正余弦定理及三角函數(shù)的綜合應用個性化輔導講義

1、1正余弦定理講義課題正、余弦定理及三角函數(shù)的綜合應用教學目標1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題2、 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算 有關的實際冋題3、 會運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式化簡、 求值和恒等式證明與解決有 關實際問題4、 會運用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函數(shù)的最值，會由已知三 件函數(shù)值求角重點、難點1、三角函數(shù)值域及最值的求法2、三角函數(shù)與向量、函數(shù)、不等式的綜合問題及生產(chǎn)生活中的實際問題考點及考試要求高考對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角轉化。三角形形狀的判斷、三角形內角的三角函數(shù)求值及三角恒等式的證明、立體幾

2、何中的空間 角及解析幾何中有關角等問題。 今后的命題中仍會以正余弦定理為框架，以三角形為主要依托，來綜合考查三角形知識， 題型一般是選擇題和填空 題， 也有可能是中檔難度的解答題，關注利用正余弦定理解決實際問題三角函數(shù)的綜合應用在高考中地位顯著，可以綜合考查對三角函數(shù)知識 的掌握情況。分析近幾年咼考，主要有以下幾種類型：1、 可轉化為y Asin( x)的形式，然后研究性質22、 可轉化為y asin x bsin x c的形式，然后借助于二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值3、與向量、三角形知識結合的綜合題4、用三角函數(shù)知識解決生產(chǎn)生活中的實際問題教學內容知識框架1.正弦定理、余弦定理設厶 ABC 的三

3、個內角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c, R 是厶 ABC 的外接圓半徑.abc正弦定理：sinA = sinB = sinC =漩(2)正弦定理的變式： a = 2RsinA, b = 2RsinB, c= 2RsinC.sinA =, sinB =, sinC =2R2R2R a:b:c= si nA:si nB:si nC.(3)余弦定理2正余弦定理講義a1 2=b2+c22bcosA，b2=c2+a22cacosB，c2=a2+b22abcosC.(4)余弦定理的變式考點一：利用正、余弦定理解三角形典型例題在厶 ABC 中，(1)若 b =心，c= 1, B = 45 求 a 及

4、 C 的值；若 A = 60 a= 7, b = 5,求邊 c.知識概括、方法總結與易錯點分析1 已知兩邊和一邊的對角解三角形時，可有兩解、一解、無解三種情況，應根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要是根據(jù)圖形或由“大邊對大角”作出判斷.cosA =b2+ c2 a22bcc2+ a2 b2coSB =a2+ b2 c2cosC= k2 解斜三角形的類型(1) 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2) 已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進而求得其他邊、角;已知三邊，求三個角；(4)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角.在厶 ABC 中，已知 a、b 和 A 時，解的情況如下：3正余弦定

5、理講義2應熟練掌握余弦定理及其推論解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應注意用哪 一個定理更方便、簡捷.3三角形中常見的結論(1)A+B+C=n.(2)在三角形中大邊對大角，反之亦然.(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.針對性練習在厶 ABC 中，已知 a= 7, b= 3, c= 5,求最大角和 sinC.考點二：利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題 ABC 中，已知 acosA= bcosB,則厶 ABC 為()A 等腰三角形B 直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D 等腰直角三角形知識概括、方法總結與易錯點分析依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩種方

6、法：1.利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而 判斷三角形的形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間關系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內角 的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A + B + C=n這個結論.針對性練習：已知 ABC 中，sinC =SinA+SinB，試判斷厶 ABC 的形狀. cosA+ cosB考點三：三角形面積公式的應用典型例題已知 ABC 中，cosA=，a, b, c 分別是角 A、B、C 的對邊. (1)求 tan2A;若 sin(j+B)=普,c= 2邁，求厶 ABC 的面積.知識概括、方法總

7、結與易錯點分析1三角形面積公式的選取取決于三角形中的哪個角可求，或三角形的哪個角的正弦值可求.1 1 12 .在解決三角形冋題中，面積公式S= absinC= ?bcsinA= ?acsinB最常用，因為公式中既有邊也有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.針對性練習：4在厶 ABC 中，a, b, c 分別是 A, B, C 的對邊，且滿足(2a c)cosB = bcosC.(1)求角 B 的大??；正余弦定理講義(2)若 b7, a+ c= 4,求厶 ABC 的面積.考點四：正、余弦定理的綜合應用典型例題：在厶 ABC 中，A、B 為銳角，角 A、B、C 所對的分別為 a、b、c，且 co

8、s2A=5, sinB =寫.(1) 求 A + B 的值；(2) 若 a b = - 2- 1，求 a、b、c 的值.知識概括、方法總結與易錯點分析(1) 正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時要根據(jù)具體題目合理運用，有時還需要交替使用.(2) 條件中出現(xiàn)平方關系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理.針對性練習：1、 在厶 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,且滿足 cosA=，AB AC= 3.(1)求厶 ABC 的面積；(2)若 b + c= 6，求 a 的值.2、 設厶ABC是銳角三角形，a,b,c分別是內角A B, C所對邊長，并且2nn2sin

9、A= sin( +E)sin( E) + sin B.(1)求角A的值；(2)若XB-AC= 12,a= 2；7，求b,c(其中bc).鞏固作業(yè)正余弦定理講義2n1 在厶 ABC 中，若 b= 1, c= . 3, C= 3，貝 Va=_2 .已知 a, b, c 分別是 ABC 的三個內角 A, B, C 所對的邊.若 a= 1, b = 3, A+ C= 2B,貝 H sinC=_ .53. (江蘇高考)在銳角 ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,若b+：= 6cosC,則$吧+a bta nAtanC 的值是_.34.在厶 ABC 中，a, b, c 分別為角 A, B

10、, C 的對邊，已知：b= 2, c= 4, cosA =4.(1) 求邊 a 的值；(2) 求 cos(A B)的值.5.)在厶 ABC 中，a, b, c 分別為內角 A, B, C 的對邊，且 2asinA = (2b+ c)sinB+ (2c+ b)sinC.(1)求 A 的大?。蝗?sinB+sinC = 1,試判斷 ABC 的形狀.16.)在厶 ABC 中，角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,已知 cos2C =.(1) 求 sinC 的值；(2) 當 a = 2,2sinA= sinC 時，求 b 及 c 的長.7.某人在山頂觀察 A、B 兩個目標，測得 A 在南

11、偏西 60。距山底 1000 米處，B 在南偏東 60。距 山底800 米處，求 A、B 之間的距離.8.)如右圖，為了計算渭河岸邊兩景點 B 與 C 的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A 和D 兩個測量點，現(xiàn)測得 AD 丄 CD, AD = 100 m, AB = 140 m，/ BDA = 60 / BCD = 135 求兩景 點 B 與C 之間的距離(假設 A, B, C, D 在同一平面內，測量結果保留整數(shù)；參數(shù)數(shù)據(jù)：2= 1.414,，3= 1.732, .5 = 2.236).6正余弦定理講義12 .）某興趣小組要測量電視塔AE 的高度 H（單位：m）,如示意圖，垂直放置的標桿