一元二次方程根的分布

1、一元二次方程根的分布一知識(shí)要點(diǎn)二次方程的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以研究方程的實(shí)根的情況，可從的圖象上進(jìn)行研究若在內(nèi)研究方程的實(shí)根情況，只需考察函數(shù)與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由的系數(shù)可判斷出的符號(hào)，從而判斷出實(shí)根的情況若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來(lái)確定表一：（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表二：（兩根與的大小比較）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個(gè)根小于，一個(gè)大于

2、即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時(shí)，； （2）時(shí)，對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況： 若或，則此時(shí)不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程在區(qū)間上有一根，因?yàn)?/p>

3、，所以，另一根為，由得即為所求； 方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間內(nèi)，即，此時(shí)由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍。分析：由即得出；由即得出或，當(dāng)時(shí)，根，即滿足題意；當(dāng)時(shí)，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或二例題選講（1）兩個(gè)根在實(shí)數(shù)的同一側(cè)例1已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍變式1：已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式2：已知二次方程的兩個(gè)根都小于1，求的取值范圍（2）兩個(gè)根在實(shí)數(shù)的異側(cè)例2：已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式1：已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)

4、交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式2：求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程（）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比?。ǎ┯袃蓚€(gè)實(shí)根，且滿足（）至少有一個(gè)正根變式3：如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.（3）在區(qū)間有且只有一個(gè)實(shí)根例3已知二次方程只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 變式：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.（4）在區(qū)間有兩個(gè)實(shí)根例4： 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，

5、求m的范圍.變式1：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的兩個(gè)根在-3與3之間，求a的取值范圍變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于( -3, 3)，且其中至少有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍（5） 在區(qū)間有實(shí)根例5已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍（6）二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適當(dāng)運(yùn)用例6.1求函數(shù)y = (1<x<2)的值域例6.2已知拋物線y = 2x2-mx+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(0,0), (1,1)為端點(diǎn)的線段（除去兩個(gè)端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，求m的

6、取值范圍例6.3設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。變式：已知方程在上有兩個(gè)根，求的取值范圍三鞏固練習(xí)1已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于( -1, 1)，求m的取值范圍2已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范圍3已知二次方程的兩個(gè)根都屬于（1，1），求的取值范圍4若關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+1=0有兩相異實(shí)根，且兩根均在區(qū)間0,2上，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案：二例題選講（1）兩個(gè)根在實(shí)數(shù)的同一側(cè)例1已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍解：依題意有變式1：已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根

7、，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 或即為所求的范圍。變式2：已知二次方程的兩個(gè)根都小于1，求的取值范圍解一：二次方程兩個(gè)根都小于1，其充要條件為 （1）即為，它的解集是（2）即為，它的解集是（3）的解集是所以，的取值范圍是解二：二次方程有兩個(gè)根的充要條件是設(shè)兩根為，由于都小于1，即，其充要條件為： 即 因此，方程兩個(gè)根都小于1的充要條件是： 以下同解法一（略）解三：令，原方程轉(zhuǎn)化為，即 （*）因?yàn)樵匠虄筛夹∮?，所以方程（*）的兩個(gè)實(shí)根都小于0，其充要條件是： 同樣可求出的取值范圍（略）（2）兩個(gè)根在實(shí)數(shù)的異側(cè)例2：已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 ，從而得即為所求的范

8、圍。變式1：已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由 即 即為所求的范圍。變式2：求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程（）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比大，一個(gè)比?。ǎ┯袃蓚€(gè)實(shí)根，且滿足（）至少有一個(gè)正根解：設(shè)（） 依題意有，即，得（） 依題意有解得：（）方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：有兩個(gè)正根，此時(shí)可得，即有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得，得有一個(gè)正根，另一根為，此時(shí)可得綜上所述，得變式3：如果二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.解：f(0)=1>0(1)當(dāng)m0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，

9、符合題意.(2）當(dāng)m>0時(shí)，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.（3）在區(qū)間有且只有一個(gè)實(shí)根例3已知二次方程只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間上只有一個(gè)正根，則 即為所求范圍。 變式：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.解：條件說(shuō)明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，則 Û ，實(shí)數(shù)m的范圍是.（4）在區(qū)間有兩個(gè)實(shí)根例4： 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在區(qū)間(

10、0，1)內(nèi)，求m的范圍.解：據(jù)拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間 (0，1) 內(nèi)，列不等式組 Û - <m1-, 實(shí)數(shù)m的范圍是.變式1：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的兩個(gè)根在-3與3之間，求a的取值范圍解：設(shè)f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，則原方程兩根都屬于 (-3, 3)的充要條件為 Û Û - <m或m<.故a的取值范圍是 (- , , )變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于( -3, 3)，且其中至少有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍解：原方

11、程即為 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足 -3<2-3m<3 Û - <m< .（6） 在區(qū)間有實(shí)根例5已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的取值范圍解析1：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點(diǎn)，即方程=0在-1，1上有解， a=0時(shí)，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解<=>或或或或a1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或a1.解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)-1，1上的值

12、域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則，t1,5,，設(shè)，時(shí)，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時(shí)，>0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，y的取值范圍是，=0在-1，1上有解ó或。（6）二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適當(dāng)運(yùn)用例6.1求函數(shù)y = (1<x<2)的值域解：原函數(shù)即為 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由題意，關(guān)于的方程在(1,2)上有實(shí)根易知y<0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)= -2<0, f(2)= -3<0，所以方程在(1,2)

13、上有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng) ，解得y-5-2. 原函數(shù)的值域?yàn)?(-¥, -5-2.例6.2已知拋物線y = 2x2-mx+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(0,0), (1,1)為端點(diǎn)的線段（除去兩個(gè)端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，求m的取值范圍解：以(0,0), (1,1)為端點(diǎn)的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由題意，方程在區(qū)間(0, 1)上有實(shí)根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，則當(dāng)且僅當(dāng)f(0)·f(1)<0或 Û m<0或 Û m3-2且m0故m的取值范圍為 (-¥, 0)(

14、0, 3-2.例6.3設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。分析：可用換元法，設(shè)，原方程化為二次方程，但要注意，故原方程有解并不等價(jià)于方程有解，而等價(jià)于方程在內(nèi)有解另外，方程有解的問(wèn)題也可以通過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問(wèn)題，它的原理是：若關(guān)于的方程有解，則的值域解：（1）原方程為，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解。變式：已知方程在上有兩個(gè)根，求的取值范圍解：令，當(dāng)時(shí)，由于是一一映射的函數(shù)，所以在上有兩

15、個(gè)值，則在上有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的值因而方程在（0，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，其充要條件為 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范圍為三鞏固練習(xí)1已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于( -1, 1)，求m的取值范圍解：易知x1 = -1是方程的一個(gè)根，則另一根為x2 = ，所以原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根屬于( -1, 1)當(dāng)且僅當(dāng) -1< <1，即 Û Û m< - 或m> ， m的取值范圍為 (-¥,- )( , +¥).2已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范圍解：設(shè)f(x) = ，由于f(x)是二次函數(shù)，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且僅有一個(gè)實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)f(1)·f(2)<0 Û (5m+3)(m-2)<0 Û - <m<2.綜上得