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文檔簡介
1、2016-2017學(xué)年浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中高三(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為(1,1),則z2=()AB2iCD.2+2i2命題p:xR且滿足sin2x=1命題q:xR且滿足tanx=1則p是q的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知實數(shù)x,y滿足不等式組,則2xy的取值范圍是()A1,3B3,1C1,6D6,14如圖是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的表面積等于()A34+6B44+12C34+6D32+65已知函數(shù)f(x)是定義在R上的
2、偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)單調(diào)遞減,若實數(shù)a滿足f(log3a)+f()2f(1),則a的取值范圍是()A(0,3B(0,C,3D1,36過雙曲線的左焦點F作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點分別為A、B,雙曲線左頂點為M,若AMB=120°,則該雙曲線的離心率為()ABC3D27在ABC中,BC=7,AC=6,cosC=若動點P滿足=(1)+,(R),則點P的軌跡與直線BC,AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為()A5B10C2D48已知f(x)=,且g(x)=f(x)+有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A(,+)B1,+)C(0, )D(0,19已知數(shù)列a 滿足a=,an+11=an2a
3、n (nN*),則m=+的整數(shù)部分是()A1B2C3D410已知函數(shù) f(x)=x+a,xa,+),其中a0,bR,記m(a,b)為 f(x)的最小值,則當(dāng)m(a,b)=2時,b的取值范圍為()AbBbCbDb二、填空題:本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分11已知全集為R,集合A=y|y=3x,x1,B=x|x26x+80,則AB= ,ARB= 12已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2n1(nN*),則a1= ;數(shù)列an的通項公式為an 13已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F(1,0),則p= ;M是拋物線上的動點,A(6,4),則|MA|+|MF|的最小值為 1
4、4若sin(+x)+cos(+x)=,則sin2x= , = 15已知直線2x+my8=0與圓C:(xm)2+y2=4相交于A、B兩點,且ABC為等腰直角三角形,則m= 16若正數(shù)a,b,c滿足+=+1,則的最小值是 17如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=,將ABD沿對角線BD向上翻折,若翻折過程中AC長度在,內(nèi)變化,則點A所形成的運動軌跡的長度為 三、解答題:(第18題)18已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(xR,0)的圖象如圖,P是圖象的最高點,Q是圖象的最低點且|PQ|=()求函數(shù)y=f(x)的解析式;()將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x0,2
5、時,求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的最大值19三棱錐ABCD中,E是BC的中點,AB=AD,BDDC(I)求證:AEBD;(II)若DB=2DC=AB=2,且二面角ABDC為60°,求AD與面BCD所成角的正弦值20已知函數(shù)f(x)=+lnx(a0)(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,e上的單調(diào)性(e為自然對數(shù)的底);(2)記f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)g(x)=x3x2+x2f(x)在區(qū)間(,3)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍21已知橢圓上任一點P,由點P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點M在PQ上,且,點M的軌跡為C(1)求曲線C的方程;(2)過點D(0,2)作直線l與曲線C交于
6、A、B兩點,設(shè)N是過點且平行于x軸的直線上一動點,滿足(O為原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由22已知數(shù)列an滿足a1=3,an+1=an2+2an,nN*,設(shè)bn=log2(an+1)(I)求an的通項公式;(II)求證:1+n(n2);(III)若=bn,求證:232016-2017學(xué)年浙江省寧波市諾丁漢大學(xué)附中高三(下)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為(1,1),則z2=()AB2iCD.2+2i【
7、考點】A5:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、運算法則即可得出【解答】解:在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為(1,1),z=1+iz2=(1+i)2=2i,故選:B2命題p:xR且滿足sin2x=1命題q:xR且滿足tanx=1則p是q的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】2L:必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷【解答】解:由sin2x=1得2x=+2k,kZ,即x=,kZ,由tanx=1,得x=,kZ,p是q的充要條件故選:C3已知實數(shù)x,y滿足不等式組,則2xy的取值范圍是()A
8、1,3B3,1C1,6D6,1【考點】7C:簡單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,設(shè)z=2xy,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合確定z的取值范圍【解答】解:設(shè)z=2xy,則y=2xz,作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影部分)如圖:平移直線y=2xz,由圖象可知當(dāng)直線y=2xz經(jīng)過點B(0,1)時,直線y=2xz的截距最大,此時z最小,最小值z=01=1當(dāng)直線y=2xz經(jīng)過點C(3,0)時,直線y=2xz的截距最小,此時z最大z的最大值為z=2×3=6,即1z6即1,6故選:C4如圖是某四棱錐的三視圖,則該幾何體的表面積等于()A34+6B44+12C34+6D32+6【考點
9、】L!:由三視圖求面積、體積【分析】一個底面是矩形的四棱錐,矩形的長和寬分別是6,2,底面上的高與底面交于底面一條邊的中點,四棱錐的高是4,根據(jù)勾股定理做出三角形的高,寫出所有的面積表示式,得到結(jié)果【解答】解:由三視圖知,這是一個底面是矩形的四棱錐,矩形的長和寬分別是6,2底面上的高與底面交于底面一條邊的中點,四棱錐的高是4,四棱錐的表面積是2×6+2×+6×+=34+6,故選A5已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)單調(diào)遞減,若實數(shù)a滿足f(log3a)+f()2f(1),則a的取值范圍是()A(0,3B(0,C,3D1,3【考點】3N:奇偶性與
10、單調(diào)性的綜合【分析】由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則f(x)=f(x),即有f(x)=f(|x|),f(log3a)+f(log3a)2f(1),即為f(|log3a|)f(1),再由f(x)在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞減,得到|log3a|1,即有1log3a1,解出即可【解答】解:由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則f(x)=f(x),即有f(x)=f(|x|),由實數(shù)a滿足f(log3a)+f()2f(1),則有f(log3a)+f(log3a)2f(1),即2f(log3a)2f(1)即f(log3a)f(1),即有f(|log3a|)f(1),由于f(x)在區(qū)間0,+)上單調(diào)遞
11、減,則|log3a|1,即有1log3a1,解得a3故選C6過雙曲線的左焦點F作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點分別為A、B,雙曲線左頂點為M,若AMB=120°,則該雙曲線的離心率為()ABC3D2【考點】KC:雙曲線的簡單性質(zhì)【分析】依題意,作出圖形,易求該雙曲線的離心率e=2,從而得到答案【解答】解:依題意,作圖如下:OAFA,AMO=60°,OM=OA,AMO為等邊三角形,OA=OM=a,在直角三角形OAF中,OF=c,該雙曲線的離心率e=2,故選:D7在ABC中,BC=7,AC=6,cosC=若動點P滿足=(1)+,(R),則點P的軌跡與直線BC,AC所圍成的封
12、閉區(qū)域的面積為()A5B10C2D4【考點】98:向量的加法及其幾何意義;HP:正弦定理【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點軌跡,利用正弦定理解出AB,得出ABC的面積,從而求出圍成封閉區(qū)域的面積【解答】解:設(shè)=,=(1)+=(1)+B,D,P三點共線P點軌跡為直線BC在ABC中,BC=7,AC=6,cosC=,sinC=SABC=×7×6×=15,SBCD=SABC=5故選:A8已知f(x)=,且g(x)=f(x)+有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍為()A(,+)B1,+)C(0, )D(0,1【考點】52:函數(shù)零點的判定定理【分析】根據(jù)圖象得出g(x)在(,0
13、)上的零點個數(shù),得出g(x)在0,+)上的零點個數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出a的范圍【解答】解:令g(x)=0得f(x)=,作出f(x)=ln(1x)與y=的函數(shù)圖象,由圖象可知f(x)與y=在(,0)上只有1個交點,g(x)=0在(,0)上只有1個零點,f(x)=在0,+)上有2個零點,即得到x2ax+=0在0,+)上有兩解,解方程x2ax+=0得x1=0,x2=a,a0,即a故選A9已知數(shù)列a 滿足a=,an+11=an2an (nN*),則m=+的整數(shù)部分是()A1B2C3D4【考點】8E:數(shù)列的求和【分析】先判斷數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列,再根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用裂項求和即可得到m=+=3,
14、再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷出a20182,問題得以解決【解答】解:a=,an+11=an2an (nN*),an+1an=an2+10,an+1an,數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列,由an+11=an2an=an(an1),=,=,m=+=()+()+()=3,由a=1,則an+1an=(an1)20,a2=1+,a3=1+,a4=1+2,a20182,01,2m3,整數(shù)部分是2,故選:B10已知函數(shù) f(x)=x+a,xa,+),其中a0,bR,記m(a,b)為 f(x)的最小值,則當(dāng)m(a,b)=2時,b的取值范圍為()AbBbCbDb【考點】3H:函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討
15、論當(dāng)b0時,當(dāng)b0時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,可得f(x)的最小值,解方程可得b的范圍【解答】解:函數(shù) f(x)=x+a,xa,+),導(dǎo)數(shù)f(x)=1,當(dāng)b0時,f(x)0,f(x)在xa,+)遞增,可得f(a)取得最小值,且為2a+,由題意可得2a+=2,a0,b0方程有解;當(dāng)b0時,由f(x)=1=0,可得x=(負的舍去),當(dāng)a時,f(x)0,f(x)在a,+)遞增,可得f(a)為最小值,且有2a+=2,a0,b0,方程有解;當(dāng)a時,f(x)在a,)遞減,在(,+)遞增,可得f()為最小值,且有a+2=2,即a=220,解得0b綜上可得b的取值范圍是(,)故選:D二、填空題:本大題共7小
16、題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分11已知全集為R,集合A=y|y=3x,x1,B=x|x26x+80,則AB=(0,4,ARB=(0,2)【考點】1H:交、并、補集的混合運算;1D:并集及其運算【分析】求函數(shù)值域得集合A,解不等式求集合B,根據(jù)集合的運算性質(zhì)計算即可【解答】解:全集為R,集合A=y|y=3x,x1=y|y3=(0,3,B=x|x26x+80=x|2x4=2,4AB=(0,4,RB=(,2)(4,+),ARB=(0,2)故答案為:(0,4、(0,2)12已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2n1(nN*),則a1=2;數(shù)列an的通項公式為an=【考點】8H:數(shù)列遞推式【
17、分析】本題直接利用數(shù)列前n項和與數(shù)列通項的關(guān)系,可得到本題結(jié)論【解答】解:Sn=n2+2n1,當(dāng)n=1時,a1=1+21=2,當(dāng)n2時,an=SnSn1=n2+2n1(n1)2+2(n1)1=2n+1,當(dāng)n=1時,a1=2+1=32,an=,故答案為:2,=13已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F(1,0),則p=2;M是拋物線上的動點,A(6,4),則|MA|+|MF|的最小值為7【考點】K8:拋物線的簡單性質(zhì)【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo),求出p,求出準(zhǔn)線方程,把|MA|+|MF|轉(zhuǎn)化為|MA|+|PM|,利用當(dāng)P、A、M三點共線時,|MA|+|PM|取得最小值【解答】解:拋物線C:y2=2p
18、x(p0)的焦點F(1,0),=1,p=2準(zhǔn)線方程為 x=1,設(shè)點M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|,則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|,故當(dāng)P、A、M三點共線時,|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=6(1)=7,故答案為2,714若sin(+x)+cos(+x)=,則sin2x=, =【考點】GQ:兩角和與差的正弦函數(shù);GI:三角函數(shù)的化簡求值【分析】利用誘導(dǎo)公式求得sinx+cosx=,兩邊平方,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式即可求得sinx2x=, =,化簡整理即可求得答案【解答】解:sin(+x)+cos(+x)=sinxcosx=,即sinx+cosx=,
19、兩邊平方得:sin2x+2sinxcosx+cos2x=,即1+sin2x=,則sinx2x=,由=,故答案為:,15已知直線2x+my8=0與圓C:(xm)2+y2=4相交于A、B兩點,且ABC為等腰直角三角形,則m=2或14【考點】J9:直線與圓的位置關(guān)系【分析】由三角形ABC為等腰直角三角形,得到圓心C到直線的距離d=rsin45°,利用點到直線的距離公式列出方程,求出方程的解即可得到a的值【解答】解:由題意得到ABC為等腰直角三角形,圓心C(m,0)到直線2x+my8=0的距離d=rsin45°,即=,解得:m=2或14,故答案為2或1416若正數(shù)a,b,c滿足+=
20、+1,則的最小值是【考點】7F:基本不等式【分析】根據(jù)題意,對+=+1變形可得+=2()+1,又由基本不等式的性質(zhì)分析可得+=+6,即可得2()+16,化簡可得答案【解答】解:根據(jù)題意,若+=+1,則有+=2()+1,而+=+=(+)+(+)+(+)2+2+2=6,則有2()+16,化簡可得,即的最小值是;故答案為:17如圖,矩形ABCD中,AB=1,BC=,將ABD沿對角線BD向上翻折,若翻折過程中AC長度在,內(nèi)變化,則點A所形成的運動軌跡的長度為【考點】J3:軌跡方程【分析】過A作BD的垂線AE,則A點軌跡是以E為圓心的圓弧,以E為原點建立坐標(biāo)系,設(shè)二面角ABDA的大小為,用表示出A和C的
21、坐標(biāo),利用距離公式計算的范圍,從而確定圓弧對應(yīng)圓心角的大小,進而計算出圓弧長【解答】解:過A作AEBD,垂足為E,連接CE,AE矩形ABCD中,AB=1,BC=,AE=,CE=A點的軌跡為以E為圓心,以為半徑的圓弧AEA為二面角ABDA的平面角以E為原點,以EB,EA,EA為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系Exyz,設(shè)AEA=,則A(0, cos, sin),C(1,0)AC=,解得0cos,60°90°,A點軌跡的圓心角為30°,A點軌跡的長度為=故答案為:三、解答題:(第18題)18已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(xR,0)的圖象如圖,P是圖象的最高點,Q是圖象的最
22、低點且|PQ|=()求函數(shù)y=f(x)的解析式;()將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,當(dāng)x0,2時,求函數(shù)h(x)=f(x)g(x)的最大值【考點】HK:由y=Asin(x+)的部分圖象確定其解析式;HJ:函數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換【分析】()由余弦定理得cosPOQ 的值,可得sinPOQ,求出P的坐標(biāo)可得A的值,再由函數(shù)的周期求出的值,再把點P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出,即可求得 y=f(x) 的解析式()求出g(x) 的解析式,化簡h(x)=f(x)g(x)的解析式,再根據(jù)x的范圍求出h(x) 的值域,從而求得h(x) 的最大值【解答】解:()過P
23、作x軸的垂線PM過Q作y軸的垂線QM,則由已知得|PM|=2,|PQ|=,由勾股定理得|QM求=3,T=6,又T=,=,函數(shù)y=f(x)的解析式:f(x)=sin(x+);()將函數(shù)y=f(x)圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,g(x)=sinx函數(shù)h(x)=f(x)g(x)=sin(x+) sinx=sin2x+sinxcosx =(1cosx)+sinx=sin(x)+當(dāng)x0,2時, x,當(dāng)x=,即 x=1時,hmax(x)=19三棱錐ABCD中,E是BC的中點,AB=AD,BDDC(I)求證:AEBD;(II)若DB=2DC=AB=2,且二面角ABDC為60°,
24、求AD與面BCD所成角的正弦值【考點】MI:直線與平面所成的角;LO:空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【分析】(I)取BD的中點F,連EF,AF,推導(dǎo)出FEDC從而BDFE再求出BDAF,從而BD面AFE,由此能證明BDFE(II)由BDAF,得AFE即為二面角ABDC的平面角,由此能求出AD與面BCD所成角的正弦值【解答】證明:(I)如圖,取BD的中點F,連EF,AF,E為BC中點,F(xiàn)為BD中點,F(xiàn)EDC又BDDC,BDFEAB=ADBDAF又AFFE=F,AF,F(xiàn)E面AFE,BD面AFE,AE面AFE,AEBD,BDFE解:(II)由(I)知BDAF,AFE即為二面角ABDC的平面角 AFE
25、=60°AB=AD=2,ABD為等腰直角三角形,故,又FE=,AE2=AF2+FE22AFFEcosAFE=1+=, 即AE=,AE2+FE2=1=AF2,AEFE,又由(1)知BDAE,且BDFE=F,BD面BDC,F(xiàn)E面BDC,AE平面BDC,ADE就是AD與面BCD所成角,在RtAED中,AE=,AD=2,AD與面BCD所成角的正弦值sin20已知函數(shù)f(x)=+lnx(a0)(1)判斷函數(shù)f(x)在(0,e上的單調(diào)性(e為自然對數(shù)的底);(2)記f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)g(x)=x3x2+x2f(x)在區(qū)間(,3)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍【考點】6B:利用導(dǎo)數(shù)
26、研究函數(shù)的單調(diào)性;6D:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】(1)先求導(dǎo),再根據(jù)a與e的關(guān)系,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,(2)先求出g(x),再求導(dǎo),函數(shù)g(x)有極值等價于關(guān)于x的方程3x2ax+1=0在區(qū)間(,3)上有異號實根,繼而求得a的范圍【解答】解:(1)f(x)=+lnx(a0)f(x)=,若0ae,當(dāng)x(0,a)時,f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,a上單調(diào)遞減,當(dāng)x(a,e)時,f(x)0,函數(shù)f(x)在(a,e上單調(diào)遞增,若ae,f(x)0,函數(shù)f(x)在(0,e上單調(diào)遞減(2)g(x)=x3x2+x2f(x)=x3x2+xag(x)=3x2ax+1函數(shù)g(x)=x3x2+x2f(x)在區(qū)間(,3)上存在極值,等價于關(guān)于x的方程3x2ax+1=0在區(qū)間(,3)上有異號實根,a=,又a=3x+在(,)上單調(diào)遞增,在(,3)上單調(diào)遞增,2a,當(dāng)a=2時,g(x)=(1)20不存在極值,實數(shù)a的取值范圍為(2,)21已知橢圓上任一點P,由點P向x軸作垂線段PQ,垂足為Q,點M在PQ上,且,點M的軌跡為C(1)求曲線C的方程;(2)過點D(0,2)作直線l與曲線C交于A、B兩點,設(shè)N是過點且平行于x軸的直線上一動點,滿足(O為原點),問是否存在這樣的直線l,使得四邊形OANB為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在說明理由【考點
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