不動點的性質(zhì)與應用教師版

1、不 動 點 的 性 質(zhì) 與 應 用一、不動點：對于函數(shù)f(x)(x D),我們把方程f(x) x的解x稱為函數(shù)f(x)的不動點，即y f(x)與y x圖 像交點的橫坐標.例1：求函數(shù)f(x) 2x 1的不動點.解：有一個不動點為1例2：求函數(shù)g(x) 2x2 1的不動點.1 .解：有兩個不動點一、12二、穩(wěn)定點：對于函數(shù)f(x)(x D),我們把方程ff(x) x的解x稱為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點，即y ff(x)與 y x圖像交點的橫坐標.很顯然，若比為函數(shù)y f(x)的不動點，則xo必為函數(shù)yf (x)的穩(wěn)定點.證明：因為f (x0) x0,所以f (f (x0)f(x0) x0,故x0也是函

2、數(shù)y f(x)的穩(wěn)定點.例3：求函數(shù)f(x) 2x 1的穩(wěn)定點.解：設 f(x) 2x 1,令 2(2x 1) 1 x,解得 x 1故函數(shù)y 2x 1有一個穩(wěn)定點1【提問】有沒有不是不動點的穩(wěn)定點呢？答：當然有 例4：求函數(shù)g(x) 2x2 1的穩(wěn)定點.解：令 gg(x) x,則 2(2x2 1)2 1 x2(4x4 4x2 1) 1 x 0 8x4 8x2 x 1 0,1因為不動點必為穩(wěn)定點，所以該萬程一定有兩解x1-, x2 12_4_2.一._28x 8x x 1 必有因式(x 1)(2x 1) 2x x 1可得(x 1)(2x 1)(4x2 2x 1) 0 另外兩解 x34故函數(shù)g(x

3、) 2x2 1的穩(wěn)定點是11 、. 51 . 51.5一、1、5、5,其中 5是穩(wěn)定點，但不是不動點2444卜面四個圖形，分別對應例 1、2、3、4.由此可見，不動點是函數(shù)圖像與直線y x的交點的橫坐標，穩(wěn)定點是函數(shù)y f(x)(x D)圖像與曲線x f(y)(y D)圖像交點的橫坐標(特另L若函數(shù)有反函數(shù)時，則穩(wěn)定點是函數(shù)圖像與其反函數(shù)圖像交點的橫坐標)由圖1和圖3,我們猜測命題： 若函數(shù)y f(x)(x D)單調(diào)遞增，則它的不動點與穩(wěn)定點或者相同，或者都沒有.證明：(1) 1若函數(shù)y f(x)(x D)有不動點x0 ,即f(x0) x0f(f(x。) f(xo) x0,故xo也是函數(shù)y f

4、(x)的穩(wěn)定點；2若函數(shù)y f (x)(x D)有穩(wěn)定點xo,即f (f(xo) xo,假設xo不是函數(shù)的不動點，即f(xo) xo若f(xo)>xo,則f (f (xo)>f(xo),即xo>f(xo)與f (xo)>xo矛盾，故不存在這種情況；若f(xo)<xo,則f (f (xo)<f(xo),即xo<f(xo)與f (xo)<xo矛盾，故不存在這種情況；綜上，f (xo) =xo xo是f (x)的不動點.(2) 1若函數(shù)y f(x)(x D)無不動點，由(1)知若函數(shù)有穩(wěn)定點，則函數(shù)必有不動點，矛盾，故函數(shù)無穩(wěn)定點；2若函數(shù)y f (x

5、)(x D)無穩(wěn)定點，由(1)知若函數(shù)有不動點，則函數(shù)必有穩(wěn)定點，矛盾，故函數(shù)無不動點；綜上，若函數(shù)y f(x)(x D)單調(diào)遞增，則它的不動點與穩(wěn)定點或者相同，或者都沒有 例5、對于函數(shù)f(x),我們把使得f(x)=x成立的x稱為函數(shù)f(x)的不動點。把使得f(f(x)=x成立的x稱為函 數(shù)白f(x)的穩(wěn)定點，函數(shù)f(x)的不動點和穩(wěn)定點構(gòu)成集合分別記為 A和B.即A=x|f(x尸x, B=x|f(f(x)=x,(1)請證明：A?B； (2) f (x) x2 a(a R,x R),且A=B次，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)證明：若A 時，A B若 A時，對任意的 x A,有 f(x) x

6、ff(x) f (x) x x B A B綜上，得A B2_ . .一1(2) QAx a x 0 有解 1 4a 0 a 一4Q B(x2-a) 2-a=x 有解 x4-2ax2-x+a 2-a=0Q A? B ，即 x4-2ax 2-x+a 2-a=0 的左邊有因式 x2-x-a ;(x2-x-a)(x 2+x-a+1)=0 ;又A=B1- x2+x-a+1=0無實數(shù)根，或?qū)崝?shù)根是方程x2-x-a=0的根；3，右 x2+x-a+1=0 無頭數(shù)根，則 A=1-4 (-a+1 ) <0 a 4若x2+x-a+1=0有實根，且實根是方程x2-x-a=0的根；13作差，付 2x+1=0 xa

7、 24,一 一 1 3綜上，a的取值范圍為1,- 4 4例6、已知函數(shù)y f (x),x D ,若存在XoD ,使得f(x°) x°,則稱為函數(shù)f(x)的不動點；若存在Xo D ,使得ff(Xo) Xo,則稱Xo為函數(shù)f(x)的穩(wěn)定點，則下列結(jié)論中正確的是 (填上 所有正確結(jié)論的序號).-12 一、1是函數(shù)f(x) 2x 1的兩個不動點；2若x0為函數(shù)y f(x)的不動點，則x0必為函數(shù)y f(x)的穩(wěn)定點；若x0為函數(shù)y f(x)的穩(wěn)定點，則x0必為函數(shù)y f(x)的不動點；函數(shù)f(x) 2x2 1共有三個穩(wěn)定點；f (x)ex x的不動點與穩(wěn)定點相同?？键c：命題的真假判

8、斷與應用2. 一1.解：解 2x 1 x 得：x1- ,x2 1212故 a、1是函數(shù)f(x) 2x1有兩個不動點，即正確；若Xo為函數(shù)y=f(x)的不動點，則f(Xo) Xo,此時 ff(Xo) f (Xo) Xo,則Xo必為函數(shù)y=f(x)的穩(wěn)定點，故正確;若X。為函數(shù)y=f(x)的穩(wěn)定點，則Xo不一定為函數(shù)y=f(x)的不動點(見結(jié)論)，故錯誤;解 2(2x2 1)2 1 x8x4 8x2 x 1 0 ,1八 1. 5八得x=或x=1或x或x1.5244即函數(shù)f (x) 2x2 1共有四個穩(wěn)定點，故錯誤;因f(x) Jex x在定義域上為增函數(shù)，故它的不動點與穩(wěn)定點相同。故答案為：例7、

9、設函數(shù)f(x)Vx-a(a R).若方程f(f(x)= x有解，則a的取值范圍為()11-1A. (,-B. 0, -C. (,-D.1,+ oo)488解：法二：設f (x)=t, t? 0,則方程f(f(x)=x等價為f(t尸x,rr x at,即 , I. t =x,即 f(x)=x,t a xjx_ax在 x?0時有解，a x2 x2設 g x x x x(x 1)11.則 a g(x)maxg(二)一，故選：A.24例8：已知f xx3 bx ,若f x在1,)上單調(diào).(1)求b的取值范圍；(2)已知f x x3 bx,若設x01, f(xo)1 ,且滿足 f f(xo)xo ,求證

10、： f (xo ) xo .解：(1)法一：令 1 x1 x2,則 f x1f x2x3 bx1x3 bx2(x1 x2)(x； x#2 x2b)x12x1 x2x2b ob x；xx2x2恒成立(1) ( 2)得：(xo3 m3)(xo m)(xo2 m% m2 12_2xom% m 1 b 43(2)(證法一)設xobxo m (1)f (xo) m,由 ff(xo) xo 得 f(m) xo ,于是有 3mbm xo (2)b(x) m) m xo,化簡可得 b) o , Q xo 1, f (xo)m 1,b 1 o,故 xo m o,即有 f (xo)(證法二)假設f (xo) xo

11、 ,若f (xo)>xo,則f (f(xo) >f(xo),即xo>f(xo)與f(xo)>xo矛盾，故不存在這種情況;若f (xo)<xo,則f (f(xo) <f(xo),即xo<f(xo)與f(xo)<xo矛盾，故不存在這種情況；綜上，f (xo) =xo例9：已知f xax2 bx c a 0 ,且方程f x x無實根。現(xiàn)有四個命題方程 f f xx也一定沒有實數(shù)根；若a 0,則不等式f f xx對一切x R成立；若a 0 ,則必存在實數(shù)*0使不等式f f x0x0成立；若a b c 0,則不等式f f xx對一切x R成立。其中真命題的

12、個數(shù)是(C )( A) 1 個 ( B) 2 個 ( C) 3 個 ( D) 4 個【提問】由以上例題我們還可以得到什么結(jié)論呢？【性質(zhì)】1、函數(shù)f(x)(x D)不動點構(gòu)成白集合是 ff(x)(x D)不動點構(gòu)成的集合的子集；2、若函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增，則f(x)(x D)不動點構(gòu)成白集合與 ff(x)(x D)不動點構(gòu)成的集合相等；3、若f(f(x)有唯一不動點，則 f(x)也有唯一不動點；證明：4、若函數(shù)f (x)(x D) 是自反函數(shù)，則在D 內(nèi)任何實數(shù)均是f f(x)(x D) 的不動點；證明：5、若函數(shù)ff(x)(x D)不動點構(gòu)成的集合是非無限集，則 f(x)(x D)不動點

13、構(gòu)成的集合的元素個數(shù)與f f (x)( x D)不動點構(gòu)成的集合的元素個數(shù)同為偶數(shù)或同為奇數(shù)證明：1、對于函數(shù)f x ,若f XoXo ,則稱X0為函數(shù)y f(x)的不動點；若f(f(Xo)Xo ,則稱Xo為函【課后練習】f(X)的穩(wěn)定點.如果fx2 a a的“穩(wěn)定點”恰是它的“不動點”，那么a的取值范圍A、解:Xo為函數(shù)則方程 f X0有實根X。，1 4a如果穩(wěn)定點恰是它的不動點,X。是方程fX的根，即0,因為函數(shù) f x x2 a a的穩(wěn)定點恰是它的不動點,所以若方程x21 0無實根 1 4a 1若方程0有實根,2且實根是方程X0的根,作差，得2x+1=0綜上:2、方程Xn 1f 1Xn1

14、一一,故選D 4X的根稱為函數(shù)f (x)的不動點,若函數(shù)有唯一不動點,a x 2且 X1 1000 ,n 1,2,3,，則 X201720083、對于函數(shù)y f(x)，若X0滿足f(Xo)X0,則稱X0為函數(shù)f(x)的一階不動點，若X0滿足ff(Xo) Xo,則稱X0為函數(shù)f(X)的二階不動點，(1)設f (x)=2x+3，求f (x)的二階不動點。 X(2)設f x e x a,a R,若f(x)在0,1上存在二階不動點 x0,求實數(shù)a的取值范圍.考點： 函數(shù)與方程的綜合運用, 函數(shù)的值解：(1) 若 f(x)=2x+3, 則 f f(x)=2(2 x+3)+3=4x+9，由 f f (x)

15、= x, 得 4x+9=x, 解得x=- 3； 函數(shù)f xex x a,a R在R上單調(diào)遞增，則由(2)可知，若f (x)在0,1上存在二階不動點 x0,則 f (x) 在 0,1 上也必存在一階不動點x0；反之，若f(x)在0,1上存在一階不動點 Xo,即f(Xo)Xo,那么ff(x0)f(x0) x0,故f(x)在0,1上也存在二階不動點 x0.所以函數(shù)f (x)在0,1上存在二階不動點 x0等價于f(x)=x在0,1上有解，即方程ex x a x 在 0,1 上有解，xa e在0,1上有解 ，a的取值范圍是-e, -1.4、已知函數(shù)f(x) 6x2 6x ，設函數(shù)g1(x)f(x), g

16、2(x)fg1(x), g3(x)fg2(x),gn(x) fgn 1(x),(1)求證：如果存在一個實數(shù) x0,滿足g1(x0) x0,那么對一切n N , gn(x0) x0都成立都成立；(2)若實數(shù)X0滿足gn( X0 )X0 ,則稱X0為穩(wěn)定不動點，試求出所有這些穩(wěn)定不動點；(3)設區(qū)間 A (0,)，對于任意 x A,有 g1(x)f (x) a 0, g2(x)fg1(x) f (0) 0,且n 2時，gn(x) 0.試問是否存在區(qū)間 B(A B),對于區(qū)間內(nèi)任意實數(shù) x,只要n 2 ,都有g(shù)n(x) 0 .解析:(1)證明：當n =1時，g1(x0) x0,顯然成立；設 n =

17、k 時，有g(shù) k (x0 ) x0 (k N ) 成立，k +1時，命題成立則 gki(Xo) fgk(Xo)f(Xo) gi(Xo) Xo，即 n，對一切n N , gn(X0) X0都成立都成立(2)由(1)知，穩(wěn)定不動點Xo,只需滿足f(Xo) Xo25由 f(Xo) Xo,得 f(X)6Xo 6XoXoXo?；?Xo 65，穩(wěn)定不動點為o和6.(3) ; f ( X )vo,得 6x2 6x o X ?；?X>1.gn(X) of gn i(X) o 或 gn i(X) 1要使一切n 2 ,都有g(shù)n(x) o ,必須有g(shù)1(x) o或g1(x) 1.由 gi(x) o= 6x2

18、6x o= x <o 或 x >1_<x<由 g1(x) 1 =： 6x2 6x 1 =：故對于區(qū)間(66)和(1,+ 8)內(nèi)的任意實數(shù) x ,只要 n 2, n N ,都有 gn(x) o.【真題】(2。12年北京東城一模文)對于函數(shù)f(x),我們把使得f(x)=x成立的x成為函數(shù)f(x)的不動點，把使得f(f(x)=x 成立的 x成為函數(shù)的 f(x)的穩(wěn)定點，函數(shù) f(x)的不動點和穩(wěn)定點構(gòu)成集合分別記為A和B.即A= x|f(x)=x, B=x|f(f(x)=x,(1)設函數(shù)f (x)=3x+4,求集合 A和B;(2)求證：A? B;設函數(shù)f xax2 bx c

19、a 0 ,且A=?,求證：B=?.考點：集合的包含關(guān)系判斷及應用，空集的定義、性質(zhì)及運算、方程無解的證明 解：(1)令 f (x)=3 x+4=x,解得x=-2，故有A=-2 由于 f f (X)=3(3 x+4)+4=9x+16,令 9x+16=x，得 X=- 2,故有 令- 2 (2)若A=?,則A? B顯然成立；若Aw ?,設 t SA,則 f(t尸t,f(f(t)尸f(t尸t , . t C B,故 A? B.(3) Q Af(x) x 無解 f(x) x 或 f(x) x1oa 0 時，則 f(x) x 在 x R 上恒成立ff (x)f(x) xB2oa 0 時，則 f(x) x

20、在 x R 上恒成立ff(x) f(x) xB綜上，B(上海中學2015學年第一學期高一期終考試)一、填空題/12、若實數(shù)xo滿足f(xo) xo,則稱xo為函數(shù)f(x)的不動點，有下面三個命題:(1)若f(x)是二次函數(shù)，且沒有不動點，則函數(shù)ff(x)也沒有不動點；(2)若f(x)是二次函數(shù)，則函數(shù) ff(x)可能有4個不動點；(3)若f(x)的不動點的個數(shù)是 2,則f f (x)的不動點的個數(shù)不可能是3.它們中所有真命題的序號是 (1)、( 2)、(3) .三、解答題/5、對定義在1,)上的函數(shù)f(x)和常數(shù)& b,若f(2x) af(x) b恒成立，則稱(a,b)為 函數(shù)f (x

21、)的一個“凱森數(shù)對”.(1)若(1,1)是f (x)的一個“凱森數(shù)對”，且f(1) 3,求f(16);x 已知函數(shù)f1(x) log3x與f2(x) 2的定義域都為1,),問它們是否存在“凱森數(shù)對”？分別給 出判斷并說明理由；(3)若(2,0)是f(x)的一個“凱森數(shù)對"，且當1 x 2時，f(x) V'2x x2 ,求f (x)在區(qū)間(1,)上的不動點個數(shù)(不動點的概念參考填空題第12題).解：(1) f (16) 7 f1(x) 10g3x存在“凱森數(shù)對" (a,b) (1,log32)f2(x) 2x不存在“凱森數(shù)對”(3)不動點個數(shù)為0(楊浦區(qū)2016學年度

22、第一學期高一年級期中質(zhì)量調(diào)研)21、(本題滿分12分)本題共有2個小題，第(1)小題滿分2分，第(2)小題滿分4分，第(3)小題滿分6分.對于函數(shù)f(x),稱滿足f (x0)Xo的Xo為函數(shù)f(x)的“不動點”，稱滿足ff(Xo) Xo的Xo為函數(shù)f (x)的“穩(wěn)定點”(1)求函數(shù)f(X)x2的“不動點”；(2)求函數(shù)f(X)|X 1|的“穩(wěn)定點”；(3)已知函數(shù)yf (x)解:求y的取值范圍(用(1)0、1ax /(a 0,a 1,ax ba表不).2)有無數(shù)個“穩(wěn)定點”，若x x|1 x 2且 x b,(2)X 0,1(3)1o a 1或a 2時，則y 2a a2 a，1 a12o1-U汽

23、a 2 a一 ，一aa 2時，則y (, 1(2017年全國中學生數(shù)學能力競賽高一年級組決賽)17、對于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的“不動點”，若f(f(x)=x,則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點”。函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B,即 A=x|f(x)=x , B= x|f(f(x)=x.(I )求證：A? B;(n )若f x ax2 1 a R,x R ,且A B ,求實數(shù)a的取值范圍.考點：集合的包含關(guān)系判斷及應用，集合的相等，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解：(I )若A=?，則A?B顯然成立；若 A名，設 te a,則 f(t)=t, f(f(t)=f(t尸t,.

24、te B,故 A? B(n)Q Aax2 1 x有解11 4a 0 a4a(ax2 1) 1 x 有解a3x4 2a2x2 x aQ A? B.3 42 2. ax 2a x x a 10的左邊有因式ax2(ax2x 1)( a2x2ax a 1) 0又A=Bax a 1 0無實數(shù)根，或?qū)崝?shù)根是方程2 ax0的根;若a2xax1 0無實數(shù)根，則 a2 4a2(1)4a若a2x2ax1 0有實根，且實根是方程2 ax0的根2ax 1 012a14a12aw 14a；a的取值范圍為1,-4 4【數(shù)列中的應用】1、求線性遞推數(shù)列的通項:a1pan且 pq(p1)不動點法構(gòu)造等比數(shù)列px q為函數(shù)ypxq的不動點，遞推公式兩邊同減不動點,panp(anqp)若a0,an若a0,則an(an 1)pan/ q n 1 q(a )p 1 p 1 p2、形如a1pan q型:不動點法構(gòu)造等比數(shù)列或線性遞推數(shù)列 tan s將an1,an均換成x,得x £xq tx sx1,x2是函數(shù)f (x)pxq的兩個不動點tx s兩邊同減兩個不動點，得 an 1 x1pan q PXi q tan s tx1 s(ps qt )(anX)(tans)(