10081601-3.gsp13.在 ABC中AC >BC，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，過F作它的外接圓直徑 DE，使得C、E在AB同一側(cè)，又過C做AB的平行線交DE于L求證：(AC+BC) 2 = 4DL X EF。 09011003.gsp14 .：P是垂直ABC外接圓BC弧上任意一點(diǎn)，PD丄BC于D, PE丄CA于E, PF丄AB 于 F。求證：(BC/PD) = (AC/PE)+(AB/PF)。0.gsp15 .0是厶ABC的外心，M是BC邊中點(diǎn)，D是0M延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足DO=DB，E、F分別是 AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足/ MEA= / MFA= / A。求 證

6、：AD 丄 EF。 10080302.gspC16 ABC中，AB = AC,線段AB上有一點(diǎn)D，線段AC延長(zhǎng)線上有一點(diǎn) E,使得DE = AB。線段DE與厶ABC的外接圓交于點(diǎn)T, P是線段AT延 長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：點(diǎn)P滿足PD+ PE= AT的充要條件是P在厶ADE的 外接圓上。2ooo年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)10082201-1.gspA17 ABC中，內(nèi)心I關(guān)于BC邊中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為I', S是BC弧不含 A點(diǎn)中點(diǎn)，直線 SI'交厶ABC的外接圓于另一點(diǎn) P。求證：P點(diǎn)到 ABC 較遠(yuǎn)的頂點(diǎn)距離等于到另兩個(gè)頂點(diǎn)距離的和。10082201-5.gspC18 .在 ABC 夕卜作 D

7、BCECAs FAB，聯(lián)結(jié) AD、BE、CF。 求證：AF+FB+BD+DC+CE+EA >AD+BE+CF。 10081601-2.gs0J IC19過 ABC內(nèi)一點(diǎn)0引三邊AB、BC、CA的平行線與其它兩邊的交點(diǎn)分別為E、F、G、H、I、K，過O作厶ABC的外接圓的弦AL。求證：OE OF+ OG OH + OI OK = OA OL。09042002.gsp20 一小圓內(nèi)切大圓于點(diǎn) N , BA、BC是大圓的兩條弦，且分別切小圓于 K、M , 劣弧AB和劣弧BC的中點(diǎn)分別為Q、P,又設(shè) BQK、 BPM外接圓的另 一個(gè)交點(diǎn)為B1。求證：BPB1Q為平行四邊形。10082001-1.

8、gsp21 圓O與圓O1、圓O2同時(shí)相切，切點(diǎn)為 S、T,圓O1與圓O2交于A、B兩 點(diǎn)，且圓O2的圓心恰在圓O1上。設(shè)公共弦AB延長(zhǎng)交圓O于C、D兩點(diǎn)， 聯(lián)結(jié)SC、SD分別交圓O1于P和Q。求證：PQ與圓O2相切。40屆imo10082001-12.gspCp.ROOiO2UTQSD22 .設(shè)KL、KN是圓0的切線，M是KN延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過 K、L、M三點(diǎn)的 圓與圓0交于P,作NQ丄LM于Q。求證：/ MPQ=2/NML。98年伊朗競(jìng) 賽10081601-5 6.gsp09022203.gsp23 .設(shè) ABC內(nèi)接于圓O,過O作OE丄BC交圓O于E,交AB于F,交AC 延長(zhǎng)線于 G。過 G作

9、圓 O的切線 GT , T為切點(diǎn)。求證：TF丄GE。10092104.gsp24 .圓O外一點(diǎn)P向圓O作切線PA、PB和一條割線PEF, M是EF上點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM延長(zhǎng)交圓O于C。求證：AC/PEF的充要條件是M為EF中點(diǎn)。10092401-6.gspB25 .過點(diǎn)P任作圓O的兩條割線PAB、PCD,直線AD與BC交于Q,弦DE/PQ, BE 交 PQ延長(zhǎng)線于 M。求證：OM 丄 PQ。 10092103-1.gsp26 .如圖，設(shè)。Oi與。O2交于AB兩點(diǎn)。AC是。O2的切線，交。Oi于C點(diǎn)。 AD是。Oi的切線，交。O2于D點(diǎn)。過A任作直線，交。Oi、O O2及經(jīng)過A、C、D 三點(diǎn)的圓分別于

10、M、N、P。求證：AM=NP。 10091002-6.gsp27 .兩圓圓O1和圓O2相交于M、P,過M作圓O2的切線交圓 O1于A ;又過 M作圓O1的切線交圓O2于B，在直線MP上截取PH=MP。求證：四邊形 MAHB 內(nèi)接于圓。10091002-1.gsp28 .兩個(gè)半徑不等的圓 Oi和圓02相交于M、N兩點(diǎn)，且圓0i和圓02分 別與圓0內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：0M丄MN的充要條件是S、N、T三點(diǎn) 共線。1997 年全國(guó)聯(lián)賽10090301-3.gsp29 .設(shè)以0為圓心的圓經(jīng)過厶ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A和C,且與邊AB、BC分別交 于K和N，又設(shè) ABC和厶KBN的外接圓交于B和另一點(diǎn)M。求

11、證：/ 0MB=90 °。 1985 年 IM0 10090301-1.gsp30 .：在 0AB與厶0CD中，0A=0B , 0C=0D，直線AB與CD交于點(diǎn)P, PAC與厶PBD的外接圓交于P、Q兩點(diǎn)。求證：0Q丄PQ。09022301.gspC31 .半圓圓心為0,直徑為AB , 一直線交半圓于C、D,交AB延長(zhǎng)線于P, 設(shè)M是厶A0C與厶B0D外接圓除 0點(diǎn)外的另一交點(diǎn)。求證： 0M丄MP。10091001.gsp32 凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,兩組對(duì)邊所在直線分別交于點(diǎn) E、F,對(duì)角線AC、BD交于G,作GH丄EF于H，圓0的弦MN經(jīng)過G點(diǎn)。求證：GH 與圓0交點(diǎn)恰是厶H

12、MN的內(nèi)心。10092103-2.gsp0BDMC33 . O 0ABC的外接圓，P為劣弧AB上一點(diǎn)，E、F分別為AC、AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，BE、CF交于D, PE、PF分別交。0于S、R。假設(shè)AD、BC、34 .：D、E、F分別在 ABC三邊上，滿足 ABC外心。求證：A、E、0、F四點(diǎn)共圓。RS共點(diǎn)，求證：點(diǎn) D 在。O 上。10090801.gsp 10092103-8.gspEB= ED, FC= FD, O 是厶09033102.gsp35.如圖，設(shè)N是厶ABC的BAC弧中點(diǎn)，M是BC邊中點(diǎn)，I是厶ABC的內(nèi) 心。求證：/ ANI = 2/IMC。 09021701.gsp36 .設(shè)T

13、 ABC的內(nèi)切圓與BC邊的切點(diǎn)，D為BC上任一點(diǎn)，I1、|2分別為 ABD、 ACD 的內(nèi)心。求證：T 11 丄T |2。 10081701-9.gspADT37 .矩形 ABCD 中，AB = 、. 2 AC。P是以為AB直徑的半圓上任意一點(diǎn),PC、PD 分別交 AB 于 F、E。求證：AE2+ BF2 = AB2。09013001.gsp38 . AB是圓O的直徑，P是過B所作切線上的任一點(diǎn)，過 P作圓O的割線PCE，聯(lián)結(jié)直線 PO 分別交 AC、AD 于 E、F。求證：OE=OF。 10081001-4.gsp39 .自圓O外一點(diǎn)P作切線PA、 交AB、AD于E、F。求證：PB及割線PC

14、D，自C作PA的平行線，分別CE=EF。 10081001-5.gspP40. A為圓O上一點(diǎn)，B為圓外一點(diǎn)，BC、BD分別相切圓0于C、D, DE 垂直 AO 于 E,DE 分別交 AB、AC 于 F、G。求證：DF = FG。09042001.gsp41. P為圓外一點(diǎn)，PA、PD為切線，PCE為割線。過D作PA的平行線，分別與AC延長(zhǎng)線及線段AE交于B、F。求證：D為BF中點(diǎn)。09031302.gspBCF42 P、Q是等腰三角形 ABC AB=AC內(nèi)兩點(diǎn)，滿足/ ABP= / QCB, 且/ACP= / QBC。求證：A、P、Q 三點(diǎn)共線。10090101-1.gsp43 .銳角 AB

15、C中，AD是高，0是外心，AO的延長(zhǎng)線交過 0、B、C三 點(diǎn)的圓于P，自P作PE丄AB于E，PF丄AC于F。求證：DEPF是平行四 邊形。10091701.gsp44 .E、F是圓內(nèi)接四邊形 ABCD對(duì)邊AB、CD的中點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，自E分別作BC、AD的垂線，垂足記為P、Q。求證:MP=MQ。 10091701-1.gspA45 . AD ABC內(nèi)角平分線，11、12ABD、 ACD的內(nèi)心，以|1|2為底向1BC邊作等腰 E I1I2 ,使得/ liEb = - / BAC。求證：DE丄BC 210081701-1.gsp46 .P是凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)，滿足/ PAB=Z CAD，/ PCB

16、=Z ACD。求證：PB=PD 的充要條件是 ABCD 四點(diǎn)共圓。2004 年 imo 10091701-6.gsp 09030801.gspD47.D是厶ABC底邊BC上任一點(diǎn)，P是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足/ 仁/ 2,7 3=/ 4。求證：(PB/PC)=(AB/AC)。 09030801.gsp48 .：D是厶ABC的BC中垂線上一點(diǎn)，H、|2是厶ABD、 ACD的內(nèi)心,E是厶ABC 外接圓弧 BAC 的中點(diǎn)。求證： A、E、Ii、I2四點(diǎn)共圓 08081201.gsp49. 如圖， ABC中，M為BC的中點(diǎn)，以AM為直徑的圓分別與 AB、AC 交于E、F兩點(diǎn)，圓在E、F兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn) D。求證

17、：DM 丄 BC。09013101.gsp09022201.gspo50. ：O O兩切線PA、PB和一割線PCD, AD、AP交C處的切線于 E、F，BE交DF于K。求證：K在圓O上51. 設(shè)O Oi與O O2交于C、D。過D的直線交O Oi與O O2于A、B。點(diǎn)P在弧AD上，PD與AC的延長(zhǎng)線交于 M , Q在弧BD上，QD與BC的延 長(zhǎng)線交于N , 0為厶ABC外心。求證：MN丄0D是P、Q、M、N四點(diǎn)共 圓的充要條件。09020401.gspA52. 設(shè)X是P點(diǎn)的Simson線關(guān)于 ABC的垂極點(diǎn)。求證：XP被Simson線 所平分。09031903.gsp53. ：AD是高，O、H是

18、外心和垂心，過D作OD垂線，交AC于E 求證：/ DHE= / Co09022202.gspD54. A ABC中，AD為邊BC上的中線，E、F、G分別為AB、AC、AD上的點(diǎn)，且A、E、G、F四點(diǎn)共圓。設(shè) BDE外心為Oi、半徑為門； CDF外心為 02、半徑為 r2。求證：GO12+ GO22= ri2+ r22。 09031401.gsp55. P是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，Ai、Bi、Ci分別是圓弧BPC、CPA、APB的中點(diǎn) 求證：P、Ai、Bi、Ci 四點(diǎn)共圓。0904240i.gsp56 .給定 ABC，D、E、F是邊BC、CA、AB上的任意三點(diǎn)，M、N分別是 BDF、 CDE 的外心。P

19、、Q 分別是 BC、MN 上的點(diǎn)，滿足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP 與O AEF 相交于 R 點(diǎn)。求證：1QR=QD;2Z RQD=2 / APC。 09042601.gsp57。Oi與。02交于C、D兩點(diǎn)，A、B分別是兩圓上的點(diǎn)，滿足 PA=PB,E、F 是弧 AQ、BQ 中點(diǎn)。求證：C、D、E、F 四點(diǎn)共圓。09022001.gsp58 . ABC中，D、E、F是邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，X、Y、Z是各邊上高的 垂足，EZ與FY交于L，F(xiàn)X與DZ交于M， DY與EX交于N。求證：L、 M、N 三點(diǎn)共線。10092101.gsp59 .設(shè) ABC的內(nèi)切圓分別與三邊切于 D、E、F,聯(lián)

20、結(jié)AD交內(nèi)切圓于另一點(diǎn)P，聯(lián) PB、PE、PF。求證：PF/BC 的充要條件是/ BPD= / EPD 10091002-7.gsp60. ABC和任意直線d,自A、B、C作d的垂線，垂足分別為 A'、B'、C'再自A、B'、C'分別作對(duì)邊BC、CA、AB的垂線，設(shè)這三條垂 線共點(diǎn)于H。在d上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，自M作d的垂線，分別交AB、 AC所在直線于K、L。在線段BK、CL及HA'延長(zhǎng)線上分別取分點(diǎn)P、Q、61 ABCD是等腰梯形，P是其底邊BC上任意一點(diǎn)，E、F兩點(diǎn)分別位 于AB、AC上，滿足EB= EP，F(xiàn)P= FC。聯(lián)接EF,并作P點(diǎn)關(guān)于EF的軸 對(duì)稱點(diǎn) Q。求證：DQ 丄 PQ。 09041401.gsp62.設(shè)D、E分別為 ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，P是厶ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PE =PC， DEPPCA。求證：BP 是厶PAD的外接圓的切線。09040601.gspJ63.在凸四邊形ABCD中，/ DCA與/ CDB的外