第10章 截 面幾 何 性 質(zhì)

1、第第10章截章截 面面 的的 幾幾 何何 性性 質(zhì)質(zhì)1 1 截面的靜矩與形心截面的靜矩與形心2 2 慣性矩、慣性積和慣性半徑慣性矩、慣性積和慣性半徑3 3 平行移軸公式平行移軸公式4 4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩 1 截面的靜矩與形心截面的靜矩與形心一、靜矩的定義一、靜矩的定義定義為截面對于定義為截面對于z軸和軸和y軸的軸的靜矩靜矩。zASydAcdAyyy0zzyASzdAz說明：a. 靜矩是對一定坐標(biāo)軸而言的，同一靜矩是對一定坐標(biāo)軸而言的，同一截面對不同坐標(biāo)軸的靜矩不同。截面對不同坐標(biāo)軸的靜矩不同。b.靜矩可能為正、為負或為零。靜矩可能為正、為負或為零。 c.靜矩的量綱為靜矩的量

2、綱為長度長度3二、靜矩與形心二、靜矩與形心的關(guān)系的關(guān)系 若將圖中截面圖若將圖中截面圖形看作為形看作為均質(zhì)等厚均質(zhì)等厚的的薄板，則它的重心即薄板，則它的重心即為截面圖形的形心。為截面圖形的形心。 則重心即截面形心則重心即截面形心C的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為：zAydASyAAcdAyyy0zzzyAzdASzAA當(dāng)截面的形心位置已當(dāng)截面的形心位置已知時靜矩知時靜矩zSAyySAz 平面圖形內(nèi)通過形心的軸稱為平面圖形內(nèi)通過形心的軸稱為形心軸形心軸。 截面圖形對其形心軸的靜矩等于零。反截面圖形對其形心軸的靜矩等于零。反之，若截面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸之，若截面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸必定通過截面的

3、形心，即該軸必為必定通過截面的形心，即該軸必為形心軸形心軸。例例: 求圖所示各截面圖形的靜矩求圖所示各截面圖形的靜矩 和和 及其形及其形心坐標(biāo)。心坐標(biāo)。解解:（1） 由于由于z軸為對稱軸，軸為對稱軸，必過截面形心，則有必過截面形心，則有 （2）為計算）為計算 ，取平行于，取平行于y軸的狹長條軸的狹長條為微面積為微面積 而而 sysz0zS yS2 cosdARdzsinzRcosdzRd zdARy0dzz0y2 慣性矩、慣性積和慣性半徑慣性矩、慣性積和慣性半徑 一、慣性矩一、慣性矩 定義為截面對定義為截面對z軸和軸和y軸的軸的慣性矩慣性矩。 說明說明：同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性矩不：同一截面

4、對不同坐標(biāo)軸的慣性矩不同，但恒為同，但恒為正值正值。慣性矩的量綱為。慣性矩的量綱為 。2zAIy dA2yAIz dAzdAyy0z4長度二、慣性積二、慣性積定義為截面對定義為截面對z、y軸的軸的慣慣性積性積。說明說明：a.截面對不同坐標(biāo)軸的慣截面對不同坐標(biāo)軸的慣性積不同。性積不同。b.慣性積也可能為正、為慣性積也可能為正、為負或為零。負或為零。 c.慣性積的量綱是慣性積的量綱是 zdAyy0zyzAIyzdA4長度三、慣性半徑三、慣性半徑 或或 式中的式中的 分別定義為截面對分別定義為截面對z軸和對軸和對y軸的軸的慣性半徑慣性半徑，其量綱為，其量綱為長度長度。2yyIAi2zzIAiyyIi

5、AzzIiAyzii、四、極慣性矩四、極慣性矩定義定義為截面對坐標(biāo)原點的為截面對坐標(biāo)原點的極極慣性矩慣性矩。因因 有有即即 2PAIdA 222yz 222()PAAIdAyz dA PyzIII zdAyy0z22AAy dAz dA結(jié)論：結(jié)論：（1） 同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性矩、同一截面對不同坐標(biāo)軸的慣性矩、慣性積都是不同的。慣性積都是不同的。（2） 截面對任意一對正交軸截面對任意一對正交軸y、z軸的慣軸的慣性矩性矩 和和 之和，恒等于該截面對次兩軸交之和，恒等于該截面對次兩軸交點的慣性矩點的慣性矩 。yIzIPI結(jié)論：結(jié)論：（3） 慣性矩慣性矩 、 和極慣性矩和極慣性矩 恒為正恒為正值

6、，而慣性積值，而慣性積 的數(shù)值可能為負，也可能為零，的數(shù)值可能為負，也可能為零，不過它們的量綱均為不過它們的量綱均為 。（4） 兩正交坐標(biāo)軸中，只要有一根軸是兩正交坐標(biāo)軸中，只要有一根軸是截面的對稱軸，則截面對這一對坐標(biāo)軸的慣截面的對稱軸，則截面對這一對坐標(biāo)軸的慣性積等于零。性積等于零。yIzIpIyzI4長度例例 ： 計算矩形截面對對稱軸計算矩形截面對對稱軸y軸和軸和z軸的慣軸的慣性矩。性矩。解解： 取平行于取平行于y軸的狹長矩形軸的狹長矩形為微面積為微面積dA。則則 dA=bdzczbyhdzz于是截面對于是截面對y軸的慣性矩為軸的慣性矩為類似地對類似地對z軸的慣性矩為軸的慣性矩為 例例

7、： 計算矩形截面對對稱軸計算矩形截面對對稱軸y軸和軸和z軸的慣軸的慣性矩。性矩。czbyhdzz3222212hyhAbhIz dAbz dz312yb hI 例例：計算圓形截面對其形心軸的慣性矩。：計算圓形截面對其形心軸的慣性矩。解解：由由則則yzII432pDIyzIIDczyzycDd41264pDI 例例：計算圓形截面對其形心軸的慣性矩。：計算圓形截面對其形心軸的慣性矩。解解：組合截面對某一軸的慣性矩應(yīng)等于每個組：組合截面對某一軸的慣性矩應(yīng)等于每個組成截面對于同一軸的慣性矩之和，即成截面對于同一軸的慣性矩之和，即如圖的空心圓截面，可得如圖的空心圓截面，可得DczyzycDd1inyyi

8、II1inzziII4444(1)646464yzDdDIIdD3 平行移軸公式平行移軸公式 y、z軸分別與軸分別與 平行平行則則czzacyybzcdAy0cyczybcyzcza,ccy z2yAIz dA2()cAzadA22(2)ccAzazadA2 cyIa A同理同理 上式稱為平行移軸上式稱為平行移軸公式。公式。 2czzIIb Ac cyzy zIIabAzcdAy0cyczybcyzcza2yycIIa A圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸平行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸間距平方的

9、乘積；間距平方的乘積；圖形對于任意一對直角坐標(biāo)軸的慣性積，等圖形對于任意一對直角坐標(biāo)軸的慣性積，等于圖形對于平行于該坐標(biāo)軸的形心軸的慣性積于圖形對于平行于該坐標(biāo)軸的形心軸的慣性積，加上圖形面積與兩對平行軸間距的乘積；，加上圖形面積與兩對平行軸間距的乘積；圖形對于形心的慣性矩最小，而由形心軸移軸圖形對于形心的慣性矩最小，而由形心軸移軸后所得的慣性積有可能增加也有可能減少。后所得的慣性積有可能增加也有可能減少。解解：截面的形心位置：截面的形心位置 為計算慣性矩為計算慣性矩 ，先計，先計算兩矩形算兩矩形I、II分別對軸的慣分別對軸的慣性矩性矩 。 cz100cIII20ycyz14020例例 計算計

10、算T型截面對其形心軸型截面對其形心軸 、 軸的慣性矩。軸的慣性矩。0y 0.0467zmyczcII、cyc、z例例 計算計算T型截面對其形心軸型截面對其形心軸 、 軸的慣性矩。軸的慣性矩。cycz3210.1 0.020.0467.1 0.0212ycI2310.02 0.140.070.01 0.04670.02 0.1412ycII647.69 10 m644.43 10 mcz100cIII20ycyz1402036410.14 0.020.09 1012cIzIm36410.02 0.11.67 1012cIIzIm所以整個截面對 、 軸的慣性矩為ccIIIycyyIIIcZcZcI

11、IIzIIIcycz100cIIIcz20ycyz1402066640.09 101.67 101.76 10 m66647.69 104.43 1012.1 10 m例例 計算計算T型截面對其形心軸型截面對其形心軸 、 軸的慣性矩。軸的慣性矩。4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 主慣性矩主慣性矩一、轉(zhuǎn)軸公式一、轉(zhuǎn)軸公式由轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)變換由轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)變換于是于是 1cossinzzy1cossinyyz1221( cossin)zAAIy dAyzdA1221( cossin)yAAIz dAzydA1 111( cossin)( cossin)y zAAIy z dAzyyzdA0zzdAy1yz1zyy1

12、因為因為 得到：得到： 這就是這就是慣性矩慣性矩和和慣性積慣性積的的轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式。 2zAy dAI 2yAz dAI yzAyzdAI 21cos(1cos2 )221sin(1cos2 )2 sin22sincos 1cos2sin222zyzyzyzIIIIII1cos2sin222zyzyyyzIIIIII1 1sin2cos22zyy zyzIIII二、主慣性軸和主慣性矩二、主慣性軸和主慣性矩若截面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積若截面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對軸稱為為零，則這對軸稱為主慣性軸主慣性軸，簡稱，簡稱主軸主軸。截面圖形對主軸的慣性矩，稱為截面圖形對主軸的

13、慣性矩，稱為主慣性矩主慣性矩，簡稱簡稱主慣矩主慣矩。當(dāng)主軸為形心軸時，稱為當(dāng)主軸為形心軸時，稱為形心主慣性軸形心主慣性軸，簡稱簡稱形心主軸形心主軸。截面對形心主軸的慣性矩，稱為截面對形心主軸的慣性矩，稱為形心主慣形心主慣性矩性矩。 若截面圖形有一根對稱軸，則此軸即為形若截面圖形有一根對稱軸，則此軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過截面形心并與心主軸之一，另一形心主軸為通過截面形心并與對稱軸垂直的軸。對稱軸垂直的軸。 截面沒有對稱軸時，主軸的位置通過計算截面沒有對稱軸時，主軸的位置通過計算來確定。將來確定。將 代入代入令令 ，有，有得得01 10y zI00sin2cos202zyyzIII0

14、2tan2yzzyIII 1 1sin2cos22zyy zyzIIII將求得的角代入下式將求得的角代入下式可求得主慣性矩可求得主慣性矩 。也可利用三角關(guān)系式，得到也可利用三角關(guān)系式，得到 再代入上式得到主慣性矩的一般公式為再代入上式得到主慣性矩的一般公式為00yzII、00sin2cos2和 220()22zyzyzyzIIIIII220()22zyzyyyzIIIIII1cos2sin222zyzyzyzIIIIII1cos2sin222zyzyyyzIIIIII 若若zoy坐標(biāo)系的原點是截面的形心，則由坐標(biāo)系的原點是截面的形心，則由上式計算的主慣性矩也就是形心主慣矩。上式計算的主慣性矩也

15、就是形心主慣矩。另外，因為另外，因為 、 是是 的連續(xù)函數(shù)，通過的連續(xù)函數(shù)，通過求導(dǎo)可求得它們的極值求導(dǎo)可求得它們的極值: 得到：得到：與與 比較得：比較得： 1yI1zI 1()( sin2 )2cos20zzyyzdIIIId 2tan2yzzyIII 0 02tan2yzzyIII 說明: a.通過截面某點的主軸正是通過該點的各軸中慣性矩取極值的軸。b.截面對通過某點的任意一對正交軸慣性矩之和為一常數(shù)。截面對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過該點主軸的主慣矩。如果這里所說的平面圖形是桿件的橫截如果這里所說的平面圖形是桿件的橫截面，則截面的形心主慣性軸與桿件軸線所確面，則截面的形心主慣性軸與桿件軸線所確定的平面稱為定的平面稱為形