2016-2017屆浙江省寧波市諾丁漢大學附中高三（下）期中數(shù)學試卷（解析版）

1、2016-2017學年浙江省寧波市諾丁漢大學附中高三（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1在復平面內(nèi)，復數(shù)z的對應點為（1，1），則z2=（）AB2iCD.2+2i2命題p：xR且滿足sin2x=1命題q：xR且滿足tanx=1則p是q的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則2xy的取值范圍是（）A1，3B3，1C1，6D6，14如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A34+6B44+12C34+6D32+65已知函數(shù)f（x）是定義在R上的

2、偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+）單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f（log3a）+f（）2f（1），則a的取值范圍是（）A（0，3B（0，C，3D1，36過雙曲線的左焦點F作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點分別為A、B，雙曲線左頂點為M，若AMB=120°，則該雙曲線的離心率為（）ABC3D27在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=若動點P滿足=（1）+，（R），則點P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為（）A5B10C2D48已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A（，+）B1，+）C（0， ）D（0，19已知數(shù)列a 滿足a=，an+11=an2a

3、n （nN*），則m=+的整數(shù)部分是（）A1B2C3D410已知函數(shù) f（x）=x+a，xa，+），其中a0，bR，記m（a，b）為 f（x）的最小值，則當m（a，b）=2時，b的取值范圍為（）AbBbCbDb二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分11已知全集為R，集合A=y|y=3x，x1，B=x|x26x+80，則AB= ，ARB= 12已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2n1（nN*），則a1= ；數(shù)列an的通項公式為an 13已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點F（1，0），則p= ；M是拋物線上的動點，A（6，4），則|MA|+|MF|的最小值為 1

4、4若sin（+x）+cos（+x）=，則sin2x= ， = 15已知直線2x+my8=0與圓C：（xm）2+y2=4相交于A、B兩點，且ABC為等腰直角三角形，則m= 16若正數(shù)a，b，c滿足+=+1，則的最小值是 17如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=，將ABD沿對角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在，內(nèi)變化，則點A所形成的運動軌跡的長度為 三、解答題：（第18題）18已知函數(shù)f（x）=sin（x+）（xR，0）的圖象如圖，P是圖象的最高點，Q是圖象的最低點且|PQ|=（）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x0，2

5、時，求函數(shù)h（x）=f（x）g（x）的最大值19三棱錐ABCD中，E是BC的中點，AB=AD，BDDC（I）求證：AEBD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角ABDC為60°，求AD與面BCD所成角的正弦值20已知函數(shù)f（x）=+lnx（a0）（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，e上的單調(diào)性（e為自然對數(shù)的底）；（2）記f（x）為f（x）的導函數(shù)，若函數(shù)g（x）=x3x2+x2f（x）在區(qū)間（，3）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍21已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C（1）求曲線C的方程；（2）過點D（0，2）作直線l與曲線C交于

6、A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由22已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=an2+2an，nN*，設bn=log2（an+1）（I）求an的通項公式；（II）求證：1+n（n2）；（III）若=bn，求證：232016-2017學年浙江省寧波市諾丁漢大學附中高三（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1在復平面內(nèi)，復數(shù)z的對應點為（1，1），則z2=（）AB2iCD.2+2i【

7、考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【分析】利用復數(shù)的幾何意義、運算法則即可得出【解答】解：在復平面內(nèi)，復數(shù)z的對應點為（1，1），z=1+iz2=（1+i）2=2i，故選：B2命題p：xR且滿足sin2x=1命題q：xR且滿足tanx=1則p是q的（）A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷【解答】解：由sin2x=1得2x=+2k，kZ，即x=，kZ，由tanx=1，得x=，kZ，p是q的充要條件故選：C3已知實數(shù)x，y滿足不等式組，則2xy的取值范圍是（）A

8、1，3B3，1C1，6D6，1【考點】7C：簡單線性規(guī)劃【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，設z=2xy，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合確定z的取值范圍【解答】解：設z=2xy，則y=2xz，作出不等式對應的平面區(qū)域（陰影部分）如圖：平移直線y=2xz，由圖象可知當直線y=2xz經(jīng)過點B（0，1）時，直線y=2xz的截距最大，此時z最小，最小值z=01=1當直線y=2xz經(jīng)過點C（3，0）時，直線y=2xz的截距最小，此時z最大z的最大值為z=2×3=6，即1z6即1，6故選：C4如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A34+6B44+12C34+6D32+6【考點

9、】L!：由三視圖求面積、體積【分析】一個底面是矩形的四棱錐，矩形的長和寬分別是6，2，底面上的高與底面交于底面一條邊的中點，四棱錐的高是4，根據(jù)勾股定理做出三角形的高，寫出所有的面積表示式，得到結果【解答】解：由三視圖知，這是一個底面是矩形的四棱錐，矩形的長和寬分別是6，2底面上的高與底面交于底面一條邊的中點，四棱錐的高是4，四棱錐的表面積是2×6+2×+6×+=34+6，故選A5已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，+）單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f（log3a）+f（）2f（1），則a的取值范圍是（）A（0，3B（0，C，3D1，3【考點】3N：奇偶性與

10、單調(diào)性的綜合【分析】由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log3a）+f（log3a）2f（1），即為f（|log3a|）f（1），再由f（x）在區(qū)間0，+）上單調(diào)遞減，得到|log3a|1，即有1log3a1，解出即可【解答】解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），由實數(shù)a滿足f（log3a）+f（）2f（1），則有f（log3a）+f（log3a）2f（1），即2f（log3a）2f（1）即f（log3a）f（1），即有f（|log3a|）f（1），由于f（x）在區(qū)間0，+）上單調(diào)遞

11、減，則|log3a|1，即有1log3a1，解得a3故選C6過雙曲線的左焦點F作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點分別為A、B，雙曲線左頂點為M，若AMB=120°，則該雙曲線的離心率為（）ABC3D2【考點】KC：雙曲線的簡單性質【分析】依題意，作出圖形，易求該雙曲線的離心率e=2，從而得到答案【解答】解：依題意，作圖如下：OAFA，AMO=60°，OM=OA，AMO為等邊三角形，OA=OM=a，在直角三角形OAF中，OF=c，該雙曲線的離心率e=2，故選：D7在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=若動點P滿足=（1）+，（R），則點P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封

12、閉區(qū)域的面積為（）A5B10C2D4【考點】98：向量的加法及其幾何意義；HP：正弦定理【分析】根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點軌跡，利用正弦定理解出AB，得出ABC的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積【解答】解：設=，=（1）+=（1）+B，D，P三點共線P點軌跡為直線BC在ABC中，BC=7，AC=6，cosC=，sinC=SABC=×7×6×=15，SBCD=SABC=5故選：A8已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A（，+）B1，+）C（0， ）D（0，1【考點】52：函數(shù)零點的判定定理【分析】根據(jù)圖象得出g（x）在（，0

13、）上的零點個數(shù)，得出g（x）在0，+）上的零點個數(shù)，利用二次函數(shù)的性質得出a的范圍【解答】解：令g（x）=0得f（x）=，作出f（x）=ln（1x）與y=的函數(shù)圖象，由圖象可知f（x）與y=在（，0）上只有1個交點，g（x）=0在（，0）上只有1個零點，f（x）=在0，+）上有2個零點，即得到x2ax+=0在0，+）上有兩解，解方程x2ax+=0得x1=0，x2=a，a0，即a故選A9已知數(shù)列a 滿足a=，an+11=an2an （nN*），則m=+的整數(shù)部分是（）A1B2C3D4【考點】8E：數(shù)列的求和【分析】先判斷數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用裂項求和即可得到m=+=3，

14、再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷出a20182，問題得以解決【解答】解：a=，an+11=an2an （nN*），an+1an=an2+10，an+1an，數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列，由an+11=an2an=an（an1），=，=，m=+=（）+（）+（）=3，由a=1，則an+1an=（an1）20，a2=1+，a3=1+，a4=1+2，a20182，01，2m3，整數(shù)部分是2，故選：B10已知函數(shù) f（x）=x+a，xa，+），其中a0，bR，記m（a，b）為 f（x）的最小值，則當m（a，b）=2時，b的取值范圍為（）AbBbCbDb【考點】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】求出f（x）的導數(shù)，討

15、論當b0時，當b0時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，可得f（x）的最小值，解方程可得b的范圍【解答】解：函數(shù) f（x）=x+a，xa，+），導數(shù)f（x）=1，當b0時，f（x）0，f（x）在xa，+）遞增，可得f（a）取得最小值，且為2a+，由題意可得2a+=2，a0，b0方程有解；當b0時，由f（x）=1=0，可得x=（負的舍去），當a時，f（x）0，f（x）在a，+）遞增，可得f（a）為最小值，且有2a+=2，a0，b0，方程有解；當a時，f（x）在a，）遞減，在（，+）遞增，可得f（）為最小值，且有a+2=2，即a=220，解得0b綜上可得b的取值范圍是（，）故選：D二、填空題：本大題共7小

16、題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分11已知全集為R，集合A=y|y=3x，x1，B=x|x26x+80，則AB=（0，4，ARB=（0，2）【考點】1H：交、并、補集的混合運算；1D：并集及其運算【分析】求函數(shù)值域得集合A，解不等式求集合B，根據(jù)集合的運算性質計算即可【解答】解：全集為R，集合A=y|y=3x，x1=y|y3=（0，3，B=x|x26x+80=x|2x4=2，4AB=（0，4，RB=（，2）（4，+），ARB=（0，2）故答案為：（0，4、（0，2）12已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+2n1（nN*），則a1=2；數(shù)列an的通項公式為an=【考點】8H：數(shù)列遞推式【

17、分析】本題直接利用數(shù)列前n項和與數(shù)列通項的關系，可得到本題結論【解答】解：Sn=n2+2n1，當n=1時，a1=1+21=2，當n2時，an=SnSn1=n2+2n1（n1）2+2（n1）1=2n+1，當n=1時，a1=2+1=32，an=，故答案為：2，=13已知拋物線C：y2=2px（p0）的焦點F（1，0），則p=2；M是拋物線上的動點，A（6，4），則|MA|+|MF|的最小值為7【考點】K8：拋物線的簡單性質【分析】根據(jù)焦點坐標，求出p，求出準線方程，把|MA|+|MF|轉化為|MA|+|PM|，利用當P、A、M三點共線時，|MA|+|PM|取得最小值【解答】解：拋物線C：y2=2p

18、x（p0）的焦點F（1，0），=1，p=2準線方程為 x=1，設點M到準線的距離為d=|PM|，則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故當P、A、M三點共線時，|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=6（1）=7，故答案為2，714若sin（+x）+cos（+x）=，則sin2x=， =【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GI：三角函數(shù)的化簡求值【分析】利用誘導公式求得sinx+cosx=，兩邊平方，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系及二倍角公式即可求得sinx2x=， =，化簡整理即可求得答案【解答】解：sin（+x）+cos（+x）=sinxcosx=，即sinx+cosx=，

19、兩邊平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=，即1+sin2x=，則sinx2x=，由=，故答案為：，15已知直線2x+my8=0與圓C：（xm）2+y2=4相交于A、B兩點，且ABC為等腰直角三角形，則m=2或14【考點】J9：直線與圓的位置關系【分析】由三角形ABC為等腰直角三角形，得到圓心C到直線的距離d=rsin45°，利用點到直線的距離公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：由題意得到ABC為等腰直角三角形，圓心C（m，0）到直線2x+my8=0的距離d=rsin45°，即=，解得：m=2或14，故答案為2或1416若正數(shù)a，b，c滿足+=

20、+1，則的最小值是【考點】7F：基本不等式【分析】根據(jù)題意，對+=+1變形可得+=2（）+1，又由基本不等式的性質分析可得+=+6，即可得2（）+16，化簡可得答案【解答】解：根據(jù)題意，若+=+1，則有+=2（）+1，而+=+=（+）+（+）+（+）2+2+2=6，則有2（）+16，化簡可得，即的最小值是；故答案為：17如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=，將ABD沿對角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在，內(nèi)變化，則點A所形成的運動軌跡的長度為【考點】J3：軌跡方程【分析】過A作BD的垂線AE，則A點軌跡是以E為圓心的圓弧，以E為原點建立坐標系，設二面角ABDA的大小為，用表示出A和C的

21、坐標，利用距離公式計算的范圍，從而確定圓弧對應圓心角的大小，進而計算出圓弧長【解答】解：過A作AEBD，垂足為E，連接CE，AE矩形ABCD中，AB=1，BC=，AE=，CE=A點的軌跡為以E為圓心，以為半徑的圓弧AEA為二面角ABDA的平面角以E為原點，以EB，EA，EA為坐標軸建立空間直角坐標系Exyz，設AEA=，則A（0， cos， sin），C（1，0）AC=，解得0cos，60°90°，A點軌跡的圓心角為30°，A點軌跡的長度為=故答案為：三、解答題：（第18題）18已知函數(shù)f（x）=sin（x+）（xR，0）的圖象如圖，P是圖象的最高點，Q是圖象的最

22、低點且|PQ|=（）求函數(shù)y=f（x）的解析式；（）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，當x0，2時，求函數(shù)h（x）=f（x）g（x）的最大值【考點】HK：由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式；HJ：函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【分析】（）由余弦定理得cosPOQ 的值，可得sinPOQ，求出P的坐標可得A的值，再由函數(shù)的周期求出的值，再把點P的坐標代入函數(shù)解析式求出，即可求得 y=f（x） 的解析式（）求出g（x） 的解析式，化簡h（x）=f（x）g（x）的解析式，再根據(jù)x的范圍求出h（x） 的值域，從而求得h（x） 的最大值【解答】解：（）過P

23、作x軸的垂線PM過Q作y軸的垂線QM，則由已知得|PM|=2，|PQ|=，由勾股定理得|QM求=3，T=6，又T=，=，函數(shù)y=f（x）的解析式：f（x）=sin（x+）；（）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數(shù)y=g（x）的圖象，g（x）=sinx函數(shù)h（x）=f（x）g（x）=sin（x+） sinx=sin2x+sinxcosx =（1cosx）+sinx=sin（x）+當x0，2時， x，當x=，即 x=1時，hmax（x）=19三棱錐ABCD中，E是BC的中點，AB=AD，BDDC（I）求證：AEBD；（II）若DB=2DC=AB=2，且二面角ABDC為60°，

24、求AD與面BCD所成角的正弦值【考點】MI：直線與平面所成的角；LO：空間中直線與直線之間的位置關系【分析】（I）取BD的中點F，連EF，AF，推導出FEDC從而BDFE再求出BDAF，從而BD面AFE，由此能證明BDFE（II）由BDAF，得AFE即為二面角ABDC的平面角，由此能求出AD與面BCD所成角的正弦值【解答】證明：（I）如圖，取BD的中點F，連EF，AF，E為BC中點，F(xiàn)為BD中點，F(xiàn)EDC又BDDC，BDFEAB=ADBDAF又AFFE=F，AF，F(xiàn)E面AFE，BD面AFE，AE面AFE，AEBD，BDFE解：（II）由（I）知BDAF，AFE即為二面角ABDC的平面角 AFE

25、=60°AB=AD=2，ABD為等腰直角三角形，故，又FE=，AE2=AF2+FE22AFFEcosAFE=1+=， 即AE=，AE2+FE2=1=AF2，AEFE，又由（1）知BDAE，且BDFE=F，BD面BDC，F(xiàn)E面BDC，AE平面BDC，ADE就是AD與面BCD所成角，在RtAED中，AE=，AD=2，AD與面BCD所成角的正弦值sin20已知函數(shù)f（x）=+lnx（a0）（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，e上的單調(diào)性（e為自然對數(shù)的底）；（2）記f（x）為f（x）的導函數(shù)，若函數(shù)g（x）=x3x2+x2f（x）在區(qū)間（，3）上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍【考點】6B：利用導數(shù)

26、研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】（1）先求導，再根據(jù)a與e的關系，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）先求出g（x），再求導，函數(shù)g（x）有極值等價于關于x的方程3x2ax+1=0在區(qū)間（，3）上有異號實根，繼而求得a的范圍【解答】解：（1）f（x）=+lnx（a0）f（x）=，若0ae，當x（0，a）時，f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，a上單調(diào)遞減，當x（a，e）時，f（x）0，函數(shù)f（x）在（a，e上單調(diào)遞增，若ae，f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，e上單調(diào)遞減（2）g（x）=x3x2+x2f（x）=x3x2+xag（x）=3x2ax+1函數(shù)g（x）=x3x2+x2f（x）在區(qū)間（，3）上存在極值，等價于關于x的方程3x2ax+1=0在區(qū)間（，3）上有異號實根，a=，又a=3x+在（，）上單調(diào)遞增，在（，3）上單調(diào)遞增，2a，當a=2時，g（x）=（1）20不存在極值，實數(shù)a的取值范圍為（2，）21已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C（1）求曲線C的方程；（2）過點D（0，2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于x軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由【考點