
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文檔簡介
1、整理課件含權(quán)債券的定價含權(quán)債券的定價 Blacks Model 利率二叉樹利率二叉樹 期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù) 含權(quán)債券的定價含權(quán)債券的定價 利率頂與利率底利率頂與利率底 互換選擇權(quán)互換選擇權(quán) 可贖回和可回售債券可贖回和可回售債券 可轉(zhuǎn)換債券可轉(zhuǎn)換債券整理課件期權(quán)定價模型期權(quán)定價模型 Black-Scholes model BlackScholes(1973) 其中,其中,c為買入期權(quán)的價格,為買入期權(quán)的價格,S為標的股票的當前市價,為標的股票的當前市價,K為買入期權(quán)的執(zhí)行價,為買入期權(quán)的執(zhí)行價,T為距離到期日的時間,為距離到期日的時間,r為無風險為無風險利率,利率, 為股價變動的標準差。
2、為股價變動的標準差。)()(21dNKedSNcrTTTrKSd)2/()/ln(21Tdd12整理課件B-S公式的比較靜態(tài)分析公式的比較靜態(tài)分析因素Call 的價格Put 的價格標的證券的價格執(zhí)行價格到期時間利率波動率短期利率利息支付上升下降上升上升上升下降下降上升上升上升下降上升整理課件例:例:Black-Scholes 模型的問題模型的問題 給歐式給歐式 call option 定價:定價:3年零息債券,年零息債券,行權(quán)價為行權(quán)價為$110, 面值為面值為$100。 結(jié)論很明顯,應該是結(jié)論很明顯,應該是0。 但在下面假設(shè)情況下,但在下面假設(shè)情況下,r = 10% ,4%的年的年價格波動率
3、,用價格波動率,用Black-Scholes 模型計算模型計算出來的價格為出來的價格為7.78!整理課件應用傳統(tǒng)應用傳統(tǒng) Black-Scholes Model給債券定價的問題給債券定價的問題 如果要使用上述公式為債券定價,我們必須要假如果要使用上述公式為債券定價,我們必須要假設(shè)債券價格未來設(shè)債券價格未來3年的演變過程,可這一過程異常年的演變過程,可這一過程異常的復雜,原因如下:的復雜,原因如下: 債券價格在到期日必須收斂至面值,而股票的隨債券價格在到期日必須收斂至面值,而股票的隨機演變過程不需要這一限制。機演變過程不需要這一限制。 隨著到期日的臨近,債券價格的波動率會下降,隨著到期日的臨近,
4、債券價格的波動率會下降,B-S公式假定波動率為常數(shù)顯然不合適。公式假定波動率為常數(shù)顯然不合適。 B-S公式假定短期利率為常數(shù),而在固定收益證公式假定短期利率為常數(shù),而在固定收益證券方面,我們又假定了債券價格隨機變動,明顯券方面,我們又假定了債券價格隨機變動,明顯矛盾。矛盾。 此外,上述的利率可能為負值也是一個問題。此外,上述的利率可能為負值也是一個問題。整理課件Blacks Model 盡管存在著以上問題,盡管存在著以上問題,Black-Scholes 的變形,的變形,即即Blacks Model, 也還經(jīng)常被使用,其條件也還經(jīng)常被使用,其條件是是: a.期權(quán)的盈虧在某一特點時間只依賴于一個變
5、量。期權(quán)的盈虧在某一特點時間只依賴于一個變量。 b.可以假定在那個時點上,那個變量的分布呈對數(shù)可以假定在那個時點上,那個變量的分布呈對數(shù)正態(tài)分布。正態(tài)分布。 例如,當期權(quán)有效的時間遠遠短于債券償還期例如,當期權(quán)有效的時間遠遠短于債券償還期時,就可以利用時,就可以利用Blacks Model 整理課件利用利用Blacks Model給歐式期權(quán)定價給歐式期權(quán)定價)()()()(1221dFNdKNePdKNdFNePrTprTcTTKFd2/)/ln(21Tdd12整理課件利用利用Blacks Model給歐式期權(quán)定價給歐式期權(quán)定價 T = 期權(quán)到期日期權(quán)到期日 F = 到期日為到期日為T,價值為
6、,價值為V的遠期價格的遠期價格 K = 執(zhí)行價格執(zhí)行價格 r = T期的即期收益率期的即期收益率 (連續(xù)利率連續(xù)利率) = F的波動率的波動率 N = 累積正態(tài)分布累積正態(tài)分布 Pc = value of call Pp = value of put整理課件例例: 應用應用 Blacks Model 給給10個月期的歐式期權(quán)定價:標的債券為個月期的歐式期權(quán)定價:標的債券為9.75 年,面值年,面值 $1,000, 半年利息半年利息 $50 (在在3個月后和個月后和9個月后得到個月后得到)?已知已知 今天債券價格今天債券價格 $960 (包括應計利息包括應計利息) 執(zhí)行價格執(zhí)行價格 $1,000
7、 3個月的無風險利率為個月的無風險利率為 9% ,9個月的無風險利率為個月的無風險利率為 9.5%,10個月的無風險利率為個月的無風險利率為10% (以年為基礎(chǔ),以年為基礎(chǔ),連續(xù)利率連續(xù)利率) 債券價格的波動率為年債券價格的波動率為年9%整理課件例例: 應用應用 Blacks Model求解求解 第一步第一步: 找到遠期價格找到遠期價格 計算期權(quán)價格的參數(shù)為計算期權(quán)價格的參數(shù)為:F = 939.68, K=1000, r=0.1, =0.09, T = 10/12=.8333.86.9395050960)8333(.10. 0)75(.09. 0)25(.09. 00FeFeeP整理課件例例:
8、 應用應用 Blacks Model49. 9)(1000)(68.939218333. 01 . 0dNdNePc8333. 009. 02/8333. 009. 0)1000/68.939ln(21d8333. 009. 012 dd整理課件Blacks Model的缺陷的缺陷 盡管盡管Blacks Model通過假定某個利率,或債券價通過假定某個利率,或債券價格,或其他變量在將來某個時刻的概率分布為對格,或其他變量在將來某個時刻的概率分布為對數(shù)正態(tài),從而在某種程度上改進了數(shù)正態(tài),從而在某種程度上改進了Black-Scholes Model的缺陷,這也使得這一模型能夠的缺陷,這也使得這一模
9、型能夠被應用于對上限、歐式債券期權(quán)和歐式互換這樣被應用于對上限、歐式債券期權(quán)和歐式互換這樣的產(chǎn)品定價,但是,這一模型仍然有局限性。的產(chǎn)品定價,但是,這一模型仍然有局限性。 這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時間變化來提供描這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時間變化來提供描述,因此,對美式互換期權(quán)、可贖回債券或結(jié)構(gòu)述,因此,對美式互換期權(quán)、可贖回債券或結(jié)構(gòu)性債券產(chǎn)品定價時就不再適用了。性債券產(chǎn)品定價時就不再適用了。 因此,我們需要將注意力由債券的價格轉(zhuǎn)移至利因此,我們需要將注意力由債券的價格轉(zhuǎn)移至利率上來。率上來。整理課件含權(quán)債券定價的定價策略含權(quán)債券定價的定價策略 可回購債券的價值可回購債券的價值 =不可回購
10、債券價值不可回購債券價值 -Call Option 的價值的價值 可回賣債券的價值可回賣債券的價值 =不可回賣債券價值不可回賣債券價值 + Put Option的價值的價值回購債券定價策略回購債券定價策略:利用利率模型給不可回購債券定價利用利率模型給不可回購債券定價利用利率模型給嵌入的利用利率模型給嵌入的call option定價定價.整理課件利率二叉樹(利率二叉樹(binomial interest rate tree) 前面已經(jīng)提及,當我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價時,前面已經(jīng)提及,當我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價時,我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來。我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來。 假設(shè)假
11、設(shè)6個月期和個月期和1年期的即期利率分別為年期的即期利率分別為3.99%和和4.16%。另外,。另外,6個月后個月后6個月的即期利率可能演個月的即期利率可能演變成變成4%與與4.5%,圖示如下:,圖示如下:整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與6個個月期利率的樹狀圖,我們可以計算月期利率的樹狀圖,我們可以計算6個月期個月期與與1年期零息債券的價格。面值年期零息債券的價格。面值1000美元的美元的6個月零息債券,其價格樹狀圖為:個月零息債券,其價格樹狀圖為:980.4402=1000/(1+0.0399/2)整理
12、課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 面值面值1000美元的美元的1年期零息債券,其價格樹狀圖年期零息債券,其價格樹狀圖為:為: 注:在這里,我們按照半年復利進行貼現(xiàn)的。注:在這里,我們按照半年復利進行貼現(xiàn)的。959.6628=1000/(1+0.0416/2)2977.9951=1000/(1+0.045/2)2959.6628=1000/(1+0.04/2)2整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 1年期零息債券在年期零息債券在“日期日期1”的期望價格的期望價格(expected price)是:)是:0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1
13、937 以當時的以當時的6個月期即期利率將上述價格折算個月期即期利率將上述價格折算為為“日期日期0”的現(xiàn)值,則期望折現(xiàn)值為:的現(xiàn)值,則期望折現(xiàn)值為:979.1937/(1+0.0399/2)=960.04 這一數(shù)值與前面的這一數(shù)值與前面的959.6628并不相同,為并不相同,為什么?因為上述期望值是有風險的。什么?因為上述期望值是有風險的。整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 考慮一個在考慮一個在6個月之后可以以個月之后可以以978.50美元的美元的價格買進面值為價格買進面值為1000美元的美元的6個月零息債券個月零息債券的期權(quán)的價值。選擇權(quán)價值的樹狀圖如下:的期權(quán)的價值。選擇
14、權(quán)價值的樹狀圖如下:整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 無套利原理為我們提供了一套處理上述問題的定無套利原理為我們提供了一套處理上述問題的定價方法,這一點在上一章中已有所體現(xiàn)。價方法,這一點在上一章中已有所體現(xiàn)。 我們在我們在“日期日期0”使用使用6個月期和個月期和1年期零息債券構(gòu)年期零息債券構(gòu)建一個當利率上升到建一個當利率上升到4.5%時價值為時價值為0,當利率上,當利率上升到升到4%時價值為時價值為1.8922的組合。的組合。 假定假定F0.5和和F1分別表示分別表示6個月和個月和1年期債券的面值,年期債券的面值,有有整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價
15、解前述方程式得,解前述方程式得, F0.5=-772.0005,F(xiàn)1=789.3705 即需要買進面值為即需要買進面值為789.3705美元的美元的1年期零息債券,年期零息債券,賣空賣空772.0005美元的美元的6個月期零息債券。個月期零息債券。 依據(jù)無套利原理,選擇權(quán)的價格應當為,依據(jù)無套利原理,選擇權(quán)的價格應當為,0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63 而當我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時,而當我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時,其價值等于其價值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2) =0.92
16、76,要大于選擇權(quán)的真實價值。要大于選擇權(quán)的真實價值。整理課件利率二叉樹與無套利定價利率二叉樹與無套利定價 與考察股票期權(quán)的價值時不考慮股價變動的概率與考察股票期權(quán)的價值時不考慮股價變動的概率相似,我們在計算上述選擇權(quán)價值時,并未考慮相似,我們在計算上述選擇權(quán)價值時,并未考慮利率發(fā)生變動的機率。利率發(fā)生變動的機率。 這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同,即無論這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同,即無論利率上升的機率是利率上升的機率是0.1還是還是0.9,我們組合的成分,我們組合的成分均不變。均不變。 這可能會引發(fā)人們的疑問,即各種狀況出現(xiàn)的這可能會引發(fā)人們的疑問,即各種狀況出現(xiàn)的“機率機率”扮演
17、的是什么角色?利率上升和下降的扮演的是什么角色?利率上升和下降的機率實際上已經(jīng)反映在債券的價格之中了,因而機率實際上已經(jīng)反映在債券的價格之中了,因而已經(jīng)通過這一渠道影響了選擇權(quán)的價值。已經(jīng)通過這一渠道影響了選擇權(quán)的價值。整理課件利率期權(quán)的風險中性定價利率期權(quán)的風險中性定價 在前面,我們利用無套利原理,通過構(gòu)建投資組合的方法在前面,我們利用無套利原理,通過構(gòu)建投資組合的方法得到了選擇權(quán)的價值,但這一方法并不簡便,我們可以借得到了選擇權(quán)的價值,但這一方法并不簡便,我們可以借用上一章提出了風險中性定價原理來為利率期權(quán)定價,具用上一章提出了風險中性定價原理來為利率期權(quán)定價,具體如下:體如下: 在前面,
18、我們已經(jīng)說明了,未來的期望值的現(xiàn)值并不等于在前面,我們已經(jīng)說明了,未來的期望值的現(xiàn)值并不等于該債券的價格,但某一虛擬的機率可以做到這一點。該債券的價格,但某一虛擬的機率可以做到這一點。整理課件利率期權(quán)的風險中性定價利率期權(quán)的風險中性定價 假定假定P為為“上行狀況上行狀況”的機率,的機率,(1-P)為為“下下行狀況行狀況”的機率,依據(jù)下述方程式有,的機率,依據(jù)下述方程式有,P等等于于0.661,并不是我們假定的實際機率,并不是我們假定的實際機率0.5。 讓我們再次考慮選擇權(quán)價格的樹狀圖,讓我們再次考慮選擇權(quán)價格的樹狀圖,整理課件利率期權(quán)的風險中性定價利率期權(quán)的風險中性定價當我們使用上述的當我們使
19、用上述的“虛擬機率虛擬機率”(風險中性概率)對選擇權(quán)的(風險中性概率)對選擇權(quán)的價值求期望并貼現(xiàn)時有,價值求期望并貼現(xiàn)時有,可以看出,這一結(jié)果與前面使用復制的投資組合的方法得出的可以看出,這一結(jié)果與前面使用復制的投資組合的方法得出的結(jié)論完全一致。結(jié)論完全一致。這就是上一章已經(jīng)提及的風險中性定價。作為現(xiàn)代金融學中最這就是上一章已經(jīng)提及的風險中性定價。作為現(xiàn)代金融學中最為微妙的概念,我們將風險中性定價在利率期權(quán)中的應用步驟為微妙的概念,我們將風險中性定價在利率期權(quán)中的應用步驟總結(jié)如下:總結(jié)如下:求取虛擬機率而使根本證券(求取虛擬機率而使根本證券(underlying securities)的價格)
20、的價格等于其未來期望值的現(xiàn)值。然后,根據(jù)虛擬機率來計算利率期等于其未來期望值的現(xiàn)值。然后,根據(jù)虛擬機率來計算利率期權(quán)的期望價值的現(xiàn)值。權(quán)的期望價值的現(xiàn)值。整理課件利率期權(quán)的風險中性定價利率期權(quán)的風險中性定價具體邏輯如下:具體邏輯如下:首先:在一個既定的零息債券價格樹狀圖之下,一種證券根據(jù)首先:在一個既定的零息債券價格樹狀圖之下,一種證券根據(jù)套利方式所定的價格并不取決于投資者的風險偏好。既然人人套利方式所定的價格并不取決于投資者的風險偏好。既然人人都同意復制的投資組合的價值,他們也應當會同意期權(quán)合約的都同意復制的投資組合的價值,他們也應當會同意期權(quán)合約的價值。價值。其次,設(shè)想一個經(jīng)濟體系,它的當
21、時債券價格與其次,設(shè)想一個經(jīng)濟體系,它的當時債券價格與6個月期的利個月期的利率演變和我們的經(jīng)濟體系相同。在這一經(jīng)濟體中,每個人都具率演變和我們的經(jīng)濟體系相同。在這一經(jīng)濟體中,每個人都具有中性的風險偏好,且通過組合的現(xiàn)金流得到風險中性概率。有中性的風險偏好,且通過組合的現(xiàn)金流得到風險中性概率。再次,在中性風險偏好的經(jīng)濟體內(nèi),選擇權(quán)的定價是將現(xiàn)金流再次,在中性風險偏好的經(jīng)濟體內(nèi),選擇權(quán)的定價是將現(xiàn)金流的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值。的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值。最后,由于中性風險偏好的經(jīng)濟體的價格和利率演變與我們的最后,由于中性風險偏好的經(jīng)濟體的價格和利率演變與我們的完全相同,因此,我們的經(jīng)濟體和風險中性經(jīng)濟體內(nèi)選擇權(quán)
22、的完全相同,因此,我們的經(jīng)濟體和風險中性經(jīng)濟體內(nèi)選擇權(quán)的價值相等。價值相等。整理課件股票定價不能使用套利定價的原因股票定價不能使用套利定價的原因 沒有任何的組合能夠復制未來個股價格的沒有任何的組合能夠復制未來個股價格的波動。波動。整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 前面的分析都是在兩期框架下進行的,從這里開前面的分析都是在兩期框架下進行的,從這里開始,我們開始討論三期框架下的情形。假定當時始,我們開始討論三期框架下的情形。假定當時1.5年期的即期利率為年期的即期利率為4.33%。 我們?nèi)匀患俣ㄎ覀內(nèi)匀患俣?個月期利率只有兩種演變可能,即個月期利率只有兩種演變可能,即上行和下行。但是,
23、上行和下行。但是,“上行上行-下行下行”與與“下行下行-上上行行”并不一定相等,即如下圖。并不一定相等,即如下圖。整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 這種樹狀圖一般被稱為這種樹狀圖一般被稱為“非結(jié)合性樹狀圖非結(jié)合性樹狀圖”(non-recombining tree)。從經(jīng)濟的角度來看,這一設(shè)定)。從經(jīng)濟的角度來看,這一設(shè)定非常合理,但是在實務中,這一設(shè)定非常難于處理,非常合理,但是在實務中,這一設(shè)定非常難于處理,甚至無法處理。當我們處理一個二十年期的債券時,甚至無法處理。當我們處理一個二十年期的債券時,最后一期的節(jié)點數(shù)將超過最后一期的節(jié)點數(shù)將超過5000億個。因此,我們一般億個。因此
24、,我們一般設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖,我們設(shè)定一個設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖,我們設(shè)定一個1.5年期的樹狀年期的樹狀圖如下。圖如下。整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 當樹狀圖的階段增加時,我們需要設(shè)計某種方法當樹狀圖的階段增加時,我們需要設(shè)計某種方法來表示節(jié)點的位置。一種常用的方法是,以來表示節(jié)點的位置。一種常用的方法是,以“日日期期”表示樹狀圖的表示樹狀圖的“列列”,起始點為,起始點為0,從左忘右,從左忘右計數(shù)。以計數(shù)。以“狀況狀況”來表示樹狀圖的來表示樹狀圖的“行行”,起始,起始點為點為0,由下往上計算。我們很容易構(gòu)建,由下往上計算。我們很容易構(gòu)建1.5年期年期零息債券的價格樹狀圖,如下。零息
25、債券的價格樹狀圖,如下。937.7641=1000/(1+0.0433/2)3整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 在上圖中,在上圖中,Pu和和Pd是表示是表示1.5年期債券在經(jīng)過了年期債券在經(jīng)過了0.5年之后的價格,它當時是年之后的價格,它當時是1年期的零息債券,年期的零息債券,這兩個價格是未知的。我們很自然就想到使用風這兩個價格是未知的。我們很自然就想到使用風險中性概率求取債券的期望值,并將其折算為市險中性概率求取債券的期望值,并將其折算為市場價格。具體的樹狀圖如下。場價格。具體的樹狀圖如下。整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 依據(jù)風險中性定價的偏好,我們有依據(jù)風險中性定
26、價的偏好,我們有 解之得,解之得,q=0.632。整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 此時,此時,1.5年期零息債券價格的樹狀圖變?yōu)椋耗昶诹阆瘍r格的樹狀圖變?yōu)椋赫碚n件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 此時,我們可以使用此時,我們可以使用“日期日期0”和和“日期日期1”兩組風兩組風險中性概率,和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價了。險中性概率,和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價了。例如,某例如,某1年期證券的到期價值有三種可能的結(jié)果:年期證券的到期價值有三種可能的結(jié)果:500、100、-10,該證券未來一年的樹狀圖為,該證券未來一年的樹狀圖為,整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展
27、“日期日期1-狀況狀況1”的價格為的價格為 “日期日期1-狀況狀況0”的價格為的價格為 “日期日期0”的價格為的價格為整理課件風險中性定價的擴展風險中性定價的擴展 既然我們可以將風險中性定價模型由既然我們可以將風險中性定價模型由2期擴展到期擴展到3期,那么我們應當可以將其擴展至任何日期。計期,那么我們應當可以將其擴展至任何日期。計算算(n+1)個半年期債券價格的步驟如下:個半年期債券價格的步驟如下: (1)取得當時的利率期限結(jié)構(gòu),即取得當時的利率期限結(jié)構(gòu),即r(0.5),r(1),r(1.5), r(2)r(n/2+0.5);(2)設(shè)定設(shè)定6個月期利率在未來個月期利率在未來n期期的演變圖,換言
28、之,就是的演變圖,換言之,就是“日期日期0”到到“日期日期n-1”之間的利率樹狀圖;之間的利率樹狀圖;(3)分別計算分別計算1年期、年期、1.5年年期期(n/2+0.5)年期零息債券價格的樹狀圖,以)年期零息債券價格的樹狀圖,以及所有相關(guān)的風險中性概率;及所有相關(guān)的風險中性概率;(4)計算計算(n+1)個半個半年期的債券價格:由債券的到期價值依次往前推年期的債券價格:由債券的到期價值依次往前推算,其依據(jù)是風險中性概率。最終得到第算,其依據(jù)是風險中性概率。最終得到第0期的價期的價格。格。整理課件一年期即期利率的樹狀圖一年期即期利率的樹狀圖 根據(jù)前面所討論的根據(jù)前面所討論的1.5年期零息債券價格樹
29、狀圖,我年期零息債券價格樹狀圖,我們可以計算們可以計算6個月之后所可能發(fā)生的兩個個月之后所可能發(fā)生的兩個1年期即期利年期即期利率。在率。在6個月之后,個月之后,1.5年期的債券將成為年期的債券將成為1年期的零年期的零息債券,它有兩個可能的價格:息債券,它有兩個可能的價格:955.6376與與960.4493。這兩個價格蘊含的。這兩個價格蘊含的1年期利率為年期利率為4.59%與與4.08%,由于我們假定當時的,由于我們假定當時的1年期利率為年期利率為4.16%,因,因此,此,1年期利率的樹狀圖如下:年期利率的樹狀圖如下:整理課件單一因子模型的缺陷單一因子模型的缺陷 實質(zhì)上,上述實質(zhì)上,上述6個月
30、之后個月之后1年期即期利率之所以能年期即期利率之所以能夠推算出來,是因為當我們確定了夠推算出來,是因為當我們確定了6個月期利率的個月期利率的樹狀圖之后,已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證券樹狀圖之后,已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證券的價格都可以由的價格都可以由6個月期利率的演變所決定。也就個月期利率的演變所決定。也就是說,我們假定的每種可能狀況都完全取決于該是說,我們假定的每種可能狀況都完全取決于該狀況的狀況的6個月期利率。個月期利率。 在多重因子模型在多重因子模型(multi-factor)中,我們可以假定中,我們可以假定所有證券的價格是取決于數(shù)種而不是一種隨機變所有證券的價格是取決于數(shù)種而不是一種
31、隨機變量。例如,在量。例如,在Longstaff and Schwartz(1992)的的模型中,可能的狀況由短期利率水平及其波動率模型中,可能的狀況由短期利率水平及其波動率共同決定。共同決定。整理課件單一因子模型的缺陷單一因子模型的缺陷 單一因子模型的重大缺陷在于,由于單一因子單一因子模型的重大缺陷在于,由于單一因子的隨機演變將決定所有證券的價格,所以各種的隨機演變將決定所有證券的價格,所以各種證券的報酬率之間具有完美的相關(guān)性。證券的報酬率之間具有完美的相關(guān)性。 就技術(shù)上而言,不同到期日的債券報酬率之間就技術(shù)上而言,不同到期日的債券報酬率之間雖然存在正向關(guān)聯(lián),但并不完美。多因子模型雖然存在正
32、向關(guān)聯(lián),但并不完美。多因子模型就能夠做到這一點。然而,盡管多因子模型比就能夠做到這一點。然而,盡管多因子模型比較符合實際情況,但模型本身非常難以處理。較符合實際情況,但模型本身非常難以處理。因此,我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型。因此,我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型。整理課件時間階段的縮短時間階段的縮短 將間隔時間縮短至將間隔時間縮短至6個月以下,在建構(gòu)利率個月以下,在建構(gòu)利率樹狀圖時,僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性樹狀圖時,僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性的調(diào)整。的調(diào)整。 首先,利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對應于模首先,利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對應于模型所選定的時間階段。型所選定的時間階段。 其次,利率
33、樹狀圖中所演變的利率也必須其次,利率樹狀圖中所演變的利率也必須對應階段的時間。對應階段的時間。整理課件時間階段的選擇時間階段的選擇 這必然導致另一個問題,即時間階段如何這必然導致另一個問題,即時間階段如何選擇?選擇? 第一,時間階段越短,耗時越長;第一,時間階段越短,耗時越長; 第二,計算證券涉及的步驟越多,數(shù)據(jù)上第二,計算證券涉及的步驟越多,數(shù)據(jù)上的處理越需要留意,例如:四舍五入。的處理越需要留意,例如:四舍五入。 最理想的時間階段取決于所處理的問題。最理想的時間階段取決于所處理的問題。 比較精密的模型,允許樹狀圖有數(shù)種時間比較精密的模型,允許樹狀圖有數(shù)種時間階段,以便在精密性與方便性之間取
34、得最階段,以便在精密性與方便性之間取得最佳的均衡。佳的均衡。整理課件期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)利率模型利率模型 到目前為止,我們已經(jīng)知道,根據(jù)當時的到目前為止,我們已經(jīng)知道,根據(jù)當時的利率期限結(jié)構(gòu),并假設(shè)短期利率的演變過利率期限結(jié)構(gòu),并假設(shè)短期利率的演變過程,我們就可以為利率期權(quán)定價了。程,我們就可以為利率期權(quán)定價了。 這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾,這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾,但價格的精確性則取決于利率模型的假設(shè)。但價格的精確性則取決于利率模型的假設(shè)。而如何假設(shè)短期利率的演變過程則更像是而如何假設(shè)短期利率的演變過程則更像是一門藝術(shù)。一門藝術(shù)。 從這里開始,我們將介紹業(yè)內(nèi)
35、人士如何擬從這里開始,我們將介紹業(yè)內(nèi)人士如何擬定假設(shè),借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu)。定假設(shè),借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu)。整理課件期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)利率模型利率模型 利率模型分為兩類:無套利模型利率模型分為兩類:無套利模型(arbitrage-free model)和均衡模型和均衡模型(equilibrium model)。 前者是指利用當前的債券市場價格推導出短期利率的演前者是指利用當前的債券市場價格推導出短期利率的演變過程,因此,無套利機會模型推導出的結(jié)果必須符合變過程,因此,無套利機會模型推導出的結(jié)果必須符合當時的利率期限結(jié)構(gòu)。當時的利率期限結(jié)構(gòu)。 后者則不同,它并不認為債券的市場
36、價格必然合理。從后者則不同,它并不認為債券的市場價格必然合理。從基本方面來說,均衡模型是根據(jù)當時的期限結(jié)構(gòu)來推導基本方面來說,均衡模型是根據(jù)當時的期限結(jié)構(gòu)來推導出期望報酬所具有的風險溢價。均衡模型一般先對經(jīng)濟出期望報酬所具有的風險溢價。均衡模型一般先對經(jīng)濟變量做假設(shè),并推導出一個關(guān)于短期利率的演變過程,變量做假設(shè),并推導出一個關(guān)于短期利率的演變過程,然后再得出對債券價格與期權(quán)價格的影響。然后再得出對債券價格與期權(quán)價格的影響。 簡而言之,在均衡模型中,利率的演變過程是模型輸出簡而言之,在均衡模型中,利率的演變過程是模型輸出的結(jié)果;在無套利模型中,今天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為的結(jié)果;在無套利模型中,今
37、天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為輸入值來使用的。輸入值來使用的。整理課件利率模型利率模型無套利模型無套利模型 從上一章可以看出,股票價格變動參數(shù)的設(shè)定決從上一章可以看出,股票價格變動參數(shù)的設(shè)定決定了股票期權(quán)二叉樹中的風險中性概率,同理,定了股票期權(quán)二叉樹中的風險中性概率,同理,短期利率的演變過程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二短期利率的演變過程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二叉樹中的風險中性概率。叉樹中的風險中性概率。 通常情況下,我們會假定利率變化服從某一分布通常情況下,我們會假定利率變化服從某一分布過程,然后,通過無套利的方法來確定這一分布過程,然后,通過無套利的方法來確定這一分布過程中的參數(shù)。過程中的參數(shù)。 注意
38、到,我們可以通過將風險中性概率設(shè)為注意到,我們可以通過將風險中性概率設(shè)為0.5,從而方便我們后來的計算,但此時隨機游走過程從而方便我們后來的計算,但此時隨機游走過程中的參數(shù)也會發(fā)生相應的變化。這些參數(shù)必須滿中的參數(shù)也會發(fā)生相應的變化。這些參數(shù)必須滿足均值和方差的要求。足均值和方差的要求。整理課件一個簡單的例子一個簡單的例子r0r1,Lr1,Hr2,HHr3,HLLr3,HHLr2,LLr3,HHHr2,HLr3,LLL整理課件一個簡單的例子一個簡單的例子 表示整個期間內(nèi)表示整個期間內(nèi)1年期利率波動的標準差;年期利率波動的標準差; r1,H表示在第表示在第1年底較高的年底較高的1年期即期利率;年
39、期即期利率; r1,L表示在第表示在第1年底較低的年底較低的1年期即期利率;年期即期利率; 由于我們假設(shè)了利率的變化服從對數(shù)正態(tài)隨機游走過程,由于我們假設(shè)了利率的變化服從對數(shù)正態(tài)隨機游走過程,這兩者的關(guān)系就是:這兩者的關(guān)系就是: r1,H=r1,Le2 同理有同理有 r2,HH=r2,LLe4; r2,HL=r2,LLe2 r3,HHH=r3,LLLe6; r3,HHL=r3,LLLe4; r3,HLL=r3,LLLe2 因此,我們在每一階段只需要計算出最低利率即可。因此,我們在每一階段只需要計算出最低利率即可。整理課件一個簡單的例子一個簡單的例子 假定市場上存在四種債券,四種債券都是按照面假
40、定市場上存在四種債券,四種債券都是按照面值銷售,因此債券的到期收益率等于其票面利率。值銷售,因此債券的到期收益率等于其票面利率。同時假設(shè)這兩種債券是按年付息,同時假設(shè)這兩種債券是按年付息,=10%。有關(guān)。有關(guān)信息如下表信息如下表期限到期收益率市場價格即期利率13.51003.500024.21004.214734.71004.734545.21005.2707整理課件一個簡單的例子一個簡單的例子1003.5%VL4.2VH4.21004.21004.21004.2整理課件一個簡單的例子一個簡單的例子 VH=(100+4.2)/(1+r1e2) VL=(100+4.2)/(1+r1) 100=1
41、/2*(VH+4.2)/(1+r0)+(VL+4.2)/(1+r0) 解之得,解之得,r1=4.4448% 重復上面的步驟,我們可以得到重復上面的步驟,我們可以得到r2,r3,r4rt。整理課件“Ho-Lee”模型模型 Ho and Lee(1986)第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的無第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的無套利模型,在該模型中,短期利率的二項式變動套利模型,在該模型中,短期利率的二項式變動如下:如下: 也就是說,新的短期利率是前一期的短期利率,也就是說,新的短期利率是前一期的短期利率,加上某常數(shù)乘以時間階段,再加上或減去某一個加上某常數(shù)乘以時間階段,再加上或減去某一個常數(shù)乘以時間階段的平方根。
42、前者稱之為趨勢變常數(shù)乘以時間階段的平方根。前者稱之為趨勢變量量(drift),后者稱之為隨機偏離,后者稱之為隨機偏離(random deviation)。整理課件“Ho-Lee”模型模型 在這里波動率和利率都是以基點的形式表在這里波動率和利率都是以基點的形式表示的,所以波動率示的,所以波動率()也稱為基點波動率。也稱為基點波動率。整理課件“Ho-Lee”模型模型 剩下的工作就如前面的那個簡單例子一樣剩下的工作就如前面的那個簡單例子一樣了,即確定參數(shù)了,即確定參數(shù)m和和的數(shù)值。的數(shù)值。 波動率闡述波動率闡述是用來取得期權(quán)的是用來取得期權(quán)的“理想理想”價價格,它的數(shù)值可以根據(jù)利率波動率的某種格,它
43、的數(shù)值可以根據(jù)利率波動率的某種看法、歷史資料或某種隱含的方法來設(shè)定。看法、歷史資料或某種隱含的方法來設(shè)定。 下面我將簡單的介紹一下如何使用歷史資下面我將簡單的介紹一下如何使用歷史資料來確定波動率的方法。料來確定波動率的方法。整理課件波動率波動率 波動率是利率模型的關(guān)鍵因素,我們可以用波動率是利率模型的關(guān)鍵因素,我們可以用標準差來表示波動率。標準差來表示波動率。 用歷史數(shù)據(jù)估計波動率用歷史數(shù)據(jù)估計波動率 a) 選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù)(每天)選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù)(每天) b) 計算到期收益率變化的標準差計算到期收益率變化的標準差 c) 乘以乘以 365 (或或 250 ),得到年的波動率,得
44、到年的波動率TtttTrErVar121)(整理課件“Ho-Lee”模型模型 讓我們重新用回前面的半年期債券的例子。假定讓我們重新用回前面的半年期債券的例子。假定等于等于0.45%,那么,那么6個月期(一個階段)的波動率個月期(一個階段)的波動率為,為, 6個月期和個月期和1年期的即期利率分別為年期的即期利率分別為3.99%、4.16%,因此,因此,1年期零息債券的樹狀圖應當為,年期零息債券的樹狀圖應當為,整理課件“Ho-Lee”模型模型 此時,使用利率二叉樹模型估計出的價格必須等此時,使用利率二叉樹模型估計出的價格必須等于于1年期零息債券的價格,因此有年期零息債券的價格,因此有 解之得,解之
45、得,m=0.342089%。將這一數(shù)值代入到利率。將這一數(shù)值代入到利率樹狀圖中,可得樹狀圖中,可得20399. 012%318198.2/%99. 3115 . 02%318198. 02/%99. 3115 . 0959663. 0mm整理課件“Ho-Lee”模型模型 同樣的,我們將利率樹狀圖延伸一期,同樣的,我們將利率樹狀圖延伸一期,Ho-Lee模型假定了波動率保持不變,因此有模型假定了波動率保持不變,因此有整理課件“Ho-Lee”模型模型 依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù),我們可以得到下圖依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù),我們可以得到下圖 假定假定1.5年期零息債券的即期利率為年期零息債券的即期利率為4.33%,1
46、.5年期零息年期零息債券的價格為債券的價格為0.937764,那么,那么1.5年期零息債券的價格樹年期零息債券的價格樹狀圖應當為如下。狀圖應當為如下。整理課件“Ho-Lee”模型模型整理課件“Ho-Lee”模型模型 對于一個對于一個1.5年期的零息債券來說,模型的定價必須等于年期的零息債券來說,模型的定價必須等于市場價格,因此有市場價格,因此有 解之得,解之得,m=1.36176%,帶入,帶入6個月期的利率樹狀圖可得個月期的利率樹狀圖可得整理課件“Ho-Lee”模型模型 依次類推,我們得到任何利率期間的樹狀圖。但依次類推,我們得到任何利率期間的樹狀圖。但該模型也存在一些缺點。該模型也存在一些缺
47、點。 第一個缺點就是該模型的正態(tài)分布假設(shè),這將導第一個缺點就是該模型的正態(tài)分布假設(shè),這將導致利率可能為負值:當負值的隨機沖擊相當大時,致利率可能為負值:當負值的隨機沖擊相當大時,利率可能為負值。某些業(yè)內(nèi)人士認為這是一個嚴利率可能為負值。某些業(yè)內(nèi)人士認為這是一個嚴重的錯誤,但另一些人則認為,只要模型能夠理重的錯誤,但另一些人則認為,只要模型能夠理想的定價,不需過分在意這一點。想的定價,不需過分在意這一點。 第二個缺點是短期利率的基點波動率不受利率水第二個缺點是短期利率的基點波動率不受利率水平的影響。而業(yè)內(nèi)人士認為,當利率水平比較高平的影響。而業(yè)內(nèi)人士認為,當利率水平比較高時,短期利率的基點波動率
48、應該比較大。但這也時,短期利率的基點波動率應該比較大。但這也不是一個公認的現(xiàn)象。不是一個公認的現(xiàn)象。整理課件所羅門兄弟模型所羅門兄弟模型 所羅門兄弟模型彌補了所羅門兄弟模型彌補了Ho-Lee模型的一些缺陷,如使用模型的一些缺陷,如使用對數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布,這保證了利率值不可能為對數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布,這保證了利率值不可能為負;同時,短期利率的基點波動率將與利率水平成比例,負;同時,短期利率的基點波動率將與利率水平成比例,也就是說基點波動率等于比例波動率乘以利率。短期利率也就是說基點波動率等于比例波動率乘以利率。短期利率的演變過程如下:的演變過程如下:整理課件所羅門兄弟模型所羅門兄弟模
49、型 如果對樹狀圖中的每個節(jié)點取自然對數(shù),則有如果對樹狀圖中的每個節(jié)點取自然對數(shù),則有 換言之,短期利率的自然對數(shù)呈正態(tài)分布。在統(tǒng)計學上,換言之,短期利率的自然對數(shù)呈正態(tài)分布。在統(tǒng)計學上,某種隨機變量的自然對數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布,該隨機變量本身某種隨機變量的自然對數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布,該隨機變量本身呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布。呈現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布。整理課件所羅門兄弟模型所羅門兄弟模型 我們使用與前面完全相同的計算方法可以得到模型的參數(shù),我們使用與前面完全相同的計算方法可以得到模型的參數(shù),進而得到各時間段的短期利率的演變過程。但是這一模型進而得到各時間段的短期利率的演變過程。但是這一模型同樣具有缺陷。同樣具有缺陷。 與與H
50、o-Lee模型一樣,原始的所羅門兄弟模型對短期利率模型一樣,原始的所羅門兄弟模型對短期利率波動率也提出的假設(shè),只不過這一假設(shè)是隱含的而已。如波動率也提出的假設(shè),只不過這一假設(shè)是隱含的而已。如果果6個月期利率的比例波動率為個月期利率的比例波動率為12%,則使用所羅門模型,則使用所羅門模型所隱含的波動率期限結(jié)構(gòu)計算得到的所隱含的波動率期限結(jié)構(gòu)計算得到的30年期利率的波動率年期利率的波動率將降至將降至10.5%。就實際觀察而言,波動率的期限結(jié)構(gòu),期。就實際觀察而言,波動率的期限結(jié)構(gòu),期斜率確實是下降的,但下降的速度快于所羅門兄弟模型所斜率確實是下降的,但下降的速度快于所羅門兄弟模型所蘊含的速度。蘊含
51、的速度。整理課件Black-Derman-Toy模型模型 和所羅門兄弟模型相比,這一模型的最主和所羅門兄弟模型相比,這一模型的最主要的優(yōu)點是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實際要的優(yōu)點是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實際波動情況。這是因為,它假設(shè)短期利率波波動情況。這是因為,它假設(shè)短期利率波動率動率隨時間而變動,且利率的趨勢變量隨時間而變動,且利率的趨勢變量m將受到利率水準的影響。將受到利率水準的影響。 業(yè)內(nèi)人士認為,利率水平偏高時,它的趨業(yè)內(nèi)人士認為,利率水平偏高時,它的趨勢變量相對較小,甚至為負值,而當利率勢變量相對較小,甚至為負值,而當利率水平偏低時,趨勢變量相對較大。也就是水平偏低時,趨勢變量相對較大。
52、也就是說具有所謂的均值復歸現(xiàn)象。說具有所謂的均值復歸現(xiàn)象。整理課件Black-Derman-Toy模型模型 BDT模型具有如下的結(jié)構(gòu):模型具有如下的結(jié)構(gòu): 為了保證樹狀圖時結(jié)合的,我們一般假定為了保證樹狀圖時結(jié)合的,我們一般假定 這相當于假定,這相當于假定,整理課件其他的利率模型其他的利率模型 同樣的是,同樣的是,BDT模型也并非是完美無缺的,它也模型也并非是完美無缺的,它也存在很多缺陷,后續(xù)的模型也對其進行了改進。存在很多缺陷,后續(xù)的模型也對其進行了改進。無套利的利率模型還有,無套利的利率模型還有, Black and Karasinski(1990)模型模型 Hull and White(
53、1990)模型模型 等等 利率模型中的均衡模型有利率模型中的均衡模型有 Vasicek(1977)模型模型 Rendleman and Bartter(1980)模型模型 Cox, Ingersoll and Ross(1985)模型模型 等等整理課件無套利模型和均衡模型的比較無套利模型和均衡模型的比較 取得模型所需要的資料取得模型所需要的資料 無套利模型需要即期利率期限結(jié)構(gòu)的資料,相無套利模型需要即期利率期限結(jié)構(gòu)的資料,相對容易取得;均衡模型需要以某種方法來衡量對容易取得;均衡模型需要以某種方法來衡量投資者承擔利率風險所需要的報酬,難以取得。投資者承擔利率風險所需要的報酬,難以取得。 對資料
54、瑕疵的敏感程度對資料瑕疵的敏感程度 無套利機構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理,但無套利機構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理,但事實上,市場報價并不必然合理,這可能是由事實上,市場報價并不必然合理,這可能是由于計算上的錯誤、流動性限制或其他特殊因素于計算上的錯誤、流動性限制或其他特殊因素所造成。均衡模型則能剔除這類有問題的價格。所造成。均衡模型則能剔除這類有問題的價格。整理課件無套利模型和均衡模型的比較無套利模型和均衡模型的比較 運用模型來交易現(xiàn)金流量固定的債券運用模型來交易現(xiàn)金流量固定的債券 無套利模型認為所有債券的價格都是正確的,因此認無套利模型認為所有債券的價格都是正確的,因此認為任何策略都無利可圖
55、;而均衡模型并不認為現(xiàn)有債為任何策略都無利可圖;而均衡模型并不認為現(xiàn)有債券價格必然合理,因此可以被應用。券價格必然合理,因此可以被應用。 運用模型來交易衍生性合約運用模型來交易衍生性合約 指買進或賣出衍生性合約,同時運用根本正貨或其他指買進或賣出衍生性合約,同時運用根本正貨或其他衍生性合約來規(guī)避頭寸的風險。這種策略的獲利只需衍生性合約來規(guī)避頭寸的風險。這種策略的獲利只需要知道相對定價錯誤即可。而無套利模型可以很好的要知道相對定價錯誤即可。而無套利模型可以很好的滿足這一需求,但均衡模型則需要同時計算兩種策略滿足這一需求,但均衡模型則需要同時計算兩種策略的值,因此相對不合理。的值,因此相對不合理。
56、整理課件無套利模型和均衡模型的比較無套利模型和均衡模型的比較 模型的持續(xù)性模型的持續(xù)性 每當運用的時候,無套利機會模型需要假設(shè)趨每當運用的時候,無套利機會模型需要假設(shè)趨勢變量、波動率與利率回歸均值的行為。但是勢變量、波動率與利率回歸均值的行為。但是不同的運用日期,模型的參數(shù)都需要相應的變不同的運用日期,模型的參數(shù)都需要相應的變化。而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅定的化。而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅定的信念來設(shè)定參數(shù),所以模型的參數(shù)不會發(fā)生變信念來設(shè)定參數(shù),所以模型的參數(shù)不會發(fā)生變化。均有內(nèi)部的一致性。化。均有內(nèi)部的一致性。整理課件無套利模型和均衡模型的比較無套利模型和均衡模型的比較整理課件
57、給頂、底、互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債給頂、底、互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債券定價券定價 我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風險中我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風險中性定價原理,也理解了利率二叉樹的構(gòu)建性定價原理,也理解了利率二叉樹的構(gòu)建過程。從這里開始,我們可以給各種利率過程。從這里開始,我們可以給各種利率期權(quán)定價了,下面的內(nèi)容包括:期權(quán)定價了,下面的內(nèi)容包括: 頂與底頂與底 互換選擇權(quán)互換選擇權(quán) 可轉(zhuǎn)換債券可轉(zhuǎn)換債券整理課件頂與底頂與底 利率的頂是一個選擇權(quán),它限制住了浮動利率負利率的頂是一個選擇權(quán),它限制住了浮動利率負債所支付的最高利率水平。債所支付的最高利率水平。 利率的底是一個選擇權(quán),它限制住了浮動利率
58、負利率的底是一個選擇權(quán),它限制住了浮動利率負債所支付的最低利率水平。債所支付的最低利率水平。 頂和底可以:頂和底可以: 脫離貸款本身,可以通過單獨交易來獲得。脫離貸款本身,可以通過單獨交易來獲得。 與證券相連,其價格體現(xiàn)在了證券的利率當中與證券相連,其價格體現(xiàn)在了證券的利率當中。整理課件頂與底頂與底 一個頂可以被理解為關(guān)于浮動利率一個頂可以被理解為關(guān)于浮動利率R的一串的一串call options。 一個底可以被理解為關(guān)于浮動利率一個底可以被理解為關(guān)于浮動利率R的一串的一串put options。 頂和底被分離出來的部分被稱為頂和底被分離出來的部分被稱為 “caplets”, “floorle
59、ts” 頂?shù)挠濏數(shù)挠?= 本金本金 期限期限 maxRt - Rk, 0 Rt = t 期的利率期的利率 Rk = cap rate 注意是你購買了頂,給你帶來的利益,而不是實際支注意是你購買了頂,給你帶來的利益,而不是實際支付的利率!付的利率!整理課件例例: 給給Cap定價定價 Cap rate 5.2%, 名義數(shù)量名義數(shù)量:$10,000,000, 支付支付頻率頻率:年年 利率變化利率變化r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd
60、=5.0483%整理課件例例: Value of the year 1 caplet 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) 11,058=0.5(22,890+0)/1.03511,058r0=3.5%22,890ru=5.4289%0rd=4.4448%整理課件例例: Value of the year 2 caplet66,009r0=3.5%111,008ru=5.4289%0rdd=4.6958%53,540rud=5.7354%180,530ruu=7.0053%25,631rd=4.4448%整理課件例例: Value of the year 3 capl
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