平面解析幾何知識點

1、1 直線的傾斜角與斜率：(1 )直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角傾斜角0,180 ),90斜率不存在(2)直線的斜率：k池(x1x2),k tan.(P(x1, y-i)、F2(x2,y2)X2Xi2.直線方程的五種形式：()點斜式：y y-k(x Xi)(直線l過點P-(x-, y-)，且斜率為k). 注：當(dāng)直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為x x0.(2)斜截式：y kx b(b為直線l在 y 軸上的截距).(3)兩點式：_y -(%y2,x-ix2).y yiX2xi

2、注： 不能表示與x軸和y軸垂直的直線；方程形式為：(X2xi)(y yi)(y2yi)(x xi)0時，方程可以表示任意直線.0( 其中AB 不同時為 0).A Cx，即，直線的斜率：kB B倒數(shù))或y 0.已知直線過點(X0,y)，常設(shè)其方程為y k(x x) y或x x.(2)解析幾何中研究兩條直線位置關(guān)系時，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條 直線一般不重合.3.直線在坐標(biāo)軸上的截矩 可正，可負(fù)，也可為 0.(1 )直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為1或直線過原點.(2 )直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1 或直線過原點.(3 )直線兩截距絕對值相等直線的斜率為1或直線過原點.4.兩

3、條直線的平行和垂直:(1 )若l1: yk1x b-i,I2：yk2x b2(4)截距式：X y1(a,b分別為x軸y軸上的截距，且a 0,b0).a b注： 不能表示與x軸垂直的直線, 過原點的直線.也不能表示與y軸垂直的直線，特別是不能表示(5)般式：Ax By C般式化為斜截式：y注： (1)已知直b，常設(shè)其方程為ykx b或x 0.已知直線橫截距x0,常設(shè)其方程為xmy X。(直線斜率k存在時,點的直線系方程為Ax B1y C1(A2X B2y C2) o(除l1/l2k1k2,bib2;l1l2k1k21(2 )若|1: A-|X B1yCi0,12: A：x B2y C20,有11

4、/12AiB2A2Bi且 A C?A2Ci.1112AiA2BiB20.5.平面兩點距離公式：1直線y kx b中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程.2與直線l: AXBy C o平行的直線可表示為AXBy C1o.3過點P(Xo, yo)與直線l : AXBy C o平行的直線可表示為：A(X Xo) B(y yo) o.(2)垂直直線系方程：與直線l : AXBy C o垂直的直線可表示為Bx Ay C1o. 過點P(X), yo)與直線l : AXBy C o垂直的直線可表示為:B(x Xo) A(y yo) o.(3)定點直線系方程：經(jīng)過定點R(Xo,yo)的直線系方程為y y

5、ok(x x)(除直線X滄)，其中k是待定的系數(shù).經(jīng)過定點P)(Xo,y。)的直線系方程為A(XXo)B(yyo)0,其中代B是待定的系數(shù).(4)共點直線系方程： 經(jīng)過兩直線h：A1XB”C10, l2:A2XB2y C20交(Pl(Xi,yi)、P2(x2, y2) ,p P2J(X1ABXBXA.Xo線段RP2的中點是M (Xo,y。)，貝 yy。6 點到直線的距離公式：2 2X2)(yiy2).X軸上兩點間距離:點P(xo，yo)到直線丨:AXBy C 0的距離：d7.兩平行直線間的距離：兩條平行直線l1： AXBy C10,丨2：&直線系方程：(1)平行直線系方程：X1X22yiy2

6、點的直線系方程為Ax B1y C1(A2X B2y C2) o(除J)，其中入是待定的系數(shù).9.曲線Cf(x, y) 0與C2：g(x, y) 0的交點坐標(biāo)10. 圓的方程：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(Xa)2(y2 2b)r(r 0).(2) 圓的一般方程：2X2yDxEy F 0( D2E24F0)(3) 圓的直徑式方程:若A(x1,y1),B(X2，y2)，以線段AB為直徑的圓的方程是:(X Xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0.DE11 22注：(1)在圓的一般方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是(蘭，E),r1D2E24F.222(2) 一般方程的特點：2 2 2 2x和y的系數(shù)相同且

7、不為零； 沒有xy項；D E 4F 0A C 0;B 0;D2E24AF 0.11圓的弦長的求法：(1)幾何法：當(dāng)直線和圓相交時，設(shè)弦長為I， 弦心距為d，半徑為r,貝U：“半弦長2+弦心距2=半徑2” _ (丄)2d2r2；2(2) 代數(shù)法：設(shè)|的斜率為k,l與圓交點分別為 A(X1，yJ, B(X2，y2)，則|AB| 1 k2|XAXB| 1k12|yAyB|(其中|X1X21,1yy2I的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去y或x，利用韋達(dá)定理求解)12.點與圓的位置關(guān)系:點P(x0，y0)與圓(x a)2(y b)2r2的位置關(guān)系有三種P在在圓外2 2 2d r(Xoa) (yb) r.P

8、在在圓內(nèi)2 2 2d r(X0a)(yb) r .P在在圓上2 2 2d r(X0a) (yb) r.【P到圓心距離d (a X0)2(b y。)2】方呈組g(x：y)0的解.(3)二元二次方程Ax2Bxy Cy2Dx Ey F 0表示圓的等價條件是:13直線與圓的位置關(guān)系:直線Ax By C 0與圓(x a)2(y b)2r2的位置關(guān)系有三種判別式為14兩圓位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為0-02，半徑分別為口上,O1O2dd r1r2外離4 條公切線；dr1r2內(nèi)含無公切線；d r1r2外切3 條公切線；dr,D內(nèi)切1條公切線；r1r2相交2條公切線.內(nèi)含 內(nèi)相交外嚴(yán)相寫9- 4- 9-0 d

9、|”嚴(yán)(1 +一 d15圓系方程：x22yDxEy F0(D2E24F0)(1)過點A(X1,yJ,B(x2, y2)的圓系方程:(x Xj(x X2)(yyj(y y2)(X X1)(y1y2)(y %)(花X2)0(x X1)(xX2)(y yj(y y2)(axby c) 0,其中axby c0是直線AB的方程.(2)過直線丨：AxByC0與圓C:2 2x yDx Ey F 0的交點的圓系方程：22xy DxEyF(AxBy C)0, 入是待定的系數(shù).(3)過圓 G :x2y2D1xE1yF10與圓C2:2X2y D2XE2y F20的交點的圓系方程：x22yD1x E1yF-i(x22

10、yD2X E2y F2)0,入是待定的系數(shù)特別地， 當(dāng)1時，2 2x y D1XEdF12 2(X yD2XE?yF2)0就是(D1D2)X(E1E2)y (F1F2)0表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過兩圓(dAa Bb C.A2B2圓心到直線距離為d,由直線和圓聯(lián)立方程組消去X(或y)后，所得一元二次方程的d r 相離0；dr 相切0；d r 相交0r2交點的直線.16圓的切線方程：(1)過圓x2y2r2上的點P(xo,y)的切線方程為：xx yy r2.(2) 過圓(x a)2(y b)2r2上的點P(x0, y0)的切線方程2r.0上的點P(X0,y。)的切線方程為：E(y0y)F

11、0.2若 P(Xo,y)是圓x2y2r2外一點，由 P(Xo,y)向圓引兩條切線，切點分別為 A,B 則直線 AB 的方程為xx0yy0r2若 P(x0,y0)是圓(x a)2(y b)2r2外一點，由 P(x0,y0)向圓引兩條切線，切 點分別為 A,B 則直線AB 的方程為 帆a)(x a) (y0b)( y b) r2(6)當(dāng)點P(x,y)在圓外時，可設(shè)切方程為y y。k(x x。)，利用圓心到直線距離等 于半徑，即d r，求出k;或利用0，求出k若求得k只有一值，則還有一條斜率不存在的直線x x0.17.把兩圓x2y2D,x E,yF,0與x2y2D2x E2y F20方程相減 即得相

12、交弦所在直線方程:(D,D2)x(巳E2)y (F,F2)0.18.空間兩點間的距離公式：. 2 2 2若A(X1,y1,zJ,B(X2,y2,Z2)，則AB * xj (y?yj (z2乙)19.簡單線性規(guī)劃(確定可行域，求最優(yōu)解，建立數(shù)學(xué)模型)、目標(biāo)函數(shù)：要求在一定條件下求極大值或極小值問題的函數(shù)。用關(guān)于變量是一次不等式(等式)表示的條件較線性約束條件。、線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性的約束條件下的最值問題二、軌跡問題(一)求軌跡的步驟1、 建模：設(shè)點建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點p (x, y)2、立式：寫出適條件的 p 點的集合3、 代換：用坐標(biāo)表示集合列出方程式f ( x, y)

13、=04、化簡：化成簡單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標(biāo)的點在曲線上(二)求軌跡的方法為：(x a)(x0a) (y b)(yb)(3)過圓x2y2Dx Ey FD(X0 x) xx yy 1、直接法：求誰設(shè)誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：禾 U 用已知或幾何圖形關(guān)系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉(zhuǎn)移代入法：適用于一個動點隨另一曲線上的動點變化問題4、交軌法：適用于求兩條動直線交點的軌跡問題。用一個變量分別表示兩條動直線, 然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個變量分別表示所求軌跡上任一點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再

14、參考參數(shù)法，找到軌跡方程。三、橢圓橢圓：平面內(nèi)到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間距離）的點的集合x a cos3、 參數(shù)方程（為參數(shù)）幾何意義：離心角y bsi n4、幾何性質(zhì)：（只給出焦點在 x 軸上的的橢圓的幾何性質(zhì)）、頂點（a,0）,（0, b）2、焦點（c,0）c3、離心率e （0 e 1）aa24準(zhǔn)線：x（課改后對準(zhǔn)線不再要求，但題目中偶爾給出）c5、 焦點三角形面積：SVPFFb2tan（設(shè)F1PF2）1226、 橢圓面積：S橢a b（了解即可）7、直線與橢圓位置關(guān)系：相離（0）；相交（0） ；相切（0）判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，禾 U 用判別式判斷根的個數(shù)8、橢圓

15、切線的求法1)切點（x0y0）已知時，2x2y2,21(ab0)切線xx2yy11abab22y2x21(a b0)切線yy2誓1abab22uuuv uuuvuuuPFPF1 IPF22a(2aF1F2）第二定義：de -(0 e 1) a2、標(biāo)準(zhǔn)方程:x2a22y_b21(a b 0)或2y_2ax21(a b 0)；1、定義:2)切線斜率 k 已知時，x2y.21(ab0)切線ykxa2k2bab2 2 _2-21(a b 0)切線y kx b2k2a2a b9、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離2x2ab21(a b 0)r a exo（左加右減）四、雙曲線2y2a2a1(a b 0)b2r

16、 a eyo（下加上減）1、定義：PF,PF22aPFc第二定義：e (e 1)da2、標(biāo)準(zhǔn)方程:2 2x y、221(a0, b 0)(焦點在 x 軸)a b2x、21(a0, b 0)(焦點在 y 軸)b參數(shù)方程:x a secy b tan（為參P(a sec , btan )3、幾何性質(zhì)頂點（a,0）焦點（c,0）2 2c ab2離心率e -ae12準(zhǔn)線x a_c2漸近線務(wù)a2yb21(a0,b0)y22a2x了1(a0,b0)4、特殊雙曲線、等軸雙曲線2x2a2h1ae.2漸近線y x2 2 2 2、雙曲線篤 爲(wèi)1的共軛雙曲線篤 爲(wèi)1a ba b性質(zhì) 1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線性質(zhì) 2:雙曲線與其共軛雙曲線的四個焦點在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關(guān)系相離（0）;相切（0）； 相交（0）判定直線與雙曲線位置關(guān)系需要與漸近線聯(lián)系一起0時可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式2 2x V1(a 0, b 0)點 P 在右支上r ex0