第8章第2節(jié)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗_概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、202 (1) 的雙邊檢驗：的雙邊檢驗：設(shè)總體設(shè)總體XN ( , 2). X1 , X2 , , Xn是取自是取自X的的樣本，樣本，樣本均值樣本均值 樣本方差樣本方差S2，X，00:H 原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)01:H 取檢驗統(tǒng)計量：取檢驗統(tǒng)計量：nXU00 則拒絕域為：則拒絕域為：|2/zUW N(0, 1)當(dāng)當(dāng)H0為真時，為真時，nXU00 此時，因為此時，因為 是是0的無偏估計量的無偏估計量, 不應(yīng)太大不應(yīng)太大.X|0X P拒絕拒絕H0|H0為真為真)(00kXP |000nknXP |0nkUP 所以所以，2/0znk 即：即：zUP |2/由此知，拒絕域為：由此知，拒絕域為：|2

2、/zUW 推導(dǎo)：推導(dǎo)：(2) 的單邊檢驗：的單邊檢驗：，00:H 原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)01:H 檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域為：拒絕域為：zUW 統(tǒng)計中把統(tǒng)計中把拒絕域在某個區(qū)間的兩側(cè)的檢驗稱為雙邊拒絕域在某個區(qū)間的兩側(cè)的檢驗稱為雙邊檢驗（這里是區(qū)間檢驗（這里是區(qū)間 的兩側(cè)）的兩側(cè)），（2/2/zz (a)（證明略）（證明略）nXU00 ，00:H 原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)01:H 檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域為：拒絕域為：zUW 統(tǒng)計中把統(tǒng)計中把拒絕域在某個區(qū)間的某一側(cè)的檢驗稱為單拒絕域在某個區(qū)間的某一側(cè)的檢驗稱為單邊檢驗（這里是區(qū)間邊檢驗（這里是區(qū)間 的某一側(cè)）的某一側(cè)），

3、（zz (b) 這里由于使用的是服從正態(tài)分布的這里由于使用的是服從正態(tài)分布的 U 統(tǒng)計量來統(tǒng)計量來進行檢驗，也稱為進行檢驗，也稱為U 檢驗法（或正態(tài)檢驗法）。檢驗法（或正態(tài)檢驗法）。nXU00 0 0 0 0 02zU zU zU U 檢驗法檢驗法 ( 02已知已知)nXU/00 原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗 0 0 0 0 0）（12 ntT）（1 ntT）（1 ntTT 檢驗法檢驗法 ( 2 未知未知)nSXT/0 原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗

4、檢驗單邊單邊檢驗檢驗2nSXT0 例例1. 設(shè)某次考試的考生的成績服從正態(tài)分布，從中隨設(shè)某次考試的考生的成績服從正態(tài)分布，從中隨機地抽取機地抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)槲豢忌某煽?，算得平均成績?yōu)?6.5分，分，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為15分，問在顯著性水平分，問在顯著性水平0.05下，是否可以認(rèn)下，是否可以認(rèn)為在這次考試中全體考生的平均成績?yōu)闉樵谶@次考試中全體考生的平均成績?yōu)?0分？分？解：解：，70:0 H原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)70:1 H檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：12）（ ntTW拒絕域：拒絕域：0301. 2|)1(2/ TntTWnsxt0 0301. 2)35()1(025.

5、02/ tnt36， 0.05，4 . 1 36/15705 .66 0301. 2 Wt 所以接受所以接受H0，在顯著性水平在顯著性水平0.05下，可以認(rèn)為在這次考試下，可以認(rèn)為在這次考試中全體考生的平均成績?yōu)橹腥w考生的平均成績?yōu)?0分。分。因為因為解解:095. 0088. 0 x，095. 0:0 H原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)095. 0:1 H由由2 =0.022知，檢驗統(tǒng)計量為知，檢驗統(tǒng)計量為nXU/00 拒絕域：拒絕域：zUW 例例2.一臺機床加工軸的橢圓度一臺機床加工軸的橢圓度 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0.095,0.022）（單位：）（單位：mm)。機床經(jīng)調(diào)整后隨機

6、取。機床經(jīng)調(diào)整后隨機取20根測量其橢圓度，算得根測量其橢圓度，算得 mm 。已知總。已知總體方差不變，問調(diào)整后機床加工軸的橢圓度的均值體方差不變，問調(diào)整后機床加工軸的橢圓度的均值有無顯著降低？有無顯著降低？088. 0 x)05. 0( 645. 105. 0 zz20，0.05，5652. 120/02. 0095. 0088. 0 ，Wu 所以接受所以接受H0， 在顯著性水平在顯著性水平0.05下，認(rèn)為調(diào)整后機床加工軸下，認(rèn)為調(diào)整后機床加工軸的橢圓度的均值無顯著降低的橢圓度的均值無顯著降低.zUW 645. 1 Unxu/00 645. 1 因為因為 例例3.某種電子元件，要求使用壽命不得

7、低于某種電子元件，要求使用壽命不得低于1000 小時?，F(xiàn)從一批這種元件中隨機抽取小時?，F(xiàn)從一批這種元件中隨機抽取25 件，測其件，測其壽命，算得其平均壽命壽命，算得其平均壽命950小時，設(shè)該元件的壽命小時，設(shè)該元件的壽命XN(,1002)，在顯著性水平，在顯著性水平0.05下下,確定這批元件確定這批元件是否合格？是否合格？解解:1000950 x，1000:0 H原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)1000:1 H由由2 =1002知，檢驗統(tǒng)計量為知，檢驗統(tǒng)計量為nXU/00 拒絕域：拒絕域：zUW 645. 105. 0 zz25 ， 0.05，5 . 225/1001000950 Wu 所以拒絕所

8、以拒絕H0，在顯著性水平在顯著性水平0.05下，認(rèn)為這批元件不合格下，認(rèn)為這批元件不合格.zUW 645. 1 Unxu/00 645. 1 因為因為2 檢驗法檢驗法原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗 niiX12002)()(2221222nn 202 202 202 202 )(22n 202 202 )(212n 0 當(dāng)當(dāng)H0為真時，為真時，P拒絕拒絕H0|H0為真為真所以拒絕域為：所以拒絕域為：推導(dǎo)（推導(dǎo)（雙邊檢驗情形）雙邊檢驗情形） ： niiX12002)(2nnXPnXPniinii )()()()(2

9、201221201222)()(2221222nnW ，此時，因為此時，因為 是是2的無偏估計量的無偏估計量, niiXn1200)(1拒絕域應(yīng)表現(xiàn)為拒絕域應(yīng)表現(xiàn)為 偏小或偏大，偏小或偏大， niiX12002)(2 檢驗法檢驗法原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗)1()1(2221222 nn202 202 202 202 )1(22 n202 202 )1(212 n2022)1(Sn 例例4. 在生產(chǎn)線上隨機地取在生產(chǎn)線上隨機地取10只電阻測得電阻值只電阻測得電阻值（單位：歐姆）如下：（單位：歐姆）如下：114

10、.2，91.9，107.5，89.1，87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4設(shè)電阻的電阻值總體服從正態(tài)分布，問在顯著性設(shè)電阻的電阻值總體服從正態(tài)分布，問在顯著性水平水平=0.1下方差與下方差與60是否有顯著差異？是否有顯著差異？解解:，60:20 H原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)60:21 H檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：拒絕域：222)1(Sn )1()1(2221222 nnW，6823.872 s919.16325. 322 W，10 ，0.1，325. 3)9()1(295. 0212 n919.16)9()1(205. 022 n222)1(Sn 15235.1

11、3606823.879 W 2所以接受所以接受H0，因為因為即在顯著性水平即在顯著性水平=0.1下，認(rèn)為方差與下，認(rèn)為方差與60無顯著差異無顯著差異.例例5. 某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005歐姆，今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣本歐姆，今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣本9根，根，測得測得s=0.007歐姆歐姆.設(shè)總體服從正態(tài)分布，參數(shù)均未設(shè)總體服從正態(tài)分布，參數(shù)均未知，問在顯著性水平知，問在顯著性水平=0.05下，能否認(rèn)為這批導(dǎo)下，能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大？解解:，220005. 0: H原假設(shè)原假設(shè)備擇假設(shè)備擇假設(shè)22100

12、5. 0: H檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：拒絕域：222)1(Sn )1(22 nW222005. 0007. 0 s507.152 W9 ，0.05，507.15)8()1(205. 02 n222)1(Sn 68.15005. 0007. 0822 W 2所以拒絕所以拒絕H0，因為因為即在顯著性水平即在顯著性水平=0.05下，認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯下，認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大著地偏大.507.15 1,21nXXX為取自總體為取自總體 N ( 1 12 ) 的樣本的樣本,2,21nYYY為取自總體為取自總體 N ( 2 22 ) 的樣本的樣本,2221,;,SYSX分別表示兩樣本

13、的樣本均值與樣本方差分別表示兩樣本的樣本均值與樣本方差且兩總體相互獨立。且兩總體相互獨立。 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22zU zU zU U 檢驗法檢驗法222121nnYXU 原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗2221 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2）（2212 nntT原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗2221 ，2221 T 檢驗法檢驗法wSnnYXT 2111)(）（221 nntT）（221 nntT2)

14、1() 1(212222112 nnSnSnSw例例6.測得兩批小學(xué)生的身高（單位：厘米）為：測得兩批小學(xué)生的身高（單位：厘米）為：第一批：第一批：140，138，143，142，144，137，141第二批：第二批：135，140，142，136，138，140.設(shè)這兩個相互獨立的總體都服從正態(tài)分布，且方差相同，設(shè)這兩個相互獨立的總體都服從正態(tài)分布，且方差相同，試判斷這兩批學(xué)生的平均身高是否相等（試判斷這兩批學(xué)生的平均身高是否相等（=0.10 ）。）。解解:，210:H 原假設(shè)原假設(shè)檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：拒絕域：備擇假設(shè)備擇假設(shè)，211:H 2) 1() 1(11212222112

15、1 nnSnSnnnYXT2212）（ nntTW2111nn 7989. 111205. 0212 ）（）（tnnt，7143.140 x，5714. 621 s5 .138 y1 . 722 s=0.10，71 n，62 n5563. 06171 2) 1() 1(21222211 nnsnsn6099. 2111 . 755714. 66 7989. 1|2|212 TnntTW）（2) 1() 1(112122221121 nnsnsnnnyxt5251. 16099. 25563. 05 .1387143.140 7989. 1 Wt 所以接受所以接受H0，因為因為認(rèn)為這兩批學(xué)生的平

16、均身高是相等的認(rèn)為這兩批學(xué)生的平均身高是相等的. .例例7.某校從經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機地選出某校從經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機地選出50名，測得平均身高名，測得平均身高174.34cm，從不經(jīng)常參加體育，從不經(jīng)常參加體育鍛煉的男生中隨機地選出鍛煉的男生中隨機地選出50名，測得平均身高名，測得平均身高172.42cm，統(tǒng)計資料表明兩種男生的身高都服從正，統(tǒng)計資料表明兩種男生的身高都服從正態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為態(tài)分布，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.35cm和和6.11cm，問該校，問該校經(jīng)常參加體育鍛煉的男生是否比不經(jīng)常參加體育鍛經(jīng)常參加體育鍛煉的男生是否比不經(jīng)常參加體育鍛煉的男生平均身高要高些？煉的

17、男生平均身高要高些？ （=0.05 ）解解:，210:H 原假設(shè)原假設(shè)檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：拒絕域：備擇假設(shè)備擇假設(shè)，211:H ，34.174 x，42.172 y，yx 222121nnYXU zUW ，22135. 5 ，22211. 6 ，05. 0 222121nnyxu zUW 645.105.0 zz645.1 U6717. 15011. 65035. 542.17234.17422 645.1 Wu 所以拒絕所以拒絕H0，因為因為認(rèn)為該校經(jīng)常參加體育鍛煉的男生比不經(jīng)常參認(rèn)為該校經(jīng)常參加體育鍛煉的男生比不經(jīng)常參加體育鍛煉的男生平均身高要高些加體育鍛煉的男生平均身高要高些

18、.F 檢驗法檢驗法原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗)()(2121122nnFFnnFF， 2221 2221 21 ，2221 2221 2221 2221 211222121111niiniiYnXnF)(21nnFF， )(211nnFF， F 檢驗法檢驗法原假設(shè)原假設(shè) H0備擇假設(shè)備擇假設(shè) H1檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量拒絕域拒絕域類型類型雙邊雙邊檢驗檢驗單邊單邊檢驗檢驗) 11() 11(2121122 nnFFnnFF，2221 2221 21 ，2221 2221 2221 2221 ) 11(21 nnF

19、F，) 11(211 nnFF，2221SSF 例例8.設(shè)兩家銀行儲戶的年存款余額均服從正態(tài)分布，設(shè)兩家銀行儲戶的年存款余額均服從正態(tài)分布，經(jīng)市場調(diào)查，分別抽取容量為經(jīng)市場調(diào)查，分別抽取容量為21和和16的樣本，得樣本的樣本，得樣本均值分別為均值分別為650元和元和800元，樣本方差分別為元，樣本方差分別為802和和702，能否認(rèn)為第二家銀行儲戶的平均年存款余額顯著高于能否認(rèn)為第二家銀行儲戶的平均年存款余額顯著高于第一家銀行儲戶的平均年存款余額。第一家銀行儲戶的平均年存款余額。 （ =0.10 ）解解:檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：拒絕域：（1）先檢驗兩家銀行儲戶的年存款余額的方差）先檢驗兩家銀行儲戶的年存款余額的方差有無顯著性差異。有無顯著性差異。原假設(shè)原假設(shè)22210H ：備擇假設(shè)備擇假設(shè)22211H ：2221SSF ) 11() 11(2121122 nnFFnnFFW， ) 11() 11(2121122 nnFFnnFFW，) 11(212 nnF，16,2121 nn)1520(05. 0，F(xiàn) ) 11(2112 nnF，) 11(1122 n