第三章誤差的合成與分配分析

1、1第三章 誤差的合成與分配第一節(jié) 函數(shù)誤差第二節(jié) 隨機(jī)誤差的合成第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的合成第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成第五節(jié) 誤差分配第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則第七節(jié) 最佳測量方案的確定2 任何測量結(jié)果都包含有一定的測量誤差，這是測量過程中各環(huán)節(jié)一系列誤差因素共同作用的結(jié)果。 正確分析與綜合這些誤差因素，并正確地表述這些誤差的綜合影響。第一節(jié) 函數(shù)誤差 間接測量：通過直接測量與被測的量之間有一定函數(shù)關(guān)系的其他量，按照已知的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算出被測量。 間接測量誤差是各直接測量值誤差的函數(shù)，即函數(shù)誤差。 研究函數(shù)誤差的實(shí)質(zhì)就是研究誤差的傳遞性的問題。 對于這種有確定關(guān)系的誤差的計(jì)算稱為誤差合成。3在間

2、接測量中，函數(shù)主要為多元初等函數(shù)，其表達(dá)式為：12( ,.,)nyf x xx式中： 各個直接測量值；12,.,nx xxy間接測量值。 函數(shù)增量為：1212.nnfffdydxdxdxxxx 若已知各直接測量值的系統(tǒng)誤差 ，由于這些誤差較小，可用來代替上式中的微分量，得：12,.,nxxx1212.nnfffyxxxxxx（函數(shù)系統(tǒng)誤差公式）式中： 為各個直接測量值的誤差傳遞系數(shù)。(1,2,., )ifx in一. 函數(shù)系統(tǒng)誤差的計(jì)算4 有些情況下，函數(shù)公式較簡單，如： 則： ，誤差傳遞系數(shù) 為常數(shù)。 1 122.,nnya xa xa x1122.nnyaxaxaxia 在間接測量中，常遇

3、到角度測量，以等形式出現(xiàn)。sin ,cos ,tan ,cot 以正弦三角函數(shù) 為例：三角函數(shù)的系統(tǒng)誤差：12sin( ,.,)nf x xx1212sin.nnfffxxxxxx對正弦函數(shù)微分：sincosdd sincosdd以系統(tǒng)誤差代替微分量或sincos1212.nnfffyxxxxxx5代入即得正弦函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式為：1211211(.)coscosnniiniffffxxxxxxxx同理可得其他三角函數(shù)的角度系統(tǒng)誤差公式：對于 ，角度系統(tǒng)誤差為：12cos( ,.,)nf x xx11sinniiifxx 對于 ，角度系統(tǒng)誤差為：12tan( ,.,)nf x xx對于 ，

4、角度系統(tǒng)誤差為：12cot( ,.,)nf x xx21cosniiifxx21sinniiifxx 6二. 函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算 函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算就是研究函數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)差與各測量值 的標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系。y12,x x.,nx函數(shù)一般形式：12( ,.,)nyf x xx假設(shè)對各測量值皆進(jìn)行 N 次等精度測量，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為：對 ：對 ：對 ：1x2xnx11121,.,Nxxx21222,.,Nxxx12,.,nnnNxxx711121112.nnfffyxxxxxx21222212.nnfffyxxxxxx1212.NNNnNnfffyxxxxxx則 的隨機(jī)誤差為：y將上式各方程平方后再相加

5、得：222222212111211.(.)NNfyyyxxxx2222212222(.)Nfxxxx222212.(.)nnnNnfxxxx112()nNimjmijmijffxxxx 8將上式各項(xiàng)除以 N 得：1222222221112.2()nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN 定義：1NimjmmijxxKNijijijxxK 或ijijijxxK 可得：122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 該式即為函數(shù)隨機(jī)誤差公式，其中 為第 個測量值和第 個 測量值之間的誤差相關(guān)系數(shù), 為各測量值的誤差傳遞系數(shù)。ijijifx

6、9若各測量值的隨機(jī)誤差是相互獨(dú)立的，且當(dāng)N適當(dāng)大時，有：0ij10NimjmmijxxKN則誤差公式變?yōu)椋?2222222212.nyxxxnfffxxx1222222212.nyxxxnfffxxx令iifax1122222222.nnyxxxaaa （較常使用）122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 10 當(dāng)各個測量值的隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時，上式中的標(biāo)準(zhǔn)差用極限誤差代替，得函數(shù)的極限誤差公式：12222222lim1lim2limlim.nyxxnxaaa 通常 ，且函數(shù)形式較簡單，即1ia 12.nyxxx則函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為：12222.nyx

7、xx函數(shù)的極限誤差為：12222limlimlimlim.nyxxx 極限誤差的定義：？1122222222.nnyxxxaaa 11 那么，三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差公式？ 假設(shè)三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ，各測量值的標(biāo)準(zhǔn)差為12,.,nxxx可得相應(yīng)的角度標(biāo)準(zhǔn)差公式。（1）對于 有：12sin( ,.,),nf x xx12222222121.cosnxxxnfffxxx（2）對于 有：12cos( ,.,),nf x xx12222222121.sinnxxxnfffxxx1212222222212cos.nxxxnfffxxx12222222212sin.nxxxnfffxxx（4）對于 有：12cot

8、( ,.,),nf x xx（3）對于 有：12tan(,.,),nf x xx13三. 誤差間的相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)1.誤差間的線性相關(guān)關(guān)系即線性依賴關(guān)系，有強(qiáng)弱之分。2.相關(guān)系數(shù) 當(dāng)兩誤差間有線性關(guān)系時，其相關(guān)性強(qiáng)弱由相關(guān)系數(shù)來反映，所以在誤差合成時，先求得相關(guān)系數(shù)再計(jì)算出相關(guān)項(xiàng)大小。由相關(guān)系數(shù)定義知：D 式中： 誤差間的協(xié)方差； 兩誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。D,14由概率論知：11 01當(dāng) 時，正相關(guān)；10 當(dāng) 時，負(fù)相關(guān)；當(dāng) 時，完全正相關(guān)；1 當(dāng) 時，完全負(fù)相關(guān)；1當(dāng) 時，線性無關(guān)。0 注意： 只能表示兩誤差間的線性關(guān)系的密切程度，當(dāng) 很小甚至等于0時，兩誤差間不存在線性關(guān)系，但并不表示不存在其他

9、函數(shù)關(guān)系。3.確定 的幾種方法（1）直接判斷法；（2）觀察法：D 15 用多組測量的對應(yīng)值 作圖，并與圖33（標(biāo)準(zhǔn)圖）相比較，從而確定相關(guān)系數(shù)的近似值。( ,)ii （3）簡單計(jì)算法： 將多組測量的對應(yīng)值 在平面坐標(biāo)上作圖。 ( ,)ii 1341cos()iinnn 16（5）理論計(jì)算法：有些誤差的相關(guān)系數(shù)，可根據(jù)概率論和最小二乘法直接求的。（4）直接計(jì)算法：22()()()()iiii 22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx17第二節(jié) 隨機(jī)誤差的合成 常采用方和根的方法，同時要考慮各誤差的傳遞系數(shù)和誤差間的相關(guān)性影響。一. 標(biāo)準(zhǔn)差的合成 設(shè)有q

10、個單項(xiàng)隨機(jī)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ，其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為 。根據(jù)方和根的運(yùn)算方法，各標(biāo)準(zhǔn)差合成后的總標(biāo)準(zhǔn)差為：12,.,q 12,.,qa aa211()2qqiiijijijiijaa a 優(yōu)點(diǎn)：簡單方便，且不考慮各單項(xiàng)隨機(jī)誤差的概率分布。18方和根法合成的總極限誤差為：211()2qqiiijijijiijaa a 式中： 各極限誤差傳遞系數(shù)； 任意兩誤差間的相關(guān)系數(shù)。iaij 但一般情況下，各單項(xiàng)極限誤差的置信概率可能不相同，不能按上式進(jìn)行極限誤差合成。應(yīng)根據(jù)各單項(xiàng)誤差的分布情況引入置信系數(shù)，先將誤差轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)差，再按極限誤差合成。二. 極限誤差的合成 若已知各單項(xiàng)極限誤差為 ，且置信概率相

11、同，則按12,.,q 19單項(xiàng)極限誤差為：iiit 1,2,.,iq式中： 個單項(xiàng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差； 各單項(xiàng)極限誤差的置信系數(shù)。iit總的極限誤差為：t 將總標(biāo)準(zhǔn)差公式代入上式得：211()2qqiiijijijiijtaa a 211()2qqjiiiijijiijiijata att t iiit 上式即為一般的極限誤差合成公式。優(yōu)點(diǎn)：具有明確的概率意義。 注意：公式中的各個置信系數(shù)不僅與置信概率有關(guān)，且與隨機(jī)誤差的分布有關(guān)。20 當(dāng)各個單項(xiàng)隨機(jī)誤差均服從正態(tài)分布時，公式中的各置信系數(shù)完全相同，即： ，則公式變?yōu)椋?2.qtttt211()2qqiiijijijiijaa a 一般情況下， ，

12、則極限誤差合成公式變?yōu)椋?ij21()qiiia （較常使用）211()2qqjiiiijijiijiijata att t 21第三節(jié) 系統(tǒng)誤差的合成 系統(tǒng)誤差的大小是評定測量準(zhǔn)確度高低的標(biāo)志。 系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律。 已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差期望值期望值 均值均值 某次測得值某次測得值 奇異值奇異值 f x ( )_33+22一. 已定系統(tǒng)誤差的合成誤差大小與方向均已確切掌握了的系統(tǒng)誤差。對于已定系統(tǒng)誤差常按代數(shù)和的方法計(jì)算其合成誤差。 若在測量過程中，有r個單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，其誤差值分別為 ，相應(yīng)的誤差傳遞系數(shù)為 ，則按代數(shù)和法合成的總的已定系統(tǒng)誤差為：1,2,.,

13、r12,.,ra aa 在實(shí)際測量中，已定系統(tǒng)誤差應(yīng)用修正值去消除。若由于某種原因未被消除，則應(yīng)用代數(shù)和法合成。一般情況下，最后測量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差。1riiia23二. 未定系統(tǒng)誤差定義： 未定系統(tǒng)誤差是指誤差大小和方向未能確切掌握，而只能或只需估計(jì)出其不致超過某一極限范圍 的系統(tǒng)誤差。ie1. 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定 未定系統(tǒng)誤差在測量條件不變時有一恒定值，多次重復(fù)測量時其值固定不變，因而不具有抵償性。所以利用算術(shù)平均值法不能減少它對測量結(jié)果的影響。這是它與隨機(jī)誤差的重要差別。 但當(dāng)測量條件改變時，由于未定系統(tǒng)誤差的取值在某一極限范圍內(nèi)具有隨機(jī)性，并服從一定的概率分布，這與隨機(jī)

14、誤差相似，所以也可采用標(biāo)準(zhǔn)差或極限誤差來表征未定系統(tǒng)誤差取值的分散程度。24 對于某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其概率分布取決于該誤差源變化時所引起的系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。 現(xiàn)在對未定系統(tǒng)誤差的概率分布均根據(jù)測量實(shí)際情況的分析和判斷來確定的，并采用兩種假設(shè)：一是按正態(tài)分布處理，一是按均勻分布處理。 對某一單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限范圍是根據(jù)誤差源具體情況的分析與判斷而作出估計(jì)的。1. 未定系統(tǒng)誤差的特征及其評定表示符號：表示符號： 極限誤差：極限誤差：e 標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：u252. 未定系統(tǒng)誤差的合成（1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成 設(shè)測量過程中有s個單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，其標(biāo)準(zhǔn)差分別為 其相應(yīng)的傳遞系數(shù)為 ，合成后未定系統(tǒng)

15、誤差的的總標(biāo)準(zhǔn)差為：12,.,u u,su12,.,sa aa211()2ssiiijijijiijuaua a uu 當(dāng) 時，有：0ij21()siiiuau26（2）極限誤差的合成各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：iiietu 1,2,.,is總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為：etu 可得：211()2ssiiijijijiijetauaa uu 或211()2ssji iiijijiijiijeaeeeta att t 當(dāng)各單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差均服從正態(tài)分布，且 時，上式可簡化為：0ij21()si iieae 27第四節(jié) 系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成測量過程中存在著不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差將兩種

16、誤差進(jìn)行合成綜合，用極限誤差和標(biāo)準(zhǔn)差來表示一、按極限誤差合成設(shè)有r個單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差 s個單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差 q個單項(xiàng)隨機(jī)誤差12,r 12,se ee12,q 22111qrsiiiiiiiietRtt 總ia假設(shè)誤差傳遞系數(shù) 均為1，則總極限誤差為：各個誤差間協(xié)方差之和28當(dāng)各誤差均服從正態(tài)分布，各個誤差間互不關(guān)聯(lián)， R=012itttt22111qrsiiiiiie 總對已定系統(tǒng)誤差修正后 ：2211qsiiiie總對多次測量: 隨機(jī)誤差 抵償性 系統(tǒng)誤差 固定不變22111qsiiiien 總29按標(biāo)準(zhǔn)差合成s個未定系統(tǒng)誤差標(biāo)準(zhǔn)差q個單項(xiàng)隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差12,su uu12,q 誤差傳遞系

17、數(shù)均為1，且各個誤差間協(xié)方差之和R為02211qsiiiiu對于多次重復(fù)測量：22111qsiiiiun只考慮未定系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差合成問題30第五節(jié) 誤差分配單項(xiàng)誤差 總誤差總誤差的允差 各個單項(xiàng)誤差綜合如： 弓高弦長法測大直徑D給定直徑測量允許極限誤差 ，求弓高h(yuǎn)和弦長s的測量極限誤差D,hs 已定系統(tǒng)誤差通過修正方法消除，則只考慮未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，且這兩種誤差分配時可同等看待，分配方法完全相同。31設(shè)誤差因素皆為隨機(jī)誤差，且互不相關(guān)：2222221212222222112222212ynnnnnfffxxxaaaDDDiiiiifDax函數(shù)的部分誤差iD22212ynDDD使得給定

18、 ，則需確定yiD32一 按等作用原則分配誤差12niDDDD22()yiiinDn a1yiian用極限誤差表示為1iian22212ynDDD使得給定 ，則需確定yiD332 各個部分誤差一定，相應(yīng)測量值誤差與傳遞系數(shù)成反比， 盡管各個部分誤差相等，因傳遞系數(shù)不同而相應(yīng)測量值誤差并不等。二 按可能性調(diào)整誤差因此必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整 1 對難以實(shí)現(xiàn)測量的誤差適當(dāng)擴(kuò)大 2 對容易實(shí)現(xiàn)測量的誤差盡可能減小1 有的測量值的測量誤差不超出允許范圍，難以滿足要求，要保證測量精度，要用昂貴的高精度儀器，或者付出較大勞動。2222221212ynnfffxxx34第六節(jié) 微小誤差取舍準(zhǔn)則微小誤差：測量過程包含多種誤差，有的誤差對測量結(jié)果總誤差影響較小，小到一定程度，計(jì)算測量結(jié)果總誤差可不予考慮。2222221211ykkknDDDDDD取出部分誤差kD222221211ykknDDDDD若 ， 則 稱為微小誤差，可從總誤差中舍去yy