第四節(jié)matlab 數(shù)值計算

1、第四節(jié)Matlab的數(shù)值計算學習目標n掌握數(shù)據(jù)分析函數(shù)庫（datafun）中常用函數(shù)的格式和功能n掌握矩陣操作函數(shù)庫（elmat）中常用函數(shù)的格式和功能n掌握多項式函數(shù)庫（polyfun）中常用函數(shù)的格式和功能n能夠利用matlab幫助文件來查詢函數(shù)的格式和使用本節(jié)內(nèi)容n掌握統(tǒng)計分析中常用函數(shù)的應用n掌握復數(shù)運算中常用函數(shù)的格式和使用n掌握多項式運算和矩陣運算n掌握曲線擬合和數(shù)據(jù)插值的應用n了解matlab在微積分方面的應用4.1 復數(shù)運算,c a bia b R 1.復數(shù)的表示形式其中：c是復數(shù)，a為實部，b為虛部，i是 虛數(shù)單位cz其中：z是矢量長度， 是弧度另一種表示形式：兩種表示形式的

2、換算關(guān)系abarctgbazzbza22sincosbiacbaz實軸虛軸常用復數(shù)計算函數(shù)nconj(x)：求復數(shù)x的共軛數(shù)nreal： 求復數(shù)的實部nimag：求復數(shù)的虛部nabs：求復數(shù)的模值nangle：求復數(shù)的相位角nisreal：判斷變量是否為實數(shù)，是則返回14.2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析n求最大值max和最小值min可查閱datafun函數(shù)庫中相應的函數(shù)。doc datafun調(diào)用格式如下： y=max(x)：返回向量x的最大值并存入y； 若x中包含復數(shù)元素，則按模取最大值 y,I =max(x)：返回向量x的最大值并存入y； 最大值的序號存入I Y=max(A)：返回矩陣A的每一列上的最大

3、值 Y,U =max(A)：返回值Y和U均為行向量，Y表 示A的每列的最大值，U表示每列最大值的行號 Y=max(A, ,dim)：dim取1時，表示求每一列 上的最大值；dim取2時，表示求矩陣A每一行 上的最大值 求最小值的函數(shù)是求最小值的函數(shù)是min，其用法和，其用法和max完全相同完全相同例：求例：求3階魔方矩陣中各列和各行元素的最大值，階魔方矩陣中各列和各行元素的最大值， 并求整個矩陣的最大值和最小值。并求整個矩陣的最大值和最小值。程序如下：程序如下： x=magic(3) max(x) %求矩陣求矩陣x中各列元素中的最大值中各列元素中的最大值 max(x, ,2) %求求x中各行元

4、素中的最大值中各行元素中的最大值 max(max(x) %求求x的最大值的最大值9 min(min(x) %求矩陣求矩陣x的最小值的最小值1x = 8 1 6 3 5 7 4 9 2ans= 8 9 7ans= 8 7 9數(shù)據(jù)統(tǒng)計常用函數(shù)max求矩陣的最大元素min求最小元素mean求平均值median求中值sort各列元素按升序排列prod各元素的積sortrows各行元素按升排列std求矩陣的標準方差sum求矩陣各列元素的和例例: :分別求該數(shù)組分別求該數(shù)組x x中各列和各行元素的和。中各列和各行元素的和。 x=4 5 6; 1 4 8 x = 4 5 6 1 4 8y=sum(x,1)

5、% %求各列的和求各列的和y=5 9 4y=sum(x,2) % %求各行的和求各行的和y=15 13注意：注意： Y=sum(X,DIM)Y=sum(X,DIM) DIMDIM1 1時，按列操作；時，按列操作； DIMDIM2 2時，按行操作時，按行操作4.3 多項式運算,110nnaaaaP注：行向量中必須包括具有零系數(shù)的項，并按注：行向量中必須包括具有零系數(shù)的項，并按x x的冪降序排列，若多項式中缺某冪次項，則認的冪降序排列，若多項式中缺某冪次項，則認為該項的系數(shù)為為該項的系數(shù)為0 0。 多項式 的表示方法是將n階多項式存儲在長度為n+1的行 向量p中，行向量p的元素為多項式的系數(shù)，并按

6、x的冪的降序排列。nnnnaxaxaxaxPn1101)(表示方法n直接輸入多項式的系數(shù)向量n利用poly指令 P=poly(x)功能：以x為具有n個元素的列向量，作為多項式的根來構(gòu)造多項式，并將多項式的系數(shù)賦給向量p例：把多項式例：把多項式a(x)=x3+9x2+5x-8與與b(x)=x3-3x2+28 相加，而后與相加，而后與c(x)=(x-1)(x-2)(x-3)相減。相減。程序如下：程序如下： a=1 9 5 -8; b=1 -3 0 28; c=poly(1 2 3) d1=a+b d2=a-c ds2=poly2str(d2,s)結(jié)果如下：結(jié)果如下：c= 1 -6 11 -6d1=

7、 2 6 5 20即：即：c(x)=(x-1)(x-2)(x-3) =x3-6x2+11x-6d2= 0 15 -6 -2ds2= 15 s2 - 6 s - 2多項式求根 令p(x)=0,多項式轉(zhuǎn)換為x的一元n次方程，該方程有n個根，這些根可能為實根也可能是若干對共軛復根。 x=roots(P)功能：返回多項式P的全部根，并以列向量形式賦 給x.按慣例規(guī)定，多項式是行向量，根是列向量。按慣例規(guī)定，多項式是行向量，根是列向量。例：已知例：已知f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5。 1)1)計算計算f(x)=0f(x)=0的全部根；的全部根； 2 2）由方程）由方程f(x)=0f(x)

8、=0的根構(gòu)造一個多項式的根構(gòu)造一個多項式g(x).g(x).程序如下：程序如下： P=3, 0, 4, -5, -7.2, 5; % %求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根 x=roots(P); % %構(gòu)造多項式構(gòu)造多項式g(x)g(x) g=poly(x); 結(jié)果如下：結(jié)果如下：g= 1.0000 0.0000 1.3333 -1.6667 -2.4000 1.6667x = -0.3046 + 1.6217i -0.3046 - 1.6217i -1.0066 1.0190 0.5967 多項式的運算函數(shù)n c=conv(a,b) c=conv(a,b) 多項式多項式a a和和b

9、 b的乘積的乘積n q,r=deconv(b,a)q,r=deconv(b,a) 多項式多項式b b除以除以a a，q q為商，為商，r r為余數(shù)為余數(shù)n r,p,k=residue(b,a) r,p,k=residue(b,a) 有理分式展開有理分式展開 )()()(2211skpsrpsrpsrsasbnn思考：思考：residue和和residuez之間有什么區(qū)別？之間有什么區(qū)別？程序如下：程序如下： a=1 2 3 4,b=1 4 9 16 c=conv(a,b) q,r=deconv(c,a)例：求兩多項式相乘64847550206)1694)(432()(234562323xxxx

10、xxxxxxxxxc結(jié)果如下：結(jié)果如下： c=1 6 20 50 75 84 64 q1 4 9 16 r=0 0 0 0例：將下列有理多項式 轉(zhuǎn)化為部分分式.程序如下：程序如下： b=-2 5,a=1 6 3; r,p,k=residue(b,a)即：5505. 02454. 14495. 52454. 336522xxxxx36522xxx結(jié)果如下：結(jié)果如下： r=-3.2454 p=-5.4495 k= 1.2454 -0.5505多項式求導數(shù)：polydern r=polyder(P) r=polyder(P) 求多項式求多項式P P的導數(shù)的導數(shù)n r=polyder(P,Q) r=p

11、olyder(P,Q) 求多項式求多項式P P和和Q Q乘積的導數(shù)乘積的導數(shù)nr,s=polyder(P,Q)r,s=polyder(P,Q) 求多項式求多項式P/QP/Q的導數(shù)，導函數(shù)的分子存入的導數(shù)，導函數(shù)的分子存入 r r，分母存入，分母存入s s程序如下：程序如下： p=4 3 -2 1,polyder(P)例：求f(x)=4x3+3x2-2x+1的導數(shù)。結(jié)果如下：結(jié)果如下： ans= 12 6 -2即：即：df(x)/x=12x2+6x-2例：求有理分式1/(x2+5)的導數(shù)。程序如下：程序如下： p=1,q=1 0 5,r,s=polyder(p,q)結(jié)果如下：結(jié)果如下： r=-2

12、 0 s=1 0 10 0 25即：即：2421251025xxxx多項式估值：polyvaln y=polyval(p,x) y=polyval(p,x) 求多項式求多項式P P在點在點x x處的值處的值 若若x x為向量或矩陣，則對其中的每個元素為向量或矩陣，則對其中的每個元素 求多項式的值，返回值為與自變量同型求多項式的值，返回值為與自變量同型n Y=polyvalm(P,A) Y=polyvalm(P,A) 求矩陣多項式的值求矩陣多項式的值 以方陣以方陣A A為自變量求多項式為自變量求多項式P P的值的值 如：如：p(x)=xp(x)=x2 2+2x+3,+2x+3,則則polyval

13、m(P,A)polyvalm(P,A)表表示示x x* *x+2x+2* *x+3x+3* *eye(size(A)eye(size(A)程序如下：程序如下： p=poly(1 2 3 4),polyval(p,8)例：求f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)在x=8處的值。例：當x=1 2;3 4時，求p(x)=x2+2x+3的值。程序如下：程序如下： clear; P=1 2 3,x=1 2;3 4 pa=x.2+2*x+3;paa=polyval(p,x) pm=x2+2*x+3 pmm=polyvalm(p,x) 多項式擬合指已知變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系為 現(xiàn)通過測量數(shù)據(jù)求

14、多項式系數(shù)4.4 曲線擬合 通過試驗獲得一組測量數(shù)據(jù) ，則求出變量之間的函數(shù)關(guān)系的過程就叫曲線擬合。 曲線擬合的方法有多種如：線性擬合、多項式擬合、指數(shù)擬合等。1121nnnnaxaxaxaymiyxii, 2 , 1,),(121naaa p=polyfit(x,y,n) 求數(shù)組求數(shù)組x,yx,y所給數(shù)據(jù)的所給數(shù)據(jù)的n n階擬合多項式系數(shù)向量階擬合多項式系數(shù)向量p p1）先用polyfit函數(shù)進行多項式擬合，產(chǎn)生一個指定次數(shù)的最優(yōu)擬合多項式系數(shù)向量；2）再用polyval求多項式擬合的取值。 為保證較好的擬合效果，多項式系數(shù)要取得適當。過低，可能殘差比較大；過高，擬合模型將包含噪聲影響，通常

15、保證nt=0:pi/100:2*pi; plot3(sin(t),cos(t),t) %畫出函數(shù)的圖形畫出函數(shù)的圖形 length=quad(len,0,2*pi)顯示結(jié)果：顯示結(jié)果： length = 11.4609length = 11.4609length=quad(t)(sqrt(cos(t).2+4*sin(2*t).2+1) ), 0, 2*pi)或者：或者：length=quad(sqrt(cos(t).2+4*sin(2*t).2+1), 0,2*pi)另一種求解方法：另一種求解方法：例：求求 02)cos()sin(dxdyyxxys解：解：f=y*sin(x)+x*cos(

16、y); 或者用或者用f=(x,y)(y*sin(x)+x*cos(y) s=dblquad(f,pi,2*pi,0,pi)另解：另解： syms x y f=y*sin(x)+x*cos(y) s=vpa(int(int(f,x,pi,2*pi),y,0,pi) 顯示結(jié)果為：顯示結(jié)果為：s=-9.8696s=-9.8696顯示結(jié)果為s=-9.8696044010893586188344909998761 所謂的符號計算是指：解算數(shù)學表達式方程時，無須事先對變量賦值，即不是在離散化的數(shù)值點上進行，而是憑借一系列恒等式和數(shù)學定理，通過推理和演繹，獲得解析結(jié)果，并以標準的符號形式來表示。 這種計算建

17、立在數(shù)值完全準確表達和推演嚴格解析的基礎之上，因此所得結(jié)果是完全準確的。4.8 符號計算定義：利用函數(shù)sym或symsn 符號變量名符號變量名symsym（符號字符串符號字符串 ）n syms syms 符號變量名符號變量名1 1 變量名變量名2 2 變量名變量名n n注意：注意：symsym每次只能定義一個變量，而每次只能定義一個變量，而symssyms可同時可同時定義多個變量，且各變量名之間只能用空格分隔；定義多個變量，且各變量名之間只能用空格分隔；例：例： M=sym(a,b;c,d) M=sym(a,b;c,d)或者采用：或者采用： syms a b c d syms a b c d

18、M=a,b;c,d M=a,b;c,d注明：判斷變量類型用指令注明：判斷變量類型用指令classclass，其中，其中f1f1為字符為字符形式形式charchar，f2f2為符號類型為符號類型symsym，M M為雙精度數(shù)值類型為雙精度數(shù)值類型doubledouble。例如：分別用三種形式生成函數(shù)表達式。例如：分別用三種形式生成函數(shù)表達式。 f1=f1=sin(x)2sin(x)2 利用單引號利用單引號 f2=sym( f2=sym(exp(-x2/2)exp(-x2/2) ) % %利用符號定義利用符號定義 a=1;b=2;c=3;d=4; a=1;b=2;c=3;d=4; M=a,b;c,

19、d M=a,b;c,d whos whos f1= sin(x)2 f2= exp(-x2/2) M=1 2 3 4（結(jié)果形式相同，但變量類型不同）（結(jié)果形式相同，但變量類型不同） 符號計算llimit(f,v,a) limit(f,v,a) % %變量變量v v趨近與趨近與a a的極限的極限llimit(f,v,a,limit(f,v,a,rightright) ) % %求求v v趨近于趨近于a a的右極限的右極限llimit(f,v, a,limit(f,v, a,leftleft) ) % %求求v v趨近于趨近于a a的左極限的左極限n 求極限n 求導數(shù)ldfdvn=diff(f,v

20、,n)dfdvn=diff(f,v,n) % %求求f f的的n n次導數(shù)次導數(shù) 注意：在數(shù)值計算中注意：在數(shù)值計算中diffdiff是用于求差分的；當變是用于求差分的；當變量量v v缺省時，自變量自動由缺省時，自變量自動由findsymfindsym函數(shù)確定。函數(shù)確定。 ls=taylor(f,v,n,a)s=taylor(f,v,n,a) % %函數(shù)函數(shù)f f在變量在變量v=av=a處的泰勒級數(shù)處的泰勒級數(shù)l泰勒級數(shù)仿真工具泰勒級數(shù)仿真工具taylortooltaylortooln 序列/級數(shù)的符號求和n 求符號積分lintf=int(f,v)intf=int(f,v) % %求求f f對

21、變量對變量v v的不定積分的不定積分 lintf=int(f,v,a,b)%intf=int(f,v,a,b)%求變量求變量v v在在a,ba,b間的定積分間的定積分knkkaxkaf)(!)(10)(n 求微分方程dsolve)1(lim2xxxx 例：求例：求 多重積分。多重積分。 2 1 22222)(xxyxxydzdydxzyxsyms a t x;syms a t x;f=a,t3;tf=a,t3;t* *cos(x), log(x);cos(x), log(x);df=df=diffdiff(f)(f) % %矩陣矩陣f f對對x x的導數(shù)的導數(shù)dfdt2=diff(f,t,2)dfdt2=diff(f,t,2) % %矩陣矩陣f f對對t t的二階導數(shù)的二階導數(shù)dfdxdt=diff