“歸納與演繹并用”的教學原則(數(shù)學歸納法第1課時)

1、“歸納與演繹并用”的教學原則(數(shù)學歸納法 第1課時)劉耀斌摘要 在進一步闡述歸納與演繹關系的基礎上，揭示并分析了中學數(shù)學教學中出現(xiàn)的“偏演繹輕歸納”現(xiàn)象，提出了數(shù)學教學中必須遵循“歸納與演繹并用”的教學原則.關鍵詞 歸納 演繹 教學原則眾所周知，數(shù)學的重要性不僅在于數(shù)學科學本身，還在于數(shù)學可以用來培養(yǎng)人的品質，發(fā)展人的思維能力.因此，我們應該把數(shù)學教學看成是教育人的整體工程的一部分，把發(fā)展人的素質作為核心，這正是義務教育的根本目的.但是，怎樣在數(shù)學教學中全面地培養(yǎng)人的素質，卻存在著認識上的問題，本文在進一步分析歸納與演繹關系的基礎上，揭示當前數(shù)學教學中仍然存在的偏演繹輕歸納現(xiàn)象的不足，指出數(shù)學

2、教育中必須遵循“歸納與演繹并用”的教學原則.1.歸納與演繹的關系數(shù)學中最基本的推理方法就是歸納法和演繹法.歸納推理和演繹推理是根據(jù)思維過程的不同來加以區(qū)分的.歸納是由個別到一般的推理，演繹是由一般到個別的推理.歸納和演繹是兩種不同的思維過程，但它們又有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)系表現(xiàn)在兩個方面.首先，從演繹的前提看，它最初的基礎是從原始概念和數(shù)學公理開始的，而所謂的原始概念和數(shù)學公理都是在實踐中歸納出來的，從演繹所要證明的定理、公式、法則來看，這些結論起初也是人們在實踐中通過歸納猜想而得到的，而后才是對它們的演繹證明.因此，演繹以歸納為基礎，歸納為演繹準備了條件.其次，從歸納的前提看，歸納對于所考察

3、的每一個特殊結論一般都是經過演繹思考的，從歸納的結論來看，它的正確性也需要經過演繹證明才能確認.因此，歸納以演繹為指導，演繹為歸納提供了理論依據(jù).從歸納與演繹的關系我們不難看到，歸納的過程蘊含著數(shù)學問題的猜想與發(fā)現(xiàn)的過程，歸納法具有一定的創(chuàng)造性.演繹過程是對數(shù)學問題的證明、整理的過程，演繹法是擴展數(shù)學知識體系，揭示知識的內部聯(lián)系的主要方法.因此，歸納和演繹在數(shù)學理論形成和發(fā)展的過程中，都起著十分重要的作用，這也意味著在數(shù)學教學中，必須正確處理好歸納與演繹的關系，使學生的歸納推理能力和演繹推理能力都得到培養(yǎng).2.數(shù)學教學中偏演繹輕歸納的現(xiàn)象及其分析在現(xiàn)今的數(shù)學教育中，主要傾向還是偏演繹推理能力的

4、訓練.反映在教材處理和教學方法里，似乎力求把數(shù)學知識組織成演繹的邏輯體系來進行教學，把學生注意力吸引到形式論證的“嚴密性”上去，對于如何教會學生尋求真理、發(fā)現(xiàn)真理的本領不夠重視，在一定程度上，忽視了歸納推理在數(shù)學活動中的重要性.中學數(shù)學教學中，偏演繹輕歸納的現(xiàn)象有三種情況：第一，在概念教學中，重視對概念的解釋和運用概念進行解題的教學，而忽視對形成概念的背景材料的歸納與概括過程的教學；第二，在公式、定理教學中，重視對公式、定理證明的教學，而忽視通過放手讓學生去實踐，從觀察、歸納、猜想中得出結論的教學；第三，在解題教學中，重視給出一個完善、簡練解答模式的教學，而忽視引導學生共同思考、掙脫困境獲得解

5、題方式歸納過程的教學.事實上，科學認識總是歸納與演繹的結合，過分重視演繹推理能力訓練的教學，往往掩蓋了一個最重要的事實：在數(shù)學的實際創(chuàng)造性活動中，觀察、歸納和猜想起到了不可或缺的作用.造成當前數(shù)學教學重演繹輕歸納的原因是多方面的.首先，受教科書的影響，隨著人類文化的發(fā)展，數(shù)學科學知識的龐大積累，必須經過篩選和提練，把最重要的最精華的題材用演繹法串聯(lián)起來，才能有效地傳給后代.因此，教科書必須要反映演繹推理的要求，知識的條理化、系統(tǒng)化、完備化是非常必要的.但有些教師不善鉆研和挖掘教材，而是照本宣科，這是造成偏演繹輕歸納的一個重要原因.其次，受應試教育的影響.應試教育集中表現(xiàn)為片面追求升學率，在教學

6、中則表現(xiàn)為重知識結果的傳授，輕知識發(fā)生過程的滲透，其結果是，盲目追求教學進度，壓縮授課時間，大搞“題海戰(zhàn)術”，這種不正常的教學模式是造成偏演繹輕歸納的又一重要原因.第三，受對兒童心理發(fā)育認識的影響.心理學研究表明，人在幼兒期就能進行某些歸納思維活動.相比之下，演繹推理能力開始得較晚，特別需要教育與訓練，這種情形也容易使人們特別重視對中學生演繹能力的培養(yǎng)，而忽視保護和發(fā)展從兒童時期就已萌發(fā)出來的歸納能力.在我們分析偏演繹輕歸納的現(xiàn)象時，也不能忽視另一種情況，看重歸納并排斥演繹.認為演繹是從一般到個別的推理，因而運用演繹法得不出什么新的結論來，只有歸納法才能發(fā)現(xiàn)新的東西.這個觀點也是片面的.因為，

7、認識了一般不等于認識了所有的個別情形，要判定某個復雜的個別結論是否真實可靠，是否為一般結論下的邏輯結果時，需要進行演繹論證，一般結論與個別結論之間的關系有時并非一目了然，要確認個別結論為真理常常需要艱苦的演繹工作.所以學會演繹不僅使思維清晰、嚴密、而且也是發(fā)現(xiàn)和確認真理所不可缺少的.何況，不完全歸納所得出的結論并不總是正確的.3.“歸納與演繹并用”的教學原則偏演繹輕歸納、偏歸納輕演繹的做法都是片面的.恩格斯指出：“正如分析與綜合一樣，歸納與演繹是必然聯(lián)系著的，不應當犧牲一個而把另一個捧到天上去，應當把每一個用到該用的地方，而要做到這一點，就只有注意它們的相互聯(lián)系，它們的相互補充.”波利亞也十分

8、強調數(shù)學知識的雙重性，即“歸納與演繹”的雙重性.因此，我們提出“歸納與演繹并用”的教學原則.遵循這條原則，就是要正確處理好歸納與演繹的關系，教學中不僅要表現(xiàn)知識的結果和狀態(tài)，還要突出知識的演化和過程.具體地說，在教材處理上，要求使課堂教學充分顯示出具有“雙重性”的教學內容，充分體現(xiàn)知識發(fā)生過程的“歸納性”材料；在教學方法上，要引導學生像科學家發(fā)現(xiàn)真理一樣去學習，一方面鼓勵學生善于歸納，大膽猜想，另一方面又教會學生善于運用演繹推理的方法，對猜想進行證明和整理.這里必須注意的是，在教學中要注意突出重點，因為歸納與演繹相比，歸納似乎更難一些，因為要找出作為演繹出發(fā)點的公理，沒有一般的方法.面向21世

9、紀，大眾數(shù)學將成為歷史發(fā)展的必然，大眾數(shù)學意義下的數(shù)學課程設計思想將不存在形式訓練價值和實用價值誰輕誰重的爭論，不存在歐氏幾何與推理訓練的必然聯(lián)系，不存在知識是否系統(tǒng)的疑慮，不存在教材的固定體裁，不受演繹體系對數(shù)學理論的限制，形成非形式化的、歸納的、開放的體系，“淡化形式，注重實質”將成為現(xiàn)實.因此，研究歸納推理和演繹推理在數(shù)學教育中的地位和作用，將有深遠的意義.4.案例現(xiàn)以“有理數(shù)加法法則”的教學為例，談談“歸納與演繹并用”教學原則的應用.“有理數(shù)加法法則”的教學，可以有多種不同的設計方案，大體上可分為兩類：一類是較快地由教師給出法則，用較多的時間組織學生練習，以求熟練地掌握法則；另一類是注

10、重法則歸納過程的教學，滲透數(shù)學思想方法，適當壓縮應用法則的練習.第一種方案，教學的重點偏重于讓學生通過練習，熟練法則的應用，這是重演繹輕歸納的表現(xiàn).第二種方案，注重引導學生參與探索、歸納有理數(shù)加法法則產生的過程，主動地獲取知識，學生不僅會用法則，還學懂了法則的來龍去脈，歸納推理和演繹推理能力都得到了培養(yǎng).按第二種方案，設計如下教學思路：提出問題：我們已經學習了有理數(shù)的一些基本知識，從今天起學習有理數(shù)的運算.首先研究兩個有理數(shù)的加法.兩個有理數(shù)怎樣相加呢？給出現(xiàn)實模型：請大家看一個熟悉的實際問題：足球比賽中贏球數(shù)與輸球數(shù)是相反意義的量.若規(guī)定贏球為“正”，輸球為“負”，不贏不輸則為“0”(比如贏3球記為+3，輸2球記為2).那么，學校足球隊在一場比賽中的勝負可能有哪些情形？師生共同探討：上半場贏了3球，下半場贏了2球，那么全場共贏了5球，也就是(+3)+(+2)=+5(共八種情形).歸納有理數(shù)加