專題七一次函數(shù)中的構(gòu)造等腰直角三角形法2020年中考數(shù)學(xué)沖刺難點突破一次函數(shù)問題(解析版)

1、2021 年中考數(shù)學(xué)沖刺難點突破一次函數(shù)問題專題七一次函數(shù)中的構(gòu)造等腰直角三角形法1、如圖 1,等腰直角三角形 A8C 中,乙 4c8=90.,CB=CA9直線經(jīng)過點 C,過 A 作于點D,過B作BELED于點E.2、已如,在平面直角坐標系中,點 A 的坐標為6,0、點 8 的坐標為0,8,點.在 y 軸上,作直線AC 點 8 關(guān)于直線 AC 的對稱點方剛好在 x 軸上,連接 C 夕.點.在線段 AC 上,連接.尻 DB、BB,當(dāng) 405 夕是等腰直角三角形時,求點.坐標;3如圖 2,在2的條件下,點 P 從點 8 出發(fā)以每秒 2 個單位長度的速度向原點.運動,到達點.(1)寫出點用的坐標,并

2、求出直線 AC 對應(yīng)的函數(shù)表達式:(2)求證：二BEgACDA：9時停止運動,連接 PQ,過.作.尸的垂線,交 x 軸于點.,問點戶運動幾秒時AO.是等腰三角形.3、定義：在平面直角坐標系中,對于任意尸xi,yi,O%2,冷,假設(shè)點河x,y滿足 x=3AI+A-2y=3那么稱點 M 是點尸,.的“美妙點.例如：點尸1,2,0-2,1,當(dāng)點河x,y滿足 x=3x1-2=-3,y=3x2+1=9 時,那么點“-3,9是點尸,.的“美妙點1點 K-1,3,B3,3,C2,-2,請說明其中一點是另外兩點的“美妙點：2如圖,點.是直線尸冬+2 上的一點.點 E3,0,點 Mx,y是點.、E 的“美妙點.

3、匚求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式：假設(shè)直線 DM 與 x 軸相交于點 F,當(dāng)二 MEF 為直角三角形時,求點.的坐標.4、如圖,過點 H1,3的一次函數(shù) y=h+6原 0的圖象分別與 x 軸,?軸相交于 8,C兩點.1求上的值；2直線/與 y 軸相交于點 Z0,2,與線段 3C 相交于點 E.力假設(shè)直線/把二 8OC 分成面積比為 1：2 的兩局部,求直線/的函數(shù)表達式；二連接 3,假設(shè)二E 是以,鋁為腰的等腰三角形,求滿足條件的點 E 的坐標.5、建立模型：如圖 1,等腰 Rt 二 1BC 中,rj5C=90%CB=BA,直線 HD 經(jīng)過點 3,過乂作二皮于 Q,過 C 作CE二ED于E.那么

4、易證二 U5Zj 匚 BEC.這個模型我們稱之為“一線三垂直它可以把傾斜的線段,48 和直角二四 C 轉(zhuǎn)化為橫平豎直的線段和直角,所以在平面直角坐標系中被大量使用.模型應(yīng)用：1如圖 2,點.40,4,點 33,0,二/C 是等腰直角三角形.口假設(shè)二 43c=90.,且點 C 在第一象限,求點.的坐標：口假設(shè)43 為直角邊,求點 C 的坐標：2如圖 3,長方形 MEM9,.為坐標原點,F 的坐標為8,6,N 分別在坐標軸上,P 是線段NF 上動點,設(shè) PN=,己知點 G 在第一象限,且是直線 y=2x6 上的一點,假設(shè)二版 PG 是以 G 為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出點 G 的坐標.圖

5、36、如圖 1,直線/：產(chǎn)點+2 與 x 軸交于點,4,與軸交于點 8.點 C-2,0.1求出點 K,點 3 的坐標.2尸是直線,43 上一動點,且二 3.尸和二.尸的面積相等,求點尸坐標.3如圖 2,平移直線,分別交 x 軸,y 軸于交于點為,過點 C 作平行于 y 軸的直線小,在直線加上是否存在點 0,使得二 4 山邊是等腰直角三角形？假設(shè)存在,請直接寫出所有符合條件的點.的坐標.7、如圖 1,等腰直角三角形,8C 中,二dCB=90.,CB=CA,直線 DE 經(jīng)過點 C,過 M 作二 QE 于點.,過B作BE二DE于點、E,那么 CBEC 二二 CQ4,我們稱這種全等模型為“K 型全等.

6、不需要證實【模型應(yīng)用】假設(shè)一次函數(shù) y=h+4樣 0的圖象與 x 軸、y 軸分別交于,4、B兩點.1如圖 2,當(dāng) k=-l 時,假設(shè)點 8 到經(jīng)過原點的直線/的距離 3E 的長為 3,求點.4 到直線/的距離,如的長；2如圖 3,當(dāng) k=-當(dāng)時,點 M 在第一象限內(nèi),假設(shè)二 4 氏 M 是等腰直角三角形,求點 M 的坐標；33當(dāng)土的取值變化時,點,4 隨之在 x 軸上運動,將線段繞點 8 逆時針旋轉(zhuǎn) 90.得到 8.,連接 O0,求.長的最小值.(1)如圖 1,等腰直角三角形 ABC 中,NAC8=90.,CA=CB,直線 EQ 經(jīng)過點 C,過 A 作于點.,過B作BE1.ED于點E.求證：h

7、CDA義MEC.【模型運用】(2)如圖 2,直線小),=去+4 與坐標軸交于點 A、B,將直線八繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90.至直線 3 求直線的函數(shù)表達式.【模型遷移】如圖 3,直線/經(jīng)過坐標原點.,且與 a軸正半軸的夾角為 30.,點 A 在直線/上,點 P 為 X 軸上一動點,連接 AP,將線段 AP 繞點尸順時針旋轉(zhuǎn) 30.得到 3P,過點 3 的直線 8C 交 x 軸于點 C,NOCB=30.,點B 到 x 軸的距離為 2,求點 P的坐標.S1S29、如圖 1,在平面直角坐標系中,直線,=-今+匕與 X 軸、,軸相交于 A、8 兩點,動點 C,0在線段.4 上,將線段 CB 繞著點 C

8、 順時針旋轉(zhuǎn) 90.得到 CD,此時點 D 恰好落在直線 AB 上,過點 D 作 DEx 軸于點 E.1求,和的數(shù)量關(guān)系；2當(dāng)機=1 時,如圖 2,將BC.沿 x 軸正方向平移得夕 CO,當(dāng)直線夕.經(jīng)過點.時,求點用的坐標及8.平移的距離：3在2的條件下,直線 A3 上是否存在一點 P,以 P、C、.為頂點的三角形是等腰直角三角形?假設(shè)存在,寫出滿足條件的 P 點坐標：假設(shè)不存在,請說明理由.10、如圖,一次函數(shù) y=-x+7 與正比例函數(shù)尸告 x 的圖象交于點 A,且與 x 軸交于點從1求AOB 的面積:2在 y 軸上找一點.使 AC+BC 最小,求最小值及.點坐標.3點 P 從.出發(fā)向 8

9、 點以 1 個單位每秒的速度運動,點.從 8 點出發(fā)向 A 點以同樣的速度運動,兩個點同時停止,當(dāng)ABP.為等腰三角形時,求.點坐標.11、一邊長為 4 正方形 QAC8 放在平而直角坐標系中,其中.為原點,點 A、3 分別在 x 軸、y 釉上,D為射線 08 上任意一點.圖 1 圖 2 圖 31如圖 1,假設(shè)點.坐標為0,2,連接 AD 交.于點 E,那么 ZiAOE 的面積為；2如圖 2,將A0.沿力.翻折得AEO,假設(shè)點 E 在直線圖象上,求出 E 點坐標：3如圖 3,將A.沿翻折得AEO,.石和射線 8c 交于點 F,連接 AF,假設(shè) NZMO=75.,平而內(nèi)是否存在點.,使得AF.是

10、以 AF 為直角邊的等腰直角三角形,假設(shè)存在,請求出所有點.坐標：假設(shè)不存在,請說明理由.2021 年中考數(shù)學(xué)沖刺難點突破一次函數(shù)問題專題七一次函數(shù)中的構(gòu)造等腰直角三角形法1、如圖 1,等腰直角三角形 A8C 中,ZACB=90,CB=CA,直線 EO 經(jīng)過點 C,過 A 作于點D,過B作BELED于點E.求證：BEC冬ACDA；解：(1)由題意可知：ABEOAAOD(K 型全等),*OE=AD:k=-1,y=-x+4,：.B(0,4),：.OB=4.BE=3,:OE=5：AD=544(2)k=-不時,y=-萬 x+4,2(3,0),當(dāng)且 8W=A8 時,過點 M 作 MMLy 軸,:ABMN

11、WAABO(A4S),:MN=OB,BN=OA,MN=4,BN=3,(4,7)：當(dāng)且 AAf=AB 時,過點 M 作 x 軸垂線 MK,A8O 色AMK(AAS),：OB=AK,OA=MK9AK=4.A/K=3,：.M(7,3)；當(dāng) AMLBM,且從 M=BM 時,過點“作 M_Lx 軸,時 G_Ly 軸,:ABMG也4AHM(AAS),：BG=AH,GM=MH.:.GM=MH,7:.MH=3,乙77七,)；乙乙77.上所述：M(7,3)或 M(4,7)或 M 七,彳)；乙乙4(3)之 k0 時,AO=.k過點.作 QSLy 軸,：4BO9ABQS(AAS),:.BS=OA9SQ=OB.:Q(

12、4,4-卷),當(dāng) k=l 時,.最小值為 4：當(dāng)上0 時,.4,4-%,當(dāng) k=l 時,.最小值為 4,與&VO 矛盾,0.的最小值為 4.* .=.=J16(2B圖32、已如,在平面直角坐標系中,點 A 的坐標為6,0、點 3 的坐標為0,8,點 C 在,軸上,作直線AC 點 8 關(guān)于直線 AC 的對稱點夕剛好在 x 軸上,連接.夕.1寫出點夕的坐標,并求出直線 AC 對應(yīng)的函數(shù)表達式；2點.在線段 AC 上,連接.8、DB：B8,當(dāng)Q8B是等腰直角三角形時,求點.坐標；3如圖 2,在2的條件下,點尸從點 B 出發(fā)以每秒 2 個單位長度的速度向原點.運動,到達點.時停止運動,連接尸.

13、,過.作.p 的垂線,交 X 軸于點.,問點 P 運動幾秒時 4 人.是等腰三角形.解：1YA 的坐標為6,0、點 8 的坐標為0,8,OA=6,03=8, :NAO8=90.,AB=10,IB 與 8 關(guān)于直線 AC 對稱, AC 垂直平分 88,：.BC=CBA8=A3=10,(-4,0),設(shè)點 C(0,】), *OC=Hlt:CB=CB=8-m, ;在 RtACO 夕中,ZCOB=90,AM2+16=(8-m)2,/.m=3,：.C(0,3),設(shè)直線 AC 的解析式為,=仙+)(脛 0),把 A(6,0),C(0,3)代入可得人得=3,乙.1、 =一愛+3：(2)4C 垂直平分 8B,：

14、.DB=DBBOB是等腰直角三角形,/.NBDB=90.,過點.作軸,OF_Ly 軸,/.ZDFO=/DFB=NDEB=90.,ZEDF=360-NDFB-ZDEO-/EOF,NEOF=90.,：NEOF=90.,:./EDF=/BDB,：.ZBDF=ZEDB：.FDBEDB(AAS),:DF=DE,設(shè)點.(,)代入 y=-小+3 中,乙Aa=29：.D(2,2)：(3)同可得NPDF=NQDE,:DF=DE=2,NPDF=/QDE,：4PDF嶺AQDE(AAS),；PF=QE,當(dāng).=時,JDEL,軸,：.QE=AE=4.:PF=QE=4,:BP=BF-PF=2.,點 P 運動時間為 1 秒:

15、當(dāng)胃.=月.時,VA(6,0)、D(2,2),:AD=2代.=2 日:PF=QE=2厭-4,：.BP=BF-PF=102店,點 P 的運動時間為 5-4 豆少:當(dāng) QD=QA 時,設(shè).石=,那么.O=0A=4-,在 RDE.中,ZDE0=9O,4+2=(4-)2,/.=1,5,：.PF=QE=.5,；BP=BF+PF=75,.點 P 的運動時間為 3.75 秒,V0/22直線,把二 BOC 分成面積比為 1：2 的兩局部,那么 S 二皿=2 或 4,iri5 二 X4%XE=2或 4,22那么玄=或 2,故點 Eh3或2,0,將點 E 的坐標代入直線 7 表達式并解得：直線,的表達式為：y=x

16、+2,二設(shè)點-3 加+6,而點工.的坐標分別為：1,3、0.2,那么,出=w-12+3-3m2,AD2=29ED2=m2+4-3m時,加-143-3/w2=2,解得：尸空屋或上返：55當(dāng) JT-ED 時,同理可得：加=3；2綜上,點 E 的坐標為：-3或口戈-,.5555225、建立模型:如圖 1,等腰 Rt 二 15C 中,二速 C=90.,CB=BA.直線切經(jīng)過點 8,過乂作 JZCED 于.,過 C 作 CE二ED于E.那么易證二山匚 8EC.這個模型我們稱之為“一線三垂直它可以把傾斜的線段,45和直角二C轉(zhuǎn)化為橫平豎直的線段和直角,所以在平面直角坐標系中被大量使用.模型應(yīng)用：1如圖 2

17、,點工0,4,點 83,0,二C 是等腰直角三角形.匚假設(shè)二：LSC=90.,且點 C 在第一象限,求點.的坐標：匚假設(shè).48 為直角邊,求點 C 的坐標：2如圖 3,長方形MFNO,.為坐標原點,下的坐標為8,6,河、N 分別在坐標軸上,尸是線段NF 上動點,設(shè)PN=n,點 G 在第一象限,且是直線 y=2x6 上的一點,假設(shè)二 MPG 是以 G 為直角頂點的等腰直角三角形,請直接寫出點 G 的坐標.解：1二過點 C 作 CQ 二 x 軸于點 Q,M0圖3過點尸作尸 8 二 3/于&過點、G作GH二PE于H,二點點 M 重合,二 G 尸=?,3=42設(shè) G 點坐標為x,2x-6,6-

18、2A-6=4,得 x=4,易得 G 點坐標4,2：如圖 3,:kMGP=90.時,MG=PG 時,同理得 G 點坐標型,罵,33匕可知,:條件的點 G 的坐標分別為4,2或型,罵.336、如圖 1,直線/：7=泰+2 與 x 軸交于點,4,與,軸交于點 8.點 C-2,0.1求出點 X,點 3 的坐標.2尸是直線上一動點,且二 3.尸和二 COP 的而枳相等,求點尸坐標.(3)如圖 2,平移直線/,分別交式軸,y 軸于交于點乂山 1,過點 C 作平行于 y 軸的直線加,在直線打上是否存在點.,使得二人所.是等腰直角三角形？假設(shè)存在,請直接寫出所有符合條件的點.的坐標.解：(1)設(shè) y=0,那么

19、w2=0,解得：x=-4,設(shè) x=0,那么 y=2,點力的坐標為(-4,0),點 8 的坐標的坐標為(0,2)：(2)匚點 C(-2,0),點、B(0,2),.=2,05=2,二尸是直線乂 5 上一動點,二設(shè) P(HI,m+2),2二-BOP 和二 CO 尸的面枳相等,二小 2 的yX2x(會制+2),乙乙解得：5=4,當(dāng) 7=-4 時,點尸與點 H 重合,口點P坐標為(4,4)：(3)存在:理由：如圖 L二當(dāng)點 8】是直角頂點時,BQBA二二七&.+二 03N=9O.,二BO+二.九 31=90,二二 0,山尸二 31H.NAiOB./BiHQ在二力.8】和二 BiH.中,NOAFI

20、=NHBQ,AB=BQ二二工QBi二二BiHQ3S),二BiH=AQ,OBi=HQ=2,匚Bi(0,-2)或(0,2).當(dāng)點 31(0,-2)時,0(-2,2),當(dāng)點 81(0,2)時,匚B(0,2),口點比(0,2)(不合題意舍去),二直線,立向下平移 4 個單位,二點.也向上平移 4 個單位,匚.(-2,2),二當(dāng)點&是直角頂點時,$31=%.,口直線 4 的解析式為),=X+2,由平移知,宜線的解析式為.】、=94,乙Zzli(-2b.0),s(0,b).ZAiBiZAiO.二直線小.的解析式為丁=-2A-46匚.-2,4-46,二 4.2=-26+22+4-4b2=20-406

21、+20,二 20-40 計 20=5 兒二 6 一 2.或 b,3二.-2,-4或2,年：二當(dāng).是直角頂點時,過.作.HZp 軸于 H,-AQ=BO二二.,九.1+二工 100=90.,二 H1QC+二 C03i=9O.,二二 0dC=二 C08i,二加二 y 軸,二二CQB尸二QBH二二QAC=：QBH0 時,.=匡,k過點.作 QS：y 軸,二二ABO二二BQSTS),二BS=OA.SQ=OB,4 二.(4,4-),k二.=小 6(2 號寺.二當(dāng)上=1 時,.最小值為 4：當(dāng)月 V0 時,O(4,4-)k二 00=16(2),匚當(dāng)上=1 時,.最小值為 4,與左0 矛盾,8、【模型建立】(

22、1)如圖 1,等腰直角三角形 ABC 中,NAC8=90.,CA=CB,直線 ED 經(jīng)過點 C,過 A 作 AD_LED 于點.,過 3 作 8EJ_E.于點求證：CDAQABEC.【模型運用】(2)如圖 2,直線人=言犬+4 與坐標軸交于點 A、B,將直線八繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90.至直線/2,求直線八的函數(shù)表達式.【模型遷移】如圖 3,直線/經(jīng)過坐標原點 0,且與 x 軸正半軸的夾角為 30.,點 A 在直線/上,點 P 為 x 釉上一動點,連接 AP,將線段 AP 繞點尸順時針旋轉(zhuǎn) 30.得到 3P,過點 5 的直線 BC 交 x 軸于點 C,NOC8=30.,點 B 到 x 軸的距離

23、為 2,求點 P 的坐標.證實：【模型建立】(1):ADLDE,BEtDE,AZD=Z=90ZACB=90,AZACD=90-ZBCE=ZCBE,且 C4=BC,ZD=ZE=90CDA9ABEC(AAS)【模型運用】(2)如圖 2,在/2 上取.點,使 AO=A&過.點作 OELOA,垂足為 E;直線尸急+4 與坐標軸交于點 A、B,(-3,0),8(0,4),OA=3,08=4,由(1)得BOAAAED,：.DE=OA=39AE=OB=49：.OE=7.：.D(-7,3)設(shè)/2 的解析式為 y=Z+,3=-7k+b0=-3k+b3494QQ.直線的函數(shù)表達式為：片?端【模型遷移】3假

24、設(shè)點 P 在“軸正半軸,如圖 3,過點 8 作 8ELOC,解得.8C=4,將線段 AP 繞點 P 順時針旋轉(zhuǎn) 30.得到 BP,；AP=BP,NAPB=30.,ZAPC=ZAOC+ZOAP=NAPB+NBPC,：/OAP=NBPC.且 NO4C=NPC5=30.,AP=BP,:OAPW4CPB(AAS)：.OP=BC=49:點P(4,0)假設(shè)點 P 在工軸負半軸,如圖 4,過點 B 作 8E_L.,BE=2,ZBCO=30%BEIOC：.BC=4.將線段 AP 繞點尸順時針旋轉(zhuǎn) 30.得到 BP,：.AP=BP9NAP8=30,NAPE+NBPE=30,NBCE=3G=NBPE+NPBC.；

25、BE=2,N8CO=30.,BELOC：.NAPE=NPBC,ZAOE=ZBCO=30：.ZAOP=ZBCP=50且NAPE=NPBC.PA=PB:OAPqMPBAAS：.0P=BC=4,點 P-4,0綜上所述：點尸坐標為4,0或-4,09、如圖 1,在平而直角坐標系中,直線 y=-x+與 x 軸、y 軸相交于 A、8 兩點,動點 C皿,0在線段.從上,將線段 CB 繞著點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90.得到 CD,此時點 D 恰好落在直線 AB 上,過點 D 作 DEx 軸于點 E.1求,和的數(shù)量關(guān)系；2 當(dāng)m=1時,如圖2,將BCD沿x軸正方向平移得BC.,當(dāng)直線夕C經(jīng)過點.時,求點夕的坐標及BC

26、D平移的距離;3在2的條件下,直線 45 上是否存在一點尸,以 P、C、.為頂點的三角形是等腰直角三角形？假設(shè)存在,寫出滿足條件的尸點坐標：假設(shè)不存在,請說明理由.3102解：直線產(chǎn)-%b 與,軸相交于 B 點,乙0cE4x備用圖：.B(0,b)：OB=b,；點C(*0)/OC=HlVZBCO+ZECD=90%NBCO+/OBC=9(R：./OBC=NECD.在仆 OBChECD 中,/OBC二NECDBC=CDIZBOC=ZDEC=90:OBCgAECD(AAS)/.BO=CE=b9DE=OC=m,點 Q(b+m,w)/.m-(b+m)+h乙:b=3m（2） Vm=l,b=3,點 C1,0,

27、點.4,I 宜.線八 8 解析式為：、=-,x+3 乙設(shè)直線 8.解析式為：產(chǎn)辦+3,且過1,0,0=.+3/a=-3,直線 BC 的解析式為 y=-3x+3,設(shè)直線夕.的解析式為丁=-3*匕把.4.1代入得到 c=13,直線 8C 的解析式為 y=-3A+13,當(dāng) y=3 時,x=當(dāng)尸.時,工一券：,B羋,3,C學(xué),0.=孚 5.平移的匚二壯個單位.3當(dāng) NPCO=90.,PC=CD 時,點尸與點 5 重合,:點P0,3如圖,當(dāng) NCPO=90.,PC=PD時,TBC=CD,ZBCD=90,ZCPD=90：.BP=PD 點 P 是 5.的中點,且點 80.3,點.4,1:點P2,2綜上所述,

28、點 P 為0,3或2,2時,以 P、.、.為頂點的三角形是等腰直角三角形.10、如圖,一次函數(shù)尸 7+7 與正比例函數(shù)尸言工的圖象交于點 A,且與 x 軸交于點以(1)求AOB 的面積：(2)在,軸上找一點.,使 AC+8C 最小,求最小值及.點坐標.(3)點尸從.出發(fā)向8點以1個單位每秒的速度運動,點.從8點出發(fā)向A點以同樣的速度運動,兩個點同時停止,當(dāng) ABP.為等腰三角形時,求.點坐標.解：一次函數(shù) y=-x+7 與正比例函數(shù)產(chǎn)看的圖象交于點 A,且與 x 軸交于點 8.工點、B(7,0),-葉 7=小,1=3,點 A(3,4)AO8=X7X4=14：乙(2)如圖 1,作點 8 關(guān)于 y

29、 軸的對稱點(-7,0),連接力,交 y 軸于點 G丁點 A(3,4),點(-7,0),AH=也3+7)2十(4-0)2=最小值為 2 收,設(shè)直線 A解析式為：y=kx+b,且過點 A(3,4),點 H(-7,0),.4=3k+b0=-7k+b,解得:：,14b=v214,直線 A解析式為：y=1+等：DD(3)如圖 2,過點.作.從 LO5,;以同樣的速度運動,；BQ=OP,一次函數(shù) y=7+7 與 y 軸交于點 D,點.(0,7),：.OD=OB=19且 NOO8=90.,NO8O=45.,且.；NQBE=NEQB=450,:QE=BE,假設(shè)PB=QB,JiOP=BQ,7：.OP=PB=BQ,乙7A/2；.BE=EQ=-4：.OE=14二點.7-2,2,44假設(shè)QP=QB,且 0EJ_O8,:PE=BE,；OB=7=OP+PE+BE,：Jh6BE+2BE,.RF14-7V2cr.BE=QE.22.7V214-7V