瓜豆原理解析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上最值系列之瓜豆原理在輔助圓問題中，我們了解了求關(guān)于動(dòng)點(diǎn)最值問題的方式之一求出動(dòng)點(diǎn)軌跡，即可求出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值本文繼續(xù)討論另一類動(dòng)點(diǎn)引發(fā)的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動(dòng)點(diǎn)P，但最終問題問的可以是另一點(diǎn)Q，當(dāng)然P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點(diǎn)出發(fā)探討Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡并求出最值，為常規(guī)思路一、軌跡之圓篇引例1：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是

2、OP一半，任意時(shí)刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AOQ點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系引例2：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？ 【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓接下來(lái)確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足

3、AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQM引例3：如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】考慮APAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQM，且相似比為2【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類問題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（

4、AP:AQ是定值）【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【思考1】：如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為一邊作等邊APQ考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】Q點(diǎn)滿足（1）PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓：考慮PAQ=60°，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足MAO

5、=60°；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQM【小結(jié)】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來(lái)，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來(lái)，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系【思考2】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角APQ考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何作出Q點(diǎn)軌跡？【分析】Q點(diǎn)滿足（1）PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓連接AO，構(gòu)造OAM=45°且AO:AM=：1M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，此時(shí)任意時(shí)刻均有AOPAMQ即可確定點(diǎn)Q的軌跡圓【練習(xí)】如

6、圖，點(diǎn)P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是MB的中點(diǎn)，則AC的最小值是_【分析】M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)，C點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)，B點(diǎn)為定點(diǎn)考慮C是BM中點(diǎn)，可知C點(diǎn)軌跡：取BP中點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點(diǎn)C軌跡當(dāng)A、C、O三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用兩點(diǎn)間距離公式求得OA，再減去OC即可【2016武漢中考】如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點(diǎn)，可確定M點(diǎn)軌跡：取AB中點(diǎn)

7、O，連接CO取CO中點(diǎn)D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn)，則弧EF即為M點(diǎn)軌跡當(dāng)然，若能理解M點(diǎn)與P點(diǎn)軌跡關(guān)系，可直接得到M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)一半，即可解決問題【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF求線段OF長(zhǎng)的最小值【分析】E是主動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是從動(dòng)點(diǎn)，D是定點(diǎn)，E點(diǎn)滿足EO=2，故E點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓考慮DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F(xiàn)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)M為圓心，2為半徑的圓直接連接OM，與圓M交點(diǎn)即為F點(diǎn)，此時(shí)

8、OF最小可構(gòu)造三垂直全等求線段長(zhǎng)，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值【練習(xí)】ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為_【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個(gè)，比如固定AB，將AC看成動(dòng)線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值根據(jù)AC=2，可得C點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓接下來(lái)題目求AO的最大值，所以確定O點(diǎn)軌跡即可，觀察BOC是等腰直角三角形，銳角頂點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點(diǎn)軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M即為點(diǎn)O軌跡圓圓心連接A

9、M并延長(zhǎng)與圓M交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)O，此時(shí)AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、C、A共線時(shí)，可得AO最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線【引例】如圖，APQ是等腰直角

10、三角形，PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當(dāng)PAQ90°時(shí)，PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【2017姑蘇

11、區(qū)二?！咳鐖D，在等邊ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_【分析】根據(jù)DPF是等邊三角形，所以可知F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與P點(diǎn)相同，P從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)路徑長(zhǎng)為8，故此題答案為8【2013湖州中考】如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個(gè)定點(diǎn)，ACx軸于點(diǎn)M，交直線y=-x于點(diǎn)N，若點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，APB=30°，BAPA，則點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_【分析】根據(jù)PAB=9

12、0°，APB=30°可得：AP:AB=，故B點(diǎn)軌跡也是線段，且P點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)與B點(diǎn)軌跡路徑長(zhǎng)之比也為，P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)ON為，故B點(diǎn)軌跡長(zhǎng)為【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊ABP，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求OP的最小值【分析】求OP最小值需先作出P點(diǎn)軌跡，根據(jù)ABP是等邊三角形且B點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，故可知P點(diǎn)軌跡也是直線取兩特殊時(shí)刻：（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，作出P點(diǎn)位置P1；（2）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時(shí)，作出P點(diǎn)位置P2連接P1P2，即為P點(diǎn)軌跡根據(jù)ABP=60

13、°可知：與y軸夾角為60°，作OP，所得OP長(zhǎng)度即為最小值，OP2=OA=3，所以O(shè)P=【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在位置，最終G點(diǎn)在位置（不一定在CD邊），即為G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡CG最小值即當(dāng)CG的時(shí)候取到，作CH于點(diǎn)H，CH即為所

14、求的最小值根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故過點(diǎn)E作EFCH于點(diǎn)F，則HF=1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為三、軌跡之其他圖形篇所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是【2016樂山中考】如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖像的另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tanCAB=2，則k的值為（ ）A2B4C6D8【分析】AOC=90°

15、且AO:OC=1:2，顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會(huì)是多少？【練習(xí)】如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點(diǎn)P是ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角OPQ，當(dāng)點(diǎn)P在ABC邊上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為_【分析】根據(jù)OPQ是等腰直角三角形可得：Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與P點(diǎn)軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ=，可得P點(diǎn)軌跡圖形與Q點(diǎn)軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點(diǎn)軌跡形成的封閉圖