第三章線性系統(tǒng)的時域分析

1、2022-3-28 二二 、 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型位置控制系統(tǒng)如下圖所示。(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。位置控制系統(tǒng)原理圖2022-3-28該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機械負載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置， 由控制輸入信號確定,

2、角位置rr就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計電刷臂的角位置， 由輸出軸的位置確定。 c2022-3-28電位差()srceK ee就是誤差信號。 :sK橋式電位器的傳遞函數(shù)該信號被增益常數(shù)為 的放大器放大， 應(yīng)具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）AKAK放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上。電動機激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號，電動機就產(chǎn)生力矩以轉(zhuǎn)動輸出負載，并使誤差信號減少到零。 2022-3-28(3)當(dāng)激磁電流固定時，電動機產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為：m aMC i ( )( )maM sC Is:mC電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù):ai為電樞電流

3、對于電樞電路aaa abAsdidLR iKK K edtdt()( )( )( )aaaASbL SRIsK K E sK Ss:aaLR電動機電樞繞組的電感和電阻。:bK電動機的反電勢常數(shù)，:電動機的軸的角位移。電動機的力矩平衡方程為：22maddJfMCid td t2() ( )( )JSfSsMs (1)(2)(3)J:為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的組合轉(zhuǎn)動慣量。f:為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。1ci1( )( )cssi(4)2022-3-28據(jù)方程(1) (2) (3) (4)可畫出系統(tǒng)方框圖如下:( )( )( )( )cs H

4、sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)開環(huán)傳遞函數(shù)：2022-3-28( )( )( )( )cs H sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)如略去電樞電感aL111( )()(1)()SAmambaK K CiRKKK FG sC KJS JSFSSS JSfFFR 令令(1)mKS T S(6)1SAmaKK K CiR增益mba

5、C KFfR阻尼系數(shù)，由于電動機反電勢 的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。()bK1KKF開環(huán)增益mTJ F機電時間常數(shù)2022-3-28不考慮負載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)簡化為：()(1 )mKGsSTS(7)相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 2( )( )( )( )1( )crmsG sKssG sT SSK222212mnnnmmKTKSSSSTT 為了使研究的結(jié)果具有普遍意義，可將式（7）表示為如下標(biāo)準(zhǔn)形式222( )( )( )2nnnC ssR sSS（9）2nmKTnmKT12nmT12mT Kn自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數(shù)）(8)2022-3-28 2 2、 二階系統(tǒng)的

6、時域分析二階系統(tǒng)的時域分析(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。2022-3-282220nnSS(10)21,21nnS (11)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用 和 加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程： n2022-3-28 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(Unit-Step Response of Second-Order Systems)兩個正實部的特征根 ,發(fā)散,負阻尼01 ，共扼復(fù)根，位于左半

7、S平面，欠阻尼系統(tǒng)1兩個相等的負根，臨界阻尼1，兩個不相等的負實根，過阻尼0，虛軸上，瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷帲?無阻尼02022-3-28(1)過阻尼( )111A 221(1)nAS 322121(1)A 2222121( )()()(1)(1)nnnnC sS S S SSSSS 31222(1)(1)nnAAASS 21,21nS2022-3-28(3)過阻尼( )122(1)22(1)221( )121(1)1021(1)nntth teet （16）22(1)(1)222()()111102111nntthtcteet 2022-3-28響應(yīng)曲線：響應(yīng)曲線： 1時的近似處理：此時時的近

8、似處理：此時可近似地等效為具有時間常數(shù)可近似地等效為具有時間常數(shù)為為 的一階系統(tǒng)。時域響應(yīng)式為：的一階系統(tǒng)。時域響應(yīng)式為：調(diào)節(jié)時間為：調(diào)節(jié)時間為：響應(yīng)特點：單調(diào)上升，無振蕩和超調(diào)響應(yīng)特點：單調(diào)上升，無振蕩和超調(diào)2022-3-2811( )1( ),()r ttRsS222111( )()()nnnnnC sSSSSS臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)( )11(1)0nnntttnnh teteett （15）(2)臨界阻尼( )12022-3-2811當(dāng)當(dāng) 時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

9、是穩(wěn)態(tài)值為1的的無超調(diào)單調(diào)上升過程，無超調(diào)單調(diào)上升過程， 響應(yīng)曲線響應(yīng)曲線 如右圖：如右圖： 響應(yīng)過程單調(diào)上升，與過響應(yīng)過程單調(diào)上升，與過阻尼一樣，無超調(diào)，但它是阻尼一樣，無超調(diào)，但它是這一類響應(yīng)中最快的這一類響應(yīng)中最快的，調(diào)節(jié)，調(diào)節(jié)時間為時間為 ：(2)臨界阻尼( )12022-3-280121,21nnSj令n 衰減系數(shù)dj 21dn阻尼振蕩頻率1( )RsS，由式（9）得222( )( )( )2nnnC ssR sS 2221( )( )( )2nnnC ss R sSSS22221()()nnndndSSSS2211nnddddn(3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1圖3-172

10、12022-3-2801對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應(yīng)為：2( ) 1cossin1ntddhtett 211sin()01ntdett 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量21arccosarctg(3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)121圖3-172022-3-28穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不，表明圖系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其振蕩頻率為振蕩頻率為d響應(yīng)特點：振蕩響應(yīng)特點：振蕩衰減，必有超調(diào)衰減，必有超調(diào)2022-3-28包絡(luò)線包絡(luò)線211nte

11、決定收斂速度決定收斂速度這是一條由欠阻尼系統(tǒng)的各個峰值聯(lián)絡(luò)而成的這是一條由欠阻尼系統(tǒng)的各個峰值聯(lián)絡(luò)而成的指數(shù)曲線指數(shù)曲線2022-3-28（4）零阻尼（零阻尼（ =0）單位階躍響應(yīng)拉氏變換：單位階躍響應(yīng)拉氏變換：時域響應(yīng)式：時域響應(yīng)式： 系統(tǒng)處于系統(tǒng)處于無阻尼振蕩狀態(tài)無阻尼振蕩狀態(tài)，暫態(tài)響，暫態(tài)響應(yīng)為恒定振幅的周期函數(shù)，頻率為應(yīng)為恒定振幅的周期函數(shù)，頻率為 n(也也稱為稱為無阻尼自然振蕩角頻率無阻尼自然振蕩角頻率)。 2022-3-28 取不同值（取不同值（ 0）時二階系統(tǒng)的位階躍響應(yīng)的曲線）時二階系統(tǒng)的位階躍響應(yīng)的曲線 2022-3-28響應(yīng)曲線的特征：響應(yīng)曲線的特征：1、 =0時，等幅振蕩

12、；時，等幅振蕩； 2、0 1時，時， 越大，曲線單調(diào)上升過程越緩慢；越大，曲線單調(diào)上升過程越緩慢； 5、-1 0時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 6、 -1時，單調(diào)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。時，單調(diào)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2022-3-28不同不同 時典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在時典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在S平面上的位置及單位階躍響應(yīng)曲線。平面上的位置及單位階躍響應(yīng)曲線。2022-3-283、 二階系統(tǒng)欠阻尼情況的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)在控制工程中，在控制工程中，除了那些不容許除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具希望控制系統(tǒng)具有適度的阻

13、尼、有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時和較短的調(diào)節(jié)時間。間。 二階系統(tǒng)一般取二階系統(tǒng)一般取0.4 0.8 , 0.72022-3-28欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)21( )1sin(),01ntdh tett 令21( )0.5 ,arccosdh tarctg222 sin(1arccos)1ln1ndndtt在較大的在較大的 值范圍內(nèi)，近似有值范圍內(nèi)，近似有 210.60.2dnt（17）01 時，亦可用1 0.7dnt（18） （1）延遲時間 dt2022-3-28 ()1rh t 求得求得： 21sin()01ntd retd rt21rdnt（19）

14、一定，即一定，nrt , ,響應(yīng)速度越快響應(yīng)速度越快 （2）上升時間21( )1sin(),01ntdh tett （12）rt2022-3-28sin()cos() 0nnttndddetet21()dtgt 21tg因為0, ,2 ,d pt)(峰值時間pt對式（對式（12）求導(dǎo)，并令其為零，求得）求導(dǎo)，并令其為零，求得21( )1sin(),01ntdh tett（12） （3）pt2022-3-28 根據(jù)峰值時間定義，應(yīng)取根據(jù)峰值時間定義，應(yīng)取d pt （3）峰值時間（20）pt（閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠）（閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠）一定時，一定時，n21pdnt響應(yīng)速度越快pt2

15、022-3-28（4 4）超調(diào)量）超調(diào)量Mp （ % % ） 將將tp帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達式，帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達式，可得：可得：超調(diào)量超調(diào)量Mp僅與僅與 有關(guān)。有關(guān)。2100100Mpeoo( )( )( ) 1( )ppc tcMpc tc2022-3-28（4 4）超調(diào)量超調(diào)量2022-3-28（5 5）調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間t ts s 根據(jù)根據(jù)t ts s的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰減正弦包絡(luò)線圖進行近似計算，可得：減正弦包絡(luò)線圖進行近似計算，可得：當(dāng)當(dāng)0 0.8時，通常使用以下近似式：時，通常使用以下近似式：3(5%)snt 2022-3-28例題9例例9:設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如設(shè)控制系統(tǒng)的方框圖如3-26圖所示，當(dāng)有單位階躍信號作圖所示，當(dāng)有單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)tr、tp、ts和和 %。2022-3-28解解 求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 因此有因此有 上升時間上升時間tr： 峰值時間峰值時間tp ： 超調(diào)量超調(diào)量 % ：調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts ：2022-3-28例例10解解 （1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為：因此有：因此有：如如3-273