2020年高考數(shù)學(xué)專題六第2講

1、第 2 講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程高考定位1.掌握二次函數(shù)、分段函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)；2.以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；3.能利用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.XSfffi 考點(diǎn)整合 I用考處:扣耍點(diǎn) F I真題感悟1.(2017 全國(guó)川卷)已知函數(shù) f(x) = x2 2x+ a(ex_1+ ex+1)有唯一零點(diǎn)，則a =()1 1 1A. 2B.C.2D.1解析 f(x) = (x 1)2+ a(ex1+ e1x) 1,令 t= x 1,則 g(t) = f(t+ 1) = t2+ a(et+ et) 1.g( t) = ( t)2+a(

2、e+e) 1 = g(t),函數(shù) g(t)為偶函數(shù). f(x)有唯一零點(diǎn)， g(t)也有唯一零點(diǎn).又 g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0) = 0,12a 1= 0，解得 a=2-答案 C112.(2018 天津卷)已知 a= log2e，b= In 2，c= log-3，J 則 a, b，c 的大小關(guān)系是()A.abcB.bacC.cbaD.cab11解析 c= log；3= log23, a= log2e，由 y= log2x 在(0,+上是增函數(shù)，知 ca1.又 b= ln 2ab.答案 Dex, x0,點(diǎn)，則 a 的取值范圍是()A. - 1, 0)B.0,+x)C.1,+x)D

3、.1, + x)解析 函數(shù) g(x) = f(x) + x+ a 存在 2 個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于 x 的 方程 f(x) = x a 有 2 個(gè)不同的實(shí)根，即函數(shù) f(x)的圖象 與直線 y= x a 有 2 個(gè)交點(diǎn)，作出直線 y= x a 與函 數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖可知，一 a1.答案 C4.(2017 江蘇卷)某公司一年購(gòu)買某種貨物 600 噸，每次購(gòu)買 x 噸，運(yùn)費(fèi)為 6 萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為 4x 萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 x的值是解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為 y =6竽+ 4x =3f +3 6003 600二一= 240,當(dāng)且僅當(dāng) 二；一=

4、4x,即 x= 30 時(shí)，y 有最小值 240. 入入答案 304x 2考點(diǎn)整合1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式(1)aman= am+n;(aaT(3)loga(MN) = logaM + logaN ；M ,I oga” = logaM logaN ；logaMn= n logaM ；(6) alogaN= N；2，2，(7)logaN 二詈鬻(注：a, b0 且 a, b=1M0, N0).2.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y= ax(a0,aM1與對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax(a0,a工1的圖象和性質(zhì)， 分0a1兩種情況，當(dāng) a1 時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng) 0a0，且 a

5、 1 的值域?yàn)閥|y1，則函 數(shù)y= loga|x|的圖象大致是()解析(1)由于 y= a|x|的值域?yàn)閥|y 1, a1，則 y= logax 在(0,+上是增函數(shù),(2018 濟(jì)南質(zhì)檢)已知 a(a+ 1)工,若函數(shù) f(x) = log2(ax 1)在(3, 2)上為減函數(shù)，且函數(shù) g(x) =x14 , x2A.C.12121B. 1,2D.-孑，0U0,又函數(shù) y= loga|x|的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱.因此 y= loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng) B.:f(x) = Iog2(ax 1)在(-32)上為減函數(shù),a 0,24xx2上有最大值，則當(dāng) x2時(shí)，logaixw2,且|a|

6、 2, 1 ,Alogia|20 的限制條件.【訓(xùn)練 11(1)函數(shù) y= ln 兇x2的圖象大致為()v1L丄丄/ypr 0ic1)35彳x+ , x 1,是_.1解析 易知 y= ln|x| x2是偶函數(shù)，排除 B, D.當(dāng) x0 時(shí)，y= ln xx2,則 y=】2x,a 的影響，解決與指數(shù)、.如求 f(x) = In(x2 3x+ 2)當(dāng) x 0,屮時(shí)，y=1 2x0, y= ln xx2單調(diào)遞增，排除 C.A 項(xiàng)滿足.t 1,若 f(t) 1,顯然成立，則有35 或t*+5i2t1，i解得 t - 3.若 f(t) 3 .1答案(1)A(2)tt= 3 或 t 3熱點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)與方

7、程考法 1 確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)或其存在范圍1 【例 21】(1)函數(shù) f(x) = log2x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()X1 1A. 0，2B. 2，1C.(1，2)D.(2, 3)n(2018 全國(guó)川卷)函數(shù) f(x)= cos 3x+ 6 在0，n的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi) .解析(1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，+x),且函數(shù) f(x)在(0，+*上為增函數(shù).1 1 1f 2 = log22 1= 1 2= 3 0，21f(1) = log21 1= 0 1 0，112剛f(3) = log23 3 1 3= 30,即 f(1) f(2)0，探究提高 1函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問(wèn)題，常見(jiàn)的類型有：

8、 函數(shù)零點(diǎn)值 大致I函數(shù) f(x) = log2x x 的零點(diǎn)在區(qū)間(1, 2)內(nèi) .入(2)由題意知，cos 3x + 6 = 0,所以 3x+ 6= 2+ kn,k Z,所以 x= + , k Z ,n4n7n當(dāng) k= 0 時(shí)，x= 9；當(dāng) k= 1 時(shí)，x= 9；當(dāng) k= 2 時(shí)，x= 9，均滿足題意，所以函數(shù) f(x)在0,n的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3.答案(1)C(2)3存在區(qū)間的確定；(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定；(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè) 交點(diǎn)的確定2.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法：解方程 f(x) = 0,直接求零點(diǎn)；(2)利用零點(diǎn)存在定理；(3) 數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解

9、或畫(huà)出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為 兩個(gè)能畫(huà)出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題.n【訓(xùn)練 2】 函數(shù) f(x) = 2sin xsin x+q x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).解析 f(x) = 2sin xcos x x2= sin 2xx2，函數(shù) f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù) yi= sin2x 與 y2= x2圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出yi= sin 2x 與 y2=x2的圖象如圖所示：_ ir 31?js-/(1JT TAAr活4 TCJ742X4由圖可知兩函數(shù)圖象有 2 個(gè)交點(diǎn)，貝 U f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2.答案 2考法 2 根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值或范圍 x2+ 2ax+ a，x0，函數(shù) f(x

10、)=2若關(guān)于 xx + 2ax2a，x0.的方程 f(x) = ax 恰有 2 個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則 a 的取值范圍是_.解析 當(dāng) x0 時(shí)，由一 x2+ 2axxax，xw0，2a = ax，得 2a= x2+ ax.令 g(x)=作出 y= a(x0.2 2 22a(x0)，函數(shù) g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為一 4 +管=專，由圖象可知，若 f(x)=ax 恰有 2 個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則 a42a，解得 4a8.答案(4, 8)探究提高 1.求解本題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為研究函數(shù) g(x)的圖象與 y= a(x0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題：常見(jiàn)的錯(cuò)誤是誤認(rèn)為 y= 2a, y= a 是兩條直線，

11、忽視 x 的限制條件.2.解決由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程 思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.【訓(xùn)練 3】 (2018 湖北七校聯(lián)考)已知 f(x)是奇函數(shù)且是 R 上的單調(diào)函數(shù)， 若函數(shù) y=f(2x2+ 1) + f(X-x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 入的值是_.解析 令 y=f(2x2+1)+f(x)=0,貝Uf(2x2+1)= f(x)=f(x- X,因?yàn)?f(x)是R 上的單調(diào)函數(shù)，所以 2x2+ 1 二 x-X只有一個(gè)實(shí)根，即 2x2- x+ 1+X0 只有 一個(gè)實(shí)根，則= 1-8(1+X=0,解得X-8.答案-7熱點(diǎn)三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)

12、用【例 3】為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6 萬(wàn)元.該建筑物每年的能源k消耗費(fèi)用 C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)Xx+5(0 x40800-f(x戶6x+3x+ 二6x+3x+(0*x22t8：010= 70(當(dāng)且僅當(dāng) 2t =畀,即 t= 20 時(shí)等號(hào)成立),此時(shí) x= 5,因此 f(x)的最小值為 70.隔熱層修建 5 cm 厚時(shí)，總費(fèi)用 f(x)達(dá)到最小，最小值為 70 萬(wàn)元.探究提高解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，然

13、后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn) 題獲解.【訓(xùn)練 4】(2018 大連質(zhì)檢)某海上油田 A 到海岸線(近似直線)的垂直距離為 10 海里，垂足為 B,海岸線上距離 B 處 100 海里有一原油廠 C,現(xiàn)計(jì)劃在 BC 之間 建一石油管道中轉(zhuǎn)站 M.已知海上修建石油管道的單位長(zhǎng)度費(fèi)用是陸地上的 3 倍,要使從油田 A 處到原油廠 C 修建管道的費(fèi)用最低，則中轉(zhuǎn)站 M 到 B 處的距離應(yīng)B.5.9 海里D.10 海里解析 設(shè)中轉(zhuǎn)站 M 到

14、 B 處的距離為 x 海里，修造管道的費(fèi) 用為 y,陸地上單位長(zhǎng)度修建管道的費(fèi)用為 a,依題意，y-1x+ 102+ 100 x) , 0*x* 100 ,貝 U y 鼻32.x2+1001a =A.5：2 海C.5 海里361.x?+100 一1a.令 0,得 3x=“ ” x2+ 100,解得 x=52.-當(dāng) x=5J2時(shí)，y 取 得最小值.答案 B舊細(xì)總堵思維升華 I拓躺冏棗諛1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a(a0,且 a 1 的取值影響，解題時(shí)一定要注意討論，并注意兩類函數(shù)的定義域與值域所隱含條件的制約2. (1)忽略概念致誤：函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)”而是函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)

15、的橫坐標(biāo).(2)零點(diǎn)存在性定理注意兩點(diǎn)：滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn) .3 利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的主要方法：(1) 利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2) 分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.(3) 轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.4.構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型與求解方法：(1) 構(gòu)建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想求解.(2) 構(gòu)建分段函數(shù)模型，應(yīng)用分段函數(shù)分段求解的方法.(3) 構(gòu)建 f(x) = x+ 0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)求解.專題 1O 對(duì)接高考 I :求懿謹(jǐn)胡一、選擇題1.(

16、2017 北京卷)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀 測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù) N 約為 1080則下列各數(shù)中與 M 最接近的是()（參考數(shù)據(jù)：lg30.48）A.1033B.1053解析 MT61，N他M掙 080， 則 lgM心l報(bào)二 lg 3361- lg1080= 361lg 3- 80 93 眉10?.3xC.1073D.1093cba.答案 A3.函數(shù) f(x) = Inx+ ex(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()1 1A. 0, eB. e，1C.(1 , e)D.(e, + )解析 函數(shù) f(x) = ln x+ ex在(0,+x上單調(diào)遞

17、增，因此函數(shù) f(x)最多只有一個(gè)零占八、1 111_ _當(dāng) x0+時(shí)，f(x)X；又 f； =In+ee=ee10,ee1函數(shù) f(x) = In x+ ex(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 0,.答案 A4.(2018 全國(guó)川卷)設(shè) a=Iog0.20.3, b= Iog20.3,則()A.a+ bab0B.aba+ b0C.a+ b0abD.ab0a+ b1111解析 由 a = Iog0.20.3 得=Iog0.30.2，由 b = Iog20.3 得=Iog0.32，所以 一+：= aba b11a+ bIog0.30.2+ Iog0.32= Iog0.30.4,所以 0+

18、1,得 0_ab0, b0,所以 ab0,所以 aba+ b 0,5.(2018 北京燕博園聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)=3若函數(shù) y= f(x) k 有答案 D2.(2018 濰坊三模)已知 a =2333323, b= 4，c= log-3,則 a, b, c 的大小關(guān)系是(A.abcB.bacC.cab2解析Ty=x3在(0,+x上是增函數(shù),D.acb ab1.由于 031.因此x 3x, x0 上單調(diào)遞增.則函數(shù) f(x)圖象如圖所示.f(x)極大值=f( 1)= 1 + 3=2,且 f(0) = 0.故當(dāng) k (0, 2)時(shí)，y=f(x) k 有三 個(gè)不同零點(diǎn).答案 C二、填空題x 4,

19、 x入6.(2018 浙江卷改編)已知 圧 R，函數(shù)f(x)=2, c 若函數(shù) f(x)恰有 2 個(gè)x 4x+ 3, xX時(shí)，x=4.當(dāng) xv 入時(shí)，x2 4x+ 3 = 0, 則x= 1 或 x= 3若函數(shù) f(x)恰有 2 個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖函數(shù)的圖 象知，1XC3 或X4.答案(1, 3U(4,+)7.將甲桶中的 a L 水緩慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線 y= aent.假設(shè)過(guò) 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再過(guò)m min 甲桶中的水只有：L,則 m 的值為_(kāi) 解析/ 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，1函數(shù) y=f(t) = aent滿足 f(

20、5) = ae5n= 2a,t111 5可得 n = 52， f(t)= a，2 ,解析 當(dāng) x0,一8.(2018廣州模擬)已知函數(shù)f(x)= “+1, x0,若方程f(X)=aX有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 a 的取值范圍是_解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作函數(shù) y= f(x)與 y= ax 的圖象，當(dāng)y= ax 是 y= In x 的切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn) P(x0, y0),vy0= In x0, a, 1(Inx)x=*0=x0,y0= ax0= 1 = In x0, x0= e,故a=e.故y1=ax 與 y= f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0a1,x1 時(shí),由 f(x)= 3f(2) = 3 得 x+ 1 = 27 ,即 x= 26.當(dāng) x1 時(shí),f(x)