高等數學-第七版-課件-9-6 可積性理論補敘

1、一、上和與下和的性質 本節(jié)首先證明達布定理,然后用達布定理證明函數可積的第一、第二、第三充要條件, 其中第二充要條件即為第三節(jié)中介紹的可積準則.*6 可積性理論補敘二、可積的充要條件*點擊以上標題可直接前往對應內容數學分析 第九章定積分數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件上和與下和的性質01:,nT axxxb 有相應的有相應的上和上和與下和與下和:1sup ( )|,1,2,iiif xxxxiMn1( ),niiiS TMx1( ),niiis Tmx1inf ( )|,1,2, .iiif xxxximn, , fa, ba b若若在在

2、上上有有界界 則則對對的的分分割割由由2,其中其中后退 前進 目錄 退出上和與下和的性質iiiMm 1sup |()()|, ,iif xf xx xxxniiiixmMTsTS1)()()( 這里這里,1niiix 1.i-ifx, x是是在在上上的的振振幅幅數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件上和的幾何意義上和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“外接外接”矩形矩形下和的幾何意義下和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“內接內接”矩形矩形面積之和面積之和.面積之和面積之和.xyOab( )yf xxyO( )yf xab上和與下和的性質數學分析 第九章

3、定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件性質111( )sup(),1,2,niiiiiiS Tfxxxin 11( )inf(),1,2,.niiiiiis Tfxxxin11()( ),nniiiiiifxMxS T 11( )(),1,2,niiiiiiS Tfxxxin 即即是是01:,nT axxxb對對固固定定分分割割有有, 2 , 1,)(,1niMfxxiiiii 證證上和與下和的性質.的一個上界的一個上界數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件1 ,iiixx 使使于于是是niiiniiixabMx

4、f11)()( niiniiixabxM11 .)( TS().iifMba , 0 1sup( ), ,iiiMf x xxx 由由于于因此因此上和與下和的性質所以證得所以證得11( )sup(),1,2,.niiiiiiS Tfxxxin 類類似似有有11( )inf(),1,2,.niiiiiis Tfxxxin數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件性質2( )()( )()|,S TS TS TMm pT( )()( )()|.s Ts Ts TMm p T1kTT設設中中新新加加入入的的那那個個分分點點落落在在的的某某小小區(qū)區(qū)間間則則

5、,.pTT所所得得到到的的分分割割,TTp設設為為分分割割添添加加個個新新分分點點后后所所得得到到的的分分割割0,iTT Ti為為方方便便起起見見 記記為為添添加加 個個新新分分點點后后證證內，內，.kkk 它它把把分分為為兩兩小小區(qū)區(qū)間間，記記為為與與上和與下和的性質數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件01()()S TS T1()niiiikkkkii kMxMxMxMx()()kkkkkkkMxxMxMx()().kkkkkkMMxMMx由于由于(),kkkmMMMM或或故故有有010()()()()|.kS TS TMmxMmT此時此

6、時上和與下和的性質數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件同理有同理有10()()()|.iiiS TS TMmT因因此此證證得得00()()pS TS T110 ()()piiiS TS T10()|piiMmT()|Mm p T， 類類似似可可證證( )()( )()|.s Ts Ts TMm p T上和與下和的性質由性質由性質2 可直接得到可直接得到: :( )()( )()|.S TS TS TMm p T即即數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件性質4性質3,TT與與的的所所有有分分點點

7、合合并并得得到到的的分分割割( )(),( )(),S TS Ts Ts T ()( )( )().s Ts TS TS T,TTTTT若若與與為為任任意意兩兩個個分分割割表表示示把把,()().TTs TS T對對于于任任意意分分割割與與總總有有,TTT令則令則證證( )(),( )().S TS Ts Ts T上和與下和的性質則則數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件性質5定義3inf( ),sup ( )TTSS Tss T()().m basSM ba , ,4fa b設設是是上上的的有有界界函函數數 由由性性質質 知知道道都存在都存在

8、, ,分別稱為分別稱為 f 在在 a, b 上的上的上積分上積分與與下積分下積分.上和與下和的性質性質6（達布定理）| |0| |0lim( ), lim ( ).TTS TSs Ts數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件,p 個個分分點點所所構構成成 令令0,2()1Mm p ()2.S TS T設設由由證證, 0 使使得得分分割割,T,22SS 因此由性質因此由性質2 和性質和性質3 , 得到得到T 則則當當時時，個新分點，個新分點，多多至多比至多比pTTT TTSTpmMTS,TS TSS TpmMTS則則|0lim( ).TS TS|0

9、lim( ).Ts Ts類類似似可可證證: :上和與下和的性質數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件定理9.14（可積的第一充要條件） , : , fa bfa b在在上上可可積積的的充充要要條條件件是是在在上上的的上上,.Ss積積分分與與下下積積分分相相等等 即即1(),niiifxJ 可積的充要條件 , ,fa b設設在在上上可可積積證證 (必要性必要性)|,T 當時 有當時 有1().niiiJfxJ 即即, 0 , 0 可積的充要條件( )( ),Js TS TJ由性質1,得即由性質1,得即 , JTS . JTs數學分析 第九章 定積

10、分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件因因此此由由達達布布定定理理, ,得得到到.Ss故證得故證得|0|0lim( )lim( ).TTS Ts TJ,SsJ設設則則由由達達布布定定理理, ,(充分性充分性) )0lim( )TSS TJ0 lim ( ),Tss TJ和和, 0 從而從而, 0 T 當當時時，可積的充要條件, 1iiixx 由于由于, )()()(1 niiiTSxfTs 1().niiifxJ 因此因此 , ,fa b即在上可積即在上可積.)()( JTSTsJ( )d.baf xxJ且且數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘

11、上和與下和的性質可積的充要條件定理9.15（可積的第二充要條件） , :fa b在在上上可可積積的的充充要要條條件件是是0 ,T 分分割割( )( ),S Ts T 使使即即1 .niiix 可積的充要條件一一系系列列小小矩矩形形面面積積之之和和 , a bT的的分分割割足足夠夠地地細細. .OxabyiiTx( )yf x幾何意義幾何意義義知道，上述充義知道，上述充由上和與下和的幾何意由上和與下和的幾何意要要條條件件的的幾幾何何意意義義為為：( )yf x 圖圖中中包包圍圍曲曲線線的的可可以以達達到到任任意意小小, ,只只要要對對數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和

12、與下和的性質可積的充要條件|0lim( )( )0.TS Ts TSs( )( ).S Ts T 0( )( ).SsS Ts T , ,fa b設在上可積則設在上可積則證證 (必要性必要性),( )( ),TS Ts T 若使則若使則(充分性充分性),( ).f x件件 證證得得可可積積, 0 因此，因此，, 0 T 當當時時，就就有有.Ss 由由 的的任任意意性性，必必有有依據可積的第一充要條依據可積的第一充要條可積的充要條件數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件定理9.16（可積的第三充要條件）,TT在在分分割割使使得得屬屬于于的的所所有

13、有小小區(qū)區(qū)間間中中 對對應應于于振振.kkkkx 幅幅的的那那些些小小區(qū)區(qū)間間的的總總長長 , :fa b在在上上可可積積的的充充要要條條件件是是0 ,0,存存,.kkkTx要要條條件件 存存在在分分割割使使于是于是證證 (必要性必要性)kkkkkxx , fa b設設在在上上可可積積，由可積的第二充由可積的第二充可積的充要條件 即得即得 .kkx ,kkkx數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件,kkT 存存在在使使的的的的總總長長,kkT 設設中中滿滿足足的的那那些些小小區(qū)區(qū)間間為為.kkx (充分性充分性)0 , 任任給給取取,2ab ,

14、 02mM 可積的充要條件()kkkkMmxx ()()Mmba 22 . kkkkkkkkkxxx , .fa b因因此此證證得得在在上上可可積積則則數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件01:nTaxxxb1|01lim()( )d( ) ( )d .iinxbixaTif xg xxf x g xx( ),( ) , ,f xg xa b設設在在上上可可積積例例1證證因此有因此有 , .a b是是上上任任一一分分割割 證證明明( ), , .g xM xa b 設設，由可積的第二充要條件由可積的第二充要條件, 0 , 0 1.nfiiiT

15、xM 當當時時，可積的充要條件數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件nixxxxniiiiiixxgxfxxgxf1111d)()(d)()(11|( )()| |( )|diinxixif xf xg xx niifixM1 . baxxniixxgxfxxgxfiid)()(d)()(111|01lim()( )d( ) ( )d .iinxbixaTif xg xxf x g xx即即可積的充要條件數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件( ), ,.atbt ,f 證證明明: :在在上上可

16、可 |()()|.f xf x 0,0, , fa b因因在在上上連連續(xù)續(xù), ,從從而而一一致致連連證證 , , ,fa b 設設在在上上連連續(xù)續(xù)在在上上可可積積, ,且且例例2.積積續(xù)，續(xù)，, 0 故故, , ,x xa bxx 當當時時，必必有有 , 又又因因在在上上可可積積，, , 故故對對上上述述 , 存存在在可積的充要條件,T上上的的分分割割kk 使使的的所所有有小小區(qū)區(qū)間間的的總總長長,kt .kk 而而在在其其余余上上的的數學分析 第九章 定積分高等教育出版社*6 可積性理論補敘上和與下和的性質可積的充要條件( )( ( ) , ,.F tftt ,.fgF 因因此此在在上上可可積積,kt 設設,FkkT 由由以以上上可可知知： 中中小小區(qū)區(qū)間間上上，至多在所至多