《理論力學(xué)》一

1、理論力學(xué)一.填空題1 .限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物體（如曲線(xiàn)、曲面等）稱(chēng)為（約束 ）。2 .慣性力（ 約束 ）對(duì)應(yīng)的反作用力，（稱(chēng)作 ）牛頓第三定律。3 .如果力只是位置的函數(shù)，并且它的旋度等于零，即滿(mǎn)足i j kF（r） 0x y zFx Fy Fz則這種力叫做（慣性力）。4 .真實(shí)力與參考系的選取（ 無(wú)關(guān)），而慣性力卻與參與系的選?。ㄏ嚓P(guān)）。5 .質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)（速度矢量和）的動(dòng)能之和。6 .限制質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物體（如曲線(xiàn)、曲面等）稱(chēng)為（約束）。7 .同一質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力稱(chēng)為（約束反力）二.選擇題1. a （r 2r ）e稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的（C ）a.法向加速度c.橫向加速

2、度b.切向加速度d.徑向加速度2. Fen m （）稱(chēng)為 Aa.平動(dòng)慣性力b.離心慣性力c.科氏慣性力3.a 電稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的（Ca 出a.法向加速度b.橫向加速度c.切向加速度d.徑加速度4. 質(zhì)點(diǎn)系中所有內(nèi)力對(duì)任一力矩的矢量和Ac.不一定等于零a.等于零b.不等于零5. ar （r r 2）er稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的（A ）。a.徑向加速度b.橫向加速度c.切向加速度d.法向加速度6. 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力所作的功Ac.不一定等于零a.等于零b.不等于零27. anv-n稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的(B )。a.橫向加速度b.法向加速度c.徑向加速度d.切向加速度8. 如果作用在質(zhì)點(diǎn)上的力都是保守力，或雖是非保守力作用但非保守力不作

3、功或所作功之和等于零。則質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械能Aa.守恒b.不守恒c.不一定守恒9. Fc m( 2 vr)稱(chēng)為 Aa.科氏慣性力b.離心慣性力c.平動(dòng)慣性力三.簡(jiǎn)答題1 .在曲線(xiàn)坐標(biāo)系中，單位矢量和基矢有無(wú)區(qū)別若有，區(qū)別何在答：有區(qū)別，主要是角度變化。2 .瞬時(shí)速度中心；瞬時(shí)速度中心可以有加速度嗎答：可以有3 .寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理，說(shuō)明內(nèi)力作功之和不為零的原因。答：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：dT=F*vdt=F*dr.如果所有的力都是保守力就為零了4 .寫(xiě)出柯尼格定理的表達(dá)式并說(shuō)明式中各項(xiàng)的意義答： 柯 尼 格 定 理 的表達(dá)P| 二I丁二口葉十土嚴(yán)啟*了其中：第一段字母表達(dá)式是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，第二個(gè)表達(dá)式是

4、質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心的動(dòng) 能之和。這個(gè)式子說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能之和5 .寫(xiě)出柯尼格定理的表達(dá)式并說(shuō)明式中各項(xiàng)的意義。答：同上6 .科氏力。Fc=m(-2 3 x v)7 .曲線(xiàn)坐標(biāo)系中基矢與單位矢的區(qū)別。答：他們之間相對(duì)于拉莫系數(shù)，因?yàn)榇讼禂?shù)不等于1所以基矢和單位矢不相同。四.計(jì)算題1.兩根等長(zhǎng)的細(xì)桿AC和BC在C點(diǎn)用錢(qián)鏈連接，放在光滑的水平面上，如圖所 示。設(shè)兩桿由圖示位置無(wú)初速度的開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求錢(qián)鏈C著地時(shí)的速度(見(jiàn)圖)解因圓錐與地面接觸，所以接觸線(xiàn)上任意瞬時(shí)的各點(diǎn)速度為O,因此，OD為瞬時(shí)軸。圓錐自紙面向里轉(zhuǎn)動(dòng)，瞬時(shí)角速度沿瞬時(shí)軸，方向如圖所示，P點(diǎn)的速率為A點(diǎn)的轉(zhuǎn)

5、動(dòng)加速度為西二Q =+ Ql X O = Ql. X QlI 1=岫1g=CtgDth士.一 h h 口r = 1. a, = ffifctgpt=raq又且3與下垂直，cosa SUItxai的方向與r垂直A點(diǎn)的向軸加速度a2 =( r )a =i a1 1= AE - a2 = 2PC a2 = 2hw2 smcL= 2iiw? 0c = 2aT ccsa asin a;a2的方向沿AE方向。題2圖2.高為h、頂角為2的園錐在一平面上滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如已知此錐以勻角速度繞。軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求園錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度ai和向軸加速度a2的量值。解設(shè)P為人(或平臺(tái))的重量，r為平臺(tái)的半徑,為平臺(tái)的角

6、速度,為人相對(duì)于平臺(tái)的角速度，于是人的絕對(duì)角速度為L(zhǎng) -不受外力矩作用時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒，于是有(2)式中，I臺(tái)和I人分別為平臺(tái)和人的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其值為_(kāi)Pf2 人一g口 = EJ將(1)式和(3)式代入(2)式，得-(4)于是人的絕對(duì)角速度為 3.10 堂人走過(guò)一周的絕對(duì)角位移為3.質(zhì)量分別為m和m酌兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，用一固有長(zhǎng)度為a的彈性純相連，繩的彈 性系數(shù)k= (2m m%2)/(m+m,)將此系統(tǒng)放在水平管內(nèi)，管子繞管上某點(diǎn)以角 速度轉(zhuǎn)動(dòng)，試求任意瞬時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。設(shè)開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)管子是相對(duì) 靜止的。解在管子上建立動(dòng)坐標(biāo)以 。為極點(diǎn)，管子為極軸，由質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程儂 =F - 2m由那

7、十次加？對(duì)m有面=T+加M(1)對(duì) m 有T+mMa， (2)其中T為彈性力*a) J=S將式xm減(2)式xm得 皿官一風(fēng)-公2mm ,將m十m代入，并化簡(jiǎn)得，產(chǎn)這方程的解為S= 2a +A cascut-i- B sin rotu= = Bwcosot-Arasin tat當(dāng) t=0 時(shí)， =0B=0,貝U S=2a + Acos t,當(dāng) t=0 時(shí)，S=a A=-1, S=a(2-cos t)4.小球重w ,穿在y=f(x)曲線(xiàn)的光滑鋼絲上，此曲線(xiàn)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并繞豎直軸Oy以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。如欲使小環(huán)在曲線(xiàn)上任何位置處均處于相對(duì)平衡狀態(tài),求此曲線(xiàn)的形狀及曲線(xiàn)對(duì)小環(huán)的約束反力解用極坐標(biāo)系列出質(zhì)

8、點(diǎn) A及B的運(yùn)動(dòng)微分方程:A點(diǎn):mgr 鏟T= mh(2)由(1)及(3)得又由題給條件知:B 點(diǎn)：T-mg=mr(4)利用(2),把(4)中的(6)積分得因當(dāng)把C的值代入(5)得2r 2r2lr, - -ar3 + 2 a? = 0!-令5=口，得 2r=a, i =由此得2,即23r = - -a4理論力學(xué)二一.填空題1 .凡約束方程中不含有時(shí)間t的約束稱(chēng)為（穩(wěn)定約束）,否則就是（不穩(wěn)定約束）。2 .在有心力作用下，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量（ 守恒）。3 .剛體繞最大或最小慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)都是（ 穩(wěn)定 ）的，而繞轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是中間值的慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是（不穩(wěn)定 ）的。s4 .hqj L稱(chēng)為（廣義能量）。j

9、 i qj5 .第一宇宙速度就是人造地球衛(wèi)星圍繞地球表面作（ 圓周運(yùn)動(dòng) ）所需的初速度。6 .物體在力偶矩的作用下，只能產(chǎn)生（ 轉(zhuǎn)動(dòng) ），而在力矩的作用下，不僅能產(chǎn)生（轉(zhuǎn)動(dòng) ），也能產(chǎn)生（ 平動(dòng) ）。7 .滿(mǎn)足條件nRi ri 0i 1的約束叫作（理想約束 ）。8 .第二宇宙速度 2是指在地面發(fā)射人造星體脫離（ 地球 ）引力作用所需要的最?。ǔ跛俣?）。9 .剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量L 一般（不與 ）角速度共線(xiàn)。10 .當(dāng)正則變量q、p變換為Q、P時(shí)，如果正則方程保持形式不變，那么這種變換稱(chēng)為（正則變換）。）動(dòng)。2S）維相空間中的一個(gè)點(diǎn)表示,11 .有心運(yùn)動(dòng)一定是（ 平面12 .在任一瞬時(shí)，系統(tǒng)的

10、狀態(tài)可用（這個(gè)點(diǎn)叫做相點(diǎn)。叫做13 .我們把完全描述一個(gè)力學(xué)體的運(yùn)動(dòng)所需要的（獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)：該本系的自由度。14 .剛體在空間的任一位置可由三個(gè)（剛體內(nèi)不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位 置）唯一確定。選擇題1 .質(zhì)點(diǎn)在平方反比引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，若 E式中e為橢圓軌道偏心率證質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，為一橢圓軌道，在有心力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，故Sp ：sa=(1+e)：(1-e)。有(a c)Sa a(1 e)Sp,或 a(1 e)Sa a(1 e)Spc式中e 是橢圓的偏心率, a11. 質(zhì)量為M半徑為r的均質(zhì)圓柱體放在粗糙水平面上。柱的外面繞有輕繩,繩子跨過(guò)一個(gè)很輕的滑輪，并懸掛一質(zhì)量為m的物體。該

11、圓柱體只滾不滑，并且圓柱體與滑輪間的繩子是水平的， 用拉氏方程求圓柱體質(zhì)心的加o題11圖解取廣義坐標(biāo)為x1 x.2M()2 2代入d()dt x8mm 2-x21 .(m2mgx12- Mx832M )x8c-。得 x8mX g,a1 X 3M 8m3M 8mg,園柱加速度為a21 4m xg2 3M 8m13 .由哈密頓原理推導(dǎo)正則方程。解依 H把L代入H一原理中，得t2Ldtt1t2t1P q H)dt 0H=H(p、q、t),故算出(2)中的變分，且注意t2t1(PPas(P qP)ddt(P(2)把代入(2),得兩端點(diǎn)相同,則(3)式變?yōu)閠2t1(qtiq 1t(pq dt 0t2t1

12、(q(P旦)q qdt 0在積分范圍內(nèi)是任意的,且是相互獨(dú)立的，故得(=1、2 s)14 .質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在重力場(chǎng)中以初速V0和水平線(xiàn)成 角拋射。用哈密頓原理求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。122解L 2 m(xy )mgy 依哈密頓原理s = 0t2s Ldtt1t2(mxt1x my y mg y)dt 0依 x ( x), ydtd / 、(y) dt置換后進(jìn)行分部積分t2mx xdttit2 d z .mx( x)dt mx x tidtt2tlt2mx xdttit2my ydt titi mydt( y)dt myytit2my ydt ti由于在ti和t2時(shí)刻x 0和y 0,故以上兩式

13、右端第一項(xiàng)為零，故有 t2 mx x （my mg） ydt 0由于x, y是獨(dú)立變量，且 x,y是任意的，因此有mx 0 , x 0, my mg , y g上式反映著質(zhì)點(diǎn)在水平方向作勻速運(yùn)動(dòng)，堅(jiān)直方向作勻加速運(yùn)動(dòng)。由于x是循環(huán)坐標(biāo)，故質(zhì)i C點(diǎn)沿x軸的動(dòng)重mx寸恒，由于L函數(shù)不顯含時(shí)間，故機(jī)械能寸恒 -m mgy E 這就 2是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)積分16 . 一質(zhì)點(diǎn)受一與距離芻次方反比的引力作用在一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)， 試證此質(zhì)點(diǎn)自無(wú) 2窮遠(yuǎn)到達(dá)a時(shí)的速率和自a靜止出發(fā)到達(dá)a時(shí)的速率相同。 417 .利用拉格朗日方程推導(dǎo)剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的 Z分量的表達(dá)式。18 . 一質(zhì)量可忽略的彈簧當(dāng)它不受力時(shí)，長(zhǎng)

14、為（，當(dāng)其受力時(shí)，彈性力與伸長(zhǎng)成 正比，比例系數(shù)為k,將彈簧的一端連在水平軸的 。點(diǎn)上，另一端系在質(zhì)量 為m的質(zhì)點(diǎn)上，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)與哈密 頓函數(shù)。19 .設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受重力作用，被約束在半頂角為a的圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試以r、8為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程求出此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程（見(jiàn)圖）解約束方程Z = rctg2m / 22 22、m / r 22、T (rr z)( r )22 sinV mgz mgrctg2m / r 2 2、,LTV( r ) mgrctg2 sint2 m 212 2s , (r -l r ) mgrctg dt 0 t12 sin(2)

15、(3)t2, r r 22(r r r gctg r)dt 0d .r r (rdt) r r , dt2d 2r(r ) 2rrdtt1 sin上兩式代入(1)并整理r r7-2 sin注思t1r2 =常數(shù)t21t1 sin2t2t1t2t1(r0,22r sint2t1gsin cos.2r r sin gsin cos 0t2 d 2)rdt (r2 )dt 0t1 dt(4)r任意性，由(4)得第19題圖20 .質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，此力的量值為質(zhì)點(diǎn)到力心距離r的函數(shù)，而質(zhì)點(diǎn)的速率與此距離成反比，即 v=-0如果a2h2(h=r2 ),求質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。 r設(shè)當(dāng)r=r0時(shí),9 =0。

16、解因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，故其動(dòng)量矩守恒，速度矩r2 h(常數(shù)) r又因在極坐標(biāo)中2r2 (r )22.2a 2, 、22 h2r (r ) r rr又因?yàn)閐r dr ddr h drdt d dtd r2 dh為常數(shù)，即(1)(2)2 i_ 2把式代入(2)式，得hLdrLL,aF,或dr-出一h- drd rr hr22積分，得者說(shuō) 5。-d由此可得，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為rIn -o2.2- a hh（對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)）21 .用哈密頓正則方程求彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。12.斛懸點(diǎn)為 0, T Io , V mgl cos2mgl sin )dteut2 1t2殊 s (-10 mgl cos

17、)dt (I。ti 2 0tit2 d(I 0 ti dtmgl sin)dt I ot2tit2I。 mgl sin dt tit2I。 mgl sin dt 0 ti因積分號(hào)下的是任意的。I。 mgl sin 。，當(dāng)很小時(shí)，sin222 .推導(dǎo)哈密頓原理。解：現(xiàn)在假想有一體系沿著位形空間中兩個(gè)相鄰的路徑運(yùn)動(dòng)。加在系統(tǒng)上的任何約束都保持不變，沿著曲線(xiàn)的時(shí)間間隔tf-ti和端點(diǎn)的位置都保持不變。例如。我們可以通過(guò)改變與時(shí)間有關(guān)的一個(gè)或更多的坐標(biāo)來(lái)得到不同的路徑。如果原來(lái)的曲線(xiàn)滿(mǎn)足這些運(yùn)動(dòng)方程，牛頓定律給出了滿(mǎn)足初始條件和最終條件的有限解，那么鄰近路徑（即領(lǐng)近曲線(xiàn)）就一定不滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)方程。為了進(jìn)一步分析這一特點(diǎn)， 讓我們把 x叫做xi的變分；用它表示任意時(shí)刻t鄰近路徑和真