平面幾何26個定理

1、1/8高一數(shù)學競賽班二試講義第 1 講平面幾何中的 26 個定理班級_姓名_一、知識點金1.梅涅勞斯定理：若直線 1不經(jīng)過 AABC 的頂點 并且與AABC 的三邊 BC.CAAB 或它們的延長線 分別交于 P,Q,R,則諾卷箸 1注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立（用同一法證明）2 塞瓦定理：設 P,Q、R 分別是 AABC 的三邊 BQCAAB 或它們的延長線上的點, 若 AP.BQ.CRH線共點，則更2.竺=1PC QA RB注：塞瓦定理的逆定理也成立3 托勒密定理:在四邊形 ABCD 屮，有 AB CD + BC AD AAC BD ,并且當且僅當四邊形 ABCD 內接于圓時.等式成立。證

2、： 在四邊形ABCD內取點 E,使 ZBAE =ZCAD- ZABE= ZACDAB RE則：4ABE 和 AACD 相似 /.= AB CD 二 AC BE ACCDAB AE乂 = JiZBAC = ZEAD /. AABC 和 AAED 相似 ACADBC ED = n AD BC= AC EDAC ADAB CD+AD BC= AC (BE + ED) AB CD十AD BC AC BD且等號當且僅當 E在 ED上時成立，即當且僅當 A、B、C、D四點共圓時成立: 注托勒密定理的逆定理也成立2/84 西姆松定理，若從 AABC 外接圓上一點 P作 RCAB,CA的垂線. 垂足分別為 D

3、,E,F,則 DEF 三點共線。3/8西姆松定理的逆定理：從點 P作 BC,AB,CA的垂線，垂足分別為 D,E,Fo若 D,E,F三點共線，則點 P在 AABC 的外接圓上。5.蝴蝶定理： 圓 0中的弦 PQ 的中點 M,過點 M任作兩弦 AB, CD,弦 AD 與 BC 分別交 PQ于 X, Y,則 M為 XY之中點。證明： 過圓心 0 作 AD 與 BC 的垂線， 垂足為 S. T.連接 OX, OY, OM,SM,V AAMDACMBAM/CM=AD/BCVAS=1/2AD, BT=1/2BC /. Ahl/CM=AS/CT 又: ZA=Z C AMS s CMTA ZMSX=ZMTY

4、T ZOMX=ZOSX=90A ZOhlX+ZOSX=180oAO, S, X, M四點共圓 同理，O, T, Y, M 四點共圓ZMTY=ZMOY, ZMSX=ZMOXZMOX=ZMOY ,TOM 丄 PQ/.XL4=YM注：把圓換成橢圓.拋物線、雙曲線蝴蝶定理也成立6.坎迪定理：設 AB 是己知圓的弦，M是 AB 上一點弦 CD,EF過點 M,連結 CF.ED,分別交 AB 于 L,N,則丄LM7.斯特瓦爾特定理： 設P為AABC的BC邊上任一點，則令. .PC . BP 宀 BP 】AP = A6- + A 一 B- oBCBCBC 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立8張角定理：SAC,B

5、 順次分別是平面內一點 P所引三條射線 AB, AP, AC 上的點，線段 AC,CB對點 P 的張角分別為匕 0，且 a + 0vl8(T,則 AC.B 三點共線的充要條件是：sin(a+P) _ sinasin卩-=-+-PC PB PA9.九點圓定理： 三角形的三條高的垂足、 三邊的中點， 以及垂心與頂點的三條連接線段的中點, 共九點共圓。此圓稱為三角形的九點圓，或稱歐拉圓。AABC 的九點岡的洌心是其外心與垂心所 連線段的中點.九點鬪的半徑是ADC 的外接圓半徑的丄。2證明：的九點圓與 MBC 的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為內位似中心。位似比均為 l：2o10

6、. 歐拉線：AABC 的垂心 H ,重心 G ,外心 O三點共縱此線稱為歐拉線，且有關系：HG = 2GO11. 歐拉公式：設三角形的外接圓與內切圓的半徑分別為 R 和 r,則這兩圓的圓心距OI = jR(R_2r)。由此町知，R2r 證明：設外心為 O,內心為 I,連結 OI,延長交外接圓于 N,P 兩點，令 d = OI, At 交外接A則(R d)(R+ d) = NI IP = LI IA= LB IA= 2Rsin-212. 笛沙格定理;在 AABC和ABC中.若 AABBCCr相交于一點 0,則 AB與 AH BC與 BrCAC與 AC的交點 F,D,E 共線。證明：ZiOBC 和

7、梅尼線 B CD,要型竽=1； AOAB 和梅尼線 AEF ,- = 1：EE DCCfOAA FB BO圓于 L.=2Ri Asin 2MN AM MB4/8OAC 和梅尼線ZC它, =1.三式相乘，得型 = K 得證CCEA AODC EA FB13. 牛頓(Newton)定理 1：圓的外切四邊形的對角線的交點和以切點為頂點的四邊形對角線交點重合。證法 1:設四邊形 ABCD 的邊 AB,BC,CD,DA與內切圓分別切于點 E.F.G.H首先證明，直線 AC.EG.FH交于一點設 EG.FH分別交 AC 于點 I,T顯然 ZAHF=ZBH * ,因此易知 Ar*Hr/Fr*Cr=S(ArH

8、)/S(CrF)=AH*HI7CF*FI故 AI7Cr=AH/CF同樣町證 AI/CI=AE/CG又 AE=AH,CF=CG故 AI/CI=AH/CF=AI7Cr從而 I,T覓介即直線 AC.EG.FH 交于一點.同理可證衛(wèi)線 BD,EG,FH交于一點.因此 直線 AC,BD,EG,FH交于一點。證法 2：外四邊形為 ABCD,對應內切四邊形為 EFGH,連接 EG, FH交于 P。下而證明 BD過 P即可。過D座EG的平行線交BA與S,過D做FH的平行線交BC于T。 由于弦切角及同位角， 角 BEG=ffjCGE=角 CDS=J BSD。所以 SEGD 四點共圓，且為等腰梯形。設此圓為圓 M

9、.圓 M 與 圓 O,內切圓交于 EG,所以其根軸為 EG,同理對圓 N, DHFT,與圓 0 交于 HF。HF為此兩圓 的根軸。由根軸定理，只需證明 BD為圓 M與圓 N 的根軸即町證明 BD, EG, HF共于點 P。D 在圓 M和圓 N上，所以其為根軸一點。由于 SEGD,利 DHFT 為等腰梯形，所以 ES=DG,DH=FTo fh切線長定理，DH=DG, BE=BF；所以 BE=BF, ES=FT, BS=BT。若 B 為圓 M 與圓 N 的根軸上一點，則 BE*BS=BF*BT.其為割線長。明顯等式成芷。所以 BD 為圓 M 與圓 N 的根軸，則BD, EG, HF 共于點 P。同

10、理 AC, EG, HF 共于點 P。命題得證。14. 牛頓(Newton)定理 2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點,及該圓的圓心,三點共線.證明：設四邊形 ABCD是。I 的外切四邊形，E 和 F分別是它的對角線 AC 和 BD的中 點，連接 EI只需證它過點 F,即只需證 ABEI 與 ADEI 面積相等。顯然，SA BEI=SA BIC+SA CEI-SA BCE. SA DEI=SA ADE+SA AIE-SAAIDO注意兩個式子，由 ABCD外切于 Ol, AB+CD=AD+BC, SA BIC+SA AID=1/2*S 四邊形 ABCD, SAADE+SA BCE=1/2*SA A

11、CD+1/2*SA ABC=1/2*S 四邊形 ABCD即 SA BIC+SA AID=SA ADE+SA BCE,移項得 SA BIC-SA BCE=SA ADE-SA AID,由 E 是 AC 中點，SA CEI=SA AEI,故 SA BIC+SA CEI-SA BCE=SA ADE+SA AIE-SA AID ,即 SA BEI=A DEL 而F 是 BD中點，由共邊比例定理 EI 過點 F即 EF過點 I,故結論成立。15. 牛頓(Newton)定理 3：完全四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩*對 角線的中點，三點共線。這條輕叫做這個四邊形的牛頓線，證明：四邊形 ABCD

12、ABnCD=E,ADnBC=F,BD中點 M.AC 中點 L.EF 中點 N 取 BE 中點 P.BC5/8屮點 R,PNnCE=Q6/8R,L,Q 共線，QL/LR=EA/AB: M,R,P 共線，RM/MP=CD/DE：N.P.Q 共線，PN/NQ=BF/FCo三式相乘得 QL/LR*Rhl/hlP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FCQL/LR +RM/MP *PN/NQ=1APQR 及梅尼線 LMN,由梅涅勞斯定理的逆定理知 L, M, N三點共線。16. 布利安雙定理：設一六角形外切于一條圓錐曲線，那么它的三雙對頂點的連線共點。在此,捉供用初等幾何證明外切于圓的情形。記六邊

13、形為 ABCDEF 外切于圓 O, AB, BC, CD,DE,EF,FA 上的切點分別是 G,H,I,J,K,L 設 AB.DC 交于 X.AF.DE交于 Y則四邊形 AXDY外切于圓 0,切點分別是 GJ.J.Lo圓外切四邊形對邊切點連 線與主對角線交于一點，AD.GJ.LI 共點（記為點 P）。同理，BE,GJ,KH共點（記為點 r）,CF,LI,KH 共點（記為點 q則命題可轉為證明 DP.BR.FQ 共點。17. 拿破侖定理；若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構成一個正三角形。 證明： 設等邊 ABD 的外接圓和等邊厶 ACF 的外接圓相交于 0；連 AO、CO、B0。

14、 ZADB=ZAFC=60：TA、D、B、0 四點共圓：A、F、C、0四點共圓:/. ZAOB=ZAOC=120；ZBOC=120：T A BCE 是等邊三角形 ZBEC=60： B、E、C、O四點共圓；A這 3個等邊三角形的外接圓共點。設等邊 ABD 的外接圓 0N,等邊 ACF的外接圓 0M,等邊 BCE 的外接圓 GP相交于 0；連 AO、CO、BO。 V A、D、B、O四點共圓；A、F、C、O四點共圓，B、E、C、O四點共圓,ZAFC=ZADB=ZBEC=60：化 ZAOB=ZAOC=ZBOC=120：TNP、MP、MN 是連心線；BO、CO、AO是公共弦；.I BO丄 NP 于 X：

15、CO 丄 MP于 Y；AO 丄 NM 于 Z。 X、P、Y、O 四點共圓： Y、M、Z、O四點共圓；Z、N、X、0 四點共圓：ZN=ZM=ZP=60：即厶 MNP 是等邊三角形。18. 帕斯卡（Pascal）定理：如圖，圓內接六邊形 ABCDEF 的邊 AB、DE 的延長線交于點 G,邊證明：延長 AB、CD、EF,分別交直線 CD、EF、AB 于 M、N、L 三點，構成 LMN。LB MC NH_直線 BC 截 LM、MN、NL 于 E、C、H三點，則 MB 應 7 TH 7/8直線 DE 截 LM. MN. NL 于 G、D、E 三點，則|LG|/|MG|.|hlD|/|ND| |NE|/

16、1LE|=1 .LA MK NF直線 AF截 LM、MN、NL 于 A、K、F三點，則航ITKTFMA MB . NC ND 4- - = i- - =j連 BE,則 LA LB=LF LE, .。同理 MDMC，NF NE。NH LG MI _ 將(D相乘，得LH MG NK o點 H、G、K 在 ALMN 的邊 LN、LM、MN 的延長線上，.H、G、K三點共線。19. 蒙日定理(根心定理)：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交 于一點，這個點叫它們的根心：若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。注：在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓鯉相等的點的集合是一條直線，這條線稱 為這

17、兩個圓的根軸。另一角度也可以稱兩不同心圓的等幕點的軌跡為根軸，或者稱作等 幕軸。(1)平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；(2)若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線：(3)若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內公切線：20. 莫利定理(Moileyl theorem),也稱為莫雷角三分線定理：將三角形的三個內角三等 分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點町以構成一個正三角形。 這個三角形常被稱作莫利正三角形。證法*:在 ABR 中，由正弦定理，得 AR=csinp/sin(a+p)不失一般性， ABC外接圓直徑為 1 ,則由正弦定理，知 c=sin3y ,所以 AR=

18、( sin3y*sinp )/sin(60-y)=sinp*siny(3-4sinA2 y)/ l/2(3cosy-siny)=Zsinpsiny ( Scosy+siny )=4sinpsinysin ( 60+y). 同理,AQ=4sinpsinysin(60+p) it A ARQ 中，由余弦定理, 得 RQA2 =16sinA2PsinA2 ysinA2 (60+y)+sinA2 (60+p)-2sin(60+Y)*sin( 60+p )cosa=16sinA2 asinA2 psinA2 y. 這是一個關于 a, 0, 丫的對稱式，同理可得 PQT , PRA2 有相同的 對稱性，故

19、 PQ=RQ=PR,所以 APOR 是正三角形。證法二：*/ AE: AC=siny： sin ( a+y),AF： AB=sin|3： sin (a+p),AB： AC=sin3y： sin3p./.AE AF= (ACsin (a+y) /siny)： (ABsin (a+p)/sin3),而 sm3y： sin3p= (sinysin(60+y)sin(60-y) )： (sinf sin(60+p)sin(60-P), /. AE： AF=sin(60o+y)：sin(60+p),.在厶 AEF 中，ZAEF=60+y,8/8同理 ZCED=60o+a,A ZDEF=60,A ADEF

20、 為正三角形。9/821. 斯坦納一萊默斯定理:如圖，己知 ABC 中，兩內角的平分線 BD=CEo 求證：AB=AC。證法 作 ZBDF=ZBCE；并使 DF=BCVBD=EC,BDF 絲ECB,BF=BE,ZBEC=ZDBF SZABD=ZDBC=a,ZACE=ZECB=p, ZFBC=ZBEC+a=180o-2a-p+a=180.(a+p),ZCDF=ZFDB+ZCDB=p+180-2p-a=180-(a+p),:.ZFBC=ZCDF,V2a+2pA a+p90過 C 點作 FB 的垂線和過 F 點作 CD 的垂線必都在 FB ft CD 的延長線上設垂足分別為 G、H,ZHDF=ZCB

21、G, VBC=DF, ARtA CGBRtA FHD, ACG=FHBC=FD 連接 CF,VCF=FC,FH=CG, ARtA CGFAFHC (HL), /.FG=CH,又 VBG=DH,/-BF=CD, 又 VBF=BE,ACD=BE ,VBE=CDBC=CBEC=DB. A ABEC ACDB ,/ ZABC=ZACBAAB=AC證法 設二角的一半分別為cu p ,sin(2a+p)/ sin2a= BC/CE = BC/BD = sm(a+2p)/ sinZp, /.2sinacosasin(a+2p) 2sinpcospsin(2a+p)=0sinasin2(a+p)+sin 2-

22、 sinpsin2 (a+p)+ sin2a=0-sin2(a+p)sina-sinp+2 sinasinflcosp cosa=0sin (a-P)/2 sin2(a+p)cos(a+p)/2 + 2 sinasinfsin (a+p)/2=0 sin (a-p)/2=0Z. a 邙,Z. AB=AC.證法用張角定理:2cosa/BE=l/BC+l/AB ,2cosp/CD=l/BC4-l/AC ,若 a邛 町推出 ABAC 矛盾！若 avp町推出 AB AC 矛盾！ 所以 AB=AC22. 費爾馬點：費爾馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。對于一個頂角不 超過 120度的三角形，

23、 費爾馬點是對各邊的張角都是 120度的點。 對于一個頂角超過 120度的三角 形，費爾馬點就是繪大的內角的頂點。證明： 在平面三角形中：(1)三內角皆小于 120。的三角形，分別以 ABRCQA,為邊，向三角形外側做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,后連接 AA1,BB1,CC1 側三線交于一點 P,則點 P就是所求的費馬點.(2)若三角形存一內角大于或等于 120 度，則此鈍角的頂點就是所求(3)當厶 ABC為等邊三角形時，此時外心與費馬點重合 (1)等邊三角形中 BP=PC=PA, BP、PC、PA分別為三角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內切圓和外切圓的+ 0 A BPCA

24、CPAAPBAo(2)當 BC=BA但 CAHAB 時，BP為三角形 CA上的高和中線、三角上的角分線。證明(1)費馬點對邊的張角為 120 度。 CC1B 和厶 AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,ZCBC1=ZB+6O =ZABA1, CC1B 和厶 AA1B 是 全等三角形，得到 ZPCB=ZPA1B 同理可得 ZCBP=ZCA1P 由 ZPA1B+ZCA1P=6O度，得ZPCB+ZCBP=60 度，所以 ZCPB=120 度 同理,ZAPB=120 度，ZAPC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1將厶 BPC 以點 B 為旋轉中心旋轉 60 應與 BDA1 旋合，連結 P

25、D,則厶 PDB 為等邊三角形，所以ZBPD=60 度 又 ZBPA=120 度，因此 A、P、D 三點在同一直線上，又ZCPB=ZA1DB=12O 度，ZPDB=60 度，ZPDA1=18O 度，所以 A、P、D、A1 四點在同一直線 上，故 PAiPBiPC=AAlo (3)PAPBIPC Ai 短 在 A ABC 內任意取一點 M (不與點 P垂合)， 連結 AM、BM、CM,將 ABMC 以點 B 為旋轉中心旋轉 60 度與 BGA1 重介，連結 AM、GM、 A1G(同上)，A10/8則 AA1 A1 G+GM+MA-Ahf+BM+CM.所以費馬點到三個頂點 A、B、C 的距離瑕短。

26、平面四邊形費馬點 平面四邊形中費 3 點證明相對于三角型中較為簡易，也校容易研究。(1) 在凸四邊形 ABCD中，費馬點為兩對角線 AC、BD交點 P。 (2)在凹四邊形 ABCD中，費馬 點為凹頂點 D (P)o23. 等差農(nóng)線定理：已知 A、B 亮點，則滿足 AP2-BPMc(k 為常數(shù))的點 P軌跡是垂直于 AB 的一條直線。24. 婆羅摩笈多定理若圓內接四邊形 ABCD 的對角線相互垂直，則垂直于一邊 CD且過對角線交點 E 的直 線 EF將 AB 平分對邊。25. 萊莫恩(Lemoine)定理： 過 ABC 的三個頂點 A、 B、 C 作它的外接圓的切線分別和 BC、CA、AB 所在

27、直線交于 P、Q、R,則 P. Q、R 三點共線。直線 PQR 稱為 ABC 的萊莫恩線。證明：由弦切角定理町以得到：sinZACR=sinZABC , sinZBCR=sinZBACsin ZB AP=sni ZBCA,sin Z CAP=sinZABCsin Z CBQ=sin ZBACsin Z ABQ=sinZBCA所以，我們可以得到：(sniZACR/sinZBCR)*(sinZBAP/smZCAP)sinZCBQ/sinZABQ)=b 這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到 ABC 被直線 PQR 所截，即 P、Q、R 共線。26清宮定理：設 P、Q為 A ABC 的外接圓上異于 A、B、C 的兩點，P 關于三邊 BC、CA、 AB的對稱點分別是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分別交三邊 BC、CA、AB 或其延長線 于 D、E、F,則 D、E、F 在同一直線上11/8證明：設 P、Q 為厶 ABC 的外接圓上異于 A、B、C 的兩點，P關于三邊 BC、CA、AB 的對稱點分別是 U、V、W,且 QU、QV、QW 分別交三邊 BC、CA、AB 或其延長線于 D、 E、F 這時，P、Q 兩點和 D、F、E、三點有如卞關系：將三角形的三邊或者其延長 線作為鏡面，則從 P