測(cè)量信號(hào)處理

1、主 要 內(nèi) 容信號(hào)是信息的載體和具體表現(xiàn)形式，信息需轉(zhuǎn)化為信號(hào)是信息的載體和具體表現(xiàn)形式，信息需轉(zhuǎn)化為傳輸媒質(zhì)能夠接受的信號(hào)形式方能傳輸。傳輸媒質(zhì)能夠接受的信號(hào)形式方能傳輸。廣義的說(shuō)，廣義的說(shuō)，信號(hào)是隨著時(shí)間變化的某種物理量。只有變化的量信號(hào)是隨著時(shí)間變化的某種物理量。只有變化的量中，才可能含有信息。中，才可能含有信息。l當(dāng)信號(hào)是一確定的時(shí)間函數(shù)時(shí)，給定某一時(shí)當(dāng)信號(hào)是一確定的時(shí)間函數(shù)時(shí)，給定某一時(shí)間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的間值，就可以確定一相應(yīng)的函數(shù)值。這樣的信號(hào)稱(chēng)為確定信號(hào)。信號(hào)稱(chēng)為確定信號(hào)。l隨機(jī)信號(hào)不是確定的時(shí)間函數(shù)，只知道該信隨機(jī)信號(hào)不是確定的時(shí)間函數(shù)，只知道該信號(hào)取某一數(shù)

2、值的概率。號(hào)取某一數(shù)值的概率。l帶有信息的信號(hào)往往具有不可預(yù)知的不確定帶有信息的信號(hào)往往具有不可預(yù)知的不確定性，是一種隨機(jī)信號(hào)。性，是一種隨機(jī)信號(hào)。l除實(shí)驗(yàn)室發(fā)生的有規(guī)律的信號(hào)外，通常的信除實(shí)驗(yàn)室發(fā)生的有規(guī)律的信號(hào)外，通常的信號(hào)都是隨機(jī)的，因?yàn)榇_定信號(hào)對(duì)受信者不可號(hào)都是隨機(jī)的，因?yàn)榇_定信號(hào)對(duì)受信者不可能載有信息。能載有信息。l如果在某一時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)于一切時(shí)間值，除若干不連續(xù)點(diǎn)外，該函數(shù)都能給出確定的函數(shù)值，此信號(hào)稱(chēng)為連續(xù)信號(hào)。l和連續(xù)信號(hào)相對(duì)應(yīng)的是離散信號(hào)。代表離散信號(hào)的時(shí)間函數(shù)只在某些不連續(xù)的時(shí)間值上給定函數(shù)值。l一般而言，模擬信號(hào)是連續(xù)的（時(shí)間和幅值都是連續(xù)的），數(shù)字信號(hào)是離散的f(t)

3、0t0tf(t)f0f1f201234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)l用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，可以分為用確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，可以分為周期信號(hào)和非周期信號(hào)。周期信號(hào)和非周期信號(hào)。l當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 則信號(hào)則信號(hào)f(t)f(t)是周期信號(hào)，式中常數(shù)是周期信號(hào)，式中常數(shù)T T 是信號(hào)是信號(hào)的周期。換言之，周期信號(hào)是每隔固定的的周期。換言之，周期信號(hào)是每隔固定的時(shí)間又重現(xiàn)本身的信號(hào)，該固定的時(shí)間間時(shí)間又重現(xiàn)本身的信號(hào)，該固定的時(shí)間間隔稱(chēng)為周期。隔稱(chēng)為周期。l非周期信號(hào)無(wú)此固定時(shí)間長(zhǎng)度的循環(huán)周期。非周期信號(hào)無(wú)此固定時(shí)間長(zhǎng)度的循環(huán)周期。)(tfTtft嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義

4、上的周期信號(hào)，是無(wú)始無(wú)終地重復(fù)著某一變化規(guī)律的信號(hào)。實(shí)際應(yīng)用中，周期信號(hào)只是指在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)按照某一規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。實(shí)際上周期信號(hào)與非周期信號(hào)之間沒(méi)有絕對(duì)的差別，當(dāng)周期信號(hào)fT(t)的周期T 無(wú)限增大時(shí)，則此信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)f(t)。即lim( )( )TTftf tl表示信號(hào)的時(shí)間函數(shù)，包含了信號(hào)的全部信息量，信號(hào)的特性首先表現(xiàn)為它的時(shí)間特性。l時(shí)間特性主要指信號(hào)隨時(shí)間變化快慢、幅度變化的特性。 同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長(zhǎng)短 信號(hào)波形本身變化的速率（如脈沖信號(hào)的脈沖持續(xù)時(shí)間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度）l以時(shí)間函數(shù)描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為時(shí)域圖，在時(shí)域上分析信號(hào)稱(chēng)為時(shí)域分析。l信號(hào)還

5、具有頻率特性，可用信號(hào)的頻譜函數(shù)來(lái)表示。在頻譜函數(shù)中，也包含了信號(hào)的全部信息量。l頻譜函數(shù)表征信號(hào)的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。 頻譜：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜信號(hào)，可用傅立葉分析將它分解為許多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量則以它的振幅和相位來(lái)表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率高低次序排列成頻譜。 頻帶：復(fù)雜信號(hào)頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無(wú)限，但因原始信號(hào)的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱(chēng)為該信號(hào)的頻帶。l以頻譜描述信號(hào)的圖象稱(chēng)為頻域圖，在頻域上分析信號(hào)稱(chēng)為頻域分析。時(shí)域和頻域 信號(hào)的頻譜函數(shù)和信號(hào)的時(shí)間函數(shù)既然都包含

6、了信號(hào)的全部信息量，都能表示出信號(hào)的特點(diǎn),那么，信號(hào)的時(shí)間特性與頻率特性必然具有密切聯(lián)系。 例：周期性脈沖信號(hào)的重復(fù)周期的倒數(shù)就是該信號(hào)的基波頻率，周期的大或小分別對(duì)應(yīng)著低的或高的基波和諧波頻率； 信號(hào)分析中將進(jìn)一步揭示兩者的關(guān)系。不同頻率信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖不同頻率信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖l信號(hào)還可以用它的能量特點(diǎn)加以區(qū)分。 在一定的時(shí)間間隔內(nèi)，把信號(hào)施加在一負(fù)載上，負(fù)載上就消耗一定的信號(hào)能量。 把該能量值對(duì)于時(shí)間間隔取平均，得到該時(shí)間內(nèi)信號(hào)的平均功率。 如果時(shí)間間隔趨于無(wú)窮大，將產(chǎn)生兩種情況。l信號(hào)總能量為有限值而信號(hào)平均功率為零，稱(chēng)為能量信號(hào)；考察信號(hào)能量在時(shí)域和頻域中的表達(dá)式，非周期的單脈

7、沖信號(hào)就是常見(jiàn)的能量信號(hào)；信號(hào)平均功率為大于零的有限值而信號(hào)總能量為無(wú)窮大，稱(chēng)為功率信號(hào)，考察信號(hào)功率在時(shí)域和頻域中的表達(dá)式。周期信號(hào)就是常見(jiàn)的功率信號(hào)。dttfETT2/2/2| )(|dttfTPTTT2/2/2| )(|1lim 時(shí)域分析信號(hào)時(shí)域分析（線性系統(tǒng)疊加原理）卷積積分的應(yīng)用及其數(shù)學(xué)描述 頻域分析周期信號(hào)的頻域分析(三角與指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)）非周期信號(hào)的頻域分析（傅立葉積分）信號(hào)在頻域與時(shí)域之間的變換（正反傅立葉變換式）頻譜與時(shí)間函數(shù)的關(guān)系 系統(tǒng)的輸入信號(hào)稱(chēng)為激勵(lì)，輸出稱(chēng)為響應(yīng) 激勵(lì)與響應(yīng)都是時(shí)間的函數(shù) 激勵(lì)函數(shù)s(t) 響應(yīng)函數(shù)r(t) 系統(tǒng)對(duì)單位激勵(lì)的的響應(yīng)稱(chēng)為沖激響應(yīng)函數(shù)h(t

8、) 對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)是激勵(lì)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)是激勵(lì)函數(shù)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)的應(yīng)函數(shù)的卷積卷積 利用線性系統(tǒng)的疊加原理，把復(fù)雜的激勵(lì)在時(shí)域中分解成一系列單位激勵(lì)信號(hào)，然后分別計(jì)算各單位激勵(lì)通過(guò)通信系統(tǒng)的響應(yīng)，最后在輸出端疊加而得到總的響應(yīng)。 圖2-4是時(shí)域分析法示意圖。其中 (a)表示將激勵(lì)函數(shù)分解為若干個(gè)脈沖函數(shù)，第k個(gè)脈沖函數(shù)值為s(kt) (b)表示系統(tǒng)對(duì)第k個(gè)脈沖的沖激響應(yīng)，該響應(yīng)的數(shù)值是 (c) 是系統(tǒng)對(duì)于(a)所示的激勵(lì)函數(shù)的總響應(yīng)，可近似地看作是各脈沖通過(guò)系統(tǒng)所產(chǎn)生的沖激響應(yīng)的疊加。該總響應(yīng)tkthttkstkr nktkthttkstr00000tttS(t)r(kt)r(t

9、)ktktkts(kt)r(kt)ttkstkthttks激勵(lì)函數(shù)激勵(lì)函數(shù)(輸入輸入信號(hào)信號(hào))的分解的分解第第k個(gè)脈沖的個(gè)脈沖的沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)(輸輸出信號(hào)出信號(hào))波形波形沖激響應(yīng)疊加沖激響應(yīng)疊加后的總響應(yīng)后的總響應(yīng)(輸輸出信號(hào)出信號(hào))波形波形第第k個(gè)脈沖函數(shù)之面積個(gè)脈沖函數(shù)之面積（當(dāng)（當(dāng)t 0，脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)可近似表示為沖激函數(shù)）可近似表示為沖激函數(shù)）系統(tǒng)對(duì)第系統(tǒng)對(duì)第k個(gè)沖激函數(shù)個(gè)沖激函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù)的沖激響應(yīng)函數(shù) 式中h(t)是單位沖激函數(shù)(t)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)，稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)函數(shù)。 單位沖激函數(shù)(t) 也稱(chēng)狄拉克函數(shù)或函數(shù)，其定義是：在t0時(shí)，函數(shù)值均為0；在t=0處，函數(shù)值為無(wú)窮大，而

10、脈沖面積為1，即 當(dāng)t無(wú)限趨小而成為d時(shí)，上式中不連續(xù)變量kt成了連續(xù)變量，對(duì)各項(xiàng)求和就成了求積分。于是有 這種疊加積分稱(chēng)為卷積積分卷積積分。 0t0,t0t1,dtt dthstrt0 考察信號(hào)考察信號(hào) 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1稱(chēng)為稱(chēng)為基波頻率基波頻率，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻，簡(jiǎn)稱(chēng)基頻，1 1的倍數(shù)稱(chēng)為的倍數(shù)稱(chēng)為諧波諧波。 該信號(hào)的波形圖和其頻譜圖見(jiàn)下圖。該信號(hào)的波形圖和其頻譜圖見(jiàn)下圖。 對(duì)于周期信號(hào)而言，其頻譜由離散的頻率成分，對(duì)于周期信號(hào)而言，其頻譜由離散的頻率成分，即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個(gè)即基波與諧波構(gòu)成。圖中，每一條譜線代表一個(gè)正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分

11、量的角頻正弦分量，譜線的位置代表這一正弦分量的角頻率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號(hào)率，譜線的高度代表該正弦分量的振幅。信號(hào)f f( (t t) )的成分正好是角頻率為的成分正好是角頻率為1 1、331 1 、551 1和和771 1的正弦波。的正弦波。 tttttf11117sin715sin513sin31sin 狄利希萊條件 要將一周期信號(hào)分解為諧波分量，代表這一周期信號(hào)的函數(shù)f(t)應(yīng)當(dāng)滿足下列條件： 在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的，即在一周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的，即 應(yīng)為有限值；應(yīng)為有限值； 在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限；在一周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目為有限； 在一周期內(nèi)，函數(shù)在

12、一周期內(nèi)，函數(shù)f(t)或者或者為連續(xù)的，或者具有有限為連續(xù)的，或者具有有限個(gè)這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)個(gè)這樣的間斷點(diǎn)，即當(dāng)t從較大的時(shí)間值和較小的時(shí)從較大的時(shí)間值和較小的時(shí)間值分別趨向間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有兩個(gè)不同的有限的間值分別趨向間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)具有兩個(gè)不同的有限的函數(shù)值。函數(shù)值。 測(cè)試技術(shù)中的周期信號(hào)，大都滿足該條件。 dttfTtt|11 根據(jù)傅立葉變換原理，通常任何信號(hào)都可表示成各種頻率成分的正弦波之和。 對(duì)于任何一個(gè)周期為T(mén)、且定義在區(qū)間（- T/2, T/2）內(nèi)的周期信號(hào)f(t)，都可以用上述區(qū)間內(nèi)的三角傅立葉級(jí)數(shù)表示： a0是頻率為零的直流分量（如圖），式中系數(shù)值為 傅立葉級(jí)數(shù)的這種形式稱(chēng)為

13、三角函數(shù)展開(kāi)式或稱(chēng)正弦-余弦表示，是用正交函數(shù)集來(lái)表示周期信號(hào)的一種常用方法。 1110)sincos(nnntnbtnaatf tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos210110022( )cos()tannnnnnnnnnf tAAntAaAabba 式中：An-，n-分別稱(chēng)為幅值譜和相位譜，統(tǒng)稱(chēng)為頻譜。帶有直流分量的信號(hào)帶有直流分量的信號(hào) 指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù) 用正交函數(shù)集來(lái)表示周期信號(hào)另一種更常用的方法是傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)表示法，稱(chēng)為指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。 三角傅立葉級(jí)數(shù)與指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)并不是兩種不同類(lèi)型的級(jí)數(shù)，而只是同

14、一級(jí)數(shù)的兩種不同的表示方法。指數(shù)級(jí)數(shù)形式比三角級(jí)數(shù)形式更簡(jiǎn)化更便于計(jì)算。 根據(jù)歐拉公式111111cossin1cos21sin2j tjntjntjntjntetjtnteejntee0002211(),()221122nnnnnnnnnnnCaACajbCajbCCAab 1/2/21,0, 1, 2,.TjntnTCf t edt nT 1jntnnf tC e 對(duì)于定義于區(qū)間（-，+）上的非周期函數(shù)，也能分解成許多正弦波的疊加。（也要滿足狄利希萊條件） 如果在表示周期信號(hào)f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)中令周期T，則在整個(gè)時(shí)間內(nèi)表示f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)也能在整個(gè)時(shí)間內(nèi)表示非周期信號(hào)。f (t)的指

15、數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)可寫(xiě)為 式中Cn是復(fù)數(shù)振幅，將其代入f(t),得到 1jntnnftC e 1/ 2/ 21TjntnTCftedtTtjnnTTtjnedtetfTtf112/2/)(1)( 當(dāng)T 增加時(shí)，基頻1變小，頻譜線變密，且各分量的振幅也減小，但頻譜的形狀不變。在T的極限情況下，每個(gè)頻率分量的幅度變?yōu)闊o(wú)窮小，而頻率分量有無(wú)窮多個(gè)，離散頻譜變成了連續(xù)頻譜。這時(shí)，f(t)已不是n1的離散函數(shù)，而是的連續(xù)函數(shù)。 以上過(guò)程可以用計(jì)算式說(shuō)明。由于相鄰頻率分量間隔為=(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期T 可寫(xiě)為 于是，有221TtjnnTTtjnedtetftf112/2/

16、)(21)( 當(dāng)T 時(shí)，求和變成了取積分，變成d d ，n1用表示。因此有 式中方括號(hào)是原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜函數(shù)，它具有單位頻帶振幅的量綱，記作F() 。即 將原函數(shù)寫(xiě)成 這就是非周期信號(hào)f(t)的傅立葉積分表示式，它與周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)相當(dāng)。 和傅立葉級(jí)數(shù)中的復(fù)數(shù)振幅相當(dāng)，是無(wú)窮小量，頻譜密度函數(shù)反映了各分量振幅間的相對(duì)比例關(guān)系。dedtetftftjtj)(21)(deFtftj21)(dtetfFtj)()()F jd 通過(guò)非周期信號(hào)的頻譜分析得知，時(shí)域上的原函數(shù)中含有包含全部信息量的頻譜函數(shù)，而頻譜函數(shù)中也含有原函數(shù)。因此我們可以在時(shí)域與頻域之間對(duì)信號(hào)進(jìn)行相互變換。

17、 這種變換通過(guò)稱(chēng)之為傅立葉變換式的公式來(lái)實(shí)現(xiàn)。即我們前面已經(jīng)推導(dǎo)出的一對(duì)傅立葉積分表示式： 前者稱(chēng)為傅立葉正變換式，它將時(shí)域內(nèi)t t 的函數(shù)變換為頻域內(nèi)的函數(shù)；后者稱(chēng)為傅立葉逆變換式或反變換式，可把的函數(shù)變換為t t 的函數(shù)。 傅立葉變換式簡(jiǎn)記為 deFtftj21)(dtetfFtj)()( Ftf 傅立葉變換可將時(shí)域上較復(fù)雜的運(yùn)算簡(jiǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的頻域運(yùn)算。 作為時(shí)域上卷積積分例子的函數(shù)r(t)對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)為 上式即卷積定理卷積定理，激勵(lì)s(t)通過(guò)頻率特性為H()的系統(tǒng)時(shí)，響應(yīng)r(t)的頻譜函數(shù)R()等于s(t)的頻譜函數(shù)S() 和H()的乘積運(yùn)算。 ( )()j tj tj tj tR

18、r t edtsh tdt edsh tedt dseH jdSH 通過(guò)時(shí)域與頻譜分析的討論，可總結(jié)為兩個(gè)關(guān)系式 R() = S() H()r(t) = s(t)*h(t) 其中 兩個(gè)關(guān)系式的意義是：兩個(gè)頻譜相乘，其乘積的時(shí)間函兩個(gè)頻譜相乘，其乘積的時(shí)間函數(shù)就是相應(yīng)的兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積。數(shù)就是相應(yīng)的兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積。反之，兩個(gè)時(shí)間函兩個(gè)時(shí)間函數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個(gè)頻譜相乘數(shù)相卷積，其頻譜就是相應(yīng)的兩個(gè)頻譜相乘。 從濾波角度看，該兩關(guān)系式的意義是：濾波可以兩種方式實(shí)現(xiàn)。一是在頻域上實(shí)現(xiàn)，將頻譜H()與 S() 相乘得到R()，再由R()作傅立葉反變換得到r(t)。 二是在時(shí)域上直接實(shí)現(xiàn)

19、，將時(shí)間函數(shù)h(t) 與s(t) 相卷積得到r(t)。 s th tsh td幾種典型信號(hào)的傅立葉變換幾種典型信號(hào)的傅立葉變換 數(shù)字信號(hào)中典型的波形是矩形窗函數(shù)（矩形脈沖函數(shù)）。矩形脈沖g(t)及其對(duì)應(yīng)的頻域函數(shù)為G()分別如圖和下面兩式： 其它02/2/tAtg 22/2/222sin/2/22sinsinsin,j tj tjjAGg t edtA edtA eeAA Sincxc xx（ ）稱(chēng)為抽樣函數(shù) (t)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)：1.抽樣性抽樣性00( ) ( )( ) (0)(0)() ( )( )t x t dtt xdtxttx t dtx t2. 單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)

20、單位脈沖函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)( )( )tt dtu t 函數(shù)與其他函數(shù)的卷積函數(shù)與其他函數(shù)的卷積 ( ) t( )( )( ) ()( ) ()( )( )()( ) ()()f ttftdf tt dtf tf ttTftTdf tT 4. 函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜( ) t 對(duì)于一個(gè)矩形脈沖信號(hào)，其能量主要集中在頻譜中零頻率到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間( ) ，所含能量達(dá)到信號(hào)全部能量的90%以上，故可將其定義為矩形脈沖信號(hào)的有效帶寬。 一般而言，任何一個(gè)有限時(shí)間的信號(hào)之頻譜寬度是無(wú)限的。然而，信號(hào)的大部分功率實(shí)際上只集中在某個(gè)有限的頻譜寬度內(nèi)。所謂信號(hào)的有效帶寬就是指包含信號(hào)大部分功率的這部分頻譜

21、的寬度。見(jiàn)圖。 為了精確地說(shuō)明以上概念，需要定義信號(hào)的功率譜密度2信號(hào)的能量譜與功率譜信號(hào)的能量譜與功率譜 除時(shí)域和頻域的關(guān)系外，時(shí)間信號(hào)的另一個(gè)重要特征是能量和功率隨時(shí)間分布的關(guān)系，即能量譜密度和功率譜密度。 信號(hào)f(t)在1電阻上所消耗的能量定義為信號(hào)的歸一化能量，簡(jiǎn)稱(chēng)能量，表示為 只有在上式給出的積分值為有限時(shí)信號(hào)能量的概念才有意義。 當(dāng)信號(hào)能量趨于于無(wú)窮大時(shí)，存在其平均功率，簡(jiǎn)稱(chēng)功率，即 上式可理解為信號(hào)f(t)在1電阻上所消耗的平均功率。該平均功率也就是f(t)的均方值，記作 。dttfE)(2dttfTPTTT2/2/2)(1lim tf2 信號(hào)的能量譜與功率譜信號(hào)的能量譜與功率譜

22、 帕什瓦爾定理 若f(t)為能量信號(hào)，且其傅立葉變換為F()，則有如下關(guān)系： 若f(t)為周期性功率信號(hào)，則有： 式中，T 為信號(hào)f(t)的周期，F(xiàn)n為f(t)的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)。 dFdttf22|21 22/2/2|1nnTTFdttfT前式說(shuō)明時(shí)域內(nèi)能量信號(hào)的總能量等于頻時(shí)域內(nèi)能量信號(hào)的總能量等于頻域內(nèi)各個(gè)頻率分量能量的連續(xù)和域內(nèi)各個(gè)頻率分量能量的連續(xù)和。后式說(shuō)明周期信號(hào)的功率等于該信號(hào)在完周期信號(hào)的功率等于該信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。備正交函數(shù)集中各分量功率之和。 設(shè)能量以E表示，功率以P表示，如果在頻域內(nèi)有 則稱(chēng)E()為能量譜密度函數(shù)， P()為功率譜密度函數(shù)。能量譜密度和

23、功率譜密度簡(jiǎn)稱(chēng)能量譜和功率譜。 能量譜的單位為J/Hz，功率譜的單位為W/Hz。 對(duì)于能量信號(hào)f(t)，其能量譜E()當(dāng)然一定存在，將前式與帕什瓦爾定理前式對(duì)照，可得 由于 ，故能量譜是的一個(gè)實(shí)偶函數(shù)，此時(shí)信號(hào)能量E可簡(jiǎn)化為 dffPdPPdffEdEE2121 2|FE 22| FF dffEdEE0021信號(hào)的能量譜與功率譜信號(hào)的能量譜與功率譜對(duì)于功率信號(hào)，由于它的能量無(wú)窮大，所以只能用功率參數(shù)來(lái)描述。下圖中非周期的功率信號(hào)f(t)，對(duì)其只保留| t |T/2的部分，該部分稱(chēng)為截?cái)嗪瘮?shù)fT(t)，因?yàn)門(mén)為有限值，所以 fT(t)只具有有限能量。 假定fT(t) 的傅立葉變換為FT()，那么

24、fT(t)的能量ET為為上式稱(chēng)為雷利定理，它同時(shí)可表示為所以f(t)的平均功率為 dttfTtfPTTT2/2/22)(1lim dfFdFdttfETTTT222|21| dttfdttfTTT2/2/22| dfTFdTFdttfTPTTTTTTT222/2/2|lim|lim21| )(|1lim信號(hào)的能量譜與功率譜信號(hào)的能量譜與功率譜當(dāng)T 增加時(shí)， fT(t)的能量也增加。因?yàn)閒(t)是功率信號(hào)，所以上式的極限存在 。當(dāng)T時(shí)， |FT()|2/ T趨于一極限值，定義此極限值為功率譜密度這樣，功率P可表示為由本頁(yè)第一式可知，功率譜是的偶函數(shù)。所以P可簡(jiǎn)化為由此可見(jiàn)，功率譜具有明顯的物理意義：在以在以為中心的為中心的單位頻譜寬度內(nèi)，信號(hào)單位頻譜寬度內(nèi)，信號(hào)f f( (t t) )的頻率分量對(duì)功率的貢獻(xiàn)的頻率分量對(duì)功率的貢獻(xiàn)。功率譜只與功率信號(hào)頻譜的模值有關(guān)，而與相位無(wú)關(guān)。凡具有相同幅度頻譜特性的信號(hào)，不管相位頻譜特性如何，都具有相同的功率譜。 TFPTT2|lim dffPdPdttfTtfPTTT21)(1lim2/2/22 dffPdP