1.7.1定積分的簡單應(yīng)用(李用)

1、1.7.1定積分的簡單應(yīng)用定積分的簡單應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用 badxxfA)( badxxfxfA)()(121.1.平面圖形的面積平面圖形的面積: :( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a其中其中F (x)=f(x)xyo)(xfy abA Axyo)(1xfy )(2xfy abA A2.微積分基本定理微積分基本定理:一、復習一、復習因為因為f(x)在在a,b內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) 是是f(x)的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).又又F(x)是是f(x)的原函數(shù)，的原函數(shù)，F(xiàn)(x)= +C.在上式中令在上式中令x=a,則則由由 得到得到C=F(a)移項得移項得

2、令令 即得即得xaf(t)dtxaf(t)dtaaf(t)dt = 0 xaf(t)dt =F(x)-F a bax = b, f x dx = F b -F a .證明：證明：Ox yab y f (x) x a、x b與與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 當當f(x) 0時時積分baf (x)dx 在幾何上表示 由由y f (x)、x a、x b與與 x 軸所圍成的曲邊梯形面積的負值軸所圍成的曲邊梯形面積的負值x yOab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 Sb

3、af (x)dx f (x)dxf (x)dx。 =s3.定積分定積分 的幾何意義的幾何意義:( )baf x dx類型一類型一. .求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab練習練習. . 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2，y=0y=0所圍成的

4、所圍成的 圖形的面積。圖形的面積。yx解：如圖：由解：如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線與得到拋物線與x x軸軸的交點坐標是的交點坐標是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積所求面積如圖陰影所示：如圖陰影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx類型一：由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面類型一：由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解積的求解類型類型2 2：由兩條曲線：由兩條曲線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(a4時，時，P點向點向x軸負

5、方向運動軸負方向運動 故故t6時，點時，點P移動的路程移動的路程返回返回返回返回悟一法悟一法返回返回 例例2設(shè)有一長設(shè)有一長25 cm的彈簧，若加以的彈簧，若加以100 N的力，的力，則彈簧伸長則彈簧伸長30 cm，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的，又已知彈簧伸長所需要的拉力與彈簧的伸長量成正比，求使彈簧由伸長量成正比，求使彈簧由25 cm 伸長到伸長到40 cm所做的功所做的功返回返回 通一類通一類 2在底面積為在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，在等溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞溫條件下，由于氣體的膨脹，把容器中的一個活塞(面積面積為為S)從點從點a處推到點處推到點b處，計算在移動過程中，氣體壓力處，計算在移動過程中，氣體壓力所做的功所做的功返回返回返回返回 做變速直線運動的物體的速度為做變速直線運動的物體的速度為v(t)4t2，求，求t0到到t3時經(jīng)過的路程時經(jīng)過的路程返回返回 設(shè)物體運動的速度設(shè)物體運動的速度v v(t) (v(t)0) ，則此物體，則此物體在時間區(qū)間在時間區(qū)間a, b內(nèi)運動的路程內(nèi)運動的路程s為為( )basv t dt1、變速直線運動的路程、變速直線運動的路程2、變力沿直線所作的功、變力沿直線所作的功 物體在變力物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物的作