測量信號處理

1、主 要 內(nèi) 容信號是信息的載體和具體表現(xiàn)形式，信息需轉(zhuǎn)化為信號是信息的載體和具體表現(xiàn)形式，信息需轉(zhuǎn)化為傳輸媒質(zhì)能夠接受的信號形式方能傳輸。傳輸媒質(zhì)能夠接受的信號形式方能傳輸。廣義的說，廣義的說，信號是隨著時間變化的某種物理量。只有變化的量信號是隨著時間變化的某種物理量。只有變化的量中，才可能含有信息。中，才可能含有信息。l當(dāng)信號是一確定的時間函數(shù)時，給定某一時當(dāng)信號是一確定的時間函數(shù)時，給定某一時間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的信號稱為確定信號。信號稱為確定信號。l隨機信號不是確定的時間函數(shù)，只知道該信隨機信號不是確定的時間函數(shù)，只知道該信號取某一數(shù)

2、值的概率。號取某一數(shù)值的概率。l帶有信息的信號往往具有不可預(yù)知的不確定帶有信息的信號往往具有不可預(yù)知的不確定性，是一種隨機信號。性，是一種隨機信號。l除實驗室發(fā)生的有規(guī)律的信號外，通常的信除實驗室發(fā)生的有規(guī)律的信號外，通常的信號都是隨機的，因為確定信號對受信者不可號都是隨機的，因為確定信號對受信者不可能載有信息。能載有信息。l如果在某一時間間隔內(nèi)，對于一切時間值，除若干不連續(xù)點外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，此信號稱為連續(xù)信號。l和連續(xù)信號相對應(yīng)的是離散信號。代表離散信號的時間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時間值上給定函數(shù)值。l一般而言，模擬信號是連續(xù)的（時間和幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號是離散的f(t)

3、0t0tf(t)f0f1f201234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)l用確定的時間函數(shù)表示的信號，可以分為用確定的時間函數(shù)表示的信號，可以分為周期信號和非周期信號。周期信號和非周期信號。l當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 則信號則信號f(t)f(t)是周期信號，式中常數(shù)是周期信號，式中常數(shù)T T 是信號是信號的周期。換言之，周期信號是每隔固定的的周期。換言之，周期信號是每隔固定的時間又重現(xiàn)本身的信號，該固定的時間間時間又重現(xiàn)本身的信號，該固定的時間間隔稱為周期。隔稱為周期。l非周期信號無此固定時間長度的循環(huán)周期。非周期信號無此固定時間長度的循環(huán)周期。)(tfTtft嚴格數(shù)學(xué)意義

4、上的周期信號，是無始無終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號。實際應(yīng)用中，周期信號只是指在較長時間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號。實際上周期信號與非周期信號之間沒有絕對的差別，當(dāng)周期信號fT(t)的周期T 無限增大時，則此信號就轉(zhuǎn)化為非周期信號f(t)。即lim( )( )TTftf tl表示信號的時間函數(shù)，包含了信號的全部信息量，信號的特性首先表現(xiàn)為它的時間特性。l時間特性主要指信號隨時間變化快慢、幅度變化的特性。 同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長短 信號波形本身變化的速率（如脈沖信號的脈沖持續(xù)時間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度）l以時間函數(shù)描述信號的圖象稱為時域圖，在時域上分析信號稱為時域分析。l信號還

5、具有頻率特性，可用信號的頻譜函數(shù)來表示。在頻譜函數(shù)中，也包含了信號的全部信息量。l頻譜函數(shù)表征信號的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。 頻譜：對于一個復(fù)雜信號，可用傅立葉分析將它分解為許多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和相位來表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低次序排列成頻譜。 頻帶：復(fù)雜信號頻譜中各分量的頻率理論上可擴展至無限，但因原始信號的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱為該信號的頻帶。l以頻譜描述信號的圖象稱為頻域圖，在頻域上分析信號稱為頻域分析。時域和頻域 信號的頻譜函數(shù)和信號的時間函數(shù)既然都包含

6、了信號的全部信息量，都能表示出信號的特點,那么，信號的時間特性與頻率特性必然具有密切聯(lián)系。 例：周期性脈沖信號的重復(fù)周期的倒數(shù)就是該信號的基波頻率，周期的大或小分別對應(yīng)著低的或高的基波和諧波頻率； 信號分析中將進一步揭示兩者的關(guān)系。不同頻率信號的時域圖和頻域圖不同頻率信號的時域圖和頻域圖l信號還可以用它的能量特點加以區(qū)分。 在一定的時間間隔內(nèi)，把信號施加在一負載上，負載上就消耗一定的信號能量。 把該能量值對于時間間隔取平均，得到該時間內(nèi)信號的平均功率。 如果時間間隔趨于無窮大，將產(chǎn)生兩種情況。l信號總能量為有限值而信號平均功率為零，稱為能量信號；考察信號能量在時域和頻域中的表達式，非周期的單脈

7、沖信號就是常見的能量信號；信號平均功率為大于零的有限值而信號總能量為無窮大，稱為功率信號，考察信號功率在時域和頻域中的表達式。周期信號就是常見的功率信號。dttfETT2/2/2| )(|dttfTPTTT2/2/2| )(|1lim 時域分析信號時域分析（線性系統(tǒng)疊加原理）卷積積分的應(yīng)用及其數(shù)學(xué)描述 頻域分析周期信號的頻域分析(三角與指數(shù)傅立葉級數(shù)）非周期信號的頻域分析（傅立葉積分）信號在頻域與時域之間的變換（正反傅立葉變換式）頻譜與時間函數(shù)的關(guān)系 系統(tǒng)的輸入信號稱為激勵，輸出稱為響應(yīng) 激勵與響應(yīng)都是時間的函數(shù) 激勵函數(shù)s(t) 響應(yīng)函數(shù)r(t) 系統(tǒng)對單位激勵的的響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)函數(shù)h(t

8、) 對激勵的響應(yīng)是激勵函數(shù)與系統(tǒng)沖激響對激勵的響應(yīng)是激勵函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)的應(yīng)函數(shù)的卷積卷積 利用線性系統(tǒng)的疊加原理，把復(fù)雜的激勵在時域中分解成一系列單位激勵信號，然后分別計算各單位激勵通過通信系統(tǒng)的響應(yīng)，最后在輸出端疊加而得到總的響應(yīng)。 圖2-4是時域分析法示意圖。其中 (a)表示將激勵函數(shù)分解為若干個脈沖函數(shù)，第k個脈沖函數(shù)值為s(kt) (b)表示系統(tǒng)對第k個脈沖的沖激響應(yīng)，該響應(yīng)的數(shù)值是 (c) 是系統(tǒng)對于(a)所示的激勵函數(shù)的總響應(yīng)，可近似地看作是各脈沖通過系統(tǒng)所產(chǎn)生的沖激響應(yīng)的疊加。該總響應(yīng)tkthttkstkr nktkthttkstr00000tttS(t)r(kt)r(t

9、)ktktkts(kt)r(kt)ttkstkthttks激勵函數(shù)激勵函數(shù)(輸入輸入信號信號)的分解的分解第第k個脈沖的個脈沖的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)(輸輸出信號出信號)波形波形沖激響應(yīng)疊加沖激響應(yīng)疊加后的總響應(yīng)后的總響應(yīng)(輸輸出信號出信號)波形波形第第k個脈沖函數(shù)之面積個脈沖函數(shù)之面積（當(dāng)（當(dāng)t 0，脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)可近似表示為沖激函數(shù)）可近似表示為沖激函數(shù)）系統(tǒng)對第系統(tǒng)對第k個沖激函數(shù)個沖激函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù) 式中h(t)是單位沖激函數(shù)(t)對應(yīng)的響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)函數(shù)。 單位沖激函數(shù)(t) 也稱狄拉克函數(shù)或函數(shù)，其定義是：在t0時，函數(shù)值均為0；在t=0處，函數(shù)值為無窮大，而

10、脈沖面積為1，即 當(dāng)t無限趨小而成為d時，上式中不連續(xù)變量kt成了連續(xù)變量，對各項求和就成了求積分。于是有 這種疊加積分稱為卷積積分卷積積分。 0t0,t0t1,dtt dthstrt0 考察信號考察信號 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1稱為稱為基波頻率基波頻率，簡稱基頻，簡稱基頻，1 1的倍數(shù)稱為的倍數(shù)稱為諧波諧波。 該信號的波形圖和其頻譜圖見下圖。該信號的波形圖和其頻譜圖見下圖。 對于周期信號而言，其頻譜由離散的頻率成分，對于周期信號而言，其頻譜由離散的頻率成分，即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分

11、量的角頻正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號f f( (t t) )的成分正好是角頻率為的成分正好是角頻率為1 1、331 1 、551 1和和771 1的正弦波。的正弦波。 tttttf11117sin715sin513sin31sin 狄利希萊條件 要將一周期信號分解為諧波分量，代表這一周期信號的函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)滿足下列條件： 在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的，即在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對可積的，即 應(yīng)為有限值；應(yīng)為有限值； 在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限； 在一周期內(nèi)，函數(shù)在

12、一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者或者為連續(xù)的，或者具有有限為連續(xù)的，或者具有有限個這樣的間斷點，即當(dāng)個這樣的間斷點，即當(dāng)t從較大的時間值和較小的時從較大的時間值和較小的時間值分別趨向間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的有限的間值分別趨向間斷點時，函數(shù)具有兩個不同的有限的函數(shù)值。函數(shù)值。 測試技術(shù)中的周期信號，大都滿足該條件。 dttfTtt|11 根據(jù)傅立葉變換原理，通常任何信號都可表示成各種頻率成分的正弦波之和。 對于任何一個周期為T、且定義在區(qū)間（- T/2, T/2）內(nèi)的周期信號f(t)，都可以用上述區(qū)間內(nèi)的三角傅立葉級數(shù)表示： a0是頻率為零的直流分量（如圖），式中系數(shù)值為 傅立葉級數(shù)的這種形式稱為

13、三角函數(shù)展開式或稱正弦-余弦表示，是用正交函數(shù)集來表示周期信號的一種常用方法。 1110)sincos(nnntnbtnaatf tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos210110022( )cos()tannnnnnnnnnf tAAntAaAabba 式中：An-，n-分別稱為幅值譜和相位譜，統(tǒng)稱為頻譜。帶有直流分量的信號帶有直流分量的信號 指數(shù)傅立葉級數(shù)指數(shù)傅立葉級數(shù) 用正交函數(shù)集來表示周期信號另一種更常用的方法是傅立葉級數(shù)的指數(shù)表示法，稱為指數(shù)傅立葉級數(shù)。 三角傅立葉級數(shù)與指數(shù)傅立葉級數(shù)并不是兩種不同類型的級數(shù)，而只是同

14、一級數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級數(shù)形式比三角級數(shù)形式更簡化更便于計算。 根據(jù)歐拉公式111111cossin1cos21sin2j tjntjntjntjntetjtnteejntee0002211(),()221122nnnnnnnnnnnCaACajbCajbCCAab 1/2/21,0, 1, 2,.TjntnTCf t edt nT 1jntnnf tC e 對于定義于區(qū)間（-，+）上的非周期函數(shù)，也能分解成許多正弦波的疊加。（也要滿足狄利希萊條件） 如果在表示周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)中令周期T，則在整個時間內(nèi)表示f(t)的傅立葉級數(shù)也能在整個時間內(nèi)表示非周期信號。f (t)的指

15、數(shù)傅立葉級數(shù)可寫為 式中Cn是復(fù)數(shù)振幅，將其代入f(t),得到 1jntnnftC e 1/ 2/ 21TjntnTCftedtTtjnnTTtjnedtetfTtf112/2/)(1)( 當(dāng)T 增加時，基頻1變小，頻譜線變密，且各分量的振幅也減小，但頻譜的形狀不變。在T的極限情況下，每個頻率分量的幅度變?yōu)闊o窮小，而頻率分量有無窮多個，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜。這時，f(t)已不是n1的離散函數(shù)，而是的連續(xù)函數(shù)。 以上過程可以用計算式說明。由于相鄰頻率分量間隔為=(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期T 可寫為 于是，有221TtjnnTTtjnedtetftf112/2/

16、)(21)( 當(dāng)T 時，求和變成了取積分，變成d d ，n1用表示。因此有 式中方括號是原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱，記作F() 。即 將原函數(shù)寫成 這就是非周期信號f(t)的傅立葉積分表示式，它與周期信號的傅立葉級數(shù)相當(dāng)。 和傅立葉級數(shù)中的復(fù)數(shù)振幅相當(dāng)，是無窮小量，頻譜密度函數(shù)反映了各分量振幅間的相對比例關(guān)系。dedtetftftjtj)(21)(deFtftj21)(dtetfFtj)()()F jd 通過非周期信號的頻譜分析得知，時域上的原函數(shù)中含有包含全部信息量的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)中也含有原函數(shù)。因此我們可以在時域與頻域之間對信號進行相互變換。

17、 這種變換通過稱之為傅立葉變換式的公式來實現(xiàn)。即我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出的一對傅立葉積分表示式： 前者稱為傅立葉正變換式，它將時域內(nèi)t t 的函數(shù)變換為頻域內(nèi)的函數(shù)；后者稱為傅立葉逆變換式或反變換式，可把的函數(shù)變換為t t 的函數(shù)。 傅立葉變換式簡記為 deFtftj21)(dtetfFtj)()( Ftf 傅立葉變換可將時域上較復(fù)雜的運算簡化為相對簡單的頻域運算。 作為時域上卷積積分例子的函數(shù)r(t)對應(yīng)的頻域函數(shù)為 上式即卷積定理卷積定理，激勵s(t)通過頻率特性為H()的系統(tǒng)時，響應(yīng)r(t)的頻譜函數(shù)R()等于s(t)的頻譜函數(shù)S() 和H()的乘積運算。 ( )()j tj tj tj tR

18、r t edtsh tdt edsh tedt dseH jdSH 通過時域與頻譜分析的討論，可總結(jié)為兩個關(guān)系式 R() = S() H()r(t) = s(t)*h(t) 其中 兩個關(guān)系式的意義是：兩個頻譜相乘，其乘積的時間函兩個頻譜相乘，其乘積的時間函數(shù)就是相應(yīng)的兩個時間函數(shù)相卷積。數(shù)就是相應(yīng)的兩個時間函數(shù)相卷積。反之，兩個時間函兩個時間函數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個頻譜相乘數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個頻譜相乘。 從濾波角度看，該兩關(guān)系式的意義是：濾波可以兩種方式實現(xiàn)。一是在頻域上實現(xiàn)，將頻譜H()與 S() 相乘得到R()，再由R()作傅立葉反變換得到r(t)。 二是在時域上直接實現(xiàn)

19、，將時間函數(shù)h(t) 與s(t) 相卷積得到r(t)。 s th tsh td幾種典型信號的傅立葉變換幾種典型信號的傅立葉變換 數(shù)字信號中典型的波形是矩形窗函數(shù)（矩形脈沖函數(shù)）。矩形脈沖g(t)及其對應(yīng)的頻域函數(shù)為G()分別如圖和下面兩式： 其它02/2/tAtg 22/2/222sin/2/22sinsinsin,j tj tjjAGg t edtA edtA eeAA Sincxc xx（ ）稱為抽樣函數(shù) (t)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：1.抽樣性抽樣性00( ) ( )( ) (0)(0)() ( )( )t x t dtt xdtxttx t dtx t2. 單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)

20、單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)( )( )tt dtu t 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積函數(shù)與其他函數(shù)的卷積 ( ) t( )( )( ) ()( ) ()( )( )()( ) ()()f ttftdf tt dtf tf ttTftTdf tT 4. 函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜( ) t 對于一個矩形脈沖信號，其能量主要集中在頻譜中零頻率到第一個過零點之間( ) ，所含能量達到信號全部能量的90%以上，故可將其定義為矩形脈沖信號的有效帶寬。 一般而言，任何一個有限時間的信號之頻譜寬度是無限的。然而，信號的大部分功率實際上只集中在某個有限的頻譜寬度內(nèi)。所謂信號的有效帶寬就是指包含信號大部分功率的這部分頻譜

21、的寬度。見圖。 為了精確地說明以上概念，需要定義信號的功率譜密度2信號的能量譜與功率譜信號的能量譜與功率譜 除時域和頻域的關(guān)系外，時間信號的另一個重要特征是能量和功率隨時間分布的關(guān)系，即能量譜密度和功率譜密度。 信號f(t)在1電阻上所消耗的能量定義為信號的歸一化能量，簡稱能量，表示為 只有在上式給出的積分值為有限時信號能量的概念才有意義。 當(dāng)信號能量趨于于無窮大時，存在其平均功率，簡稱功率，即 上式可理解為信號f(t)在1電阻上所消耗的平均功率。該平均功率也就是f(t)的均方值，記作 。dttfE)(2dttfTPTTT2/2/2)(1lim tf2 信號的能量譜與功率譜信號的能量譜與功率譜

22、 帕什瓦爾定理 若f(t)為能量信號，且其傅立葉變換為F()，則有如下關(guān)系： 若f(t)為周期性功率信號，則有： 式中，T 為信號f(t)的周期，F(xiàn)n為f(t)的傅立葉級數(shù)系數(shù)。 dFdttf22|21 22/2/2|1nnTTFdttfT前式說明時域內(nèi)能量信號的總能量等于頻時域內(nèi)能量信號的總能量等于頻域內(nèi)各個頻率分量能量的連續(xù)和域內(nèi)各個頻率分量能量的連續(xù)和。后式說明周期信號的功率等于該信號在完周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。備正交函數(shù)集中各分量功率之和。 設(shè)能量以E表示，功率以P表示，如果在頻域內(nèi)有 則稱E()為能量譜密度函數(shù)， P()為功率譜密度函數(shù)。能量譜密度和

23、功率譜密度簡稱能量譜和功率譜。 能量譜的單位為J/Hz，功率譜的單位為W/Hz。 對于能量信號f(t)，其能量譜E()當(dāng)然一定存在，將前式與帕什瓦爾定理前式對照，可得 由于 ，故能量譜是的一個實偶函數(shù)，此時信號能量E可簡化為 dffPdPPdffEdEE2121 2|FE 22| FF dffEdEE0021信號的能量譜與功率譜信號的能量譜與功率譜對于功率信號，由于它的能量無窮大，所以只能用功率參數(shù)來描述。下圖中非周期的功率信號f(t)，對其只保留| t |T/2的部分，該部分稱為截斷函數(shù)fT(t)，因為T為有限值，所以 fT(t)只具有有限能量。 假定fT(t) 的傅立葉變換為FT()，那么

24、fT(t)的能量ET為為上式稱為雷利定理，它同時可表示為所以f(t)的平均功率為 dttfTtfPTTT2/2/22)(1lim dfFdFdttfETTTT222|21| dttfdttfTTT2/2/22| dfTFdTFdttfTPTTTTTTT222/2/2|lim|lim21| )(|1lim信號的能量譜與功率譜信號的能量譜與功率譜當(dāng)T 增加時， fT(t)的能量也增加。因為f(t)是功率信號，所以上式的極限存在 。當(dāng)T時， |FT()|2/ T趨于一極限值，定義此極限值為功率譜密度這樣，功率P可表示為由本頁第一式可知，功率譜是的偶函數(shù)。所以P可簡化為由此可見，功率譜具有明顯的物理意義：在以在以為中心的為中心的單位頻譜寬度內(nèi)，信號單位頻譜寬度內(nèi)，信號f f( (t t) )的頻率分量對功率的貢獻的頻率分量對功率的貢獻。功率譜只與功率信號頻譜的模值有關(guān)，而與相位無關(guān)。凡具有相同幅度頻譜特性的信號，不管相位頻譜特性如何，都具有相同的功率譜。 TFPTT2|lim dffPdPdttfTtfPTTT21)(1lim2/2/22 dffPdP