常用的基本求導定律

1、1 .基本求導公式(C)0（C為常數(shù)）(xn)nx；般地，（x ）x。特別地：2(x)1,(x )2x,1 ()x2,(、x)x2、X(ex)xe；-般地，(ax)axln a (a 0,a1)。(lnx)1一般地，(logax)-1(a 0,a1)。xxln a2 .求導法則四則運算法則設f(x),g(x)均在點X可導，則有：(I)(f(x) g(x) f (x) g (x);(n)(f (x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)，特別(Cf (x) Cf (x)(C為常數(shù))；常用的不定積分公式5、定積分bbaf(x)dx F(x) |aF(b)bb& a f (x) dx k2

2、ag(x)dxx dx(1)x3dx1x14xc4(1), dx xc, xdxc,x2dx(2)dxxIn | x| Cexdx exC;axdxxaln aC (a0,a 1)；(3)kf(x)dx k f (x)dx（k為常數(shù)）5)(g(x)f(x)f(x)g(x)2f(x)g(x),(g(x)g2(x)0），特別爲g (x)。(x)3 .微分函數(shù)y f （x）在點x處的微分:dy y dx(x)dxF(a)bak1f(x)分部積分法 設u（x）,v（x）在a,b上具有連續(xù)導數(shù)u（x）,v（x）u(x)dv(x) u(x)v(x)abv(x)du(x)6、線性代數(shù)特殊矩陣的概念(1 )、

3、零矩陣2 2,(2 )、單位矩陣In二階(3)、對角矩陣a100a2(4)、對稱矩陣ajaji,Aan(5)a110a12a22a1 na2nanna100a2an(6)、矩陣轉置a11a12a1na11a21an1a21a22a2n轉置后ATa12a22an2an1an2anna1na2nannA6、矩陣運算a b e ABc d gaecebgdgafcfbhdh7、MATLAB 軟件計算題例 6 試寫出用 MATLAB軟件求函數(shù)ln(、x x2ex)的二階導數(shù)y的命令語句 解：clear;syms x y;y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);dy=diff(y,2)例：試寫

4、出用 MATLAB 軟件求函數(shù)y In(. x ex)的一階導數(shù)y的命 令語句。clear;syms x y;y=log(sqrt(x)+exp(x);dy=diff(y)2 43例 11 試寫出用 MATLAB 軟件計算定積分“丄exdx的命令語句。1x解: clear;syms x y;y=(1/x)*exp(xA3);i nt(y,1,2)例 試寫出用 MATLAB 軟件計算定積分-ex3dx的命令語句。x解: clear;syms x y;y=(1/x)*exp(xA3);i nt(y)MATLAB 軟件的函數(shù)命令表 1 MATLAB 軟件中的函數(shù)命令函數(shù)axJxxeIn xIg xl

5、og；ixMATLABxAasqrt(x)exp(x)log(x)logiO(x)log 2(x)abs(x)運算符號運算符+-*/A功能加減乘除乘方典型例題例 1 設某物資要從產地 Ai, A2, A3調往銷地 Bi, B2, B3, B4，運輸平衡表（單位：噸）和運價表（單位：百元 /噸）如下表所示：運輸平衡表與運價表、銷地 產地BiB2B3B4供應量BiB2B3B4Ai73i3iiiA24i928A3974i50需求量365620（1 ）用最小兀素法編制的初始調運方案，（2）檢驗上述初始調運方案是否最優(yōu)， 若非最優(yōu)，求最優(yōu)調運方案, 并計算最低運輸總費用。-2 已出現(xiàn)負檢驗數(shù)，方案需要調

6、整，調整量為 1調整后的第二個調運方案如下表：運輸平衡表與運價表銷地產地B1B2B3B4供應量B1B2B3B4A1527313111A23141928A36397415地產地B1B2B3B4供應量B1B2B3B4A1437313111A23141928A363974150需求量36562011=1,12=1,22=0,24=解：用最小兀素法編制的初始調運方案如下表所示:運輸平衡表與運價表找空格對應的閉回路，計算檢驗數(shù):0需求量365620求第二個調運方案的檢驗數(shù)：11= - 1已出現(xiàn)負檢驗數(shù)，方案需要再調整，調整量為2調整后的第三個調運方案如下表：運輸平衡表與運價表地產地B1B2B3B4供應量

7、B1B2B3B4A1257313111A21341928A363974150需求量365620求第三個調運方案的檢驗數(shù):所有檢驗數(shù)非負，故第三個調運方案最優(yōu)，最低運輸總費用為:2X3 + 5X3 + 1X1 + 3 X8 + 6X4 + 3X5 = 85 （百兀） 例 2 某物流公司下屬企業(yè)經過對近期銷售資料分析及市場預測得 知，該企業(yè)生產的甲、乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量 一直持續(xù)上升經久不衰。今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗 定額分別為 4 公斤、4 公斤和 5 公斤；三種產品的單位產品所需工時12=2,14=1,22=2,23=1 ,31=9,33= 12分別為 6 臺

8、時、3 臺時和 6 臺時。另外，三種產品的利潤分別為 400 元/件、250 元/件和 300 元/件。由于生產該三種產品的原材料和工 時的供應有一定限制，原材料每天只能供應180 公斤，工時每天只有 150 臺時。1 .試建立在上述條件下，如何安排生產計劃，使企業(yè)生產這三種產品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型。2.寫出用 MATLAB 軟件計算該線性規(guī)劃問題的命令語句。然X1,X2,X3X)線性規(guī)劃模型為max S 400 x1250 x2300 x34x14x25x31806x13x26x3150X1, X2, X302 .解上述線性規(guī)劃問題的語句為:clear;C=-400250300;A=

9、445;636;B=180;150;LB=0;0;0;X,fval,exitflag=li nprog(C ,A, B,LB)解：1、設生產甲、乙、丙三種產品分別為X1件、X2件禾口X3件，顯例 3 已知矩陣A21，C 102，求:AB CT21總成本增加 1 萬元，銷售該產品q百臺的收入為R(q) = 4q 0.5q2(萬元)。當產量為多少時，利潤最大？最大利潤為多少？ 解：產量為q百臺的總成本函數(shù)為：C(q) =q+ 2利潤函數(shù)L(q) =R(q) C(q)= 0.5q2+ 3q 2 令ML(q) = q+ 3= 0 得唯一駐點q= 3 (百臺)故當產量q= 3 百臺時，利潤最大，最大利潤

10、為L(3) = 0.5X32+ 3X3 2 = 2.5 (萬元)例 8 某物流企業(yè)生產某種商品，其年銷售量為 1000000 件，每批生 產需準備費 1000 元，而每件商品每年庫存費為 0.05 元，如果該商 品年銷售率是均勻的，試求經濟批量。令C(q)丄10000000000得定義域內的唯一駐點q= 200000 件40q10 11 0解：AB C410 1 21 21 11 0 1 16 10 2例 4 設y= (1 +x2)lnx,求：y解：y (1 x2) lnx (1 x2)(lnx)2xln xx例5設y七，求：y解：y(ex)(1x) ex(1x)xex2 2(1 x)(1 x

11、)例 7 某廠生產某種產品的固定成本為2 萬元，每多生產 1 百臺產品,解：庫存總成本函數(shù)C(q)q 100000000040q即經濟批量為 200000 件。1例 9 計算定積分：(x 3ex)dx解：0(x 3ex)dx (-2 x1 23ex)|03e |例 10 計算定積分：(x2-)dx1x321326解：(X2)dx (_x321n|x|)|21n31x 3I13教學補充說明1.對編程問題，要記住函數(shù) ex，1 nx, . x 在 MATLAB 軟件中相應的命令函數(shù) exp(x)，log(x)，sqrt(x)；2 對積分問題，主要掌握積分性質及下列三個積分公式：xadx - xa

12、1c(aM1)a 1xxe dx e c1dx In | x | cx7.記住兩個函數(shù)值：e0= 1, ln 1 = 0。模擬試題一、單項選擇題：(每小題 4 分，共 20 分)1.若某物資的總供應量( C )總需求量，可增設一個虛銷地，其 需求量取總供應量與總需求量的差額，并取各產地到該銷地的單位運 價為 0，則可將該不平衡運輸問題化為平衡運輸問題。(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超過2 .某物流公司有三種化學原料 A1, A2, A3。每公斤原料 A1含 B1,B2, B3三種化學成分的含量分別為 0.7 公斤、0.2 公斤和 0.1 公斤;每公斤原料 A2含 Bi, B2, B3的

13、含量分別為 0.1 公斤、0.3 公斤和 0.6 公斤；每公斤原料 A3含 Bi, B2, B3的含量分別為 0.3 公斤、0.4 公 斤和 0.3 公斤。每公斤原料 Ai, A2, A3的成本分別為 500 元、300 元和 400 元。今需要 Bi成分至少 100 公斤，B2成分至少 50 公斤， B3成分至少 80 公斤。為列出使總成本最小的線性規(guī)劃模型，設原料Ai，A2，A3的用量分別為xi公斤、X2公斤和X3公斤，則目標函數(shù)為(D )。(A) maxS= 500 xi+ 300 x2(B) minS= i00 xi+ 50 x2+ 80 x3+ 400X3(C) maxS= i00

14、xi+ 50 x2+(D) minS= 500 xi+ 300 x2+80 x3400X3i2i 23.設A，B4x7x 7并且A=B,則x=( C )。(A) 4(B) 3(C) 2(D) i4.設運輸某物品q噸的成本(單位：兀)函數(shù)為C(q) =q2+ 50q+ 2000，則運輸該物品 i00 噸時的平均成本為(A )元/噸。(A)i70(B)250(C)i700(D)i70005. 已知運輸某物品q噸的邊際收入函數(shù)為MR(q)，則運輸該物品從 i00噸到 300 噸時的收入增加量為( D )。300i00(A)i00MR(q)dq C(0)(B)300MR(q)dq8.計算定積分：0(x

15、32ex)dx1d1解:(x32ex)dxx42ex)|2e04|0三、編程題：（每小題 6 分，共 12 分）9試寫出用 MATLAB 軟件求函數(shù)y ln（：x x2令語句。解：clear;syms x y;y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x);dy=diff(y,2)1 10. 試寫出用 MATLAB 軟件計算定積分0 xxdx的命令語句解: clear;syms x y;y=x*exp(sqrt(x);(C)MR(q)dq300(D)100MR(q)dq二、計算題：（每小題 7 分,共 21 分）6.已知矩陣A,求：AB+C解：AB7.設y嚴，求:1 xx3解：y3(ln x

16、) (1x3)(ln x)3 2(1 x )(11X3 2(1 x )23x ln xex）的二階導數(shù)y的命i nt(y,0,1) 四、應用題（第 11、12 題各 14 分，第 13 題 19 分，共 47分）11. 某物流企業(yè)生產某種商品，其年銷售量為 1000000 件，每批生 產需準備費 1000 元，而每件商品每年庫存費為 0.05 元，如果該商 品年銷售率是均勻的，試求經濟批量。解：庫存總成本函數(shù)c（q）2100000000040q令c（q）丄1000000000得定義域內的惟一駐點q=200000 件。40q2即經濟批量為 200000 件。12. 某物流公司下屬企業(yè)經過對近期銷

17、售資料分析及市場預測得知， 該企業(yè)生產的甲、乙、丙三種產品，均為市場緊俏產品，銷售量一直 持續(xù)上升經久不衰。今已知上述三種產品的單位產品原材料消耗定額 分別為 4公斤、4 公斤和 5 公斤；三種產品的單位產品所需工時分別 為 6 臺時、3臺時和 6 臺時。 另外， 三種產品的利潤分別為 400 元/ 件、 250 元/件和 300元/件。由于生產該三種產品的原材料和工時的 供應有一定限制，原材料每天只能供應 180 公斤，工時每天只有 150 臺時。試建立在上述條件下，如何安排生產計劃，使企業(yè)生產這三種產品能獲得利潤最大的線性規(guī)劃模型，并寫出用MATLAB 軟件計算該線性規(guī)劃問題的命令語句。解

18、：設生產甲、乙、丙三種產品分別為X1件、X2件和X3件，顯然X1,X2,X3X）線性規(guī)劃模型為max S 400 x1250 x2300 x34x 4x25x31806x 3x26X3150Xi,X2,X30解上述線性規(guī)劃問題的語句為：clear;C=-400250300;A=445;636;B=180;150;LB=0;0;0;X,fval,exitflag=li nprog(C ,A, B,LB)線性規(guī)劃習題1.某物流公司下屬企業(yè)生產甲、乙兩種產品，要用A, B, C 三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產一件產品甲，需用三種原料分別 為 1，1，0 單位；生產一件產品乙，需用三種原料分別

19、為1，2，1單位。每天原料供應的能力分別為6，8，3 單位。又知，銷售一件產品甲，企業(yè)可得利潤 3 萬元；銷售一件產品乙，企業(yè)可得利潤4萬元。試寫出能使利潤最大的線性規(guī)劃模型，并用MATLAB 軟件計算(寫出命令語句，并用 MATLAB 軟件運行)。解：設生產甲產品X1噸，乙產品x2噸。線性規(guī)劃模型為：max S 3x14x2x-ix26x-i2x28X23Xi,X20用 MATLAB 軟件計算該線性規(guī)劃模型的命令語句為： clear; C=-3 4; A=1 1;1 2;0 1; B=6;8;3; LB=0;0; X,fval=li nprog（C, A,B,LB）2.某物流公司有三種化學產

20、品 A1, A2, A3都含有三種化學成分 B1,B2，B3，每種產品成分含量及價格（元/斤）如下表，今需要 B1成分至 少100 斤，B2成分至少 50 斤，B3成分至少 80 斤，試列出使總成本 最小的線性規(guī)劃模型。相關情況表X量產品含X每斤產品的成分含量A1A2A3B10.70.10.3B20.20.30.4B20.10.60.3產品價格（元/斤）500300400解：設生產Al產品X1公斤，生產A2產品X2公斤，生產A3產品X3公斤,min S500 x1300 x2400 x：0.7x10.1x20.3x31000.2x10.3x20.4X3500.1x10.6X20.3x380X1

21、,X2,X303.某物流企業(yè)下屬家具廠生產桌子和椅子，產品的銷路挺好。生產 每張桌子的利潤為 12 元，每張椅子的利潤為 10 元。生產每張桌子 在該廠的裝配中心需要 10 分鐘，在精加工中心需要 20 分鐘；生產每張椅子在裝配中心需要 14 分鐘，在精加工中心需要 12 分鐘。該廠裝配中心一天可利用的時間不超過 1000 分鐘，精加工中心一天可利用的時間不超過 880 分鐘。假設生產桌子和椅子的材料能保證供給。試寫出使企業(yè)獲得最大利潤的線性規(guī)劃模型，并用MATLAB 軟件計算（寫出命令語句，并用 MATLAB 軟件運行出結果）解：設生產桌子X1張，生產椅子X2張max S 12x110 x210 x114X2100020 x112x2880 x1, x20MATLAB 軟件的命令語句為： clear; C=-12 10; A=10 14; 20 12; B=1000； 880; LB=0;0; X,fval=li nprog(C, A,B,LB)4、某物流企業(yè)在一個生產周期內生產甲、乙兩種產品，這兩種產品 分別需要 A,B,C,D