理論力學(xué)@8動力學(xué)基礎(chǔ)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第8章 動力學(xué)基礎(chǔ)8.1 主要內(nèi)容動力學(xué)是論述物體的機械運動與該物體上的作用力之間的關(guān)系的科學(xué)。 、牛頓定律第一定律 不受力作用的任何質(zhì)點，將永遠保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài)。該定律通常亦稱作慣性定律。第二定律 質(zhì)點受力作用時將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與作用力方向相同，其大小則與力的大小成正比，與質(zhì)點的質(zhì)量成反比。第三定律 任何兩個質(zhì)點間的相互作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且分別作用在這兩個質(zhì)點上。該定律也稱為作用與反作用定律。第一定律表明：任何物體都具有慣性，而力是改變物體運動狀態(tài)的原因。第二定律表明：質(zhì)量是質(zhì)點慣性大小的度量；物體機械運動狀態(tài)的改變，

2、不僅決定于作用于物體上的力，同時也與物體的慣性有關(guān)。第二定律定量地描述了質(zhì)點運動狀態(tài)的改變（通過加速度表示出來）與作用力之間的關(guān)系。第一定律可視為第二定律的特殊情況。第三定律表明：兩物體間相互作用力的關(guān)系；由于作用與反作用，引起了機械運動在相互作用的兩物體間發(fā)生傳遞。第三定律不僅對物體處于平衡狀態(tài)時適用，對物體作任何運動也適用；該定律是研究解決質(zhì)點系動力學(xué)問題的依據(jù)。、慣性參考系牛頓定律僅適用于慣性參考系，一般在天文計算中，選擇以太陽為原點，三個坐標(biāo)軸指向三顆恒星的日心參考系作為慣性參考系。在僅考慮地球自轉(zhuǎn)影響時，選擇以地心為原點，三個坐標(biāo)軸指向三顆恒星的地心參考系作為慣性參考系。在大多數(shù)工程

3、問題中，選擇與地球固連的坐標(biāo)系（稱為地球參考系）作為慣性參考系。地球參考系有時也稱為地面參考系。綜上所述，在應(yīng)用牛頓定律時，可以選擇日心參考系、地心參考系和地球參考系為慣性參考系，具體選用哪一種，需要根據(jù)研究對象、問題的特點、實際要求的精度來確定。 、單位制國際單位制(SI)。長度(L)、質(zhì)量(M)、時間(T)為基本量，對應(yīng)的基本單位是米(m)、千克(kg)、秒(s)，力(F)是導(dǎo)出量，力的導(dǎo)出單位是牛頓(N)。1N=1kg·1m/s2 =1kg·m/s2工程單位制(EU)。在工程單位制中，長度(L)、力(F)、時間(T)為基本量，對應(yīng)的基本單位是米(m)、公斤力(kgf)

4、、秒(s)。質(zhì)量(M)是導(dǎo)出量，質(zhì)量的單位是kgf·s2/m，1工程質(zhì)量單位1kgf/(1m/s2)=1kgf × s2/m在我國，重力加速度一般選取g=9.80m/s2。在工程單位制和國際單位制中，力的換算關(guān)系為1kgf1kg×9.80m/s2 =9.80kg·m/s2即1kgf = 9.80N 、量綱在國際單位制中，長度、質(zhì)量、時間是基本量，它們的量綱分別用L、M、T表示，加速度、力是導(dǎo)出量，它們的量綱分別是aLT-2、FMLT2。任何一個力學(xué)方程，它的等號兩側(cè)的量綱應(yīng)該是相同的。這一結(jié)論，常用來校核力學(xué)方程正確與否。 、質(zhì)點的運動微分方程設(shè)一質(zhì)量為

5、m的質(zhì)點受到力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的作用，根據(jù)牛頓第二定律，將加速度寫成矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)，則矢徑形式的質(zhì)點的運動微分方程為：若在直角坐標(biāo)系xyz軸上投影，則直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點運動微分方程為：若在自然坐標(biāo)系的各軸上投影，則自然軸系形式的質(zhì)點的運動微分方程為： 根據(jù)問題的需要，還可以有其它坐標(biāo)形式的質(zhì)點運動微分方程，如極坐標(biāo)形式、柱坐標(biāo)形式、球坐標(biāo)形式等。 、質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題應(yīng)用質(zhì)點的運動微分方程，可以解決質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題。（）、質(zhì)點動力學(xué)的第一類基本問題。已知質(zhì)點的運動，求解此質(zhì)點所受的力。（）、質(zhì)點動力學(xué)的第二類基本問題。已知作用在質(zhì)點上的力，求解此質(zhì)點的運動。求解第一類問題，

6、一般只需進行微分運算；而求解第二類問題，一般要進行積分運算，屬于微分方程的積分問題，應(yīng)由運動的初始條件確定積分常數(shù)。 、質(zhì)點的相對運動微分方程 質(zhì)點的相對運動方程：marFFIC其中為牽連慣性力，為科氏慣性力，它描述了質(zhì)點在相對運動中的基本規(guī)律，是質(zhì)點在非慣性坐標(biāo)系的運動方程。 、質(zhì)點系的基本慣性特征 （）、質(zhì)點系的質(zhì)量中心若質(zhì)點系的質(zhì)量用M表示，則若質(zhì)點系的質(zhì)量中心（簡稱質(zhì)心）的矢徑用rC表示，則若在直角坐標(biāo)Oxyz軸上投影，則質(zhì)心C的坐標(biāo)公式為： （）、剛體的轉(zhuǎn)動慣量 根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，剛體對轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量Iz為其中表示質(zhì)點到z軸的距離。若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則剛體轉(zhuǎn)動慣量可表示為

7、同理，剛體在直角坐標(biāo)系Oxyz中對各軸的轉(zhuǎn)動慣量可表示為：或若將剛體對于O點的轉(zhuǎn)動慣量表示為或則剛體對于O點的轉(zhuǎn)動慣量亦稱為極轉(zhuǎn)動慣量，并且有以下關(guān)系剛體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量也可用另一形式來表示。設(shè)剛體的總質(zhì)量為M，其中rz稱為剛體對于z軸的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑。它的大小為由此可知，rz的物理意義可理解為，如果把剛體的質(zhì)量集中于某一點上，仍保持原有的轉(zhuǎn)動慣量，那么，rz就是這個點到z軸的距離。 、轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與此兩軸間距離平方的乘積。即由此可知，在剛體對眾多平行軸的轉(zhuǎn)動慣量之中，

8、通過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。 8.2 基本要求 、對質(zhì)點動力學(xué)的基本概念（如慣性、質(zhì)量等）和動力學(xué)基本定律要進一步理解其實質(zhì)。 、深刻理解力和加速度的關(guān)系，能正確地建立質(zhì)點的運動微分方程，掌握第一類基本問題的解法。 、掌握動力學(xué)第二類基本問題的解法，特別是當(dāng)作用力分別為恒力、時間函數(shù)、位置函數(shù)和速度函數(shù)時，質(zhì)點直線運動微分方程的積分求解法。 、對初始條件的力學(xué)意義及其在確定質(zhì)點運動中的作用要有清晰的認(rèn)識。 、掌握并求解質(zhì)點的相對運動微分方程，理解產(chǎn)生牽連慣性力、慣性力的原因。 、牢記質(zhì)心坐標(biāo)公式，對轉(zhuǎn)動慣量、慣性積的概念有清晰的理解，利用平行軸定理能熟練地計算剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量、慣性積。8

9、.3 重點討論在動力學(xué)問題中，約束力的分析與靜力學(xué)一樣，但約束力不僅與主動力有關(guān)，而且與質(zhì)心的加速度有關(guān)。在一般情況下，力是時間、位置、速度等參變量的函數(shù)，當(dāng)應(yīng)用第二牛頓定律求解質(zhì)點的運動時，必須知道質(zhì)點運動的初始條件。在任意位置建立點的運動微分方程時，力的投影和加速度的投影要寫在等式的兩邊，正負號以坐標(biāo)軸方向為準(zhǔn)。若加速度、速度位移是未知數(shù)，方向以坐標(biāo)軸的方向為正方向。若所求結(jié)果為負，說明與假設(shè)方向相反。質(zhì)點系的基本慣性特征，在動力學(xué)中有重要的位置，除靈活運用質(zhì)心坐標(biāo)公式及計算轉(zhuǎn)動慣量外，但應(yīng)注意所應(yīng)用的坐標(biāo)系是與剛體相固連的坐標(biāo)系，在討論兩個平行軸之間的慣量關(guān)系時，運用平行軸定理時必須通過

10、質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量進行推導(dǎo)，才能得出正確的答案。8.4 例題分析 例81 質(zhì)點M的質(zhì)量為m，運動方程是x=bcost，y=dsint, 其中b、d、w為常量，求作用在此質(zhì)點上的力。 解：這是典型的動力學(xué)第一類基本問題。從運動方程中消去時間，得此質(zhì)點的軌跡方程：如圖81所示。該質(zhì)點的加速度在坐標(biāo)軸上的投影分別為： 代入運動微分方程式（8-5），解得作用在此質(zhì)點上的力在x、y軸上的投影為或由此可知，力F與矢徑r共線、反向，這表明，此質(zhì)點按給定的運動方程作橢圓運動時，其特點是：力的方向永遠指向橢圓中心，為有心力；力的大小與此質(zhì)點至橢圓中心的距離成正比。FxFFy圖8-1例8-2 在均勻的靜止液體中，質(zhì)量

11、為m 的物體M 從液面處無初速下沉。設(shè)液體阻力FR =-v，其中為阻尼系數(shù)。試分析該物體的運動規(guī)律及其特征。FRFR (a) (b) (c)圖8-2解：為建立質(zhì)點 M 的運動微分方程,將參考坐標(biāo)系的原點固結(jié)在該點的起始位置上，x軸鉛直向下。該質(zhì)點的受力圖如圖，則質(zhì)點M的位移、速度、加速度均設(shè)為沿x 軸的正方向。則運動微分方程為或 (a)式中，。分離變量，并注意到運動的起始條件為：t=0時，v0=0，積分一次解得 (b)再分離變量，運動起始條件為t=0時，x0=0，則有積分得 (c)這就是該物體下沉的運動規(guī)律。由式（b）知，當(dāng)時，該物體下沉速度將趨近一極限值這個速度稱為物體在液體中自由下沉的極限

12、速度。 FR 由此可以看出，在阻尼系數(shù)基本相同的情況下（即物體的大小、形狀基本相同時），物體的質(zhì)量越大，它趨近于極限速度所需的時間越長。工程中的選礦、選種工作，就是應(yīng)用了這個道理。 若選坐標(biāo)如圖c示。則運動微分方程為：或此時的運動起始條件為t=0時，x0=H，v0=0。通過兩次分離變量和積分，可得 例83 圖8-3（a）所示圓盤在水平面內(nèi)繞其中心鉛垂軸O勻速轉(zhuǎn)動，角速度為w。在距O軸為e的圓盤弦上開有一直槽，質(zhì)量為m的質(zhì)點M沿此槽運動。假設(shè)運動開始時，M處于圖示位置且相對于圓盤靜止，試求其相對運動方程和槽壁對它的約束力。 （a） （b） 圖8-3解：設(shè)靜坐標(biāo)系Oxy如圖所示，而動坐標(biāo)系Ox&#

13、162;y¢z¢固結(jié)于圓盤并繞軸Oz¢轉(zhuǎn)動，Ox¢軸和Oy¢軸分別于直槽平行和垂直，如圖8-3b所示。 圓盤角速度為w =w k¢ = 常矢量。圖示時刻質(zhì)點的矢徑為 r = r¢=x¢i¢+ ej¢。速度、加速度分析如下 (a) (b) (c)則得到附加在質(zhì)點M上的牽連慣性力和科氏慣性力為 (d)質(zhì)點M 在直槽平面內(nèi)真正受到的力只有槽壁的水平約束力FNFN = FN j ¢ (e)將式（b）、式（d）和式（c）代入式相應(yīng)方程，可得到以矢量形式表示的質(zhì)點相對運動微分方程 （f）投影到x&

14、#39;軸y'軸上 （g） （h）根據(jù)微分方程理論，令方程（g）的解為 （i）運動初始條件：t = 0時, ，解得質(zhì)點M在直槽內(nèi)的運動方程是 （j）將式（j）代入式（h），解得槽壁對質(zhì)點M 的水平約束力 （k）例 84 圖8-4中，等截面的均質(zhì)細長桿AB長為l，質(zhì)量為m，試求該桿對于：（1）通過質(zhì)心O且與桿垂直的y軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）與y軸相平行的y¢軸的轉(zhuǎn)動慣量。 圖8-4解：設(shè)坐標(biāo)系Oxy的x軸沿著桿的軸線。該桿線密度（單位長度的質(zhì)量）r =m/l，則單元體dx的質(zhì)量dm = rdx，于是 求剛體對y'軸的轉(zhuǎn)動慣量時，設(shè)坐標(biāo)系A(chǔ)x'y'的x'

15、;軸沿桿的軸線，如圖8-4所示，則例8-5 圖8-5中，厚度相等的均質(zhì)薄圓板的半徑為R，質(zhì)量為m，求圓板對其直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量。 解：首先，將圓板分成無數(shù)同心的單元圓環(huán)，半徑為r，寬度為dr，如圖812所示。令板的面密度（單位面積的質(zhì)量）為，則單元圓環(huán)的質(zhì)量。因為單元圓環(huán)上各點到中心O的距離都是r，所以，單元圓環(huán)對于中心O的轉(zhuǎn)動慣量是r2dm，而整個圓板對中心O的轉(zhuǎn)動慣量是由于 則 由于均質(zhì)圓薄板對x、y軸是對稱的，故Ix=Iy。所以 由此可知：通過求對O點的極轉(zhuǎn)動慣量，再求對x、y軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix、Iy，比利用式（820）直接求解要容易得多。 圖8-5例8-6 鐘擺簡化模型如圖8-6所示。已知

16、均質(zhì)細桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為M1和M2，桿長為l ，圓盤直徑為d ，求擺對于通過懸掛點O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量IO 。解：擺對于水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量可分為兩部分計算。即細長桿的轉(zhuǎn)動慣量和圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 (a)應(yīng)用平行軸定理，有 (b)與例84的計算結(jié)果相同。又 (c)將式(b)和式(c)代入式(a)，得圖 8-68.5 習(xí)題解答8-1 質(zhì)量m6kg的小球，放在傾角a30°的光滑面上，并用平行于斜面的軟繩將小球固定在圖示位置。如斜面以ag的加速度向左運動，求繩之張力FT及斜面的反力FN，欲使繩之張力為零，斜面的加速度a應(yīng)該多大？aaFTmgFN （a）（b）題8-1圖解：研究小球，受力圖如

17、圖示，由牛頓第二定律若kg，解得60.72N 12.43N若繩子張力為零，即0，則方程為解得a0.577g8-2 質(zhì)量m2kg的物塊M放在水平轉(zhuǎn)臺上，物塊至鉛直轉(zhuǎn)動軸的距離r1m，如圖示。令轉(zhuǎn)臺從靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，角加速度e0.5rad/s2。如物塊與轉(zhuǎn)臺間的摩擦系數(shù)f，試求：(1)物塊在轉(zhuǎn)臺上開始滑動的時間。(2)t2s時，物塊所受的摩擦力為多大？OanMatr（a）（b）題8-2圖解：（1）研究物塊M，加速度方向如圖示，則由牛頓第二定律則 t3.59s 當(dāng)t3.59s時，物塊開始滑動。（2）研究物塊M，由牛頓第二定律則當(dāng)t2s時2.236N8-3 圖示套管A的質(zhì)量為m，受繩子牽引沿鉛直桿

18、向上滑動。繩子的另一段繞過離桿距離為l的定滑輪B而纏在鼓輪O上。鼓輪勻速轉(zhuǎn)動，其輪緣各點的速度為uo，求繩子拉力FT與距離x之間的關(guān)系。定滑輪的外徑比較小，可視為一個點。BaFTFNAFPxlxO（a）（b）題8-3圖解：由幾何關(guān)系(1)兩邊求導(dǎo)，得(2)其中(3)由(1)、(2)、(3)得研究套管A，受力圖如圖示，由牛頓第二定律其中8-4 半徑為r的偏心輪繞O軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為w，推動導(dǎo)板沿鉛直軌道運動，如圖示。導(dǎo)板頂部放置一質(zhì)量為m的物塊A。設(shè)偏心距OCe，開始時OC連線為水平線。試求：(1)物塊對導(dǎo)板的最大壓力，(2)使物塊不離開導(dǎo)板的w的最大值。AmgaAFNBw t（a）（b）題8

19、-4圖解：（1）以物塊A為研究對象，則動力學(xué)方程為(1)由于代入(1)式得當(dāng)cosw t1時為極大值 （2）若使物塊A不離開導(dǎo)板，則條件為FN0即 當(dāng)cosw t1時為最小值 得 8-5 物塊A、B的質(zhì)量分別為m120kg和m240kg，用彈簧相連，如圖示。物塊A沿鉛直線以作簡諧運動，式中振幅H10mm，周期T0.25s。彈簧的質(zhì)量略去不計。求水平面所受壓力的最大值和最小值。aFm1gFm2gFNAB（a）（b）（c）題8-5圖解：研究物塊A，受力圖如圖示。(1)對于物塊B，受力圖如圖示。(2)由(1)、(2)式解得代入數(shù)據(jù)得Nmin461.7NNmax741.3N8-6 題8-6圖所示物塊A

20、、B的質(zhì)量為mA20kg、mB10kg。最初它們靜置于地板上，用繩子跨過滑輪把它們連接起來。不計繩和滑輪的質(zhì)量，不計摩擦。今有一鉛直向上的力F294N作用在滑輪的中心。求物塊A和B的加速度各為多少？FTBFTAFFTAaAmAgFTBaBmBgABB (a)(b)(c)(d)題8-6圖F解：研究滑輪，受力圖如圖示。由于不計滑輪質(zhì)量，所以研究物塊A，受力圖如圖示 不存在， aA0研究物塊B，受力圖如圖示， aB4.9 m/s28-7 題8-7圖所示物體M在極深的礦井中下落時，其加速度與其離地心的距離成正比。求物體下落s距離所需的時間t和對應(yīng)的速度v。設(shè)初速為零，不計任何阻力。yOOsRM（a）（

21、b）題8-7圖解：研究物體M，根據(jù)題意，則有A=k(Ry)當(dāng)y=0時，a=g=KR得積分得由初始條件，當(dāng)t=0，y=0時，可得 AR=0 A=-R 由于由初始條件，當(dāng)t=0時，v=0，=0 B=0 當(dāng)下落s時，則所需時間為下降速度為8-8 一名重量為800N的跳傘員，在離開飛機的10s內(nèi)不打開降落傘而鉛直降落。設(shè)空氣阻力Rcrsu2，其中r1.25N s2/m4，不開傘降落時，無因次阻力系數(shù)c0.5，與運動方向垂直的最大面積s0.4m2；開傘降落時，c0.7，s36m2。求在第10s末跳傘員的速度為多大？此速度與相應(yīng)的極限速度相差多少？開傘后，穩(wěn)定降落的速度等于多少？解：以跳傘員為研究對象，其

22、受力圖如圖示，由牛頓第二定律題8-8圖FPFRx令所以 分離變量為 積分得 對此式的時間t求極限可得極限速度當(dāng)t10s時，代入數(shù)據(jù)可得v53.17 m/s，比極限速度小6%同理可得不開傘的極限速度為v156.57 m/s，開傘的穩(wěn)定降落速度為v25.04 m/s。8-9 題8-9圖所示物體由高度處以速度水平拋出，空氣阻力可視為與速度的一次方成正比，即，其中為物體的質(zhì)量，為物體的速度，為常系數(shù)。求物體的運動方程和軌跡。F（a） （b） 題8-9圖解： 視該物體為質(zhì)點，其受力如圖（b）所示，其中故即 解得 消去參數(shù)t后，軌跡方程為aqlMtmgaeFTO8-10 橋式吊車下掛著重物M，吊索長l，開

23、始吊車和重物都處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖8-10示。若吊車以勻加速a作直線運動，求重物的相對速度與其擺角q的關(guān)系。（1）（2）題8-10圖解：研究重物M，其加速度矢量圖如圖示，由加速度合成定理由牛頓第二定律在切線t方向投影得其中aea，則得而代入上式整理并寫成積分式兩邊同時積分可解得8-11 題8-11所示圓盤以勻角速度w繞通過O點鉛直軸轉(zhuǎn)動。圓盤有一徑向滑槽，一質(zhì)量為m的質(zhì)點M在槽內(nèi)運動。如果在開始時，質(zhì)點至軸心O的距離為e，且無初速度，求此質(zhì)點的相對運動方程和槽對質(zhì)點的水平約束力。yFNOwxaeaCarFICFIe（1）（2）題8-11圖解：以質(zhì)點M為研究對象，坐標(biāo)系及受力圖如圖示，則牽連慣性力和科氏慣性力為由質(zhì)點的相對運動微分方程mar=FFIC得即解第一式得 t0時，xe，代入方程得 解第二式得8-12 如圖8-12所示，水平管CD以勻角速度w繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動。管中放一滑塊M。初瞬時t0時，。管長為l。求滑塊在管中運動