復習量子力學

1、1 量子力學的理論體系是一個公理體系，有量子力學的理論體系是一個公理體系，有一些基本假設構(gòu)成，這些假設建立于量子論一些基本假設構(gòu)成，這些假設建立于量子論的基礎上，他們是以偽象的量子論作為根據(jù)的基礎上，他們是以偽象的量子論作為根據(jù)的。但是，既然是假設，在量子力學的理論的。但是，既然是假設，在量子力學的理論體系之內(nèi)，不可能把他們體系之內(nèi)，不可能把他們“推導推導”或者或者“證證明明”出來，他們不是出來，他們不是“推導推導”或者或者“證明證明”的產(chǎn)物，不是單純的邏輯推理的結(jié)果。的產(chǎn)物，不是單純的邏輯推理的結(jié)果。量子力學中的基本假設是：量子力學中的基本假設是：1.微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來描寫！微觀粒子的

2、狀態(tài)用波函數(shù)來描寫！2.波函數(shù)的演化和分布服從薛定諤方程！波函數(shù)的演化和分布服從薛定諤方程！3.微觀體系的可觀察量用厄米算符表示微觀體系的可觀察量用厄米算符表示4.體系的狀態(tài)波函數(shù)可以用算符體系的狀態(tài)波函數(shù)可以用算符F的本征函數(shù)展的本征函數(shù)展開。開。5.在全同粒子組成的體系中，兩個全同粒子相在全同粒子組成的體系中，兩個全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)！互交換不改變體系的狀態(tài)！4（一）（一）幾個主要的經(jīng)典物理學問題幾個主要的經(jīng)典物理學問題 19 19世紀末、世紀末、2020世紀初經(jīng)典物理學理論發(fā)展世紀初經(jīng)典物理學理論發(fā)展到相當完善的地步，一般的物理現(xiàn)象都可歸結(jié)于到相當完善的地步，一般的物理現(xiàn)象都

3、可歸結(jié)于經(jīng)典物理學理論。經(jīng)典物理學理論。1. 1. 行星運動行星運動牛頓力學牛頓力學 2. 2. 熱運動熱運動熱力學與玻耳茲曼統(tǒng)計等理論熱力學與玻耳茲曼統(tǒng)計等理論 3. 3. 電磁運動電磁運動麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 4. 4. 光的現(xiàn)象光的現(xiàn)象光的波動理論光的波動理論 5（二）（二）經(jīng)典物理學的困難與量子物理學的誕生經(jīng)典物理學的困難與量子物理學的誕生 1. 1. 黑體輻射問題黑體輻射問題 2. 2. 光電效應問題光電效應問題 3. 3. 康普頓（康普頓（ComptonCompton）效應）效應4. 4. 原子結(jié)構(gòu)及其光譜問題原子結(jié)構(gòu)及其光譜問題RETURNRETURN 普朗克和愛因斯坦的

4、理論揭示出光普朗克和愛因斯坦的理論揭示出光的的微粒性微粒性，但這并不否認光的，但這并不否認光的波動性波動性；因為光的波動性理論早已被干涉和衍射因為光的波動性理論早已被干涉和衍射等現(xiàn)象證實。這樣光就具有微粒和波動等現(xiàn)象證實。這樣光就具有微粒和波動的雙重性質(zhì)，這種性質(zhì)就稱為的雙重性質(zhì)，這種性質(zhì)就稱為波粒二象波粒二象性性。光子是一個全新的概念，為了便于。光子是一個全新的概念，為了便于理解其性質(zhì)，人們用兩個經(jīng)典的概念波理解其性質(zhì)，人們用兩個經(jīng)典的概念波和粒子來描述它，即波粒二象性。實際和粒子來描述它，即波粒二象性。實際上光子即上光子即不是經(jīng)典的波，也不是經(jīng)典的不是經(jīng)典的波，也不是經(jīng)典的粒子粒子！7 為

5、克服經(jīng)典物理所遇到的困難，人們在為克服經(jīng)典物理所遇到的困難，人們在經(jīng)典物理的基礎上加上了一些能量量子化的經(jīng)典物理的基礎上加上了一些能量量子化的假設，由此雖然解決了許多問題，但并沒有假設，由此雖然解決了許多問題，但并沒有從根本上解決能量不連續(xù)的本質(zhì)問題。這一從根本上解決能量不連續(xù)的本質(zhì)問題。這一切都推動著理論的發(fā)展。量子力學切都推動著理論的發(fā)展。量子力學 （1923 - 1923 - 19291929）就是在克服這些困難中建立起來的。）就是在克服這些困難中建立起來的。2020世紀世紀2020年代量子物理學的兩種等價理論同年代量子物理學的兩種等價理論同時提出：時提出： 1. 1. 光的波粒二象性光

6、的波粒二象性 光子的能量和動量光子的能量和動量 Eh hhpnnkc2kn341.0545 10J s2h( 其中其中 ， )2.2.微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性 德布羅意假說（德布羅意假說（19241924年）：年）： 一切實物微粒也具有波動性。一切實物微粒也具有波動性。 與能量為與能量為E E及動量為及動量為p p 的粒子相聯(lián)系的波（物質(zhì)的粒子相聯(lián)系的波（物質(zhì)波）的頻率及波長為波）的頻率及波長為 Ehhpa) 德布羅意關系德布羅意關系b) 德布羅意波函數(shù)德布羅意波函數(shù)自由粒子的能量和動量都是常量，所以由德布羅意關系可知：自由粒子的能量和動量都是常量，所以由德布羅意關系可知：與自

7、由粒子聯(lián)系的波，它的頻率或者是波長都不變，即它是與自由粒子聯(lián)系的波，它的頻率或者是波長都不變，即它是一個平面波。一個平面波。以自由粒子為例：以自由粒子為例： 頻率為頻率為v，波數(shù)為，波數(shù)為K，沿，沿X方向傳播的一個平面波，可用方向傳播的一個平面波，可用下面的式子表示下面的式子表示002( )cos()xy tAti( , )ep r Etr tA 如速度如速度v=5.0 102m/s飛行的子彈，質(zhì)量為飛行的子彈，質(zhì)量為m=10-2Kg，對應的德布羅意波長為：對應的德布羅意波長為：nmmvh25103 . 1如電子如電子m=9.1 10-31Kg，速度，速度v=5.0 107m/s, 對應的對應

8、的德布羅意波長為：德布羅意波長為：nmmvh2104 .1太小測不到！太小測不到！X射線射線波段波段c) 德布羅意波長的大小估計德布羅意波長的大小估計所以所以德布羅意波長相當于德布羅意波長相當于晶體中原子間距晶體中原子間距，它比宏觀的線度，它比宏觀的線度要短的多，因此電子的波動性長期以來未被發(fā)現(xiàn)！要短的多，因此電子的波動性長期以來未被發(fā)現(xiàn)！GM 戴維遜和革末的實驗是用戴維遜和革末的實驗是用電子束電子束垂直投射到垂直投射到鎳單晶鎳單晶，電子，電子束被散射。其強度分布可用德布羅意關系和衍射理論給以解釋，束被散射。其強度分布可用德布羅意關系和衍射理論給以解釋，從而驗證了物質(zhì)波的存在。從而驗證了物質(zhì)波

9、的存在。實驗裝置實驗裝置：電子從燈絲電子從燈絲K K飛出，經(jīng)電飛出，經(jīng)電勢差為勢差為U U的加速電場，通的加速電場，通過狹縫后成為很細的電子過狹縫后成為很細的電子束，投射到晶體束，投射到晶體M M上，散上，散射后進入電子探測器，由射后進入電子探測器，由電流計電流計G G測量出電流。測量出電流。K3.3.德布羅意假設的實驗驗證德布羅意假設的實驗驗證（1）德布羅意德布羅意革末（革末（DavisonGermer） V(x)V(x)電子槍電子槍探測器探測器q實驗現(xiàn)象：實驗現(xiàn)象：實驗發(fā)現(xiàn)，單調(diào)地增加加速電壓，實驗發(fā)現(xiàn)，單調(diào)地增加加速電壓，電子探測器的電流并電子探測器的電流并不是單調(diào)不是單調(diào)地增地增加的加

10、的，而是出現(xiàn)明顯的選擇性。例，而是出現(xiàn)明顯的選擇性。例如，只有在加速電壓如，只有在加速電壓U=54V,U=54V,且且=65=650 0時，探測器中的電流才有極大時，探測器中的電流才有極大值。值。54U(V)IO單晶表面等效的一個反射光柵單晶表面等效的一個反射光柵 qsin225.12dkU 12.26nm2VhemUU代入代入2 sindkqqd2 sindkq實驗結(jié)果實驗結(jié)果：理論值理論值(=65(=650 0) )與實驗結(jié)果與實驗結(jié)果(=65.8(=65.80 0) )相差很小，表明電相差很小，表明電子電子確實具有波動性，德子電子確實具有波動性，德布羅意關于實物具有波動性布羅意關于實物具

11、有波動性的假設是正確的的假設是正確的(d=0.091nm)（2）湯姆遜實驗湯姆遜實驗 1927年，湯姆遜在實驗中，讓年，湯姆遜在實驗中，讓電子束電子束通過薄通過薄金金屬膜屬膜后射到照相底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與后射到照相底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線射線通通過金箔時一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣過金箔時一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。多晶薄膜多晶薄膜入射電子入射電子 電子通過金屬多晶薄膜的衍射實驗電子通過金屬多晶薄膜的衍射實驗 電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗電子的單縫、雙縫、三縫和四縫衍射實驗（湯姆孫湯姆孫19271927年）年）（約恩遜（約恩遜19611961年年) )電子、質(zhì)子、原子、分子

12、等都具有波電子、質(zhì)子、原子、分子等都具有波 動性；波動性是物質(zhì)粒子普遍具有的。動性；波動性是物質(zhì)粒子普遍具有的。 Clinton Davisson 18811958P 點電子流的強度點電子流的強度204cos (sin )dIIqsin(0,1,2,)ndnq當當 時時, ,電子強度為極大電子強度為極大, ,此結(jié)果為實驗所證實此結(jié)果為實驗所證實. .詭異的微觀粒子的波粒二象性在此已經(jīng)充分顯露詭異的微觀粒子的波粒二象性在此已經(jīng)充分顯露出來。費曼（出來。費曼（feynmanfeynman）說，量子力學的全部奧妙）說，量子力學的全部奧妙就在于此！就在于此！ “波粒二象性波粒二象性”實際上是個拼湊的詞

13、，用我們這副經(jīng)實際上是個拼湊的詞，用我們這副經(jīng)典物理訓練出來的頭腦，想象不出典物理訓練出來的頭腦，想象不出“波粒二象性波粒二象性”是怎樣是怎樣的物理圖像。雖然我們的文字和頭口語言顯得很貧乏，的物理圖像。雖然我們的文字和頭口語言顯得很貧乏，而數(shù)學的語言卻能夠精確的描述波粒二象性。只是我們而數(shù)學的語言卻能夠精確的描述波粒二象性。只是我們需要逐漸的熟練這種數(shù)學語言，即用波函數(shù)描寫電子的需要逐漸的熟練這種數(shù)學語言，即用波函數(shù)描寫電子的狀態(tài)。狀態(tài)。 一一切微觀粒子的狀態(tài)可用相應的波函數(shù)切微觀粒子的狀態(tài)可用相應的波函數(shù)來描寫來描寫. .自由粒子：自由粒子： 是常量是常量 是常量是常量 平面波平面波,E p

14、,kv對應自由粒子平面波函數(shù)自由粒子平面波函數(shù)i( , )ep r Etr tA 用一個函數(shù)描寫粒子的波用一個函數(shù)描寫粒子的波, ,稱這個函數(shù)為波函數(shù)。稱這個函數(shù)為波函數(shù)。 一一切微觀粒子的狀態(tài)可用相應的波函數(shù)切微觀粒子的狀態(tài)可用相應的波函數(shù)來描寫來描寫. .自由粒子平面波函數(shù)自由粒子平面波函數(shù)i( , )ep r Etr tA 如果粒子處于隨如果粒子處于隨時間和位置變化的力場時間和位置變化的力場中運動，中運動，他的動量和能量他的動量和能量不再是常量不再是常量（或不同時為常量）（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記

15、為復雜的波描寫，一般記為：),(tr 描寫粒子狀態(tài)的描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個是一個復函數(shù)復函數(shù)。 1.1.有一定質(zhì)量、電荷等有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性顆粒性”的的屬性屬性 2.2.有確定的運動軌道，每一時刻有一有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度定位置和速度 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性實在的物理量的空間分布作周期性 的變化的變化 2.2.干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性 經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中粒子：粒子：經(jīng)典概念中經(jīng)典概念中波：波：粒子性粒子性 顆粒性顆粒性(V)(V) 軌道軌道(X)(X)波動性波動性 物理量周期分布物理量周期分

16、布(V and X) (V and X) 將將”粒子分布粒子分布”視為物理量視為物理量 疊加性疊加性-干涉干涉, ,衍射衍射(V)(V)2. 2. 概率波概率波 “物質(zhì)波物質(zhì)波”不是經(jīng)典波所代表的某種物不是經(jīng)典波所代表的某種物理量的波動，而是所描寫粒子空間分布的概率波，理量的波動，而是所描寫粒子空間分布的概率波，把粒子的把粒子的“原子性原子性”與波的與波的“疊加性疊加性”統(tǒng)一了起來。統(tǒng)一了起來。 電子衍射實驗：電子衍射實驗： 電子束電子束金箔金箔屏屏電子槍電子槍 x處電子數(shù)處電子數(shù)又因為強度又因為強度 波幅平方波幅平方所以，電子在所以，電子在t t 時刻，電子波函數(shù)的模方時刻，電子波函數(shù)的模方

17、x處的概率處的概率因為因為x處的強度處的強度 x處感光點子數(shù)處感光點子數(shù) 電子出現(xiàn)電子出現(xiàn) x 處的幾率處的幾率玻恩（玻恩（M.Born)M.Born)：在某一時刻：在某一時刻, , 空間空間 x 處粒子出處粒子出現(xiàn)的概率正比于該處波函數(shù)的模方。粒子在空間現(xiàn)的概率正比于該處波函數(shù)的模方。粒子在空間出現(xiàn)的概率具有波動性的分布，它是一種概率波。出現(xiàn)的概率具有波動性的分布，它是一種概率波。設波函數(shù)設波函數(shù) tzyx, t 時刻處于時刻處于 xx+dx，yy+dy，zz+dz內(nèi)內(nèi)的概率的概率 2, , , , ,d d ddW x y x tCx y z tx y z概率密度：概率密度： 2d, ,

18、, , ,dWw x y z tCx y z tV3.3.波函數(shù)的性質(zhì)波函數(shù)的性質(zhì)(1) (1) 是單值、有界、連續(xù)的；是單值、有界、連續(xù)的； tzyx, (2) (2) 與與 描寫同一狀態(tài)。描寫同一狀態(tài)。 tzyx, tzyxC, (3)(3)波函數(shù)的歸一性波函數(shù)的歸一性 2d1V即粒子在全空間出現(xiàn)的概率和等于即粒子在全空間出現(xiàn)的概率和等于1 1 是平方不可積的是平方不可積的, ,則可則可歸一歸一為為d 函數(shù)函數(shù) tzyx, i*2,ddpp xppr tr txAex 是平方可積的是平方可積的, ,則可則可歸一化，歸一化，( , , )x y z如：平面波函數(shù)如：平面波函數(shù)iep r Et

19、A 2212ed2 2ipp xxAApp 2121 A取取 所以所以 箱歸一化箱歸一化加上周期性邊界條件限制加上周期性邊界條件限制 L 周期周期 i1 21( , )e(2 )p r Etpr t ( )()xxL設歸一化因子為設歸一化因子為C，則歸一化的波函數(shù)為，則歸一化的波函數(shù)為取取 d d0 0，則歸一化的波函數(shù)為，則歸一化的波函數(shù)為解：解： 例題例題 將波函數(shù)將波函數(shù) 歸一化歸一化 2exp22xxfa 計算積分得計算積分得 , ,所以，所以，2CaieCa22( )exp(2)xxaa22( )exp(2)xCxa由由2( )d1xx 給出給出 盡管粒子的位置不確定（我們不能要求它

20、盡管粒子的位置不確定（我們不能要求它確定，這是微觀粒子的本質(zhì)），但它的幾率分布是完全確定確定，這是微觀粒子的本質(zhì)），但它的幾率分布是完全確定的，我們在以后還將證明，此時粒子的能量，動量等各種可的，我們在以后還將證明，此時粒子的能量，動量等各種可觀測量的觀測值及其幾率分布也是完全確定的。因此，我們觀測量的觀測值及其幾率分布也是完全確定的。因此，我們把由把由 描述的粒子的狀態(tài)稱為描述的粒子的狀態(tài)稱為量子態(tài)或簡稱態(tài)（量子態(tài)或簡稱態(tài)（各各力學量的值不確定，但它的可能值及其分布幾率是確定），力學量的值不確定，但它的可能值及其分布幾率是確定），而把而把 稱為稱為態(tài)函數(shù)態(tài)函數(shù)。),(tr),(tr),(tr

21、經(jīng)典力學疊加原理：經(jīng)典力學疊加原理： 兩個可能的波動過程兩個可能的波動過程 和和 線性疊加的線性疊加的結(jié)果結(jié)果 也是一個可能的波動過程。也是一個可能的波動過程。121122cc 聲波和光波都遵從疊加原理。光學中的惠更斯原理聲波和光波都遵從疊加原理。光學中的惠更斯原理就是這樣的一個原理，它告訴我們：在空間中任意一點就是這樣的一個原理，它告訴我們：在空間中任意一點P P的光波強度可以由前一時刻波前上所有各點傳播出來的光波強度可以由前一時刻波前上所有各點傳播出來的光波在的光波在P P點的線性疊加起來而得出。在聲學和光學中，點的線性疊加起來而得出。在聲學和光學中，利用這個原理可以解釋聲和光的干涉、衍射

22、現(xiàn)象利用這個原理可以解釋聲和光的干涉、衍射現(xiàn)象。量子力學疊加原理：量子力學疊加原理： 如果如果 和和 是體系的可能態(tài)，則它們的是體系的可能態(tài)，則它們的線性疊加線性疊加 也是體系的可能態(tài)。也是體系的可能態(tài)。 121122cc以電子的雙縫干涉實驗為例。用以電子的雙縫干涉實驗為例。用 表示電子通過上面表示電子通過上面狹縫到達屏的狀態(tài)，用狹縫到達屏的狀態(tài)，用 表示電子通過下面狹縫的到表示電子通過下面狹縫的到達屏的狀態(tài)，再達屏的狀態(tài)，再用表示電子通過兩個狹縫到達屏的狀用表示電子通過兩個狹縫到達屏的狀態(tài)。那么態(tài)。那么可以寫為的線性疊加可以寫為的線性疊加 。121122cc)t , r()p()t , r(

23、pp 2、按照態(tài)疊加原理，粒子處在、按照態(tài)疊加原理，粒子處在r處的狀態(tài)應處的狀態(tài)應該是各種動量該是各種動量p運動的狀態(tài)的線性疊加：運動的狀態(tài)的線性疊加：由于出射粒子出射動量連續(xù)變化則由于出射粒子出射動量連續(xù)變化則)Etrp(iexp)t , r(p2321）（ pdeptrrpi323)()2(1),(1、電子在晶體表面反射后，可能以各種不同、電子在晶體表面反射后，可能以各種不同的動量運動（對應不同的出射角度）。以動的動量運動（對應不同的出射角度）。以動量量p運動的狀態(tài)運動的狀態(tài)pdetptrrpi323),()2(1),(xdetrtprpi323),()2(1),(說明：任何波函數(shù)說明：任

24、何波函數(shù) 都可以看作是各種不同都可以看作是各種不同動量平面波的迭加動量平面波的迭加 )t ,r( )t ,r( )t ,p( pdnhdnnqsinpnq qnq q而沿而沿 出射波的波幅出射波的波幅 應該正比入射波中動量相應該正比入射波中動量相應分波的波幅應分波的波幅在衍射過程中在衍射過程中, ,波長未改變波長未改變, ,即粒子的動量大小未改即粒子的動量大小未改變變. .因而衍射譜的分布反映了衍射前粒子動量的分布因而衍射譜的分布反映了衍射前粒子動量的分布. .測出衍射角測出衍射角, ,就等于測出了粒子的動量就等于測出了粒子的動量, ,即晶體衍射實即晶體衍射實驗可作為測量粒子動量的裝置驗可作為

25、測量粒子動量的裝置. .1)(32pdp兩者的區(qū)別僅在于：兩者的區(qū)別僅在于： (r)是以坐標為自變量是以坐標為自變量,稱為坐稱為坐標表象的波函數(shù)標表象的波函數(shù),而而 (p)是以動量為自變量是以動量為自變量,稱為動量表稱為動量表象中的波函數(shù)象中的波函數(shù). 粒子動量在粒子動量在p到到p+dp范圍中的幾率為范圍中的幾率為| (p) |2d3p, 一般來說，任何一個波函數(shù)都可以看作是一般來說，任何一個波函數(shù)都可以看作是各種不同動量的平面波的疊加各種不同動量的平面波的疊加 ,dpx tCp tx tp 1i21e2p xEtpx 3 2*1,( )d2pCp tx txx其中其中注：注：動量表象動量表象

26、 ,C p t, x t坐標表象坐標表象與與 是互為付氏變換式。是互為付氏變換式。 , x t,C p t（2 2）同一量子態(tài)可用不同形式的波函數(shù)表示。）同一量子態(tài)可用不同形式的波函數(shù)表示。（1 1）態(tài)疊加原理指的是波函數(shù)（概率幅）的線）態(tài)疊加原理指的是波函數(shù)（概率幅）的線 性疊加，而不是概率的疊加。性疊加，而不是概率的疊加。 量子態(tài)隨時間的變化規(guī)律滿足薛定諤方程量子態(tài)隨時間的變化規(guī)律滿足薛定諤方程. .1.1.含時薛定諤方程含時薛定諤方程（1 1） 單粒子體系的薛定諤方程單粒子體系的薛定諤方程 22i2Uxtm 建立方程的啟示建立方程的啟示 自由粒子自由粒子 已知解已知解=方程式方程式( (

27、不唯一不唯一) )作代換作代換iEtipp 能量算符能量算符動量算符動量算符薛定諤方程薛定諤方程 22i2U xtm 特例：特例：自由粒子的含時薛定諤方程自由粒子的含時薛定諤方程22i2tm 2. 2. 多粒子體系的非相對論薛定諤方程多粒子體系的非相對論薛定諤方程 2121,2niniipEUxxxmiEtiiip iiiiijkxyz 22121i,2niniiUxxxtm 體系的能量體系的能量作代換作代換薛定諤方程：薛定諤方程：其中：其中：一般方法：一般方法：根據(jù)非相對論能量動量關系式（體根據(jù)非相對論能量動量關系式（體系的哈密頓式），用能量算符和動量算符代替系的哈密頓式），用能量算符和動量

28、算符代替能量和動量分別作用于波函數(shù)上，便可得到量能量和動量分別作用于波函數(shù)上，便可得到量子體系所滿足的薛定諤方程。子體系所滿足的薛定諤方程。 注：注：薛定諤方程是量子力學的最基本方程，也是量子薛定諤方程是量子力學的最基本方程，也是量子力學的一個基本假設。我們并不能從一個更基本力學的一個基本假設。我們并不能從一個更基本的假設來推導或證明它。其正確性只能靠實踐來的假設來推導或證明它。其正確性只能靠實踐來檢驗。檢驗。薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基薛定諤方程是非相對論微觀粒子的基本方程，地位同經(jīng)典物理的牛頓定律。本方程，地位同經(jīng)典物理的牛頓定律。 薛定諤薛定諤 Schrdinger Erwin 奧地

29、利人奧地利人 （1887 1961）設設t t時刻，時刻，x x點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率 *,w x tx tx t1. 1. 概率流密度和守恒定律概率流密度和守恒定律概率隨時間的變化規(guī)律概率隨時間的變化規(guī)律*wttt2i12iUxtm *2*i12iUxtm 因為因為0wJt *i1Re2Jpmm其中：其中：則則J 概率流密度矢量概率流密度矢量 注：注：幾率流密度矢量幾率流密度矢量的物理意義的物理意義 ddddddVVSJJStt 單位時間體積單位時間體積V V 內(nèi)增加的概率等于從體內(nèi)增加的概率等于從體積積V V 外部穿過界面外部穿過界面S S 流入流入V

30、 V 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。 電荷守恒方程電荷守恒方程 粒子電荷為粒子電荷為e, e, 電流密度：電流密度： 電荷守恒方程：電荷守恒方程： *ei2eJeJm0eewJt 電荷密度為電荷密度為ewwe單位時間體積單位時間體積 V V內(nèi)電荷增量等于內(nèi)電荷增量等于單位時間由單位時間由V V表面流入表面流入V V內(nèi)的電量內(nèi)的電量 2.2.波函數(shù)的歸一不變性波函數(shù)的歸一不變性 dd0VVSddJJSdt 2,d(x tt常數(shù) 與 無關）若波函數(shù)是歸一化的，即若波函數(shù)是歸一化的，即 *1d 則將保持歸一性不變。則將保持歸一性不變。 當當V 時時所所 以以一一. . 薛定諤方程薛定諤方程描述微觀粒子有波粒二

31、象性狀態(tài)的波函數(shù)一描述微觀粒子有波粒二象性狀態(tài)的波函數(shù)一般是空間和時間的函數(shù)，即般是空間和時間的函數(shù)，即 微觀粒子在微觀粒子在不同條件不同條件下下( (例如，處于不同的外力場中例如，處于不同的外力場中) )的的運動狀態(tài)是不同運動狀態(tài)是不同的，的，解波函數(shù)解波函數(shù) 所所滿足的方程滿足的方程-薛定諤方程，該方程應薛定諤方程，該方程應反映出反映出微觀粒子所處的不同條件。微觀粒子所處的不同條件。tr,常常常遇到微觀粒子的常遇到微觀粒子的勢能函數(shù)勢能函數(shù) U 與時間與時間 t無關無關的穩(wěn)的穩(wěn)定的勢場問題，這稱為定的勢場問題，這稱為定態(tài)問題定態(tài)問題。 設勢場設勢場U(x)與與t t無關無關, ,令特解令特

32、解 , x txf t代入薛定諤方程代入薛定諤方程 22di1(d2ftUxxEfttxm常數(shù)）二二. .定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程 22222pHUxUxmm 若記哈密頓算符若記哈密頓算符則定態(tài)薛定諤方程則定態(tài)薛定諤方程HE-本征值方程本征值方程體系的能量本征函數(shù)體系的能量本征函數(shù)從數(shù)學上講，對任何值，定態(tài)薛定諤方程都有解。從數(shù)學上講，對任何值，定態(tài)薛定諤方程都有解。對于實際的物理問題，只有一些特定的對于實際的物理問題，只有一些特定的En 對應的解對應的解n 才滿足物理上的要求，即波函數(shù)的標準化條件才滿足物理上的要求，即波函數(shù)的標準化條件。 En 稱為體系的稱為體系的能量本征值。能量本征值

33、。 n 稱為稱為能量本征函數(shù)。能量本征函數(shù)。 定態(tài)薛定諤方程也就稱為定態(tài)薛定諤方程也就稱為 的本征方程。的本征方程。HetEinnnrtr)(),(而原方程的通解由特解迭加而成而原方程的通解由特解迭加而成etEinnnnrctr)(),(強調(diào)幾點：強調(diào)幾點：1.它描寫的粒子的能量它描寫的粒子的能量 En是確定的是確定的2.2.位置的幾率分布不隨時間變化位置的幾率分布不隨時間變化3.3.幾率密度矢量亦與時間無關幾率密度矢量亦與時間無關 用波函數(shù)用波函數(shù) 描寫的狀態(tài)稱為定態(tài)描寫的狀態(tài)稱為定態(tài)etEinnr)( 一、一維無限深勢阱一、一維無限深勢阱金屬中自由電子的運動金屬中自由電子的運動, ,是被限

34、制在一個有限的范是被限制在一個有限的范圍圍 稱為稱為束縛態(tài)束縛態(tài)。作為粗略的近似，我們認為這些電子在一維無限深方作為粗略的近似，我們認為這些電子在一維無限深方勢阱中運動：勢阱中運動：2a金屬金屬U(x)U=U0U=U0U=0 x簡簡化化U=0UUU(x)x 無限深方勢阱無限深方勢阱a a一維無限深勢阱的勢能函數(shù)是一維無限深勢阱的勢能函數(shù)是： |x|a; |x|a .U(x)=0+ox)(|x|aEU222根據(jù)定態(tài)薛定諤方程：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程： 在阱外因在阱外因U0，根據(jù)波函數(shù)的根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性和和有限性有限性條件，得條件，得在勢阱內(nèi)，滿足方程在勢阱內(nèi)，滿足方程: :)(0)(2222

35、axaxEdxd 顯然顯然E E必須必須00，所以記，所以記Ek2那么方程變成：那么方程變成： ddxkx2220( ).它的一般解是：它的一般解是： )(.sincos)(axakxBkxAx 因而因而，AkaBkacos,sin.00 由于由于處處必必須須連連續(xù)續(xù)，和和在在axaxx )( ox)(|x|=a 可得可得由邊界條件由邊界條件)(at, 0sincosaxkaBkaA)(at, 0sincosaxkaBkaAA A和和B B不能同時為不能同時為0 0，否則，否則0 0，無意義解，無意義解有兩種情形的解：有兩種情形的解： , 0cos, 0kaB所以，（1）)(,2奇數(shù)nankE

36、k2因為,82222anEn得到axnAxn2cos)( (2) 所以，Aka00,sin)(,2偶數(shù)nank因而，因而，AkaBkacos,sin.00A A和和B B不能同時為不能同時為0 0，否則，否則0 0，無意義解，無意義解有兩種情形的解：有兩種情形的解： axnBxn2sin)(波函數(shù)的歸一化是波函數(shù)的歸一化是：1| )(| )(|22 dxxdxxaa 所以，所以， Aan1,（與n無關）最后，波函數(shù)是：最后，波函數(shù)是： nxanaxa( )sin().12二者合起來可寫為：二者合起來可寫為：axaxanAxnn)(2sin)(axxn 0)(3.3.最低能量不為零（稱零點能）最

37、低能量不為零（稱零點能） 082221aE2.當當 很大（宏觀粒子）時，能量連續(xù)，很大（宏觀粒子）時，能量連續(xù)，量子量子 經(jīng)典。經(jīng)典。 1.1.按經(jīng)典理論按經(jīng)典理論粒子的粒子的“能量連續(xù)能量連續(xù)”；但量子力學但量子力學束縛態(tài)能量只能取分立值（能級）束縛態(tài)能量只能取分立值（能級）一般來說，束縛態(tài)體系能級是離散的，能量量子化是束縛態(tài)一般來說，束縛態(tài)體系能級是離散的，能量量子化是束縛態(tài)粒子的共同特性，是微觀世界的特有現(xiàn)象粒子的共同特性，是微觀世界的特有現(xiàn)象 01282221)( naEEnn 說明說明3 , 2 , 1e2sin1)e(i-i-naxaxanaxx,ttEtEnnnn所以，一維無限深

38、勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為：所以，一維無限深勢阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為：還可以得到勢阱中粒子的動量和波長還可以得到勢阱中粒子的動量和波長anEPnn22naPhnn4 說明勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)正好對應于說明勢阱中粒子的每一個能量本征態(tài)正好對應于德布羅意波的一個特定波長的駐波。德布羅意波的一個特定波長的駐波。 5.5.勢阱內(nèi)各處粒子出現(xiàn)的概率呈周期性分布與經(jīng)典粒子不同。勢阱內(nèi)各處粒子出現(xiàn)的概率呈周期性分布與經(jīng)典粒子不同。4.4.粒子的動量及波長粒子的動量及波長,82222anEn由由n =1,2,3,4,5, 6,EnxE1E2E3E4an4, 11 2 , 22an 34 , 33anan

39、4 , 4 4 , nnan 束縛態(tài)束縛態(tài)aa0 0呈駐波狀呈駐波狀n2n n8. 8. 宇稱的概念宇稱的概念, 6 , 4 , 2,2sin1nxanan, 5 , 3 , 1,2cos1nxanan-奇函數(shù)奇函數(shù) ,xxnn即即-偶函數(shù)偶函數(shù) ,xxnn即即波函數(shù)波函數(shù)“反演變換反演變換”變號，稱為具有變號，稱為具有奇宇稱奇宇稱波函數(shù)波函數(shù)“反演變換反演變換”不變號，稱為具有不變號，稱為具有偶宇稱偶宇稱求解定態(tài)薛定諤方程的思路求解定態(tài)薛定諤方程的思路3. 用分離變量法求解用分離變量法求解2. 寫出邊界條件寫出邊界條件4. 用歸一化條件及標準化條件用歸一化條件及標準化條件積分常數(shù)積分常數(shù)5.

40、 討論解的物理意義討論解的物理意義1. 寫出寫出 的形式，代入薛定諤方程的形式，代入薛定諤方程)(rU 何謂諧振子何謂諧振子? ?2221xV 量子力學中的線性諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。場中運動的粒子。 kxxkxdtxd 其其中中0222在經(jīng)典力學中，當質(zhì)量為在經(jīng)典力學中，當質(zhì)量為 的粒子，的粒子，受彈性力受彈性力F=-kxF=-kx作用，由牛頓第二定作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：律可以寫出運動方程為：其解為其解為 x = Asin( t + )。這種運動稱為簡諧振。這種運動稱為簡諧振動動,作這種運動的粒子叫諧振子。作這

41、種運動的粒子叫諧振子。若取若取V0 = 0，即平衡位，即平衡位置處于勢置處于勢 V = 0 點，則點，則dxdVF 因因為為kxdxV所以0221Vkx 02221Vx 2 k因因：為什么研究線性諧振子為什么研究線性諧振子 自然界廣泛碰到簡諧振動，自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小任何體系在平衡位置附近的小振動，振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡。簡諧振動往往還作為復

42、雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。 例如雙原子分子例如雙原子分子，兩原子間的勢，兩原子間的勢V是二者相對距離是二者相對距離x的函數(shù)的函數(shù)，如圖所示。在，如圖所示。在 x = a 處處,V 有一極小值有一極小值V0 。在。在 x = a 附近勢附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：可以展開成泰勒級數(shù)： 222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V00)(0 axxVVaV2220)(!21axxVVax 20)(21axkV axxVk 22其其中中：2222121)(xmkxx

43、U粒子勢能為粒子勢能為22222d12d2mxEmx2222222d20dmEmxx222d0d,mxxa2E根據(jù)定態(tài)薛定諤方程：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程： 令令其中其中: :k或或 是常數(shù)的體系稱為線性諧振子。是常數(shù)的體系稱為線性諧振子。當當時時 (） ，方程變?yōu)椋海匠套優(yōu)椋篸d222 .其近似解：其近似解： ( ) e.122由波函數(shù)的標準化條件：當由波函數(shù)的標準化條件：當時，時，有限有限 2/22/122ecec所以因此，因此，c c2 2=0=0 2/2 e 因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以因整個波函數(shù)尚未歸一化，所以c c1 1可以令其等于可以令其等于1 1。其中其中 H() H() 必須滿

44、足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標準條件。即：必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標準條件。即： 當當有限時，有限時，H()H()有限；有限； 當當時，時，H()H()的行為要保證的行為要保證()0 ()0 (邊界條件）邊界條件）2/2)()( eH將將()表達式代入無量綱表達式代入無量綱化后的方程得到函數(shù)化后的方程得到函數(shù) H()所滿足的方程：所滿足的方程：漸近形式，我們令：在無窮遠處有的波函數(shù)為了使方程2/22220eddH()H()滿足的方程滿足的方程0) 1(222HddHdHd寫為寫為2. Hermitian多項式多項式 可以用級數(shù)法求解可以用級數(shù)法求解H()的方程，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要的方程，

45、結(jié)果發(fā)現(xiàn)：只要H()是是“真真”無窮級數(shù)，那么在無窮級數(shù)，那么在x的時候的時候H()就就 e ,仍然使仍然使()發(fā)散。發(fā)散。能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級數(shù)能夠避免這種情形出現(xiàn)的唯一出路是級數(shù)“中止中止” 或或“退化退化”為多項式，而這就要求只能取一些特殊的值。為多項式，而這就要求只能取一些特殊的值。 設要求設要求H()是是的的n次多項式，那么就必須讓次多項式，那么就必須讓 =2n+1 n=0,1,2,3 得到能量本征值：得到能量本征值：.3 , 2 , 1 , 0,21nnEn0)1(2 HHH )2(E)(.602222nnnnHddHdHd 其解為其解為:)(ee)()(7122 n

46、nnnddH它稱為它稱為n次厄密（次厄密（Hermitian）多項式。）多項式。.12016032,124816,128, 24,2, 1355244332210HHHHHH頭五個頭五個Hermitian多項式是多項式是:現(xiàn)在現(xiàn)在H()的方程成為的方程成為： 對應的波函數(shù)是：對應的波函數(shù)是： )(e)(e)()(2222121 a aa a a a xnnnnnxHNHNxNn是歸一化常數(shù)，利用特殊積分是歸一化常數(shù)，利用特殊積分 e,xdx2可得可得 Nnnna2!.3. 3. 線性諧振子的能級和波函數(shù)線性諧振子的能級和波函數(shù)線性諧振子的能級線性諧振子的能級：, 3 , 2 , 1 , 0,2

47、1nnEna. 能量能量), 2 , 1 , 0()21( nnEn 能量量子化、能量量子化、 能級等間距。能級等間距。 能量間隔能量間隔 h h （與黑體輻射理論同）（與黑體輻射理論同）E0E4E3E1E2 E0 0 零點能零點能: :E0124 4 幾點討論：幾點討論：22212/10)()(xexa a a a 22212/11)(2)2()(xexxa aa a a a b. 波函數(shù)波函數(shù)，22212/1)()!2()(xnnexHnnxa aa a a a 存在遞推公式存在遞推公式 111122nnnnnxxxxa 11d1( )( )d22nnnnnxxxxac.幾率分布幾率分布:

48、 經(jīng)典力學：在經(jīng)典力學：在到到+d之間的區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點的幾率之間的區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點的幾率 () d與質(zhì)點在此區(qū)域內(nèi)逗留的時間與質(zhì)點在此區(qū)域內(nèi)逗留的時間dt成比例成比例Tdtd)(T是振動周期。因此有是振動周期。因此有vtdtdT11)(即幾率密度與質(zhì)點的速度成反比。對于經(jīng)典的線性諧振子，即幾率密度與質(zhì)點的速度成反比。對于經(jīng)典的線性諧振子，=a sin(t+ ) ,在在點的速度為點的速度為2122)1 ()cos(aatadtdvd2122)/1(a所以，幾率密度與所以，幾率密度與成比例成比例經(jīng)典經(jīng)典量子量子 量子量子:概率密度呈波動狀概率密度呈波動狀, 在基態(tài)在基態(tài)n=0時，時，x=0處粒子出現(xiàn)

49、概率最大。處粒子出現(xiàn)概率最大。 經(jīng)典經(jīng)典: : 當當 n 時：時：量子概率分布量子概率分布 經(jīng)典分布經(jīng)典分布 11(x) 2量量子子經(jīng)經(jīng)典典n=11n=11時的概率密度分布時的概率密度分布EU量子量子經(jīng)典經(jīng)典211)(x x x=0=0處粒子速度處粒子速度最大，最大，“概率概率”最小。最小。 U(x)xoa 0U x00,xaxxa根據(jù)定態(tài)薛定諤方程：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程： 222d2dU xEmx sinxAkxd解得解得222d20dmExax 0（ ）222mEk利用邊界條件利用邊界條件 000asin0sin0AAkadd0 ,d (1,2,)kann體系的能量體系的能量22222nEn

50、ma(1,2,)n 波函數(shù)波函數(shù) sinnnnxAxa歸一化歸一化 2sin(0)0(0,)nnxxaxaaxxa得得*2021d,2annnnaxAAa 所所 以以基態(tài)波函數(shù)基態(tài)波函數(shù) 12sinxxaa用動量本征函數(shù)展開用動量本征函數(shù)展開 所所 以以 i111e( )( )d( )d2pxpxcpxpcpp *11ii()i()( )( )d2esind211e1e12ppxppaaaacpxxpxpaappaaa xoa212649c將前者的基態(tài)波函數(shù)用后者本征函數(shù)用后者展開將前者的基態(tài)波函數(shù)用后者本征函數(shù)用后者展開所以所以 1nnxcx 211122222d2sinsind22228c

51、oscosd23aaaaaacxxxxxxaaaxxxaaa二、二、(1)(1)坐標的期望值坐標的期望值2w同同 理：理： 粒子處于處的概率密度粒子處于處的概率密度 2dd d dxxxx y z所以所以 量子態(tài)的平均值（力學量量子態(tài)的平均值（力學量F F在在 態(tài)中的平態(tài)中的平均值）稱為期望值。均值）稱為期望值。d d dyyx y zd d dzzx y z(2)(2)勢能期望值勢能期望值 *dVxVx (3)(3)動量的期望值動量的期望值 2dpxp粒子動量概率密度粒子動量概率密度 2p i3 21ed2p xpxx 粒子動量期望值粒子動量期望值 2*ddppp ppppp x分量：（以一

52、維情況為例）分量：（以一維情況為例） 其中其中 例例 ,FFrpFri角動量角動量 Lrp角動量算符角動量算符 iLrpr 如果量子力學中的力學量如果量子力學中的力學量F在經(jīng)典力在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則表示這個力學學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符量的算符 由經(jīng)典表示式由經(jīng)典表示式F( (r, ,p) )中將中將r,p換成相應的算符而構(gòu)成。換成相應的算符而構(gòu)成。 F2 2基本性質(zhì)基本性質(zhì) 其中其中為任意函數(shù)為任意函數(shù), ,則稱兩算符相等則稱兩算符相等, ,即即1 1定義定義 算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)算符是指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號的運算符號 （1 1

53、）算符相等）算符相等FGFGI（2 2）單位算符）單位算符IF如果兩算符如果兩算符 滿足滿足,F G作用到任意函數(shù)作用到任意函數(shù)上上, ,不變不變（3 3）算符之和）算符之和FGFG滿足：滿足： FGGFFGKFGK加法交換律加法交換律 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 （4 4）算符乘積）算符乘積FGFGFGGF一般一般 , ,則稱二者不對易。則稱二者不對易。 則稱兩算符對易。則稱兩算符對易。 FGGF若若 , 為任意函數(shù)為任意函數(shù),即即 ,()0F GFGGF兩算符與之和定義為兩算符與之和定義為兩算符與之積定義為兩算符與之積定義為則稱兩算符反對易。則稱兩算符反對易。 FGGF 若若 ,為任意函數(shù)為任意

54、函數(shù),即即,()0F GFGGF（5 5）逆算符）逆算符1F或或 如果兩算符滿足如果兩算符滿足 FGI則稱兩者互為逆算符則稱兩者互為逆算符. .記記 11,GF FG且有且有 GFIFF設設 能唯一的解出能唯一的解出, ,則定義則定義 的逆算符為的逆算符為（6 6）算符的轉(zhuǎn)置、復共軛及厄米共軛）算符的轉(zhuǎn)置、復共軛及厄米共軛 量子系統(tǒng)任意兩波函數(shù)的標積：量子系統(tǒng)任意兩波函數(shù)的標積： *,d *11221122*11221122,0,( ,)( ,)( ,)(,)(,)(,)cccccccc 性質(zhì)性質(zhì): :算符的轉(zhuǎn)置算符算符的轉(zhuǎn)置算符 *ddFF*,FF或或厄米共軛算符厄米共軛算符*FF*dddd

55、FFFF,FF *,FFFFF 或或 因因,為任意函數(shù)為任意函數(shù), ,于是于是 （7 7）幺正算符：）幺正算符：1FF F FFFI 若若 或或 , ,則則稱為么正算符。稱為么正算符。 （8 8）算符的函數(shù)）算符的函數(shù)()0(0)()!nnnff FFn其中其中( )( )( )nnnfxf xx( ,)0(0,0)(,)!n mnmnff F GF Gn m( ,)( ,)( ,)nmn mnmfx yf x yxy（9 9）線性算符）線性算符11221122()F ccc Fc F滿足運算規(guī)則滿足運算規(guī)則的算符的算符 稱為線性算符，稱為線性算符，c1 1，c2 2是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。

56、F（1010）厄米算符）厄米算符 FGG F可以證明可以證明: :,FF FF 若若 , ,即即 , ,則稱則稱為厄米算符為厄米算符 例例 動量算符動量算符 是線性算符是線性算符ip 注：注：期望值為實數(shù)的算符必為厄米算符。期望值為實數(shù)的算符必為厄米算符。 厄米算符的期望值都是實數(shù)。厄米算符的期望值都是實數(shù)。*dddFFFF*ddFFFF所以所以 是實數(shù)。是實數(shù)。 注：注：厄米算符的本征值必為實數(shù)。厄米算符的本征值必為實數(shù)。 ,F 設設 *ddFF 因為因為 *所以所以*dd , 則有則有 3 3算符的本征值方程算符的本征值方程 F則稱則稱為為 的本征值，的本征值， 為屬于為屬于的本征函數(shù)，的

57、本征函數(shù)，上述方程稱為算符上述方程稱為算符 的本征值方程。的本征值方程。FF 如果算符如果算符 作用于一個函數(shù)作用于一個函數(shù) ，結(jié)果等于，結(jié)果等于乘上一個常數(shù)乘上一個常數(shù)乘上這個函數(shù)乘上這個函數(shù) ，即即Fip 本征值方程：本征值方程： ipprpr 三個分量方程：三個分量方程： ipxppxipyppyipzppz解之得解之得 iep rprC iLrpr 直角分量：直角分量： 角動量平方算符：角動量平方算符： 22222222xyzLLLLyzzxxyzyxzyxixzyLypzpyzzyiyxzLzpxpzxxzizyxLxpypxyyx在球坐標系中：在球坐標系中： sincossinsi

58、ncosxryrzrqqq2222costanrxyzzryxqrxrxxxryryyyrzrzzzqqqqqq zxyOz(, , )Pxyzyxrq222222sin2cotcossinxLqq q 2222222cotcos(cotcsc)sincoscotcosqqqqq2222222222222cos2cotsincoscotsin(cotcsc)sincoscotsinyLqq qqqqqq 2222zL 2222xyzLLLL222211(sin)sinsinqqqqq 角動量平方算符的本征函數(shù)和本征值角動量平方算符的本征函數(shù)和本征值 2222211(sin),sinsinq q

59、 q qqqq分離變量分離變量 , q q 代入上式，再乘以代入上式，再乘以 ，得，得 2sinq222sindd1 d(sin)sin(dddqqqqq 數(shù)）常220dd由由 所以所以, ,角動量動量平方算符的本征函數(shù)角動量動量平方算符的本征函數(shù)球諧函數(shù)球諧函數(shù)iY,( 1)PcosemmmlmlmlNq q 由歸一化條件：由歸一化條件： !214!lmlmlNlmi()!21Y,P(cos )e4()!mmlmllmllmq q角動量平方算符的本征值：角動量平方算符的本征值： 22Y,(1)Y,lmlmLllq q 角動量角動量z分量算符的本征函數(shù)和本征值：分量算符的本征函數(shù)和本征值： Y

60、,Y,zlmlmLmq q (0,1,)ml(0,1, 2,)l 注：注： 角動量平方、角動量角動量平方、角動量z分量算符的本征值分量算符的本征值22(1)Ll lzLm(0,1,)ml(0,1, 2,)l 對應于對應于 的一個本征值：的一個本征值：2L2) 1(， ll有有2 2l+1+1個不同的本征函數(shù)，稱為個不同的本征函數(shù)，稱為2 2l+1+1度簡并的，度簡并的， l稱角量子數(shù)，稱角量子數(shù)，m稱磁量子數(shù)。稱磁量子數(shù)。 封閉性：封閉性： *01Y (,)Y ( , )()sinllmlmlmlq q qqq 1() coscossinqqqqq1.1.定義：定義：如果兩函數(shù)滿足如果兩函數(shù)滿