第七章線性變換

1、第七章 線性變換7.1 7.1 線性映射線性映射7.27.2線性變換的運(yùn)算線性變換的運(yùn)算7.3 7.3 線性變換和矩陣線性變換和矩陣7.4 7.4 不變子空間不變子空間7.5 7.5 特征值和特征向量特征值和特征向量7.6 7.6 可以對(duì)角化矩陣可以對(duì)角化矩陣7.1 7.1 線性映射線性映射一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.1.1 線性映射的定義、例線性映射的定義、例. 7.1.2 線性變換的象與核線性變換的象與核.二、二、 教學(xué)目的教學(xué)目的: 1準(zhǔn)確線性變換（線性映射）的定義，判斷給定準(zhǔn)確線性變換（線性映射）的定義，判斷給定的法則是否是一個(gè)線性變換（線性映射）的法則是否是一個(gè)線性變換（線性映射）

2、 2正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的正確理解線性變換的象與核的概念及相互間的聯(lián)系，并能求給定線性變換的象與核聯(lián)系，并能求給定線性變換的象與核三、三、 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn): 判斷給定的法則是否是一個(gè)線性變判斷給定的法則是否是一個(gè)線性變換（線性映射），求給定線性變換的象與核換（線性映射），求給定線性變換的象與核 7.1.1 7.1.1 線性映射的定義、例線性映射的定義、例 設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，V和W是F上向量空間. 定義定義1 設(shè)設(shè)是是V 到到W 的一個(gè)映射的一個(gè)映射. 如果下列條如果下列條件被滿足，就稱件被滿足，就稱是是V 到到W 的一個(gè)線性映射：的一個(gè)線性映射：對(duì)于任意對(duì)于任意 對(duì)于任意對(duì)于

3、任意容易證明上面的兩個(gè)條件等價(jià)于下面一個(gè)條件：容易證明上面的兩個(gè)條件等價(jià)于下面一個(gè)條件：對(duì)于任意對(duì)于任意 和任意和任意,V).()()()()(,aaVFaFba,V)()()(baba在在中取中取 ，對(duì)，對(duì)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，可以得到：進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納，可以得到：（1）（2）0a0)0()()()(1111nnnnaaaa例例1 對(duì)于對(duì)于 的每一向量的每一向量 定義定義 是是 到到 的一個(gè)映射，我們證明，的一個(gè)映射，我們證明，是一個(gè)線是一個(gè)線性映射性映射. 2R21,xx 321211,Rxxxxx3R2R例例2 令令H是是 中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面中經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一個(gè)平面.對(duì)于對(duì)于 的每的每一向量一向量，令

4、，令 表示向量表示向量在平面在平面H上的正射影上的正射影.根據(jù)射影的性質(zhì)，根據(jù)射影的性質(zhì)， 是是 到到 的一個(gè)線的一個(gè)線性映射性映射. 3V3V :3V3V例例3 令令A(yù)是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)m n矩陣，對(duì)于矩陣，對(duì)于n元列空元列空間的間的 每一向量每一向量 mFnxxx21規(guī)定： 是一個(gè)是一個(gè)m1矩陣，即是空間矩陣，即是空間 的一個(gè)向量，的一個(gè)向量，是是 到到 的一個(gè)線性映射的一個(gè)線性映射. mFmFnF例例4 令令V 和和W是數(shù)域是數(shù)域F 上向量空間上向量空間.對(duì)于對(duì)于V 的每一向的每一向量量令令W 的零向量的零向量0與它對(duì)應(yīng)，容易看出這是與它對(duì)應(yīng)，容易看出這是V 到到W的一個(gè)線性映射

5、，叫做零映射的一個(gè)線性映射，叫做零映射. 例例5 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，取定上一個(gè)向量空間，取定F的一個(gè)數(shù)的一個(gè)數(shù)k，對(duì)于任意，對(duì)于任意 定義定義容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，是是V 到自身的一個(gè)線性映射，這樣一到自身的一個(gè)線性映射，這樣一個(gè)線性映射叫做個(gè)線性映射叫做V 的一個(gè)位似的一個(gè)位似. 特別，取特別，取k = 1，那么對(duì)于每一，那么對(duì)于每一 都有都有 這時(shí)這時(shí)就是就是V到到V的恒等映射，或者叫做的恒等映射，或者叫做V的單位映的單位映射，如果取射，如果取k = 0，那么，那么就是就是V 到到V的零映射的零映射. ,V k,V ,例例6 取定取定F的一個(gè)的一個(gè)n元數(shù)列元數(shù)列 對(duì)于對(duì)于

6、的每一向量的每一向量 規(guī)定規(guī)定 容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，是是 到到F的一個(gè)線性映射，這個(gè)線性的一個(gè)線性映射，這個(gè)線性映射也叫做映射也叫做F上一個(gè)上一個(gè)n元線性函數(shù)或元線性函數(shù)或 上一個(gè)線性上一個(gè)線性型型. .21naaanF.21nxxx Fxaxaxann2211nFnF例例7 對(duì)于對(duì)于Fx 的每一多項(xiàng)式的每一多項(xiàng)式 f（x），令它的導(dǎo)數(shù)），令它的導(dǎo)數(shù) 與它對(duì)應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義與它對(duì)應(yīng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)，這樣定義的映射是的映射是Fx到自身的一個(gè)線性映射到自身的一個(gè)線性映射. xf 例例8 令令Ca, b是定義在是定義在a, b上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所上一切連續(xù)實(shí)函數(shù)所成的成的R上向量空

7、間，對(duì)于每一上向量空間，對(duì)于每一 規(guī)定規(guī)定 仍是仍是a, b上一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，根據(jù)積分上一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，的基本性質(zhì)，是是Ca, b到自身的一個(gè)線性映射到自身的一個(gè)線性映射. ,baCxf dttfxfxa xf定義定義2 設(shè)設(shè)是向量空間是向量空間V到到W的一個(gè)線性映射的一個(gè)線性映射, (1) 如果如果 那么那么 叫做叫做 在在之下的象之下的象.(2) 設(shè)設(shè) 那么那么 叫做叫做 在在 之下的原象之下的原象.,VV | )()(VVV,WW W)( |VW定理定理7.1.1 設(shè)設(shè)V 和和W 是數(shù)域是數(shù)域F 上向量空間，而上向量空間，而 是一個(gè)線性映射，那么是一個(gè)線性映射，那么V

8、 的任意子空間的任意子空間在在之下的象是之下的象是W 的一個(gè)子空間，而的一個(gè)子空間，而W 的任意子空的任意子空間在間在之下的原象是之下的原象是V 的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間. WV :特別，向量空間特別，向量空間V 在在之下的象是之下的象是W 的一個(gè)的一個(gè)子空間，叫做子空間，叫做的象的象, 記為記為 即即另外，另外，W 的零子空間的零子空間 0 在在之下的原象是之下的原象是V 的一個(gè)子空間，叫做的一個(gè)子空間，叫做的核，的核，記為記為即即),Im().()Im(V),(Ker.0)(|)(VKer定理定理7.1.2 設(shè)設(shè)V和和W是數(shù)域是數(shù)域F向量空間，而是一個(gè)線向量空間，而是一個(gè)線性映射，那么性映

9、射，那么(i) 是滿射是滿射(ii) 是單射是單射證明證明 論斷論斷(i)是顯然的是顯然的,我們只證論斷我們只證論斷(ii)如果如果是單射是單射,那么那么ker()只能是含有唯一的零向量只能是含有唯一的零向量.反過(guò)來(lái)設(shè)反過(guò)來(lái)設(shè)ker() = 0. 如果如果 那么那么 從而從而 所以所以 即即是單射是單射.WV :W)Im(0)(Ker).()(, 而V, 0)()()(.0)ker(,如果線性映射如果線性映射 有逆映射有逆映射 ，那么是，那么是W 到到V 的一個(gè)線性映射的一個(gè)線性映射.WV :17.2 線性變換的運(yùn)算 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布7.2.1 加法和數(shù)乘加法和數(shù)乘7.2.2線性變換的

10、積線性變換的積7.2. 3線性變換的多項(xiàng)式線性變換的多項(xiàng)式二、二、 教學(xué)目的教學(xué)目的:掌握線性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算掌握線性映射的加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算.掌握線性變換的多項(xiàng)式掌握線性變換的多項(xiàng)式, 能夠求出給定線性變換的能夠求出給定線性變換的多項(xiàng)式多項(xiàng)式.三、三、 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn): 會(huì)做運(yùn)算會(huì)做運(yùn)算. 7.2.1 加法和數(shù)乘 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，上一個(gè)向量空間，V到自身的一個(gè)到自身的一個(gè)線性映射叫做線性映射叫做V 的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換.我們用我們用L（V）表示向量空間和一切線性變換所成）表示向量空間和一切線性變換所成的集合，設(shè)的集合，設(shè)定義定義: 加

11、法加法: 數(shù)乘數(shù)乘: , 那么是那么是V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換.可以證明可以證明: 和和 都是都是V 的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換. ,),(,FkvL)()(:)(:kkk令令 ，那么對(duì)于任意，那么對(duì)于任意 和任意和任意 Fba,V 證明證明 ).()()()()()()()()()()()()(bababababababa所以所以 是是V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換 k令令 ，那么對(duì)于任意，那么對(duì)于任意 和任意和任意 Fba,V. )()()()() )()()()(babkakbakbakba所以所以k是是V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換. 線性變換的加法滿足變換律和結(jié)合律線性變換的

12、加法滿足變換律和結(jié)合律,容易證明容易證明,對(duì)對(duì)于任意于任意 ,以下等式成立以下等式成立: )(,vL(1)(1);(2)(2).()(令令表示表示V到自身的零映射到自身的零映射,稱為稱為V的零變換的零變換,它顯然它顯然具有以下性質(zhì)：對(duì)任意具有以下性質(zhì)：對(duì)任意 有：有： )(vL(3)(3)設(shè)設(shè) 的負(fù)變換的負(fù)變換指的是指的是V到到V的映射的映射容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證，也是也是V的線性變換，并且的線性變換，并且 ),(vL).(:（4 4）)(線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：,)()5(kkk,)()6(lklk),()()7(lkkl,1)8(這里這里k k, ,l l是是F

13、 F中任意數(shù)，中任意數(shù)，,是是V V的任意線性變換的任意線性變換. .定理定理7.2.1 L（V）對(duì)于加法和數(shù)乘來(lái)說(shuō)作成數(shù)域）對(duì)于加法和數(shù)乘來(lái)說(shuō)作成數(shù)域F上一個(gè)向量空間上一個(gè)向量空間. 設(shè)設(shè) 容易證明合成映射容易證明合成映射 也是也是V上的線上的線性變換，即性變換，即 我們也把合成映射我們也把合成映射 叫叫做做與與的積，并且簡(jiǎn)記作的積，并且簡(jiǎn)記作 。除上面的性質(zhì)外，。除上面的性質(zhì)外，還有：還有： ),(,VL).(VL,)()9(,)()10(),()()()11(kkk對(duì)于任意對(duì)于任意 成立。成立。)(,vLFk證明證明 我們驗(yàn)證一下等式（我們驗(yàn)證一下等式（9）其余等式可以類似地）其余等式可

14、以類似地驗(yàn)證。設(shè)驗(yàn)證。設(shè) 我們有我們有.V),)()()()()()()()()(因而（因而（9 9）成立。）成立。 線性變換的乘法滿足結(jié)合律：線性變換的乘法滿足結(jié)合律：對(duì)于任意對(duì)于任意 都有都有 ),(,vL).()(因此因此,我們可以合理地定義一個(gè)線性變換我們可以合理地定義一個(gè)線性變換的的n次冪次冪 nn這里這里n n是正整數(shù)。是正整數(shù)。我們?cè)俣x我們?cè)俣x 0這里這里表示表示V到到V的單位映射，稱為的單位映射，稱為V的單位變換。這的單位變換。這樣一來(lái)，一個(gè)線性變換的任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。樣一來(lái)，一個(gè)線性變換的任意非負(fù)整數(shù)冪有意義。 進(jìn)一步，設(shè)進(jìn)一步，設(shè) .)(10nnxaxaaxf是是F

15、上一個(gè)多項(xiàng)式，而上一個(gè)多項(xiàng)式，而 以以代替代替x，以，以 代替代替 ，得到，得到V的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換 ),(VL0a0a.10nnaaa 這個(gè)線性變換叫做當(dāng)這個(gè)線性變換叫做當(dāng) 時(shí)時(shí)f (x)的值，并且的值，并且記作記作 x).(f（1）因?yàn)閷?duì)于任意因?yàn)閷?duì)于任意 我們也可將我們也可將 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 ，這時(shí)可以寫，這時(shí)可以寫,)(,00aaV0a0a.)(10nnaaaf（2）帶入法：如果帶入法：如果 并且并且 ,)(),(xFxgxf).()()()()()(xgxfxxgxfx那么根據(jù)那么根據(jù)L L( (V V ) )中運(yùn)算所滿足的性質(zhì)中運(yùn)算所滿足的性質(zhì), ,我們有我們有 ).()(

16、)()()()(gfgf 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.3.1 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 7.3.2 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 7.3.3 矩陣唯一確定線性變換矩陣唯一確定線性變換 7.3.4 線性變換在不同基下的矩陣線性變換在不同基下的矩陣相似矩陣相似矩陣二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的: 1熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定熟練地求出線性變換關(guān)于給定基的矩陣，以及給定n 階矩陣和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為的線性變換階矩陣和基，求出關(guān)于這個(gè)基矩陣為的線性變換 2由向量由向量關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出關(guān)于給定基的坐標(biāo)，求出()關(guān)于這個(gè)基的坐關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)標(biāo) 3已知線性變換關(guān)于某個(gè)基的矩陣，熟練地求出

17、已知線性變換關(guān)于某個(gè)基的矩陣，熟練地求出關(guān)于另關(guān)于另一個(gè)基的矩陣。一個(gè)基的矩陣。三、重點(diǎn)難點(diǎn)三、重點(diǎn)難點(diǎn): 線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換線性變換和矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換, 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換, 相似矩陣。相似矩陣。 現(xiàn)在設(shè)現(xiàn)在設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n維向量空間，令維向量空間，令是是V的一的一個(gè)線性變換，取定個(gè)線性變換，取定V的一個(gè)基的一個(gè)基 令令 ,21nnnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(設(shè)設(shè) nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211N 階矩陣階矩陣A 叫做線性變換叫做線性變換關(guān)于基關(guān)于基 的的矩陣矩陣. 上面的表達(dá)常常

18、寫出更方便的形式上面的表達(dá)常常寫出更方便的形式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(212121設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n 維向量空間維向量空間, 是它的一個(gè)基是它的一個(gè)基, 關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 而而()的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 問(wèn)問(wèn): 和和 之間有什么關(guān)系之間有什么關(guān)系? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx設(shè)設(shè).),(21212211nnnnxxxxxx因?yàn)橐驗(yàn)槭蔷€性變換，所以是線性變換，所以 （2 2）.)(,),(),()()()()(21212211nnnnxxxxxx將（將（1）代入（）代入（

19、2）得）得 .),()(2121nnxxxA最后，等式表明，最后，等式表明， 的坐標(biāo)所組成的坐標(biāo)所組成的列是的列是 ),()(21n關(guān)于.21nxxxA綜合上面所述綜合上面所述, 我們得到坐標(biāo)變換公式：我們得到坐標(biāo)變換公式：定理定理.1 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n 維向量空間，維向量空間，是是V的一個(gè)線性變換，而的一個(gè)線性變換，而關(guān)于關(guān)于V的一個(gè)基的一個(gè)基 的矩陣是的矩陣是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211如果如果V中向量中向量關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是關(guān)于這個(gè)基的坐標(biāo)是 ，而而()的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 ， ),(21nxxx),(21nyyy那么那

20、么nnxxxAyyy2121例例1 在空間在空間 內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個(gè)彼此正交的內(nèi)取從原點(diǎn)引出的兩個(gè)彼此正交的單位向量單位向量 作為作為 的基的基.令令是將是將 的每一向的每一向量旋轉(zhuǎn)角量旋轉(zhuǎn)角的一個(gè)旋轉(zhuǎn)的一個(gè)旋轉(zhuǎn). 是是 的一個(gè)線性變換的一個(gè)線性變換.我們我們有有 2V21,2V2V2V .cossin,sincos212211所以所以關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣是的矩陣是21,cossinsincos設(shè)設(shè) ，它關(guān)于基，它關(guān)于基 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 ,而而 的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxyy 引理引理7.3.2 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F

21、上一個(gè)上一個(gè)n 維向量空間，維向量空間， 是是V的一個(gè)基，那么對(duì)于的一個(gè)基，那么對(duì)于V 中任意中任意n個(gè)向量個(gè)向量 ，有且僅有，有且僅有 V 的一個(gè)線性變的一個(gè)線性變換換，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(證證 設(shè)設(shè) nnxxx2211是是V中任意向量中任意向量.我們?nèi)缦碌囟x我們?nèi)缦碌囟xV到自身的一個(gè)映到自身的一個(gè)映射射：nnxxx2211)(我們證明，我們證明，是是V的一個(gè)線性變換。設(shè)的一個(gè)線性變換。設(shè)Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyy

22、xxxyxyxyx設(shè)設(shè) 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn這就證明了這就證明了是是V的一個(gè)線性變換。線性變換的一個(gè)線性變換。線性變換顯然顯然滿足定理所要求的條件：滿足定理所要求的條件：niii, 2 , 1)(如果如果是是V的一個(gè)線性變換，且的一個(gè)線性變換，且 niii, 2 , 1)(那么對(duì)于任意那么對(duì)于任意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx從而從而 .定理定理.3 設(shè)設(shè)V V 是數(shù)域是數(shù)域 F F 上一個(gè)上一個(gè)n n 維向量空間，維向量

23、空間， 是是V V 的一個(gè)基，對(duì)于的一個(gè)基，對(duì)于V V 的每一個(gè)線的每一個(gè)線性變換性變換，令，令關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣的矩陣A A與與它對(duì)應(yīng)，這樣就得到它對(duì)應(yīng)，這樣就得到V V 的全體線性變換所成的集合的全體線性變換所成的集合L L（V V）到）到F F上全體上全體n n 階矩陣所成的集合階矩陣所成的集合 的一的一個(gè)雙射，并且如果個(gè)雙射，并且如果 , ,而而 ， 則則 (3)(3) (4) (4) ,21n,21n)(FMn)(,vLAB,FaaAaBAAB證證 設(shè)線性變換設(shè)線性變換關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣是的矩陣是A。那么那么 是是 的一個(gè)映射。的一個(gè)映射。,21nA)()(FMVLn到nnnnn

24、naaaaaaaaaA212222111211是是F上任意一個(gè)上任意一個(gè)n階矩陣。令階矩陣。令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj反過(guò)來(lái)，設(shè)反過(guò)來(lái)，設(shè)顯然顯然關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣就是的矩陣就是A. 這就證這就證明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的雙射的雙射. ,21n)()(FMVLn到設(shè)設(shè) 我們有我們有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BAnnnn由于由于是線性變換是線性變換, 所以所以 niiijniiijnibb1

25、1., 2 , 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣就是的矩陣就是AB。（。（7）式成立，至于（式成立，至于（6）式成立，是顯然的。）式成立，是顯然的。,21n推論推論.4 設(shè)數(shù)域設(shè)數(shù)域F上上n 維向量空間維向量空間V 的一個(gè)線性的一個(gè)線性變換變換關(guān)于關(guān)于V 的一個(gè)取定的基的矩陣是的一個(gè)取定的基的矩陣是A，那么，那么可可逆必要且只要逆必要且只要A可逆，并且可逆，并且 關(guān)于這個(gè)基的矩陣就關(guān)于這個(gè)基的矩陣就是是 . 11A證證 設(shè)設(shè)可逆。令可逆。令 關(guān)于所取定的基的矩陣是關(guān)于所取定的基的矩陣是B。由（由

26、（7），）， 1.1AB然而單位變換關(guān)于任意基的矩陣都是單位矩陣然而單位變換關(guān)于任意基的矩陣都是單位矩陣 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反過(guò)來(lái)，設(shè)反過(guò)來(lái)，設(shè) 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 ,A.)(1AvL使.1IAA我們需要對(duì)上面的定理我們需要對(duì)上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深刻意義的深刻意義加以說(shuō)明加以說(shuō)明: 1. 取定取定n 維向量空間維向量空間V的一個(gè)基之后的一個(gè)基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作為線性

27、空間作為線性空間)AnnFVL)(研究一個(gè)抽象的線性變換研究一個(gè)抽象的線性變換, 就可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)就可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)具體的矩陣具體的矩陣. 也就是說(shuō)也就是說(shuō), 線性變換就是矩陣線性變換就是矩陣.以后以后,可可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線性變換以通過(guò)矩陣來(lái)研究線性變換,也可以通過(guò)線性變換也可以通過(guò)線性變換來(lái)研究矩陣來(lái)研究矩陣. 2. 我們知道我們知道, 數(shù)域數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n 維向量空間維向量空間V 同構(gòu)同構(gòu)于于 , V上的線性變換上的線性變換 nF)(:轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 上一個(gè)具體的變換上一個(gè)具體的變換: nFnnxxxAxxx2121也就是說(shuō)也就是說(shuō), 線性變換都具有上述形式線性變換都具有上述形式

28、. 定義：定義：設(shè)設(shè) A，B 是數(shù)域是數(shù)域 F 上兩個(gè)上兩個(gè) n 階矩陣階矩陣. 如果存如果存在在F上一個(gè)上一個(gè) n 階可逆矩陣階可逆矩陣 T 使等式使等式成立，那么就說(shuō)成立，那么就說(shuō)B與與A相似，記作：相似，記作： . ATTB1BA n階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：階矩陣的相似關(guān)系具有下列性質(zhì)：1. 自反性：每一個(gè)自反性：每一個(gè)n階矩陣階矩陣A都與它自己相似，都與它自己相似，因?yàn)橐驗(yàn)?. 對(duì)稱性：如果對(duì)稱性：如果 ，那么，那么 ；因?yàn)橛梢驗(yàn)橛?1AIIABA AB .)(11111BTTTBTAATTB得BA CB CA 3. 3. 傳遞性：如果傳遞性：如果且且那么那么事實(shí)上，由事實(shí)上，由

29、 得得BUUCATTB11和).()()()(111TUATUTUATUCTnn,2121設(shè)線性變換設(shè)線性變換關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣是的矩陣是 A , 關(guān)于基關(guān)于基 的矩陣是的矩陣是 B , 由基由基 到基到基 的過(guò)渡矩陣的過(guò)渡矩陣T, 即即:,21n,21n,21n,21n定理定理7.3.4 在上述假設(shè)下在上述假設(shè)下, 有有: ATTB1即即: 線性變換在不同基下的矩陣是相似的線性變換在不同基下的矩陣是相似的. 反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái), 一對(duì)相似矩陣可以是同一個(gè)線性變換在不同基下的一對(duì)相似矩陣可以是同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣矩陣. 證明留做練習(xí)證明留做練習(xí)一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.4.1 定義與

30、基本例子定義與基本例子 7.4.2 不變子空間和線性變換的矩陣化簡(jiǎn)不變子空間和線性變換的矩陣化簡(jiǎn) 7.4.3 進(jìn)一步的例子進(jìn)一步的例子二、教學(xué)目的二、教學(xué)目的 1掌握不變子空間的定義及驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線掌握不變子空間的定義及驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線性變換的不變子空間方法性變換的不變子空間方法 2會(huì)求給定線性變換的一些不變子空間會(huì)求給定線性變換的一些不變子空間三、重點(diǎn)難點(diǎn)三、重點(diǎn)難點(diǎn) 驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線性變換的不變子空間、會(huì)求給驗(yàn)證一個(gè)子空間是否某線性變換的不變子空間、會(huì)求給定線性變換的一些不變子空間。定線性變換的一些不變子空間。 令令V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)向量空間上一個(gè)向量空間,是是V的

31、一個(gè)線性變的一個(gè)線性變換換.定義定義 V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間W說(shuō)是在線性變換說(shuō)是在線性變換之下不變之下不變, 如果如果 . 如果子空間如果子空間W在在之下不變，那么之下不變，那么W就叫做就叫做的一個(gè)不變子空間的一個(gè)不變子空間. WW )(注意注意:子空間子空間W在線性變換在線性變換之下不變之下不變,指指 , 即即: 并不能說(shuō)并不能說(shuō): WW )(WW,)(W,)(例例1 V本身和零空間本身和零空間0顯然在任意線性變換之下顯然在任意線性變換之下不變不變.例例2 令令是是V的一個(gè)線性變換，那么的一個(gè)線性變換，那么的核的核Ker()的像的像Im()之下不變之下不變.例例3 V的任意子空間在任意位

32、似變換之下不變的任意子空間在任意位似變換之下不變. 例例4 令令是是 中以某一過(guò)原點(diǎn)的直線中以某一過(guò)原點(diǎn)的直線L為軸，旋轉(zhuǎn)為軸，旋轉(zhuǎn)一個(gè)角一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)，那么旋轉(zhuǎn)軸L是是的一個(gè)一維不變的一個(gè)一維不變子空間，而過(guò)原點(diǎn)與子空間，而過(guò)原點(diǎn)與L垂直的平面垂直的平面H是是的一個(gè)二維的一個(gè)二維不變子空間不變子空間. 3V例例5 令令F x是數(shù)域是數(shù)域F上一切一元多項(xiàng)式所成的向量上一切一元多項(xiàng)式所成的向量空間，空間， 是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)對(duì)于每一自然數(shù)是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)對(duì)于每一自然數(shù)n，令，令 表示一切次數(shù)不超過(guò)表示一切次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式連同零的多項(xiàng)式連同零多項(xiàng)式所成的子空間多項(xiàng)式所成的子空間. 那么那么

33、在在不變不變. )()(:xfxfxFxxFx 設(shè)設(shè)W是線性變換是線性變換的一個(gè)不變子空間的一個(gè)不變子空間.只考慮只考慮在在W上的作用，就得到子空間上的作用，就得到子空間E本身的一個(gè)線性變本身的一個(gè)線性變換，稱為換，稱為在在W上的限制，并且記作上的限制，并且記作 這樣，這樣，對(duì)于任意對(duì)于任意 然而如果然而如果 那么那么 沒(méi)有意義。沒(méi)有意義。.| w,W)()(|w,W)(|w 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n維向量空間，維向量空間，是是V的一個(gè)的一個(gè)線性變換。假設(shè)線性變換。假設(shè)有一個(gè)非平凡不變子空間有一個(gè)非平凡不變子空間W，那，那么取么取W的一個(gè)基的一個(gè)基 再補(bǔ)充成再補(bǔ)充成V的一個(gè)基的一個(gè)基

34、 由于由于W在在之下不變，所以之下不變，所以 仍在仍在W內(nèi)，因而可以由內(nèi)，因而可以由W的基的基 線性表示。我們有：線性表示。我們有： ,21r.,121nrra)(,),(),(21rr,21.)(,)(,)(,)(1, 1111,11, 11,11, 11221112211111nnnrnrrrnnnnrnrrrrrrrrrrrrrrrraaaaaaaaaaaaaa因此，因此，關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀關(guān)于這個(gè)基的矩陣有形狀 ,231AoAAA而而A中左下方的中左下方的O表示一個(gè)表示一個(gè) 零矩陣零矩陣.rrn )(r,21這里這里 rrrraaaaA11111是是 關(guān)于關(guān)于W的基的基 w|的矩陣

35、，的矩陣，由此可見，如果線性變換由此可見，如果線性變換有一個(gè)非平凡不變子空有一個(gè)非平凡不變子空間，那么適當(dāng)選取間，那么適當(dāng)選取V V的基，可以使與的基，可以使與對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)應(yīng)的矩陣中有一些元素是零。特別，如果中有一些元素是零。特別，如果V V可以寫成兩個(gè)非可以寫成兩個(gè)非平凡子空間的平凡子空間的 直和：直和： 那么選取那么選取 的一個(gè)基的一個(gè)基 和和 的一個(gè)基的一個(gè)基 湊成湊成V V的一個(gè)基的一個(gè)基 當(dāng)當(dāng) 都在都在之下不變時(shí)，容易看出，之下不變時(shí)，容易看出，關(guān)于這樣選取的關(guān)于這樣選取的基的矩陣是基的矩陣是21WW 與,21WWV1Wr,212W.,1nra,21n21WW 與,21AooAA這里

36、這里 是一個(gè)是一個(gè)r r階矩陣階矩陣, ,它是它是 關(guān)于基關(guān)于基1A1| wr,21一般地一般地，如果向量空間如果向量空間V可以寫成可以寫成s個(gè)子空間個(gè)子空間 的直和，并且每一子空間都在線性變的直和，并且每一子空間都在線性變換換之下不變，那么在每一子空間中取一個(gè)基，湊之下不變，那么在每一子空間中取一個(gè)基，湊成成V的一個(gè)基，的一個(gè)基，關(guān)于這個(gè)基的矩陣就有形狀關(guān)于這個(gè)基的矩陣就有形狀SWWW,21sAAA0.021 這里這里 關(guān)于所取的關(guān)于所取的 的基的矩陣的基的矩陣.iiWA|是iW的矩陣，而的矩陣，而 是是 nrnr階矩陣，它是階矩陣，它是 關(guān)于關(guān)于基基 的矩陣。的矩陣。 2A2|wnra,1

37、例例6 令令 是例是例4所給出的所給出的 的線性變換的線性變換. 顯然顯然 是是一維子空間一維子空間L與二維子空間與二維子空間H的直和，而的直和，而L與與H在在 之下不變之下不變. 取取L的一個(gè)非零向量的一個(gè)非零向量 ，取，取 H 的兩個(gè)的兩個(gè)彼此正交的單位長(zhǎng)度向量彼此正交的單位長(zhǎng)度向量 那么那么 是是 的一個(gè)基，而的一個(gè)基，而關(guān)于這個(gè)基的矩陣是關(guān)于這個(gè)基的矩陣是3V3V1,32321,3V.cossin0sincos0001例例7 如果如果 ，那么，那么子空間是兩個(gè)21,WW.,2121子空間仍是一個(gè)WWWW 證：證：1. 任取任取,21WW 2. 任取任取21)()()2 , 1(WWWi

38、Wii,21WW 21)()()2 , 1(WWWiWii例例8 如果如果 ，那么對(duì)任何，那么對(duì)任何 子空間是WIaaaafnnnn011)(子空間是)(fW證：證： ，那么，那么 子空間是WWWfnkWWWWWWWk)(), 2 , 1()()()()(2例例9 判定下列子空間在給定的判定下列子空間在給定的 下是否為不變下是否為不變子空間子空間 （1 1） ,| ) 0 ,(),0 ,(),(,:21213212132133FxxxxWxxxxxxxxFF（2 2）,| )0 ,(), 0(),(,:2121322132133FxxxxWxxxxxxxFF（3 3） ),()(,:xFWxf

39、fDxFxFDn（4 4） ,)()(,:0 xFWdxxfxfJxRxRJnx解解 WxxxxWxx)0 ,()(,)0 ,(212121WW) 1 , 2 , 0()(,)0 , 1 , 1 ()(1)()()(xFfnnfnfxFxfnnWxfJxRxndxxxRxxfnnxnnn)(,11)(10即(1) (1) 是是. . (2) (2) 否否. . (3) (3) 是是. . (4) (4) 否否. . 例例1010 是是V V上一個(gè)線性變換，上一個(gè)線性變換，W W 是是 生成的子空間：生成的子空間： . . 則則. . s,21), 2 , 1()(siWWi是不變子空間),(2

40、1sLW證：證： )(,),(),()(21sLW必要性：必要性：W W中不變子空間，中不變子空間， ), 2 , 1()()(,),(),()(21siWWLWis充分性：如果充分性：如果 ,)(WWi)(,),(),(21sL而是包含是包含)(,),(),(21s的最小子空間，的最小子空間， WLWs)(,),(),()(21例例1111 設(shè)設(shè)是是V V上的線性變換，上的線性變換，是是V V上的非零向上的非零向量，且量，且 )(,),(,1k線性無(wú)關(guān)，但線性無(wú)關(guān)，但)(),(,),(,1kk線性相關(guān)線性相關(guān). 那么那么 是包含是包含的最的最小不變子空間小不變子空間. )(,),(,(1kL

41、證證 (1)(1) 線性表出線性表出, ,因此因此 這樣，這樣， 的生成元在的生成元在下的象下的象 全部屬全部屬 于于 . .所以所以 是一個(gè)是一個(gè)不變子空間不變子空間)(,),(,)(1kk可由)(,),(,()(1kkL)(,),(,(1kL)(,),(),(2k)(,),(,(1kL)(,),(,(1kL（2）對(duì)任何包含對(duì)任何包含的不變子空間的不變子空間W， 故故 ， 即即 包含包含W的一個(gè)最小子空間的一個(gè)最小子空間. WWk)(,),(),(12WLk)(,),(,(1)(,),(,(1kL例例12 設(shè)設(shè) 是是V的一給基的一給基,在在 下下的矩陣為的矩陣為 4321,4321,1221

42、113200102111A求包含求包含 的最小子空間的最小子空間. 1解解 算算 的坐標(biāo)為（用的坐標(biāo)為（用“( )”( )”表表示取坐標(biāo)）示取坐標(biāo)）)(),(,121143011201)()(,1201)()(,0001)(112111AAA中線性無(wú)關(guān)中線性無(wú)關(guān) 41211)(),(),(F在的坐標(biāo)排成的行列式為：的坐標(biāo)排成的行列式為： )(),(),(,131211014109320000010111190104301)()(1213A因此因此 431123431121143)(2)(321,L1是包含是包含 的最小子空間的最小子空間. . 注意到注意到 與與 是等價(jià)向量組，因此是等價(jià)向量組

43、，因此 321,431,),(,431321LL7.5 特征值與特征向量 7.5.1 7.5.1 引例引例 7.5.2 7.5.2 矩陣特征值和特征向量的定義矩陣特征值和特征向量的定義 7.5.3 7.5.3 特征值和特征向量的計(jì)算方法特征值和特征向量的計(jì)算方法 7.5.4 7.5.4 矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 1.1.理解特征值和特征向量的概念理解特征值和特征向量的概念 2.2.熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法熟練掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法 3.3.掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì)掌握特征值與特征向量的一些常用性質(zhì) 矩陣的特征值和特征向量的

44、求法及性質(zhì)矩陣的特征值和特征向量的求法及性質(zhì)7.5.1 引例 在經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會(huì)遇到矩陣的特征值和在經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析模型中，經(jīng)常會(huì)遇到矩陣的特征值和特征向量的問(wèn)題特征向量的問(wèn)題. 它們之間的關(guān)系為它們之間的關(guān)系為 ) 1 (223001001yxyyxx寫成矩陣形式，就是寫成矩陣形式，就是1x是目前的工業(yè)發(fā)展水平是目前的工業(yè)發(fā)展水平(以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位以某種工業(yè)發(fā)展指數(shù)為測(cè)量單位). 發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已成為發(fā)展與環(huán)境問(wèn)題已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注和重點(diǎn)，為了定量分析污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提出了以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：設(shè)析污

45、染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系，有人提出了以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型：設(shè) 0 x是某地區(qū)目前的污染水平是某地區(qū)目前的污染水平(以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)以空氣或河湖水質(zhì)的某種污染指數(shù)為測(cè)量單位量單位)， 0y若干年后若干年后(例如例如5年后年后)的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為的污染水平和工業(yè)發(fā)展水平分別為 和和.1y)2(22130011yxyx記記 111yx， 000yx， 2213A， 即即(2)式可寫成式可寫成 ) 3(01A設(shè)當(dāng)前的設(shè)當(dāng)前的 T)1 , 1(0，則，則 .11444112213111yx即即 004A，由此可以預(yù)測(cè)若干年后的污染水平與工業(yè)發(fā)由此可以預(yù)測(cè)若干年后的污染水平與工業(yè)

46、發(fā) 展水平。展水平。由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣由上例我們發(fā)現(xiàn)，矩陣A A乘以向量乘以向量 恰好等于恰好等于 的的4 4倍，倍，倍數(shù)倍數(shù)4 4及向量及向量 即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特即是我們本節(jié)要討論的矩陣的特征值和特征向量征向量. .0007.5.2 特征值和特征向量的定義定義定義1：設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階矩陣，階矩陣，是是 F 中的一個(gè)數(shù)，如果存在中的一個(gè)數(shù)，如果存在 V 中非零中非零向量向量 ，使得，使得 A那么稱那么稱為矩陣為矩陣A的一個(gè)特征值，的一個(gè)特征值，稱為稱為A屬于特征值屬于特征值的特征向量的特征向量.例例 2213A因因 11444112213解解:所以所以4是是 2213

47、A的一個(gè)特征值，的一個(gè)特征值， 11是是A的屬于的屬于4的特征向量的特征向量. 3341212332213又又 故故 33也是也是A的屬于的屬于4的特征向量的特征向量. 注注1：是是A的屬于的屬于的特征向量，則的特征向量，則 )0( cc，c也是也是A的屬于的屬于的特的特征向量征向量 練習(xí)練習(xí)1(1) (1) 如果向量如果向量 是矩陣是矩陣 的特征向量，的特征向量，則則k k = _= _11 112k(2) (2) 設(shè)設(shè) ，下列向量中可以成為，下列向量中可以成為A A的的特征向量的是（特征向量的是（ ） 1322AA. 12 B. 32C. 41D. 01 2(1) (1) 解：解：1111

48、3212131kkk (2) (2) 解：解：1317122262 A.A.B.B.13412216 D.13032212 7.5.3 特征值和特征向量的計(jì)算方法使使 1是是A的特征值的特征值 .0A. 0).(0AI0)(XAI有非零解有非零解 . 0AI 注注2： 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .2是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 0且且 A. 0).(0AI是是 0)(XAI的非零解。的非零解。 注注3：是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 定義定義2： nnnnnnaaaaaaaaaA212222

49、111211nnnnnnAaaaaaaaaaAIf212222111211)(稱為稱為A的特征多項(xiàng)式。的特征多項(xiàng)式。 0 AI稱為稱為A的特征方程，的特征方程， AI 稱為稱為A的特征矩陣。的特征矩陣。 例例1 1 設(shè)設(shè) ，求，求A A的全部特征值、特征的量。的全部特征值、特征的量。 1322A21334(4)(1)022IA解：解： A A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為1A A的特征值為的特征值為 1241 ， 對(duì)于對(duì)于 解解214,(4)0IA X由于由于 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系33112200111 A A的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為 111(0)cc141233022

50、xx即即對(duì)于對(duì)于 解解 21, ()0IA x 1223023xx即即由于由于 323122300得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系2321A的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為21 222(0)cc注注4 4：A A的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，分為兩大類：的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，分為兩大類： 一類為一類為 一類為一類為111(0)1cc ，232c問(wèn)題問(wèn)題1 1：同類的兩個(gè)特征向量的線性相關(guān)性如何？同類的兩個(gè)特征向量的線性相關(guān)性如何？問(wèn)題問(wèn)題2 2：不同類的任兩個(gè)特征向量的線性相關(guān)性如不同類的任兩個(gè)特征向量的線性相關(guān)性如何？何？求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 計(jì)算特征多項(xiàng)式計(jì)算特征多項(xiàng)式 I

51、A2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 對(duì)于對(duì)于A的每一個(gè)特征值的每一個(gè)特征值 i，求相應(yīng)的齊次線性方程組，求相應(yīng)的齊次線性方程組 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全為零 ） 例例2：求矩陣求矩陣 001010100A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系 siii,21，則，則A的屬于的屬于 i的全部的全部特征向量為特征向量為解解 A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 ) 1() 1(01010102AIA的特征值為的特征值為 121， .13對(duì)于對(duì)于 121，解，解 01

52、01000101321xxx101101000000101000得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系: :101,01021A的屬于特征值的屬于特征值1的全部特征向量為的全部特征向量為 ),(212211不全為零cccc對(duì)于對(duì)于 13，解，解 101101020010101000得基礎(chǔ)解為得基礎(chǔ)解為 1013A的屬于特征值的屬于特征值 1 的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(333cc7.5.4 特征向量和特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 AA與有相同的特征值有相同的特征值 分析：要證分析：要證 AA與有相同的特征值有相同的特征值 只須證只須證 )()(AAff注意到注意到 |)( |AIAIAI性質(zhì)性質(zhì)3 3

53、 A A的主對(duì)角線上的元素的和稱為的主對(duì)角線上的元素的和稱為A A的跡，記作的跡，記作 )(ATr，則，則 nnrAAT2121|)(性質(zhì)性質(zhì)2 2 A A的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。的屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。注意到注意到122112211212222111211)(|)(nnnnnnnnnnnnAaaaaaaaaaaaaaaaAIf（*） nnnnnnAAIf2112121) 1()()()(|)(（*） 在（*）和（*）中令 = 0 nnnAA21) 1(|) 1(|練習(xí)：練習(xí)：求求 2213A的特征值，特征向量。的特征值，特征向量。 解：解： A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)

54、式為)4)(1(452213|)(2AIfA所以所以A的特征值為的特征值為 4, 121對(duì)于對(duì)于 11，解，解 121, 01212121得xx對(duì)于對(duì)于 42，解，解 11, 02211221xx故故A的屬于特征值的屬于特征值1的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(12111cc故故A的屬于特征值的屬于特征值4的全部特征向量為的全部特征向量為 )0(1122cc1、定義、定義1：設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n階矩陣，階矩陣，是是 F 中的一個(gè)數(shù)，如果存在中的一個(gè)數(shù)，如果存在 V 中非中非零向量零向量 ，使得，使得 A那么稱那么稱為矩陣為矩陣A的一個(gè)特征值，的一個(gè)特征值，稱為稱為A屬于特征值屬于特征值的

55、特征向量的特征向量.2、 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .3、 是是A屬于屬于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 計(jì)算特征多項(xiàng)式計(jì)算特征多項(xiàng)式 2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 對(duì)于對(duì)于A的每一個(gè)特征值的每一個(gè)特征值 i，求相應(yīng)的齊次線性方程組，求相應(yīng)的齊次線性方程組 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全為零 ） 的一個(gè)基礎(chǔ)解系的一個(gè)基礎(chǔ)解系 siii,21，則，則A的屬于的屬于 i的全部特征向量的全部

56、特征向量為為5、3個(gè)性質(zhì)。個(gè)性質(zhì)。 一、內(nèi)容分布一、內(nèi)容分布 7.6.1 什么是可對(duì)角化什么是可對(duì)角化 7.6.2 本征向量的線性關(guān)系本征向量的線性關(guān)系 7.6.3 可對(duì)角化的判定可對(duì)角化的判定 7.6.4 矩陣對(duì)角化的方法及步驟矩陣對(duì)角化的方法及步驟二、二、 教學(xué)目的教學(xué)目的 1掌握可對(duì)角化的定義與判斷掌握可對(duì)角化的定義與判斷 2熟練掌握矩陣對(duì)角化的方法步驟熟練掌握矩陣對(duì)角化的方法步驟三、重點(diǎn)難點(diǎn)三、重點(diǎn)難點(diǎn) 可對(duì)角化的判斷與計(jì)算?？蓪?duì)角化的判斷與計(jì)算。 n0000000000) 1 (21設(shè)設(shè)A是數(shù)域是數(shù)域F上一個(gè)上一個(gè)n階矩陣，如果存在階矩陣，如果存在F上一上一個(gè)個(gè)n階逆矩陣階逆矩陣T，

57、使得，使得 具有對(duì)角形式（具有對(duì)角形式（1）ATT1則說(shuō)矩陣則說(shuō)矩陣A可以對(duì)角化可以對(duì)角化. . 我們知道我們知道, 可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線性變換可以通過(guò)矩陣來(lái)研究線性變換, 也也可以通過(guò)線性變換來(lái)研究矩陣，本節(jié)更多的通過(guò)線可以通過(guò)線性變換來(lái)研究矩陣，本節(jié)更多的通過(guò)線性變換來(lái)研究矩陣性變換來(lái)研究矩陣. 矩陣矩陣A可以對(duì)角化對(duì)應(yīng)到線性可以對(duì)角化對(duì)應(yīng)到線性變換就是變換就是: 設(shè)設(shè)是數(shù)域是數(shù)域F上上 維向量空間維向量空間V的一個(gè)線的一個(gè)線性變換，如果存在性變換，如果存在V的一個(gè)基，使得的一個(gè)基，使得關(guān)于這個(gè)基關(guān)于這個(gè)基的矩陣具有對(duì)角形式的矩陣具有對(duì)角形式(1), 那么說(shuō)，那么說(shuō)，可以對(duì)角化可以對(duì)角化.

58、) 1(nn很容易證明很容易證明, 可以對(duì)角化的充分必要條件是可以對(duì)角化的充分必要條件是有有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征向量. 這這n個(gè)線性無(wú)關(guān)的本個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征向量顯然構(gòu)成征向量顯然構(gòu)成V的基的基. 因此，因此， 我們需要進(jìn)一步研我們需要進(jìn)一步研究本征向量的線性關(guān)系，需要研究在什么條件下究本征向量的線性關(guān)系，需要研究在什么條件下有有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征向量.7.6.2 7.6.2 本征向量的線性關(guān)系本征向量的線性關(guān)系 定理定理7.6.1 令令是數(shù)域是數(shù)域F上向量空間上向量空間V的一個(gè)線性變的一個(gè)線性變換換.如果如果 分別是分別是的屬于互不相同的特征的屬于互不

59、相同的特征根根 的特征向量，那么的特征向量，那么 線性線性無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).n,21n,21n,21證證 我們對(duì)我們對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)定理用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明這個(gè)定理當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，定理成立。因?yàn)楸菊飨蛄坎坏扔跁r(shí)，定理成立。因?yàn)楸菊飨蛄坎坏扔诹恪ＴO(shè)零。設(shè)n 1并且假設(shè)對(duì)于并且假設(shè)對(duì)于n1來(lái)說(shuō)定理成立?，F(xiàn)在來(lái)說(shuō)定理成立。現(xiàn)在設(shè)設(shè) 是是的兩兩不同的本征值，的兩兩不同的本征值， 是屬于本是屬于本征值征值 的本征向量：的本征向量： n,21ii., 2 , 1,)()2(niiii如果等式如果等式 ,. 0)3(2211Faaaainn成立，那么以成立，那么以 乘（乘（3）的兩端得）的兩端得 n. 0

60、)4(2211nnnnnaaa另一方面，對(duì)（另一方面，對(duì)（3）式兩端施行線性變換）式兩端施行線性變換，注意到，注意到等式（等式（2），我們有），我們有 . 0)5(222111nnnaaa（5 5）式減（）式減（4 4）式得）式得 . 0)()()(111222111nnnnnnaaa根據(jù)歸納法假設(shè)，根據(jù)歸納法假設(shè)， 線性無(wú)關(guān)，所以線性無(wú)關(guān)，所以 121,n. 1, 2 , 1, 0)(nianii但但 兩兩不同，所以兩兩不同，所以 代代入（入（3），因?yàn)椋驗(yàn)?所以所以 這就證明了這就證明了 線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。n,21. 0121naaa, 0n. 0nan,21推論推論7.6.2 設(shè)設(shè)