陳輝---數(shù)學(xué)歸納法

1、1, 中中, (n ),*N引例引例 在數(shù)列在數(shù)列na1a11nnnaaa試歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式試歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式,234111,234aaa1nan一、創(chuàng)設(shè)情境一、創(chuàng)設(shè)情境 引入新課引入新課猜想正確嗎？猜想正確嗎？ 多米諾骨牌（多米諾骨牌（domino）是一種用木制、）是一種用木制、骨制或骨制或塑料塑料制成的長(zhǎng)方形制成的長(zhǎng)方形骨牌骨牌。玩時(shí)將骨。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。次倒下。 多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。

2、一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬(wàn)張骨牌組成。骨牌需要一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬(wàn)張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。 多米諾是種文化，它起源于中國(guó)，多米諾是種文化，它起源于中國(guó)，17世紀(jì)末由意大世紀(jì)末由意大利傳教士傳入歐洲。到利傳教士傳入歐洲。到19世紀(jì)末，多米諾已成為世界性世紀(jì)末，多米諾已成為世界性的運(yùn)動(dòng)并成為非奧運(yùn)項(xiàng)目中知名度最高、參加人數(shù)最多、的運(yùn)動(dòng)并成為非奧運(yùn)項(xiàng)目中知名度最高、參加人數(shù)最多、擴(kuò)展地域最廣的體育運(yùn)動(dòng)。擴(kuò)展地域最

3、廣的體育運(yùn)動(dòng)。二、演示操作二、演示操作 類(lèi)比探究類(lèi)比探究二、演示操作二、演示操作 類(lèi)比探究類(lèi)比探究說(shuō)一說(shuō)：說(shuō)一說(shuō)：能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？（1）第一塊骨牌倒下；）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊 倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. (遞推關(guān)系遞推關(guān)系-若第若第k塊倒下，則第塊倒下，則第k+1塊也倒下塊也倒下.) 無(wú)論有多少骨牌，只要保證（無(wú)論有多少骨牌，只要保證（1）（）（2）成立，）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下！那么所有的骨牌一定可以全部倒下！想一想：想一想：引例中引例中

4、這個(gè)猜想的證明與多米諾骨牌這個(gè)猜想的證明與多米諾骨牌 游戲有相似性嗎？請(qǐng)類(lèi)比證明游戲有相似性嗎？請(qǐng)類(lèi)比證明. 1nan二、演示操作二、演示操作 類(lèi)比探究類(lèi)比探究所有多米諾骨牌全部倒下的條件是所有多米諾骨牌全部倒下的條件是:111.1knkak則時(shí) 猜 想 也 成 立 ， 即1111111kkkakaakk則*1(2)(),knk kNak若當(dāng)時(shí)猜想成立，即二、演示操作二、演示操作 類(lèi)比探究類(lèi)比探究 多米諾骨牌游戲多米諾骨牌游戲 的原理的原理第1步(1)第一塊骨牌倒下第一塊骨牌倒下.第2步(2)任意相鄰的兩塊任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒一定導(dǎo)致后一塊倒下下.(若

5、第若第k塊倒下塊倒下,則則第第k+1塊也倒下塊也倒下)(遞推關(guān)系）遞推關(guān)系）結(jié)論根據(jù)根據(jù)(1)和和(2),可知不論有多少塊可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒骨牌，都能全部倒下下.*1,.nnNan根 據(jù) （ 1） 和 （ 2） ， 可 知對(duì) 任 意都 成 立1nan這 個(gè) 猜 想 的 證 明 方 法1nk即時(shí)猜想也成立.（遞推關(guān)系）（遞推關(guān)系）11111na(1)當(dāng)時(shí)，,猜想成立.數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證明一個(gè)與正整數(shù)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題有關(guān)的命題,可按怎可按怎樣的步驟進(jìn)行？樣的步驟進(jìn)行？證明一個(gè)與正整數(shù)證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題的步驟：有關(guān)的命題的步驟：(2) (歸納遞推歸納遞推)假設(shè)

6、當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk (kn0, kN*, ) 時(shí)命題成立時(shí)命題成立, 證明當(dāng)證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟后只要完成這兩個(gè)步驟后, 就可以斷定命題對(duì)就可以斷定命題對(duì)從從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立都成立(1) (歸納奠基歸納奠基)證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值 n0 時(shí)命題成立時(shí)命題成立;*0nN這種證明方法叫做這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法三、抽象概括三、抽象概括 形成概念形成概念例例1 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：2222*(1) (21)123().6nnnnn N 四、技能演練四、技能演練 應(yīng)用提高應(yīng)用提高小結(jié)：小結(jié)：1.用數(shù)

7、學(xué)歸納法證明時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要分兩個(gè)步驟（缺一不可），要分兩個(gè)步驟（缺一不可）， 一個(gè)結(jié)論一個(gè)結(jié)論.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)鍵在第二步，這一步實(shí)際上是用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)鍵在第二步，這一步實(shí)際上是 證明一個(gè)命題：證明一個(gè)命題：若若nk (kn0, kN*, ) 時(shí)命題成立時(shí)命題成立, 則當(dāng)則當(dāng)nk1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立其本質(zhì)是證明一個(gè)遞其本質(zhì)是證明一個(gè)遞推推 關(guān)系關(guān)系.2(1)(21)(1)6k kkk2(1)(21)6(1)6k kkk2(1)(276)6kkk(1)(2)(23)6kkk(1)(1)12(1)16kkk 根據(jù)（根據(jù)（1） 和（和（2），可知等式對(duì)任何），可知等式對(duì)任何

8、 都成立都成立.即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立時(shí)等式也成立.（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即222(1)(21)12,6k kkk 那么，那么，222212(1)kk 給出假設(shè)給出假設(shè)湊出結(jié)論湊出結(jié)論用上假設(shè)用上假設(shè)本質(zhì)是證明一個(gè)遞推本質(zhì)是證明一個(gè)遞推 關(guān)系關(guān)系*n N*()kN四、技能演練四、技能演練 應(yīng)用提高應(yīng)用提高鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：小結(jié)小結(jié):用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),必須要用上假設(shè)必須要用上假設(shè).2*2462()nnnnN例例2 2 已知數(shù)列已知數(shù)列 計(jì)算計(jì)算 , ,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果根據(jù)計(jì)算的結(jié)果, ,猜想猜想 的表達(dá)

9、式的表達(dá)式, , 并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明. .n nS S1 12 23 34 4S S , ,S S , ,S S , ,S S1 11 11 11 1, , , , , ,1 14 4 4 47 7 7 71 10 0( (3 3n n- -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )四、技能演練四、技能演練 應(yīng)用提高應(yīng)用提高小結(jié)：小結(jié)：數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)： 發(fā)現(xiàn)結(jié)論發(fā)現(xiàn)結(jié)論 證明結(jié)論證明結(jié)論 （合情推理）（合情推理） （邏輯證明）（邏輯證明）小結(jié)：小結(jié)：五、反思小結(jié)五、反思小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推（1）驗(yàn)證：）驗(yàn)證：n=n0（n0 N*）時(shí)命題成立。時(shí)命題成立。（2）證明：假設(shè)）證明：假設(shè)n=k（kn0） 時(shí)命題成立，時(shí)命題成立， 證明證明n=k+1