導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活 中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活 中的應(yīng)用中的應(yīng)用新課引入新課引入: : 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用用, ,利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法, ,可以求出可以求出實(shí)際生活中的某些最值問(wèn)題實(shí)際生活中的某些最值問(wèn)題. .1.1.幾何方面的應(yīng)用幾何方面的應(yīng)用. .2.2.物理方面的應(yīng)用物理方面的應(yīng)用. .3.3.經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用. .( (面積和體積等的最值面積和體積等的最值) )( (利潤(rùn)方面最值利潤(rùn)方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )例例1 1 在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60cm60cm的正方形鐵片的四角切去相的正方形鐵片的四角切去相等

2、的正方形，再把它的邊沿虛線(xiàn)折起等的正方形，再把它的邊沿虛線(xiàn)折起( (如圖如圖) )，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？xx6060 xx解解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x cm， 箱子容積為箱子容積為V=x2 h則箱高則箱高260 xh 26032xx V =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0 (舍去舍去)得得V (40)=16000答：當(dāng)答：當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為箱底邊長(zhǎng)為x=40時(shí)時(shí),箱子容積最大，箱子容積最大，最大值為最大值為16000cm3)600( x當(dāng)當(dāng)x(

3、0(0，40)40)時(shí)時(shí)V (x)0；當(dāng)當(dāng)x(40(40，60)60)時(shí)時(shí)V (x)0；V (40)(40)為極大值，且為最大值為極大值，且為最大值例例2 2 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？省？hR解解:設(shè)桶底面半徑為設(shè)桶底面半徑為R,2 RVh 則桶高為,2222)(222RVRRVRRRS桶的用料為,24)(2RVRRS, 024)(2RVRRS令2VR 解得2232VVhRV此時(shí)，224VV.2Rh 即因?yàn)橐驗(yàn)镾(R)只有一個(gè)極值只有一個(gè)極值,所以它是最小值所以它

4、是最小值答：當(dāng)罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省答：當(dāng)罐高與底的直徑相等時(shí)，所用材料最省333變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值 S 時(shí)時(shí), ,它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取， 才能使所用材料最?。坎拍苁顾貌牧献钍。刻崾荆篠2Rh2R2 h222SRRV(R) R2(S2R2)R SRR3222SRR1212V (R)0 S6R2 6R2 2Rh2R2 h2R例例3 3 在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r，電，電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)勢(shì)為，外電阻，外電阻R為多大時(shí)，才能使電功率最大？最為多大時(shí)，才能使

5、電功率最大？最大電功率是多少？大電功率是多少？R解：電功率PI2R，其中I為電流強(qiáng)度，則 PE/ /(Rr)2R由由P 0，解得：，解得：Rr列表分析列表分析，當(dāng)當(dāng)Rr時(shí)，時(shí)，P取得極大值，且是最大值，最大值為取得極大值，且是最大值，最大值為P 答：當(dāng)外電阻答：當(dāng)外電阻R等于內(nèi)電阻等于內(nèi)電阻r時(shí)，電功率最大，最大時(shí)，電功率最大，最大電功率是電功率是 2222243()()() ()()()E RRrE R RrE rRPRrRrERr22()E RRr24Er24Er例4 強(qiáng)度分別為a，b的兩個(gè)點(diǎn)光源A，B，它們間的距離為d，試問(wèn)在連接這兩個(gè)光源的線(xiàn)段AB上，何處照度最?。吭嚲蚢8，b1，d3

6、時(shí)回答上述問(wèn)題（照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比）ABPX3X228kakxx，即；解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn)P在線(xiàn)段在線(xiàn)段AB上，且上，且P距光源距光源A為為x， 則則P距光源距光源B為為3x(0 x3).P點(diǎn)受點(diǎn)受A光源的照度為光源的照度為2233kbkxx，即，（其中，（其中，k為比例常數(shù)）為比例常數(shù)） 22803 .3kkI xxxxP點(diǎn)受點(diǎn)受B光源的照度為光源的照度為從而，從而，P點(diǎn)的總照度為：點(diǎn)的總照度為： 03126218321633233xxxxxkxkxkxI由因此，因此，x=2時(shí)，時(shí)，I取得極小值，且是最小值取得極小值，且是最小值答：在連結(jié)兩光源的線(xiàn)段答：在連

7、結(jié)兩光源的線(xiàn)段AB上，距光源上，距光源A為為2處的照度最小處的照度最小解得解得x2，故當(dāng)，故當(dāng)0 x2時(shí)，時(shí)，I (x)0；當(dāng)；當(dāng)2x3時(shí)，時(shí)， I (x)0例例5 5 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本單位產(chǎn)品的成本稱(chēng)為成本函數(shù)，記為函數(shù)，記為C(x)；出售；出售x單位產(chǎn)品的收益稱(chēng)為收益函數(shù)，單位產(chǎn)品的收益稱(chēng)為收益函數(shù)，記為記為R(x)； R(x)C(x)稱(chēng)為利潤(rùn)函數(shù)，記為稱(chēng)為利潤(rùn)函數(shù)，記為P(x).（1 1）設(shè)）設(shè)C(x)106x30.003x25x1000，生產(chǎn)多，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本C (x)最低最低? ?（2 2）設(shè)）設(shè)C(x)50

8、 x10000，產(chǎn)品的單價(jià)，產(chǎn)品的單價(jià)p1000.01x，怎樣定價(jià)可使利潤(rùn)最大？怎樣定價(jià)可使利潤(rùn)最大？解解：（：（1）c (x)3106x20.006x5g(x)， g (x) 6106x0.0060， 解得：解得：x1000，而，而g(x)在在x0上僅有一個(gè)極小上僅有一個(gè)極小值，故值，故x1000時(shí)邊際成本最低時(shí)邊際成本最低（2）P(x) R(x) C(x) x(1000.01x)(50 x10000) 0.01x250 x 10000 ， x2500，而，而P(x)最大，此時(shí)最大，此時(shí)P1002575答：生產(chǎn)答：生產(chǎn)1000個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本最低；當(dāng)生產(chǎn)個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本最低；當(dāng)生

9、產(chǎn)的單價(jià)為的單價(jià)為75時(shí)，利潤(rùn)最大時(shí)，利潤(rùn)最大(0100)q變式變式 已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式為式為C1001004 4q，價(jià)格，價(jià)格p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為：的函數(shù)關(guān)系式為： ，求產(chǎn)量，求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？最大？1258pq分析：利潤(rùn)分析：利潤(rùn)L等于收入等于收入R減去成本減去成本C，而收入，而收入R等于產(chǎn)等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)211252588Rqpqqqq解：收入解：收入答：產(chǎn)量為答：產(chǎn)量為8484時(shí)，利

10、潤(rùn)時(shí)，利潤(rùn)L最大最大1214Lq 令令 ，即，即 ，求得惟一的極值點(diǎn)，求得惟一的極值點(diǎn)0L12104q84q 221125(1004 )2110088LRCqqqqq 利潤(rùn)利潤(rùn)四、課堂練習(xí)四、課堂練習(xí)1將正數(shù)將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成_和和_2在半徑為在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽榈膱A內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開(kāi)時(shí)，它的面積最大時(shí)，它的面積最大3有一邊長(zhǎng)分別為有一邊長(zhǎng)分別為8與與5的長(zhǎng)方形，在各角剪去相同的小正方形，的長(zhǎng)方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個(gè)無(wú)蓋小盒，要使紙盒的容積最大，

11、問(wèn)剪去把四邊折起作成一個(gè)無(wú)蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問(wèn)剪去的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？4一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面希望在斷面ABCD的面積為定值的面積為定值S時(shí)，使得濕周時(shí)，使得濕周lAB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)和下底邊長(zhǎng)b. 五、回顧反思五、回顧反思（1）解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，需要分析）解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并

12、問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義（2）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較不必再與端點(diǎn)值比較（3）相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡(jiǎn)）相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡(jiǎn)單單 六、課外作業(yè)六、課外作業(yè)1課本第課本第96頁(yè)第頁(yè)第1，2，3，4題題2補(bǔ)充練習(xí)：補(bǔ)充練習(xí)：為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用2020年的隔熱層，每厘米厚的隔年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為熱層建造成本為6 6萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用萬(wàn)元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C C（單位：萬(wàn)元）（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度（單位：與隔熱層厚度（單位：