新課標小學數(shù)學奧林匹克輔導容斥原理（二）【含答案】

1、容斥原理（二）【例題分析】例1. 有25人參加跳遠達標賽，每人跳三次，每人至少有一次達到優(yōu)秀。第一次達到優(yōu)秀的有10人，第二次達到優(yōu)秀的有13人，第三次達到優(yōu)秀的有15人，三次都達到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達到優(yōu)秀的有多少人？分析與解：“每人至少有一次達到優(yōu)秀”說明沒有三次都沒達到優(yōu)秀的。要求只有兩次達到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。（人）答：只有兩次達到優(yōu)秀的有11人。例2. 在一個炎熱的夏日，幾個小朋友去冷飲店，每人至少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的沒有，只要汽水和雪碧的有1人；三樣都要的有1人。問

2、：共有幾個小朋友去了冷飲店？分析與解：根據(jù)題意畫圖。方法一：（人）方法二：（人）答：共有10個小朋友去了冷飲店。例3. 有28人參加田徑運動會，每人至少參加兩項比賽。已知有8人沒參加跑的項目，參加投擲項目的人數(shù)與參加跑和跳兩項的人數(shù)都是17人。問：只參加跑和投擲兩項的有多少人？分析與解：“每人至少參加兩項比賽”說明沒有不參加的，也沒有參加一項比賽的，我們可以在下圖中參加一項的區(qū)域用0表示。（人）答：只參加跑和投擲兩項的有3人。例4. 某校六年級二班有49人參加了數(shù)學、英語、語文學習小組，其中數(shù)學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有10人。老師告訴同學既參加數(shù)學小組又參加語文小組的有3人，

3、既參加數(shù)學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學小組的人數(shù)。分析與解：根據(jù)已知條件畫出圖。三圓蓋住的總體為49人，假設既參加數(shù)學又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程：整理后得：由于x、y均為質數(shù)，因而這兩個質數(shù)中必有一個偶質數(shù)2，另一個質數(shù)為7。答：既參加英語又參加數(shù)學小組的為2人或7人。例5. 某班同學參加升學考試，得滿分的人數(shù)如下：數(shù)學20人，語文20人，英語20人，數(shù)學、英語兩科滿分者8人，數(shù)學、語文兩科滿分者7人，語文、英語兩科滿分者9人，三科都沒得滿分者3人。問這個班最多多少人？最少多少人？分析與

4、解：根據(jù)題意畫圖。設三科都得滿分者為x全班人數(shù)整理后：全班人數(shù)39x 39+x表示全班人數(shù)，當x取最大值時，全班人數(shù)就最多，當x取最小值時，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學、語文、英語三科都得滿分的同學，因而x中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即且，由此我們得到。另一方面x最小可能是0，即沒有三科都得滿分的。當x取最大值7時，全班有人，當x取最小值0時，全班有39人。答：這個班最多有46人，最少有39人。【模擬試題】（答題時間：30分鐘） 1. 六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報，有的人訂數(shù)學報，兩種刊物都訂的有多少人？ 2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為

5、公用，在登記住房面積時，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444他們住的一套房子共有多少平方米？ 3. 某班45名同學參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學各項都沒達優(yōu)秀，求三項都是優(yōu)秀的人數(shù)。 4. 某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級、六年級兩年評上三好生的有5人，四、五、六三年沒評過三好生的有20人，問這個班最多有多少名同學，最

6、少有多少名同學？【試題答案】 1. 六年級共有96人，兩種刊物每人至少訂其中一種，有的人訂少年報，有的人訂數(shù)學報，兩種刊物都訂的有多少人？答：兩種刊物都訂的有16人。 2. 小明和小龍兩家合住一套房子，門廳、廚房和廁所為公用，在登記住房面積時，兩家登記表如下表（單位：平方米）姓名居室門廳廚房廁所總面積小明14128438小龍20128444他們住的一套房子共有多少平方米？答：這套房子共有58平方米。 3. 某班45名同學參加體育測試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學各項都沒達優(yōu)秀，求三項都是優(yōu)秀的人數(shù)。 4. 某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級、六年級兩年評上三好生