微積分下冊主要知識點(diǎn)

1、、第一換元積分法(湊微分法).g(x)(x)dx二g(u)du二F(u)C=F(x)C積分類型換元公式1.Jf(ax+b)dx1aJf(ax+b)d(ax+b)(a式0)u=ax+b2jf(x取&dx1jf(x»)d(x卜)(卩鼻0)u1f(lnx)d(lnx)u=1nx3.ff(lnx)dx=x第4.ff(ex)exdx=jf(ex)dexu=ex換5jf(ax)axdx1ff(ax)daxxlnau=a元6.Jf(sinx)cosxdx=ff(sinx)dsinxu=sinx積7.Jf(cosx)sinxdx=-Jf(cosx)dcosxu=cosx分法8Jf(tanx)

2、sec2xdx=ff(tanx)dtanxu=tanx29.Jf(cotx)cscxdx=-Jf(cotx)dcotxu=cotx10Jf(arctanx)12dx_ff(arctanx)d(arctanx)1+x2u=arctanx11Jf(arcsinx)1Ldx_-ff(arcsinx)d(arcsinx)u=arcsinxJ1-2x常用湊微分公式三、第二換元法Jf(x)dx=JfW(t)®(t)dt=F(t)+C=F”(x)+C,其一注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有a2-x2,可令x=asint;a) x2a2,可令x=a

3、tant;x2-a2,可令x=asect.當(dāng)有理分式函數(shù)中分母的階較高時，常采用倒代換X.t四、積分表續(xù)4.3分部積分法分部積分公式：udv=uv_vdu(3.1)uvdx=uv'uvdx(3.2)分部積分法實(shí)質(zhì)上就是求兩函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)(或微分)的逆運(yùn)算.一般地,F列類型的被積函數(shù)?？紤]應(yīng)用分部積分法(其中m,n都是正整數(shù)).5.1定積分的概念5.2定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定：(a)當(dāng)a=b時，f(x)dx=O;(b)當(dāng)ab時，f(x)dxf(x)dx.Lafca*bbbb性質(zhì)1f(x)二g(x)dxf(x)dxg(x)dx.LaFLa性質(zhì)2kf(x)dx=kif(x)dx,(k為常數(shù))

4、.aabcb性質(zhì)3af(x)dxf(x)dx亠|f(x)dx.dxbdxa性質(zhì)5若在區(qū)間a,b上有f(x)_g(x),貝卩f(x)dxg(x)dx,(a：b).7ua推論1若在區(qū)間a,b上f(x)_O,貝Sbf(x)dx_O,(a<b).*a推論2ff(x)d<f|f(x)|dx(acb).Laa性質(zhì)6(估值定理)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值則性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)則在a,b上至少存在一個點(diǎn),使5.3微積分的基本公式、引例x二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)：(x)=Jf(t)dt唱a定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)則

5、函數(shù)就是f(x)在a,b上的一個原函數(shù).三、牛頓一萊布尼茲公式定理3若函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù)則bf(x)dx=F(b)-F(a).(3.6)a公式(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式.5.4定積分的換元法積分法和分部積分法一、定積分換元積分法定理1設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，函數(shù)x=(t)滿足條件:(1)C)=a,(:)=b,且a<(tlb；(2)在:,:(或一)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有(4.1)(4.1)b:f(x)dx二f(t)b：(t)dt.a-:-公式(4.1)稱為定積分的換元公式.定積分的換元公式與不定積分的換元公式很類似.但是，在應(yīng)用定積分的

6、換元公式時應(yīng)注意以下兩點(diǎn):(1)用X=(t)把變量x換成新變量t時，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分限，且上限對應(yīng)于上限，下限對應(yīng)于下限;(2)求出f的一個原函數(shù)門后，不必象計(jì)算不定積分那樣再把門變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代入(t)然后相減就行了.、定積分的分部積分法bbb_b.bbudv=uvb-vdu或uvdx=uvb-vudxaaaa5.5廣義積分一、無窮限的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分5.6定積分的幾何應(yīng)用一、微元法定積分的所有應(yīng)用問題，一般總可按“分割、求和、取極限”三個步驟把所求的量表示為定積分的形式.可以抽象出在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量U(總量)

7、表示為定積分的方法微元法，這個方法的主要步驟如下：(1) 由分割寫出微元根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間a,b，任取a,b的一個區(qū)間微元x,xdx，求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量AU的近似值，即求出所求總量U的微元dU=f(x)dx；(2) 由微元寫出積分根據(jù)dU二f(x)dx寫出表示總量U的定積分微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，本節(jié)和下一節(jié)主要介紹微元法在幾何學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用.應(yīng)用微元法解決實(shí)際問題時，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：(1) 所求總量U關(guān)于區(qū)間a,b應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間a,b分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分

8、量，而U等于所有部分量U之和.這一要求是由定積分概念本身所決定的；(2) 使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量U的近似表達(dá)式f(x)dx，即使得f(x)dx二dU.在通常情況下，要檢驗(yàn)f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實(shí)際應(yīng)用要注意dU二f(x)dx的合理性.二、平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積(1) 極坐標(biāo)系下平面圖形的面積曲邊扇形的面積微元dAJ()2dv2所求曲邊扇形的面積A二-()2d):-2三、旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)體的體積微元dVf(x)2dx,所求旋轉(zhuǎn)體的體積V"f(x)2dx四、

9、平行截面面積為已知的立體的體積：如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算.體積微元dV=A(x)dx,所求立體的體積V=fA(x)dx.5.7積分在經(jīng)濟(jì)分析的應(yīng)用6.1空間解析幾何簡介一、空間直角坐標(biāo)系在平面解析幾何中，我們建立了平面直角坐標(biāo)系，并通過平面直角坐標(biāo)系，把平面上的點(diǎn)與有序數(shù)組(即點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)對應(yīng)起來.同樣，為了把空間的任一點(diǎn)與有序數(shù)組對應(yīng)起來，我們來建立空間直角坐標(biāo)系.過空間一定點(diǎn)0,作三條相互垂直的數(shù)軸，依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz(圖6

10、-1-1)空間直角坐標(biāo)系有右手系和左手系兩種.我們通常采用右手系二、空間兩點(diǎn)間的距離三曲面及其方程定義1在空間直角坐標(biāo)系中，如果曲面S上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=O，而不在曲面S上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，則方程F(x,y,z)=0稱為曲面S的方程，而曲面S就稱為方程F(x,y,z)=O的圖形空間曲面研究的兩個基本問題是：(1) 已知曲面上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，建立曲面的方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面的幾何形狀.平面平面是空間中最簡單而且最重要的曲面.可以證明空間中任一平面都可以用三元一次方程AxByCzD=0(1.3)來表示，反之亦然.其中A、B、C、D是不全為零常數(shù).

11、方程(1.3)稱為平面的一般方程.柱面定義2平行于某定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的軌跡稱為柱面.這條定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動直線L稱為柱面的母線.二次曲面在空間直角坐標(biāo)系中，我們采用一系列平行于坐標(biāo)面的平面去截割曲面，從而得到平面與曲面一系列的交線(即截痕)，通過綜合分析這些截痕的形狀和性質(zhì)來認(rèn)識曲面形狀的全貌.這種研究曲面的方法稱為平面截割法，簡稱為截痕法222橢球面篤篤二=1(a0,b0,c0)(1.4)abc22橢圓拋物面z亠丄(p與q同號)2p2q22雙曲拋物面一丄乜z(p與q同號)2p2q'222單葉雙曲面篤爲(wèi)-鄉(xiāng)=1(a0,b0,c0)abc222雙葉雙曲面爲(wèi)-爲(wèi)

12、鄉(xiāng)=-1(a0,b0,c0)abc222二次錐面務(wù)每(a0,b0,c0)abc6.2多元函數(shù)的基本概念一、平面區(qū)域的概念：內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、連通集、區(qū)域、閉區(qū)域二、二元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個非空點(diǎn)集，如果對于D內(nèi)的任一點(diǎn)(x,y)，按照某種法則f，都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，則稱f是D上的二元函數(shù)，它在(x,y)處的函數(shù)值記為f(x,y)，即z二f(x,y)，其中X，y稱為自變量，Z稱為因變量點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集z|z二f(x,y),(x,y)D稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)n2時，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的

13、極限定義2設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)Po(Xo，yo)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限趨于點(diǎn)卩。)時，函數(shù)f(x,y)無限趨于一個常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)(x,y).(xg,yo)時的極限.記為limf(x,y)=A.x)X0y>yo或f(x,y)-；A(X,y)-；(Xo，yo)也記作limf(P)二A或f(P)>A(P>Po)PPo二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)Z=f(x,y)在點(diǎn)(Xo,yo)的某一鄰域內(nèi)有定

14、義，如果ximofus),y>yo則稱z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,y。)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)處不連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在(xo,yo)處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)也有

15、類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理下面我們不加證明地列出這些定理.定理1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2(有界性定理)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，若在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.6.3偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法定義1設(shè)函數(shù)z二f（x,y）在點(diǎn)（xo，y。）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y而X在X0處有增量x時，相應(yīng)地函數(shù)有增量如果limf（Xox,yo）-f（X0,yo）存在，則稱此極限為函數(shù)z二f（x,

16、y）在點(diǎn)（xo,yo）處對X的偏導(dǎo)數(shù)，記為例如，有fx（Xo,yo）"mf（XoXyoJf（Xo，yo）.類似地，函數(shù)Z二f（x,y）在點(diǎn)（x°,y°）處對y的偏導(dǎo)數(shù)為|imf（X。,y。y）-f（X。,y。）.：y,記為上述定義表明，在求多元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)時，只需把其余自變量看作常數(shù)，然后直接利用一元函數(shù)的求導(dǎo)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來計(jì)算之.二、關(guān)于多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，補(bǔ)充以下幾點(diǎn)說明：（1）對一元函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)魚可看作函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的dx商.但偏導(dǎo)數(shù)的記號-是一個整體.ex（2）與一元函數(shù)類似，對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)要利用偏導(dǎo)數(shù)

17、的定義來求.（3）在一元函數(shù)微分學(xué)中，我們知道，如果函數(shù)在某點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，貝卩它在該點(diǎn)必定連續(xù)但對多元函數(shù)而言，即使函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).例如，二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)為但從上節(jié)例5已經(jīng)知道這函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).三、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)曲面的方程為z=f(x,y)，M°(x。，y°,f(x°,y。)是該曲面上一點(diǎn)，過點(diǎn)M。作平面y二y。，截此曲面得一條曲線，其方程為則偏導(dǎo)數(shù)fx(X0，y°)表示上述曲線在點(diǎn)M°處的切線M°Tx對x軸正向的斜率(圖6-3-1).同理，偏導(dǎo)數(shù)fy(X0,y°)

18、就是曲面被平面x=x°所截得的曲線在點(diǎn)M0處的切線M°Ty對y軸正向的斜率.四、偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)某產(chǎn)品的需求量QrQSy),其中p為該產(chǎn)品的價格,y為消費(fèi)者收入.記需求量Q對于價格p、消費(fèi)者收入y的偏改變量分別為和:yQ=Q(p,y.：y)-Q(p,y).易見，蟲表示Q對價格p由p變到pp的平均變化率.而表示當(dāng)價格為p、消費(fèi)者收入為y時，Q對于p的變化率.稱為需求Q對價格p的偏彈性.&Q同理，亠表示Q對收入y由y變到、逍的平均變化率.而y表示當(dāng)價格p、消費(fèi)者收入為y時,Q對于y的變化率.稱為需求Q對收入y的偏彈性.五、科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)在商業(yè)與經(jīng)濟(jì)中經(jīng)?？紤]的

19、一個生產(chǎn)模型是科布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)p(x,y)=cxay1，c0且0:a:1，其中p是由x個人力單位和y個資本單位生產(chǎn)處的產(chǎn)品數(shù)量(資本是機(jī)器、場地、生產(chǎn)工具和其它用品的成本)。偏導(dǎo)數(shù)分別稱為人力的邊際生產(chǎn)力和資本的邊際生產(chǎn)力。六、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)則在D內(nèi)fx(x,y)和fy(x,y)都是x、y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：其中第二、第三兩個偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).類似地，可以定義三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù).我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).2Z及在

20、區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)有-2:z.:y;x.x.:y定理1如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)6.4全微分一、微分的定義定義1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全增量可以表示為z二AxByo(J,(4.2)其中A,B不依賴于：xr：y而僅與x,y有關(guān)，(X)2(勺)2,則稱函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分,AxBy稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分，記為dz,即若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1(必要條件)如果函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分，貝卩該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù),必存在，且z=f(x,y)

21、在點(diǎn)(x,y)處的全微分dxcydz二三：xy.(4.4).x；:y我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是在該點(diǎn)可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)則不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況.但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)三半在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函exby數(shù)在該點(diǎn)處可微分.三、微分的計(jì)算習(xí)慣上，常將自變量的增量x、厶y分別記為dx

22、、dy，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數(shù)z二f(x,y)的全微分就表為dzzdx'zdy.(4.5)excy上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)u=f(x,y,z)的全微分可表為du亠dxUdydz.(4.6)x_yz四、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)連續(xù)，且|.x|，h：y|都較小時，則根據(jù)全微分定義，有即z：fx(x,y).：x-fy(x,y)：y.由二f(xlx,y二y)-f(x,y)，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計(jì)算公式f(x：

23、x,y勺)：f(x,y)fx(x,y).：xfy(x,y).：y(4.7)6.5復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法、多元復(fù)合函數(shù)微分法1.復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)dz；zduzdv=rdt；:udt；:vdt(5.1)Z=f(u,v),u=u(t),v=v(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)Z=fu(t),v(t)公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù)dz稱為全導(dǎo)數(shù).dt2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形設(shè)z二f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)z二fu(x,y),v(x,y),(5.3)L、L'、L'、L'、L'、(5.4)(5.4):z_:z:u:

24、z:v:y；:u；：y;:v;：y3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)u=u(x,y)在點(diǎn)(x,y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v=v(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y),v(y)在對應(yīng)點(diǎn)(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且有(5.7)蘭=2巴M空(5$)：yu,:y_:vdy注：這里與二是不同的，是把復(fù)合函數(shù)z=fu(x,y),x,y中的y看作dxdxdx不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)，f是把函數(shù)z=f(u,x,y)中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)ex數(shù)空與蘭也有類似的區(qū)別.cycy在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，

25、常采用以下記號：這里下標(biāo)1表示對第一個變量u求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量v求偏導(dǎo)數(shù)，同理有fi；,f22-等等.二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的全微分形式不變性以二元函數(shù)為例，設(shè)z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有由此可見，盡管現(xiàn)在的U、v是中間變量，但全微分dz與x、y是自變量時的表達(dá)式在形式上完全一致.這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性適當(dāng)應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果三、隱函數(shù)微分法在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程F(x,y)=0(5.11)來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)

26、數(shù)的方法.這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(xo，y。)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Fy(Xo，y。)=0,F(xo,y。)=0,貝卩方程F(x,y)=0在點(diǎn)P(x。,y。)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y二f(x),它滿足二f(xo),并有dydyFxdxFy(5.12)定理5設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(xo，yo，zo)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)P(xo，yo，zo)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)

27、偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z二f(x,y),它滿足條件z0=f(x0,y0),并有(5.14)空=上空一_Fr；:xFz；:yFz6.6多元函數(shù)的極值及求法一、二元函數(shù)極值的概念定義1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo，y。)的某一鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于(Xo，yo)的任意一點(diǎn)(x,y),如果則稱函數(shù)在(xo，y。)有極大值；如果則稱函數(shù)在(x°,yo)有極小值；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(xo,yo)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即fx(xo,y°)=o,fy(Xo,

28、y°)=o.(6.1)與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z二f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x°,yo)",fy(xo,y。)=0.令(1) 當(dāng)ACB20時，函數(shù)f(x,y)在(xo,yo)處有極值，且當(dāng)A0時有極小值f(xo，yo)；A,0時有極大值f(xo,y。)；(2) 當(dāng)ACB2：。時，函數(shù)f(x,y)在(xo,yo)處沒有極值；(3) 當(dāng)AC-Bo時，函數(shù)f(x,y)在(xo,y。)處可能有極值，也可能沒有極值.根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)f(

29、x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求z二f(x,y)的極值的一般步驟為：第一步解方程組fx(x,y)=o,fy(x,y)=o,求出f(x,y)的所有駐點(diǎn)；第二步求出函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處A、B、C的值，并根據(jù)AC-B2的符號判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).最后求出函數(shù)f(x,y)在極值點(diǎn)處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)f(x,y)的最大值和最小值的一般步驟為：(1) 求函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值；(2) 求f(x,y)在D的邊界上的最大值和最小值；(3) 將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根

30、據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得，而函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x,y)在D上的最大值(最小值).三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值但在實(shí)際問題中，常會遇到對函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題.對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)f(x,y)和(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求z=f(x,y)在D內(nèi)滿足條件(x,y)=O的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)(其中為某一常數(shù))

31、的無條件極值問題于是，求函數(shù)z=f(x,y)在條件：:(x,y)=O的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)；(2) 由方程組解出x,y,-,其中x,y就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn).注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論.不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn).拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形：四、數(shù)學(xué)建模舉例6.7二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念定義1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域*1，*2廠

32、，*其中上i表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個*i上任取一點(diǎn)(i,i),作乘積并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值，趨近于零時，這和式的極限存在，貝帰此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記為f(x,y)d；，即Dn!f(x,y)d：；=1叫7f(1,i).：(7.2)D'"V其中f(x,y)稱為被積函數(shù)，f(x,y)d二稱為被積表達(dá)式，此稱為面積微元，x和yn稱為積分變量,D稱為積分區(qū)域，并稱7f(i,ipCi為積分和.i4對二重積分定義的說明：(1) 如果二重積分f(x,y)d二存在，則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.D可以證明，如果函數(shù)f(x,y)區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在區(qū)域D上是可積的.今后，我們總假定被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域D上是連續(xù)的；(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于x軸和y軸的兩組直線來分割積分區(qū)域D，則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域*i的邊長為