多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、1415A、選擇題(每小題 2 分，共 10 分)極限lim2xy(D)(x,y)(0,0)x2y2(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在.(2)二元函數(shù)f (x,y)在點(diǎn)(Xo,yo)處的全微分存在是它在該點(diǎn)連續(xù)的(A )、填空題(每小題 2 分，共 10 分)(2) 設(shè)二元函數(shù)z ln( xy)，貝 U dz _.11-dx丄dyxy三、計(jì)算題(每小題 5 分，共 20 分)(1)設(shè)z ex ys inx x2y3，求二，二.x y設(shè)z z(x, y)是由方程z3x y z 0所確定的隱函數(shù)，求和-Z.x y(1)解:zx y .esi nxxx ye cosxc 3z2xy，y

2、x ye sin xC 2 23x y解 :設(shè)F (x, y, z)3z xy z，則Fx(x,y, z)1，F(xiàn)y(x, y,z)1，(A) 充分條件.(C)充分必要條件.點(diǎn)(0,0)是二元函數(shù)f(x,y) x2(A)極大值點(diǎn).(B)(B) 必要條件.(D)既非充分也非必要條件.y2的(C )(C) 駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn).(D)不是駐點(diǎn).(1)極限J)%。tan (xy)xFz(x, y,z) 3z21，二xFx(x, y, z)1zFy(x, y,z)1Fz(x, y,z)3z21，y2Fz(x, y,z)3z 1五、綜合題(每小題 10 分，共 20 分)3求函數(shù) f(x, y)x2y x22

3、xy y22x 的極值.(1)解：fx(x, y)2xy 2x 2y2,fy(x, y) x22x 3y, 解 方程組Key: 1.(3)設(shè)二元函數(shù)z sin(x y)，貝 U dz _.Key:cos(x y)dx cos(x y)dy、選擇題(每小題 2 分，共 10 分)二元函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(X0, y)處的全微分存在是它在該點(diǎn)兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的(A )2xy 2x 2y 2 02x 2x 3y 0得駐點(diǎn):1(1弓，(1, 1)，(3 1).fxx(x, y) 2y 2，fxy(x,y) 2x3.是極小值在(1,1)點(diǎn)，A 0，B4，C3;AC(3, 1)點(diǎn)，A 0，B4，C

4、3;AC217B 0，A 0，所以f( 1, )36B20,所以f(1, 1)不是極值.在2B 0,所以f( 3, 1)不是極值.1314A一、填空題(每小題 2 分，共 10 分)極限(x,yim(0,1)xy2y(1) 極限(E)警(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存18在(1,)點(diǎn)，A，B 0，C 3；AC33(3)若z f(x, y)在(Xo,y)處取得極大值，令g(y) f(x,y).則(B )Fx(x,y,z)yz zFz(x,y,z)ezxy y1314B五、綜合題(每小題 10 分，共 20 分)(1)求曲線x3xy y31 (x 0, y 0)上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)

5、距離與最短距離33(1)解：設(shè)曲線x xy y1上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方為f (x, y) x2y2，(x 0, y 0)，(3x2y) 02(x 3y )0得(A)充分條件.(B)必要條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件(A)g(y)在yo取得最大值.(B)g(y)在yo取得極大值.(C)yo是g(y)的駐點(diǎn).(D)以上都不對(duì).三、計(jì)算題(每小題 8 分，共 40 分)(1)設(shè)z x2cos y 3xy2，求-Z，x y2z(1)解：2xcosy 3y2，xyx2sin y 6xy2z2cosy，x2z2xsin y 6y設(shè)z z(x, y)是由方程ezxyz 10所確定

6、的隱函數(shù)，求和.xy” z解：一xFy(x,y,z) xzFz(x,y,z)ezxy令L(x, y,)x2/3(x xy1)解方程組Lx2xLy2yL x3xy y310f(1,1)2，考慮邊界的點(diǎn)的函數(shù)值f(1,0) f (0,1)1，所以最長(zhǎng)距離是.2，最短距離是1.1314C設(shè)zusin v而u2x2y，v xy，求二xzJ yzzuzvsin v 1sin v .解：-2xsinv uycosv u ln uxuxvx2xsin xy(x22、sin xyy )1y cosxy (x22 Sinxyy )ln (x2y2)，zz uz v2ysin v u xcosv u In u.y

7、u yv y22、sinxy 122、sinv22、2y sin xy (x y )xcosxy (x y )In(xy ).五、應(yīng)用題(每小題 10 分，共 20 分)(1)某公司在生產(chǎn)中使用甲、乙兩種原料，已知甲和乙兩種原料分別使用x單位和 y 單位可生產(chǎn)Q單位的產(chǎn)品，且2 2Q(x, y) 10 xy 22x 33y10 x 5y.已知甲原料單價(jià)為 200 元/單位，乙原料單價(jià)為 300 元/單位，產(chǎn)品每單位售價(jià)為 100元，產(chǎn)品固定成本為 1000 元，求該公司的最大利潤(rùn).(1)解：利潤(rùn)函數(shù)L(x, y) 100(10 xy22x 33y 10 x25y2)200 x300y 1000

8、1000 x21000 xy500y22000 x3000y，(x 0,y0)2000 x 1000y 2000 0 x5解方程組得1000 x 1000y 3000 0 y 8Lxx(x, y)2000，Lxy(x,y) 1000，Lyy(x, y)1000.令A(yù) 2000，B 1000，C 1000，則AC B20，A 0，所以L(5,8)16000是極大值，也是最大值0809 B、填空題（每小題 3 分，共 18 分）2、設(shè)z In(xy)，則其全微分dz11-dx dyxy3、點(diǎn)0,0是函數(shù)z xy的（B（A）極值點(diǎn)；（B）駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)；（C）是極值點(diǎn)但不是駐點(diǎn);3、函數(shù)u陽(yáng)的所有

9、間斷點(diǎn)是( x, y) | y22x, x R, y R、選擇題（每小題 3 分，共 15 分）1、f(x,y)xy，則極限ym f (x,y)y 0（A）不存(B)1(C)2(D)0A當(dāng)點(diǎn) P（x,y）沿曲線xm0f(x,y) 00y kxy kx 趨向(0,0)時(shí),kx22 .2 2x k xk口顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以（x,y）%0）汽2不存在2、在曲線x t, yt2,z3t所有切線中，與平面x 3y 3z 4平行的切線（A）（A）只有一(B)只有兩條；（C）至少有 3 條；（D）不存在u曲線的切向量T(t),(t),2r(t)=(1， 2t,3t2)平面的法向量n (

10、1,3,3)2(1, 2t,3t ) (1,3,3)26t 9t210,0，得t所以只有一條切線滿足條（D）以上都不分析：令乙y 0, Zyx0得（0,0）是駐點(diǎn) 但點(diǎn)（0,0）是z xy的鞍點(diǎn)，不是極值點(diǎn)四、計(jì)算題（每小題 8 分，共 32 分）3、曲面x2y2z214在點(diǎn)P(1,2,3)處的切平面方程為1、設(shè)zue sin v, uxy, v x y,求上和上x y”z解ff ufVu .e sin v y e cosv e y sin(xy) cos(x y)xx u xv xzff u fvu .e sin v xeucosvexyx sin(x y)cos(x y)y yu yvy五

11、、解答題(每小題分10,共 20 分)1、要造一個(gè)容積為定數(shù)a的長(zhǎng)方形無(wú)蓋容器，如何設(shè)計(jì)它的尺寸才能使它的表面積最?。看藭r(shí)最小表面積為多少？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x,y,乙則問(wèn)題就是在條件(x, y, z) xyz a 0下求函數(shù)S xy 2xz 2yz(x 0, y 0, z 0)的最小值作拉格朗日函數(shù)L(x, y, z) xy 2xz 2yz (xyz a),y 2zyz 0,x 2zxz 0,求其對(duì)x, y,乙 的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到2(x y) xy 0,xyz a 0.1 1因?yàn)閤, y, z都不等于零， 得z-x2 y,代入xyz a 0得x V2a, y 2a, z 1

12、V2a,這是唯一可能的極值點(diǎn)由問(wèn)題本身可知最小值一定存在，所以最小值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得.即長(zhǎng)寬高為3茲，32a,132a時(shí)，最小2表面積S 33(2 a)2.0910B、填空題(每小題 2 分，共 10 分)3、曲面x2y2z214在點(diǎn)P(1,2,3)處的切平面方程為2、設(shè)函數(shù)z f(x, y)是由方程x2dzy2z24z給出，則全微分2xdx 2ydy 2zdz 4dz,dzxdx ydy2 z切平面得法向量 n(1,2,3)(2x, 2y,2z)(1,2,3)(2, 4,6),切平面方程為2(x 1)+4( y 2)6(z 3)0,或x 2y 3z 140.二、選擇題(每小題 2

13、分，共 10 分)1、二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(xo,y。)處可微是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x。, y。)，fy(xo,y。)都存在的1011B一、填空題(每小題 3 分，共 15 分)_x y(1)設(shè)二元函數(shù)z xe (x 1)ln(1 y)，貝U dz|(1,0)_:dz 2edx (e 2)d y(1,0)(2)旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y21在點(diǎn)(2,1,4)處的法線方程是r法線的方向向量s(2x, 2y, 1).214.(4,2, 1),(2,1,4)1,4),_x 2y 1 z 4法線萬(wàn)程是J421、單項(xiàng)選擇題(每小題 3 分，共 15 分)設(shè)z f (x, y)的全微分為dz xdx ydy則點(diǎn)(

14、0,0)( C )(A)充分條件(C)充分必要條件四、計(jì)算題(每小題 10 分，共 40 分)x1、設(shè)z u2lnv，而u、v 3x y_ z 2x i門c3x2解：21n 3x 2 y2，x y3x 2y y(B)必要條件(D)既非充分又非必要條件2y，求:上、上.xydz Id (exyxex yln(1y) |(1,0)dx (xex yx 11 )|(1,0)dyA.不是f(x, y)的連續(xù)點(diǎn)；B.不是f(x, y)的極值點(diǎn);f (x, y)的極小值點(diǎn)三、求偏導(dǎo)數(shù)(每小題 10 分，共 20 分)2 2(1) 設(shè)z x3f(xy,=)：,其中f具有 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求zzz；2；xyyx

15、 y解:-3x2fx3(yf1f2(當(dāng))C 23r3x f x yfjxyf2xxzx3(xf.1f2()x4f1x2f2yx2z2(x4f1x2f2)x4(f11x12W) x (f21x1f22()yyxxzy(0,1, 1)4x3f1x4( f11yf12(E) 2xf2x2(f21yf22(-yr)xx4x3f12xf2x4yfnyf22.z(x, y)是方程xyz arctan(xyC.是f (x, y)的極小值點(diǎn);D.是f (x, y)的極大值點(diǎn)分析:Zxx,Zyy,得zxxhZyy21,Zxyo,由AC B 10,A10,則點(diǎn)(0,0)是(X4fiy x xxt)設(shè) zz)在(0

16、,1, 1)點(diǎn)確 定的隱函數(shù)，求解:令F (x, y, z)xyz arcta n(x y z)Fz11 (x y z)2yz_1 (x yx2Fyz)1xz21 (x y z)26 分2z2zzFxxFzyz1(xy z)2 1；8 分xy1(xyz)21 zFyxz1(xyz)2 1110分y(0,1, 1)Fzxy1(xyz)2 1六、應(yīng)用題(本題滿分 10 分)從斜邊長(zhǎng)為I的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形，并求出最大周長(zhǎng)解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x,y，則2 2x y2l,周長(zhǎng)C x y l2分設(shè)拉格朗日函數(shù)F(x, y,)x y2 2 2l (x y l ) 4分Fx1 2x0

17、令Fy1 2y06分F2 2x yl20解方程組得x y I為唯一駐點(diǎn)，且最大周長(zhǎng)一定存在8分2J2故當(dāng)x y I時(shí)，最大周長(zhǎng)為C(12)|10分21112B值的類型.這是二元函數(shù)求極值的反問(wèn)題，即知道 f(x,y)取得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解本題.、填空題(每小題 2 分，共 10 分)1.z2x y在點(diǎn)(1,1)處的dzdz22xydx x dy,dz12dx dy.12.設(shè)函數(shù)f(x, y)2x2ax2xy 2y在點(diǎn)(1, 1)取得極值，則常數(shù)fx(1, 1)(4x ay2)0,fy(1, 1) 2xy 2x 10,所以ay 15.例 36設(shè)函數(shù)f (

18、x,y) 2x2ax xy22y 在(1, 1)處取得極值，試求常數(shù)a,并確定極分析解 因?yàn)?f (x, y)在(x, y)處的偏導(dǎo)數(shù)均存在，因此點(diǎn)(1, 1)必為駐點(diǎn)，則有T4x2a y0 x1, 1)(1, 1)丄2xy2(1, 1)0y(1, 1)因此有4 a 10， 即 卩a5因?yàn)?f2f2y2fA 4 , B -x y(1, 1)2 , C22x(1,1)2，x(1, 1)(1, 1)y(1, 1)ACB242 (22)40 ,A4 0，所以，函數(shù) f(x,y)在(1, 1)處取得極小值.二、選擇題(每小題 2 分，共 10 分)3.在點(diǎn)P處函數(shù)f (x, y)的全微分df存在的充分

19、條件為(C)(A)fx, fy均存在(B)f連續(xù)4.求函數(shù)u xy yz zx在點(diǎn)(2,1,3)沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)(5,5,15)的方向?qū)?shù)Ux(2,1,3)4,Uy(2,1,3)5,uz(2,1,3)3,五、證明題(每小題 7 分，共 7 分)三、計(jì)算題(每小題 8 分，共 40 分)21.設(shè)z z(x, y)是由方程x2 2y z解:設(shè) F(x, y,z)2 2x y2z2z，則 Fxz2xx2z(1x)x 1 zx2z 21 z,2x(D)f連續(xù)且fx,fy均存在2z所確定的隱函數(shù)，計(jì)算x2,z的值.x2x， Fy2y ，F(xiàn)z2z 2,1 z xzxzx x1 z(1 z)2x2(1 z)2

20、(1 z)2(1 z)3r方向Iur(3,4,12)l02 11313 33cos134cos131213zuxcos uycosuzcos6813(C)f的全部一階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)證明f(x,y)(x,y)(0,0)在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.0(x,y) (0,0)證：f(x,O) 0, f (0, y) 0,zfx(0,0) x fy(0,0) -f( x, y)Iim0 2 2.x -當(dāng)點(diǎn) P( x, y)沿曲線 y kx 趨向(0,0)時(shí),Iim佃2x y2Iim 厶0 x* 1y2: Jx(x)2( y)2x 0( x)2k2( x)2、選擇題(每小題 2 分，共 10 分)f

21、x(O,O)Iimf(0 x,0) f (0,0)x 0卿0.fy(O,O)Iimf(0,0y)f(0,0)y0y譏00.所以f(x, y)在(0,0)處可導(dǎo).顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以|im0不存在.y這表示當(dāng)0時(shí)，z fx(0,0) x fy(0,0) y。所以函數(shù) f (x, y),在(0,0)點(diǎn)不可微.1213B、填空題(每小題 2 分，共 10 分)極限Iim -(x,y)(0,2)xy1解 I：用隱函數(shù)求導(dǎo)公式xF x, y,z -zIn,y解 II:二_X 12 _z zyx2z2zy(xz)將z看作x, y的函數(shù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得:zx -X2z(2)二元函數(shù)f(

22、x,y)在點(diǎn)(xo, yo)處的全微分存在是它在該點(diǎn)連續(xù)的(A)(A)充分條件.(B) 必要條件.z(x, y)是由方程-In-所確定的隱函數(shù),z(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件如果函數(shù)在一點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)三、計(jì)算題(每小題8 分, 共 40 分)(1)3xy,解:3x2yx33y2x,2-3x2x y3y2,6xy.(1)設(shè)函數(shù)f(x,y)x7，則極限爲(wèi)0(3)(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在.當(dāng)點(diǎn) P(x,y)沿曲線limif (x, y)x 0y kxy kx 趨向(0,0)時(shí)，kx2k- 廠2顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。x k x 1 k

23、所以(x,y)m(o,o)2解 III：將方程兩邊求全微分，得:注:已知直線的方向向量也可以按下面的兩種方式求x yz 10中對(duì) x 求導(dǎo)，得1.把y,z看成是 x 的函數(shù),在方程組5z 30 x2y1dydz0dy4dxdx，解得dx31dz 小50dz1dxdxdx3.、，_4 1則方向向量 s （1,4廠）.3 32.令 F(x, y, z) x y z1，G(x, y,z)x 2y5z3，直線的方向向量即上，同理兩邊對(duì)y求導(dǎo)得xx zy2zy(x z)zdx xdz2zdz少，解出dz得：dzy丄dy y xzy(x將 z 看作x, y的函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo)，即得二階偏導(dǎo)數(shù):2z2xz22

24、2z x2y z :2z2z x3y z x四、應(yīng)用題（每小題10 分，共 20 分）（1） 求旋轉(zhuǎn)拋物面zx2xy2上垂直于直線xy2yz5z丁 0 的切平面方程.解：令 F(x,y,z) x2乙任取旋轉(zhuǎn)拋物面上一點(diǎn)M （x, y,z），該點(diǎn)的法向量rn (Fx,Fy,Fz)(2x,2y, 1),已知直線的方向向量ijkr s 111(3,4,1)125因?yàn)樗笃矫娴姆ㄏ蛄颗c已知直線的方向向量平行，2x-2y1所以 X34132,y2,代入z2xy2，得 z944所以所求的切平面方程為3(x號(hào)）4（y2)(25(z7)025或3x 4y z042541 11 11 10607 高數(shù) A、填空

25、題(每小題 4 分，共 32 分)填空題(本題共 5 小題，每小題 4 分，滿分 20 分)(3,4,1),(2)求函數(shù)z1在條件xy28下的最大值與最小值.解令 F(x,y,z)2 21 (x y8),，于是由Fx12 xFy12 yFx2y2x 2x解得，y 2y0即(2,2) ,( 2, 2)為可能的極值點(diǎn)，可能的極值z(mì)(2,2)5 , z(2,2)3,從而所求函數(shù)的最大值是z(2,2)5，最小值是z(2,2)3.五、綜合題(每小題 10 分，共 20 分)設(shè)f(x)是定義在0,)上的連續(xù)函數(shù)，D 是由圓xy2R2和直線yxtan，y 0所圍成的區(qū)域在第一象限部分(F(R, ) f (x

26、2y2)dxdy，求才D解：區(qū)域 D 用極坐標(biāo)表示( , )|0R,0,F(R, ) f (x2y2)dxdyDf(D2) d dRf (2)0巳(R R02F _RRf (2) d02f (R )Rd )2f(R )Rd2f (R )R.1.函數(shù) f(x,y,z) arcco_2的定義域?yàn)?_ .Jx y( x, y,z) | z 、. x2y2,x2y205.曲面z 4 x2y2上點(diǎn) P(1,1,2)處的切平面方程為 _.切平面的法向量 n ( 2x, 2y,嘰中)(2, 2, 1)切平面方程2(x 1) 2(y 1) z 20或2x 2y z 60.二、單項(xiàng)選擇題(本題共 5 小題，每題

27、 4 分，滿分 20 分)1.考慮二元函數(shù)f(x, y)在(x,y)點(diǎn)處的下面 4 條性質(zhì)：連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可微，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在若用PQ表示可由性質(zhì)P 推出性質(zhì)Q， 則有A(A)；(B );(C)；(D)2.坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z x2y35xy的B(A)既是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)；(B)駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；(C)極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)；(D)既非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn)AC B225 0,所以(0,0)是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)三、計(jì)算題一(本題共兩小題，滿分 15 分)xz1.已知口z ln tan,求，y2x sec_ycot- ytan y2z2z-(cot-) y yyZco岸y y12x3csc yy2.已知z

28、20，求蟲和業(yè)z 1dx dxxy z 1022z2x112yf12220708 高數(shù) A解：注意 yy(x),zz（x）.在方程組1 中對(duì)x求導(dǎo)，得1 dydx-dydzdx2x 2y 2z 空dx dxdydx ，解得dzdxxz yy xz y、填空題（本題共5 小題, 每小題 4 分，滿分20 分)Jxy 111.極限lim -(x,y)(0,0)sinxylim 1(x,y)(0,0)sin(xy)xysin( xy)(.、xy 11)22.曲面ezz xy設(shè)F（x, y,z）ez切平面的法向量 切平面方程（x2)3上點(diǎn) P(2,1,0)處的切平面方程為xy 3,(y,x,ez1)|

29、(2,1,0)(1,2,0)2(y 1) 0或x 2y 40.二、單項(xiàng)選擇題（本題共 5 小題，每題 4 分，滿分 20 分）1.設(shè)z x33x2y，則它在點(diǎn)（1,0）處（B ）.（A）取得極大值侶）無(wú)極值;（C）取得極小值；（D） 無(wú)法判定是否有極值.解:zx|(1,0)3x3|(1,0)0,zy|(1,0)2 y|(1,0)0.zxx|(1,0)6x|(i,0)6, Czyy|(1,0)2Bzxy|(1,0)0,AC B2120,，所以函數(shù)在點(diǎn)（1,0）處無(wú)極值.、計(jì)算題（本題共兩小題，滿分14 分)1. （7 分）設(shè)函數(shù)z f （xy, x y）,其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)1(7 分)yf

30、12.(7 分)設(shè)函數(shù)x2y2z20809A1.極限limxy 11(x,y) (1,0)1.函數(shù)f (x, y)在(Xo,y)可微是它在該點(diǎn)兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的(A ).(B)必要條件；(C)充要條件；(D)非充分亦非必要條件解：令F(x,y,z)Fx2x, FyFx將z看作2z，求,x y2y, Fz2z2z,2zFyFZx, y的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，得2zxy(1 z)3、填空題(每小題2 分，滿分 10 分)2.曲面zxy 1 1xyx22設(shè)F(x, y,z) x切平面方程2(xxy 1xy 1122y在點(diǎn)(1,1,2)處的切平面方程為y2z切平面的法向量 n1) 2( y 1) (z

31、2)0或2x 2y(2x,2y,1)b,1,2)(2,2,1)z20.二、選擇題(每題2 分，滿分 10 分)xy(A)充分條件；2.設(shè)z xy在點(diǎn)(0,0)處(A)取得極大值；2.(7 分)設(shè)函數(shù)x2y2z2C )(B)取得極小值；(C)無(wú)極值;(D)無(wú)法判定是否有極值.、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分 (每小題8 分，滿分 24 分)1.設(shè)函數(shù)zx4y42 24x y，求 dz 和2z2 .x-4x38xy2, 4y38x2y,xy(4x38xy2)dx (4 y38x2y)dy,.3 c 2、. _2- 2(4x 8xy )12x 8y .xfxx(0,4) 0,Bfxy(0,4)24,Cfyy(0,

32、4) 02.設(shè)zu21n v,u3x 2y,解:xxln 3xy2y3x23x2y y22x2$ In 3x 2 y y2x23x2y y2z(x,y)由zf (xyz, xz）確定,f有一階連續(xù)偏導(dǎo)，求解:設(shè)F(x, y,z) zf (xyz, xz).則Fx(fiyz f2),Fy(fixzf2), Fz1 (f1xyf2)FxFzyzfi六、 (8 分)解:1 (xyfif2)求函數(shù)f (x, y)FyFZxz f21 (xyfif2)(6x)(4y2y ）的極值2x)(4 y2、解方程組f,y) (6fy(x, y) (6x x )(4y2)2y)x 3 x 0求得以下五組解；y 2

33、y 06x60;y 4,于是駐點(diǎn)(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)，又2fxx(x,y) 2y8y;fxy(x, y) 4(x 3)(y22); fyy(x,y) 2x12x,所以1在(0,0)處Afxx(0,0)0,Bfxy(0,0)24,Cfyy(O,O)0,AC B22420,故f (0,0)不是極值;解:dz2.在(0,4)處AAC B22240,故f (0,0)不是極值;3. 在(6,0)處Afxx(6,0)0,Bfxy(6,0)24,Cfyy(6,0)0AC B22420,故f (6,0)不是極值；4. 在(6,4)處A fxx(6,4)0,B fxy(6,

34、4)24,C fyy(6,4)02 2AC B 240,故f(6,0)不是極值；5. 在(3,2)處Afxx(3,2)8 0,B fxy(3,2) 0,Cfyy(3,2)182AC B 144 0,故函數(shù)在(3,2)點(diǎn)取得極大值，極大值為36.綜上所述，函數(shù)的極大值為 36，無(wú)極小值.0910 高數(shù) A、填空題（每小題 3 分，共 18 分）z yzzx e xy2xdx 2ydy21.設(shè) z sinx，求zy x y解：丄cosx；1.設(shè)ezxyz0,則二x3.函數(shù)z x2y2的全微分為、選擇題（每小題3 分，共 18 分)4.曲面 x3 在任一點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為(A)3；(B

35、) 3；(C) 9；(D) 1.三、計(jì)算題（每小題8 分,32 分)1x2cosyyx y y四、應(yīng)用題(每小題 8 分，共 16 分)2 2爲(wèi)芻1內(nèi)的一切內(nèi)接長(zhǎng)方體(各邊分別平行于坐b c標(biāo)軸)中，求其體積最大者2x,2y,2z(x, y, z 0)，其體積為:V 8xyz.2 2 2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x, y, z, ) 8xyz(召 與 務(wù)1)a b c、，c 8abcV 8xyz =-3/32,z2z1由220f (u)f (u) 0.xyu設(shè)f (u)p,f (u)字，du則原方程化為：dp 1p0dpdudu uPu同理,2yy3uf (u).4 分1.在已給的橢球面2x2a解：

36、此題是條件極值，約束條件是內(nèi)接于橢球面由橢球的對(duì)稱性，不妨設(shè)(x, y,z)是該球面上位于第I卦限的任一點(diǎn)，則約束條件為22 2-22 2 1，本題不易變?yōu)橐回：瘮?shù),a b c采用拉格朗日數(shù)乘法解之。設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為求得(x, y, z)六、(8 分)設(shè)函數(shù) f (u)在(0,+)內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且,_ 2z fC x2y2)滿足等式一Ix2z0.驗(yàn)證 f (u)丄0 ；u解：設(shè)ux2y2，則若f (1)0, f (1) 1,求函數(shù) f (u)的表達(dá)式.-f (u)；u2Hr (-)2f (u) x2u丄f (u)u2x上f (u)u(*)2f(u)和(u)2zCC積分得：p，即f

37、(u) ,.6 分uu由f (1)1,得C=1.于是f (u) In | u | Ci代入f (1)0得：Ci=0.函數(shù)f(u)的表達(dá)式為：f(u) In |u |.8 分1011 高數(shù) A一、填空題(每小題 3 分，共 15 分).sin (xy)1、lim (x,y)(0,2)x-2二、選擇題(每小題 3 分，共 15 分)1、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)f (x, y)滿足fx(x,y。)fy(X0,y) 0則(B )A、(X0,y)是f (x,y)的極值點(diǎn)B、(x, y)是f (x, y)的駐點(diǎn)C、(x, y)是f (x, y)的連續(xù)點(diǎn)D、f (x, y)在(X0,y)處可微分三、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(每小

38、題6 分, 共 18 分)已知zarctan，求-xx,71z2xyzxx22J2 2x1C)2xyy1 d)2x yxxzz已知exyz0，求xy:設(shè)F(x, y, z)zexyz.則Fxyz,Fyxz,zFxyzzFyxzxFzzexy7yFzezxy.1、解2、解FZze xy,22Z Z3、已知zf (xy, x y )，求 ，一x y解：yf12xf?,蘭xf12yf2.xy1112 高數(shù) A、填空題（每小題 2 分，共 10 分） 極限Wo）羅、選擇題（每小題 2 分，共 10 分）（1）函數(shù)f （x, y）在點(diǎn)（xo, yo）處的全微分存在的充分條件是（C）f （x, y）在點(diǎn)（

39、xo, yo）處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在(B)f（x, y）在點(diǎn)（X。, yo）處連續(xù).(C)f （x, y）在點(diǎn)（xo, yo）處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)(D)f（x, y）在點(diǎn)（Xo, yo）處連續(xù)并且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在x2y3,則它在點(diǎn)（0,0）處（A）取得極大值（B）無(wú)極值（C）取得極小值（D） 無(wú)法判定是否有極值z(mì)x2x0 x0s c、解：解方程組2,求得解于是駐點(diǎn)（0,0）,又Zy3y20y0fxx(x,y)2; fxy(x, y) o；fyy(x, y) 6y,所以在(0,0)處A fxx(0,0)2, B fxy(0,0)0,Cfyy(O,O) o,AC B22420, （0,0）可能是極值點(diǎn) 也可能不是極值點(diǎn)但是在（0,0）附近函數(shù)有大于 o 的點(diǎn)也有小于 o 的點(diǎn)所以在（0,0）處無(wú)極值三、計(jì)算題（每小題 10 分，共 40 分）2 2(1)設(shè)zx2sin y，求一Z，一-和 一Zx