c彈性力學hapter

1、第六章 彈性力學平面問題的有限元分析6-1 三角形單元三角形單元FF1F2F3xoyQ 結構物的離散結構物的離散Q 假定三角形單元的位移模式假定三角形單元的位移模式 imjuiviujvjv(x,y).u(x,y)umvm(x,y)xyo ufv 123456,u x yxyv x yxy三角形單元中的節(jié)點位移如下：三角形單元中的節(jié)點位移如下： iiiejjjmmmuvuvuv 建立單元內任意點的位移與節(jié)點位移的關系，單元節(jié)點位建立單元內任意點的位移與節(jié)點位移的關系，單元節(jié)點位移坐標為移坐標為( xi,yi ), ( xj,yj ), ( xm,ym )第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 每

2、一點的位移由下列方程給出，在每一點的位移由下列方程給出，在 i點上點上 的水平位移方程為：的水平位移方程為： ui= 1+ 2 xi + 3 yi uj= 1+ 2 xj + 3 yj um= 1+ 2 xm + 3 ym根據(jù)克萊姆法則，可求出根據(jù)克萊姆法則，可求出 1， 2 ， 3 11AA1121iijjmmxyAxyxy 1iiijjjmmmuxyAuxyuxy其中其中第六章 彈性力學平面問題的有限元分析22AA2111iijjmmuyAuyuy33AA3111iijjmmxuAxuxu2111111ijiijmjmmyyyAuuuyyy iijjmmu bu bu b3111111ij

3、iijmjmmxxxAuuuxxxiijjmmu cu cu c其中其中ijmmjijmimjax yx ybyycxxijmijm第六章 彈性力學平面問題的有限元分析1iijjiiijmjjmmmmxyxyxyAuuuxyxyxyiijjmmu au au a展開后展開后123,u x yxy1212iijjmmi ijjm mi ijjm miiiijjjjmmmmu au au ax ubu bu by ucu cu cabxc y uab xc y uab xc y u令令1,2iiiiNx yab xc y(i, j, m), ,iijjmmiii j muN uN uN uN uN

4、i 單元的形函數(shù)單元的形函數(shù)第六章 彈性力學平面問題的有限元分析可得可得同理可得同理可得 vi = 4+ 5xi+ 6yi vj = 4+ 5xj+ 6yj vm = 4+ 5x m+ 6ym解出解出 4 , 5 , 6 456( , )1212iijjmmiijjmmiijjmmiiiijjjjmmmmv x yxyv av av ax v bv bv by v cv cv cab xc y vab xc y vab xc y v第六章 彈性力學平面問題的有限元分析, ,iijjmmiii j mvN vN vN vN v可以寫成可以寫成 000000eiiijmjijmjmmuvNNNuu

5、fNNNvvuv 寫成矩陣形式寫成矩陣形式第六章 彈性力學平面問題的有限元分析所以，單元的位移模式：所以，單元的位移模式： N 形態(tài)矩陣形態(tài)矩陣 efNQ 單元的應變單元的應變 由于由于 xyxy xyxyuxvyuvyx第六章 彈性力學平面問題的有限元分析根據(jù)幾何方程根據(jù)幾何方程12121122iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmub ub ubuxvc vc vcvyuvc uc ucub vb vbvyx得出得出 00010002iiijmejijmjiijjmmmmuvbbbucccBvcbcbcbuv 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析寫成矩陣形式寫成矩陣形式矩陣矩陣B

6、稱為幾何矩陣稱為幾何矩陣 ijmBBBB0102iiiiibBccb 因此單元內任一點的應變是節(jié)點位移的函數(shù)因此單元內任一點的應變是節(jié)點位移的函數(shù), B 是常數(shù)，是常數(shù)，所以三角形單元是常應變單元。所以三角形單元是常應變單元。其中其中（i= i, j, m）Q 單元的應力單元的應力 根據(jù)彈性方程根據(jù)彈性方程 D eDB第六章 彈性力學平面問題的有限元分析令令S=DB S 應力矩陣應力矩陣把把S矩陣分塊，得矩陣分塊，得 iiSD B ijmSD BD BD B其中其中Si如下如下(i=i, j, m)對于平面應力情況對于平面應力情況 22 11122iiiiiiibcESbccb（i=i, j,

7、 m)對于平面應變情況對于平面應變情況2,11EE 112 112112122 12 1iiiiiiibcESbccb第六章 彈性力學平面問題的有限元分析（i=i, j, m)可知，三角形單元中的應力各處相等可知，三角形單元中的應力各處相等Q 單元剛度矩陣單元剛度矩陣imjuiviujvjv(x,y).u(x,y)umvm(x,y)xyoimjRixv(x,y).u(x,y)(x,y)xyoRiyRjxRjyRmyRmx第六章 彈性力學平面問題的有限元分析節(jié)點力節(jié)點力 ixiyiejxjjymmxmyRRRRRRRRRR節(jié)點位移節(jié)點位移 iiiejjjmmmuvuvuv建立節(jié)點力和節(jié)點位移的關

8、系，建立節(jié)點力和節(jié)點位移的關系，根據(jù)虛功原理根據(jù)虛功原理 *eTTeRtdxdy單元內有虛位移單元內有虛位移引起單元內的虛應變引起單元內的虛應變 *eB *TeTeTeeARBDBtdxdy TeeARBDB tdxdy eeeRK其中其中 TeTAKBDB tdxdyBDB t第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 6*66*33*33*6eTKBDBt 3*3iiijimejijjjmmimjmmkkkKkkkkkk剛度矩陣可分為三行三列的子矩陣剛度矩陣可分為三行三列的子矩陣第六章 彈性力學平面問題的有限元分析對于平面應力問題對于平面應力問題 TrsrsKBDB tr =i, j, m s

9、=i, j, m21122114 122rsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtc bb cc cb b第六章 彈性力學平面問題的有限元分析對于平面應變問題對于平面應變問題2,11EE1 21 22 112 111 21 24 11 212 12 1rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtKc bb cc cb bQ 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 eKK111213111121222322223132333333123123.ijmnijmnijmmiiiiiijiminjjjjikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKkkkk1231

10、23.jjjmjnmmmmimjmmmnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkk第六章 彈性力學平面問題的有限元分析若結構物離散為個若結構物離散為個 n 節(jié)點，則剛度矩陣有節(jié)點，則剛度矩陣有n行行n列的子矩陣列的子矩陣每一個單元的子矩陣如下每一個單元的子矩陣如下 3*3iiijimejijjjmmimjmmkkkKkkkkkkersrsKK第六章 彈性力學平面問題的有限元分析每個子矩陣有每個子矩陣有2行行2列元素，對應加入整體剛度矩陣中的行和列中列元素，對應加入整體剛度矩陣中的行和列中r = 1, 2, 3n s = 1, 2, 3n Q 整體剛度矩陣的性質整體剛度矩陣的性質 整體剛度矩陣每

11、一列元素的物理意義整體剛度矩陣每一列元素的物理意義 若彈性體上某一節(jié)點產(chǎn)生單位位移，其余節(jié)點上的位移全若彈性體上某一節(jié)點產(chǎn)生單位位移，其余節(jié)點上的位移全部為零，則該節(jié)點對應的列元素等于載荷列陣。部為零，則該節(jié)點對應的列元素等于載荷列陣。 剛度矩陣的主對角元素剛度矩陣的主對角元素 總是正的?？偸钦摹?剛度矩陣具有對稱性。剛度矩陣具有對稱性。 剛度矩陣是帶狀稀疏矩陣，它含有大量的零元素。剛度矩陣是帶狀稀疏矩陣，它含有大量的零元素。 若每個節(jié)點有兩個自由度，則整體剛度矩陣的半帶寬若每個節(jié)點有兩個自由度，則整體剛度矩陣的半帶寬B為為 B=2(D+1) 其中，其中， D 各單元中節(jié)點編號間的最大差值。

12、各單元中節(jié)點編號間的最大差值。 整體剛度矩陣是奇異陣，在考慮了邊界條件后它是正定矩陣。整體剛度矩陣是奇異陣，在考慮了邊界條件后它是正定矩陣。11,22,33,2 ,2nnk kkk第六章 彈性力學平面問題的有限元分析11112131,211,212122232,212,223132333,213,224142434,214,23321xnnynnxnnynnxyxnynnFkkkkkFkkkkkFkkkkkFkkkkkFFFF 112221,121,221,321,2121,22 ,12 ,22 ,32 ,212 ,22122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnuvuvkkkkkukkkkk

13、v 111,121,231,24121,1,2 ,1,xyxyxnnynnFk Fk Fk FkFkFk第六章 彈性力學平面問題的有限元分析Q 形函數(shù)的性質形函數(shù)的性質 1( , )()2iiiiN x yab xc y第六章 彈性力學平面問題的有限元分析1211iijjmmxyxyxy 1,12iiiiiiiiNx yab xc y6-2 形函數(shù)的性質及面積坐標形函數(shù)的性質及面積坐標形函數(shù)在節(jié)點形函數(shù)在節(jié)點i上的值上的值=1 形函數(shù)在節(jié)點上的值形函數(shù)在節(jié)點上的值在三角形面積表示的行列式中以第一行展開在三角形面積表示的行列式中以第一行展開ijmjmax yy xijmbyyimjcxx2iii

14、iiab xc y Ni 在其余二節(jié)點上的值等于零在其余二節(jié)點上的值等于零 把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數(shù)余子式把面積的行列式以第一行展開乘第二行的代數(shù)余子式 把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數(shù)余子式把面積的行列式以第一行展開乘第三行的代數(shù)余子式 ,1()()021()()02ijjiijijimmiimimN x yab xc yN x yab xc y第六章 彈性力學平面問題的有限元分析同理可得同理可得(,)1jjjN x y( ,)0jiiN x y ,()0immN x y( ,)0miiNx y(,)0mjjNx y,()1mmmNx y,1()0ijjijN x y

15、ijij( , , )i j m當當所以所以 在單元上任一點的三個形函數(shù)之和等于在單元上任一點的三個形函數(shù)之和等于 1 在三角形單元任一邊如在三角形單元任一邊如 i j 邊上的形函數(shù)邊上的形函數(shù)( , )( , )( , )1()2ijmiiijjjmmmN x yNx yNx yabxc yab xc yab xc y1()()121() 12ijmijmijmijmaaabbb xccc yaaa(,)1(,)iijiijjixxNxyxxxxNxyxx第六章 彈性力學平面問題的有限元分析Q 面積坐標面積坐標iiLjjLmmLijmmijxyop第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 面積坐

16、標的定義面積坐標的定義 在三角形內任意一點在三角形內任意一點p定義定義 i, j, m分別表示節(jié)點分別表示節(jié)點i, j, m所對應的三角形面積。所對應的三角形面積。 i+ j+ m= Li+Lj+Lm=1根據(jù)面積坐標的定義可知根據(jù)面積坐標的定義可知在節(jié)點在節(jié)點i, 即即p點移到點移到i點點, i= , Li=1, j= m=0在節(jié)點在節(jié)點j, 即即p點移到點移到j點點, j= , Lj=1, i= m=0在節(jié)點在節(jié)點m, 即即p點移到點移到m點點, m= , Lm=1, i= j=0 面積坐標與形函數(shù)的關系面積坐標與形函數(shù)的關系1111221121212ijjiiimmiiiiiijjjjjj

17、mmmmmmxyxyab xc yxyLab xc yNLab xc yNLab xcyN第六章 彈性力學平面問題的有限元分析1iijjmmiijjmmijmxx Lx Lx Lyy Ly Ly LLLL 面積坐標與直角坐標的關系面積坐標與直角坐標的關系i (xi, yi)j (xj, yj)m (xm,ym)xoy 面積坐標對直角坐標的微分面積坐標對直角坐標的微分 求求f(Li,Lj,Lm)的偏微分的偏微分jimijmjimijmLLLffffxLxLxLxLLLffffyLyLyLyLiLjoi (1,0)j (0,1)m (0,0)第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 面積坐標對直角坐標

18、的積分面積坐標對直角坐標的積分! !22 !1 !ijmijLL L L dxdyL L dsl , ,i j m用虛功原理確定等效節(jié)點力用虛功原理確定等效節(jié)點力 若三角形單元上作用有集中力若三角形單元上作用有集中力g、分布力、分布力q(力力/面積面積)和體和體積力積力p(力力/體積體積)，則根據(jù)靜力等效原理，節(jié)點力所做的虛功，則根據(jù)靜力等效原理，節(jié)點力所做的虛功等于三種力所做的虛功。等于三種力所做的虛功。ijmqgp第六章 彈性力學平面問題的有限元分析6-3 等效節(jié)點力的計算等效節(jié)點力的計算Q 計算等效節(jié)點力計算等效節(jié)點力 *eTTTTeRfgfq tdsfp tdxdy efN *efN

19、*TeTTfN *eTeTTTTeRNgNq tdsNp tdxdy TTTeRNgNq tdsNp tdxdy代入上式，得代入上式，得第六章 彈性力學平面問題的有限元分析由此可知由此可知 TeGNg TePNp tdxdy TeQNq tds由體積力引起的等效節(jié)點力由體積力引起的等效節(jié)點力由表面力引起的等效節(jié)點力由表面力引起的等效節(jié)點力由集中力引起的等效節(jié)點力由集中力引起的等效節(jié)點力 集中力的等效節(jié)點力計算集中力的等效節(jié)點力計算 xyggg 000000ixixiiyiyiTexjxjxjyjyjyjmxmxmmymymN gL gNN gL gNgN gL gNGNggN gL gNN g

20、L gNN gL gNiiNL第六章 彈性力學平面問題的有限元分析由于由于 表面分布力的等效節(jié)點力表面分布力的等效節(jié)點力 xyqqqiiNL 由于由于 ixixiyiyTejxjxjyjymxmxmymyN qLqN qLqN qL qQNq tdstdstdsN qL qN qL qN qL q 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 體積力的等效節(jié)點力體積力的等效節(jié)點力 xyppp ixixiyiyTejxjxjyjymxmxmymyN pL pN pL pN pL pPNp tdxdytdxdytdxdyN pL pN pL pN pL p iiNL 由于Q 形成載荷列陣形成載荷列陣F e

21、ixiyejxjymxmyRRRRRRR 021enFRF第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 把各單元上的等效節(jié)點力把各單元上的等效節(jié)點力Re根據(jù)單元的編號迭加到載荷根據(jù)單元的編號迭加到載荷列陣列陣F對應行中對應行中F0 表示作用在各節(jié)點上的集中力表示作用在各節(jié)點上的集中力第六章 彈性力學平面問題的有限元分析6-4 邊界條件的處理和整體剛度矩陣邊界條件的處理和整體剛度矩陣的修正，計算實例的修正，計算實例 整體剛度矩陣整體剛度矩陣K是奇異陣，必須考慮邊界約束條件，排除彈性體的剛是奇異陣，必須考慮邊界約束條件，排除彈性體的剛體位移。消除了整體剛度矩陣的奇異性之后，才能從方程組體位移。消除了整體剛

22、度矩陣的奇異性之后，才能從方程組 中求解節(jié)點位移。中求解節(jié)點位移。 一般情況下，所考慮問題的邊界往往已有一定的位移約束條件，排除一般情況下，所考慮問題的邊界往往已有一定的位移約束條件，排除了剛體運動的可能性。否則，應當適當指定某些節(jié)點的位移值，以避免出了剛體運動的可能性。否則，應當適當指定某些節(jié)點的位移值，以避免出現(xiàn)剛體運動。在引用這些邊界條件以后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目和方程的現(xiàn)剛體運動。在引用這些邊界條件以后，待求節(jié)點未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目便可相應地減少。數(shù)目便可相應地減少。 但是在編制程序時，為了避免計算機存儲作大的變動，應保持方程原但是在編制程序時，為了避免計算機存儲作大的變動，應保持

23、方程原有的數(shù)目不變。這時，須引入已知的節(jié)點位移。一般有兩種方法：有的數(shù)目不變。這時，須引入已知的節(jié)點位移。一般有兩種方法：劃行劃劃行劃列方法列方法及及乘大數(shù)方法乘大數(shù)方法。 KF11112131,211,212122232,212,223132333,213,224142434,214,23321xnnynnxnnynnxyxnynnFkkkkkFkkkkkFkkkkkFkkkkkFFFF 112221,121,221,321,2121,22 ,12 ,22 ,32 ,212 ,22122nnnnnnnnnnnnnnnnnnnuvuvkkkkkukkkkkv 第六章 彈性力學平面問題的有限元分

24、析若結構物劃分為若結構物劃分為n個節(jié)點，它的剛度矩陣為個節(jié)點，它的剛度矩陣為2n行行2n列列Q 采用劃行劃列的方法采用劃行劃列的方法 根據(jù)約束情況若在第一點的水平位移為根據(jù)約束情況若在第一點的水平位移為: u1= 1，在第，在第二節(jié)點的水平位移為二節(jié)點的水平位移為: u2 = 3，把節(jié)點所對應剛度矩陣的把節(jié)點所對應剛度矩陣的行和列第一行和第一列及第三行和第三列行和列第一行和第一列及第三行和第三列, , 除主對角元改除主對角元改成成1 1，其余的元素都改成零，同時把左端的，其余的元素都改成零，同時把左端的 F 載荷列陣中載荷列陣中對應的行改為己知位移值對應的行改為己知位移值1 1, ,3 3 ，

25、其余的行都減去節(jié)點，其余的行都減去節(jié)點位移值與原來剛度矩陣該行的相應列元素的乘積。位移值與原來剛度矩陣該行的相應列元素的乘積。第六章 彈性力學平面問題的有限元分析11121323222,212,2321413434231 513533161363121,1321,312 ,132 ,32110000000010000ynnyxyxnnnynnnnFkkkkkFkkkkFkkFkkFkkFkk 1124,214,2221,221,2121,22 ,22 ,212 ,221220000nnnnnnnnnnnnnnnnnuvukvkkkukkkv 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析Q 乘大數(shù)的方法

26、乘大數(shù)的方法 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 把指定位移所對應的主對角元乘大數(shù)，一般取把指定位移所對應的主對角元乘大數(shù)，一般取1015，把對應的載荷列陣中的載荷改為指定位移值乘對應的主對把對應的載荷列陣中的載荷改為指定位移值乘對應的主對角元再乘大數(shù)。角元再乘大數(shù)。 若若u1= 1，u2 = 3 u1所對應所對應 K中的主對角元中的主對角元 k11乘大數(shù)乘大數(shù)1015，對應載荷，對應載荷列陣列陣F中的載荷改為中的載荷改為 1*k11*1015 u2所對應所對應 K中的主對角元中的主對角元 k33乘大數(shù)乘大數(shù)1015，對應載荷，對應載荷列陣列陣F中的載荷改為中的載荷改為 3*k33*1015

27、。 15151 111112131,211,212122232,212,215153333132333,213,224142434,214,2332110101010nnynnnnynnxyxnynnkkkkkkFkkkkkkkkkkkFkkkkkFFFF 112221,121,221,321,2121,22 ,12 ,22 ,32 ,212 ,222nnnnnnnnnnnnnnnnnnuvuvukkkkkvkkkkk 21n同理可得同理可得151531 132 133234 23,23 331010n nk uk vkuk vkvk23u KF第六章 彈性力學平面問題的有限元分析其他方程不變

28、其他方程不變?yōu)榇宋覀兙徒⒘诵碌姆匠虨榇宋覀兙徒⒘诵碌姆匠?51511112 113 214 21,21 111010n nkuk vk uk vkvk11u由于某些項乘上大數(shù)，沒有乘大數(shù)的項可以忽略。由于某些項乘上大數(shù)，沒有乘大數(shù)的項可以忽略。15151111 111010kuk第六章 彈性力學平面問題的有限元分析計算實例計算實例彈性模量為彈性模量為E， ， 不不計自重。計自重。求各角點的位移及應力。求各角點的位移及應力。13 如圖所示一塊薄板，長如圖所示一塊薄板，長度和寬度分別為度和寬度分別為2米、米、1米，米，厚度為厚度為t，一端固定，一端，一端固定，一端受均布拉力受均布拉力q，t2m

29、1mq (KN/m)第六章 彈性力學平面問題的有限元分析1、離散結構物、離散結構物 為了計算簡單，劃分為為了計算簡單，劃分為2個單元，個單元，單元號和節(jié)點編號如圖所示。單元號和節(jié)點編號如圖所示。 對節(jié)點進行編號時，應使同一對節(jié)點進行編號時，應使同一單元內的節(jié)點編號間差值最小。單元內的節(jié)點編號間差值最小。 2、選擇單元的位移模式、選擇單元的位移模式因為采用的是三節(jié)點的三角形單元，位移模式已確定。因為采用的是三節(jié)點的三角形單元，位移模式已確定。123456,u x yxyv x yxyt2mxy1m3124q (KN/m)o(0,0)(2,0)(0,1)(2,1)第六章 彈性力學平面問題的有限元分

30、析 3、計算單元剛度矩陣、計算單元剛度矩陣 eK TrsrsKBDB tr = i, j, m s = i, j, m21122114 122rsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtc bb cc cb b對于平面應力問題，三角形單元的剛度矩陣對于平面應力問題，三角形單元的剛度矩陣ijmimjbyycxxijmijm其中，其中， 三角形單元的面積，三角形單元的面積，=1/2*2*1=1 t 三角形單元的厚度三角形單元的厚度對于單元對于單元1231322312133123211 010220002020 11220byycxxbyycxxbyycxx 單元單元的剛度矩陣的剛度

31、矩陣 表示為表示為1K 11112131212223313233KKKKKKKKKK第六章 彈性力學平面問題的有限元分析312(0,0)(2,0)(2,1)所以單元所以單元的剛度矩陣的剛度矩陣111112111322112333744233,4132123232324033,210123232023033,20013232EtEtKKEtEtKKEtEtKK代入上式，可得代入上式，可得第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 111121312122233132337442324132122142400232120122032320230212001KKKEtKKKKKKK第六章 彈性力學平面問題

32、的有限元分析單元單元的剛度矩陣的剛度矩陣 表示為表示為2K 22224232424443323433KKKKKKKKKK對于單元對于單元2432344324233243421 010000 112021 10022byycxxbyycxxbyycxx 324(0,0)(0,1)(2,1)222224222333224344303233,01213232024033,200123232427433,2124133232EtEtKKEtEtKKEtEtKK第六章 彈性力學平面問題的有限元分析可得可得所以單元所以單元的剛度矩陣的剛度矩陣 2222423242444332343330320201212

33、03274423214132123202424020212012KKKEtKKKKKKK第六章 彈性力學平面問題的有限元分析4、計算等效節(jié)點力、計算等效節(jié)點力 面積坐標對直角坐標的積分面積坐標對直角坐標的積分! !1 !ijLL L dsl , ,i j m 表面分布力的等效節(jié)點力表面分布力的等效節(jié)點力 ixixiyiyTejxjxjyjymxmxmymyN qLqN qLqN qL qQNq tdstdstdsN qL qN qL qN qL q 1!0!1,01 0 1 !2ijiLLlL L dsLdsl 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 1122334420200000 xyxyx

34、yxyqRRRqRRRRRR 所以，各節(jié)點的等效節(jié)點力所以，各節(jié)點的等效節(jié)點力第六章 彈性力學平面問題的有限元分析總體剛度矩陣總體剛度矩陣 21eeKK因為結構物共有因為結構物共有4個節(jié)點，所以個節(jié)點，所以 4 4K 11121312122233132334 40000000KKKKKKKKKK 22223243233344243444 40000000KKKKKKKKKK分別將分別將K1、K2擴展為擴展為4 4矩陣矩陣5、組裝整體結構物的剛度矩陣、組裝整體結構物的剛度矩陣 K 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析所以總體剛度矩陣所以總體剛度矩陣K 1111112131121222122222

35、3232411212231323233333422242434400KKKKKKKKKKKKKKKKKKK744232001321221007004321340213704232132127413Et( 對 稱 )第六章 彈性力學平面問題的有限元分析6、形成結構物的求解方程，并解出位移、形成結構物的求解方程，并解出位移744232001321221007004321340213704232132127413Et( 對 稱 )1122334420200000quvuqvuvuv KF第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 因為節(jié)點因為節(jié)點3、4的約束邊界是固定約束，即的約束邊界是固定約束，即 u3

36、 = v3 = 0，u4 = v4 = 0，經(jīng)過劃行劃列降階處理后，得，經(jīng)過劃行劃列降階處理后，得112274422132120370322130quvEtuqv ( 對 稱 )解得解得11221.980.3331.800uvquEtv第六章 彈性力學平面問題的有限元分析計算單元應力計算單元應力 eDB eS 22 11122iiiiiiibcESbccb(, ,)ii j m ijmSSSS ijmD BDBD B第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 111112123233uvuSSSSvuv單元單元1.982210100.333331.80911202001633212100033330

37、EqEt 10.9888750.0033750.0050625qt得得第六章 彈性力學平面問題的有限元分析單元單元 222224243433uvuSSSSvuv1.802210100330911020201633121200033330EqEt得得 21.01250.33750qtQ 矩形單元的局部座標矩形單元的局部座標 0 xxa0yyb3412022xxxxx2314022yyyyy342122xxxxa324122yyyyb2a2boxy(x0,y0)1234第六章 彈性力學平面問題的有限元分析6-5 矩形單元矩形單元 局部座標局部座標( ,)與整體座標與整體座標(x,y)的關系的關系

38、x0, y0 是矩形的形心是矩形的形心由此可見在局部座標中四個節(jié)點的座標分別為由此可見在局部座標中四個節(jié)點的座標分別為: 1= -1, 1= -1, 2= 1, 2= -1, 3= 1,3= 1, 4= -1, 4= 1Q 矩形單元的位移函數(shù)矩形單元的位移函數(shù) 12345678uv 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析 該函數(shù)稱為雙線性函數(shù)該函數(shù)稱為雙線性函數(shù) 用同樣的方法可以求出八個常數(shù)如下：用同樣的方法可以求出八個常數(shù)如下： 由于矩形單元有四個節(jié)點，八個自由度，因此位移由于矩形單元有四個節(jié)點，八個自由度，因此位移函數(shù)中的常數(shù)可以取八個。函數(shù)中的常數(shù)可以取八個。 11234212343123

39、44123411111111111 1111 1uuuu由上式可求出由上式可求出1, 2, 3, 4123411111111111111111111111111111uuuu第六章 彈性力學平面問題的有限元分析1122334411111111111 11411 11uuuu同理可得出同理可得出 5 , 6 , 7 , 8第六章 彈性力學平面問題的有限元分析則5162738411111111111 11411 11vvvv整理以后可得矩形單元的位移函數(shù)整理以后可得矩形單元的位移函數(shù)把把 1 , 2 , 3 , 4 代入代入1234u 1234111114uuuuu整理后得整理后得把把 5 , 6

40、 , 7 , 8 代入代入5678v 1234111114vvvvv efN第六章 彈性力學平面問題的有限元分析整理后得整理后得代入代入 112123421234334400000000euvuNNNNvfNNNNNuvuv00114iN00ii（i=1 ,2, 3, 4）得得Q 矩形單元的應變矩形單元的應變11111uubavvaba buvuvabba xyxyuuuxxxvvvyyyuvuuvvyxyyxx0 xxa0 xxa0yyb1xa1yb第六章 彈性力學平面問題的有限元分析由于局部座標與整體座標的關系由于局部座標與整體座標的關系根據(jù)根據(jù)有有0yyb由于由于u和和v都是的都是的,

41、函數(shù)，微分后代入函數(shù)，微分后代入得得 10101010101010101411111111ebbbbaaaaababababab 1234eBBBB00ii000010101411iiiiibBaabab1,2,3,4i 第六章 彈性力學平面問題的有限元分析由于由于同樣可計算平面應變下的應力同樣可計算平面應變下的應力Si，只需把上式中的只需把上式中的 eDDB iiSDB1,2,3,4i 0000200111141111122iiiiiiibaESbaabab 2,11EE第六章 彈性力學平面問題的有限元分析Q 矩形單元的應力矩形單元的應力根據(jù)彈性方程根據(jù)彈性方程令令對于平面應力對于平面應力由于矩形單元有四個節(jié)點，單元剛度矩陣有四行四列的由于矩形單元有四個節(jié)點，單元剛度矩陣有四行四列的子矩陣子矩陣 eTKBDB tdxdy 11121314212223243132333441424344eKKKKKKKKKKKKKKKKK第六章 彈性力學平面問題的有限元分析Q 矩形單元的剛度矩陣矩形單元的剛度矩陣Ke同樣根據(jù)虛功原理可得出同樣根據(jù)虛功原理可得出其中每一個子矩陣為其中每一個子矩