《量子力學(xué)》復(fù)習(xí)提綱

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱一、基本假設(shè)1、（1）微觀粒子狀態(tài)的描述（2）波函數(shù)具有什么樣的特性（3）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2、態(tài)疊加原理（說明了經(jīng)典和量子的區(qū)別）3、波函數(shù)隨時間變化所滿足的方程薛定諤方程4、量子力學(xué)中力學(xué)量與算符之間的關(guān)系5、自旋的基本假設(shè)二、三個實驗1、康普頓散射（證明了光子具有粒子性）第一章2、戴維遜-革末實驗（證明了電子具有波動性）第三章3、史特恩-蓋拉赫實驗（證明了電子自旋）第七章三、證明1、粒子處于定態(tài)時幾率、幾率流密度為什么不隨時間變化；2、厄密算符的本征值為實數(shù)；3、力學(xué)量算符的本征函數(shù)在非簡并情況下正交；4、力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完全系；5、量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系的證明；6、常

2、見力學(xué)量算符之間對易的證明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩陣是對角矩陣。五、計算1、力學(xué)量、平均值、幾率；2、會解簡單的薛定諤方程。第一章緒論1、德布洛意假設(shè):德布洛意關(guān)系:戴維孫-革末電子衍射實驗的結(jié)果:2、德布洛意平面波:Ae(PrEt)3、光的波動性和粒子性的實驗證據(jù):4、光電效應(yīng)：5、康普頓散射:附：(1)康普頓散射證明了光具有粒子性(2) 戴維遜-革末實驗證明了電子具有波動性(3) 史特恩-蓋拉赫實驗證明了電子自旋第二章波函數(shù)和薛定諤方程1 量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2 波函數(shù)統(tǒng)計解釋：若粒子的狀態(tài)用r，t描寫，°dd表示在t時刻，空間r處

3、體積元內(nèi)找到粒子的幾率(設(shè)'是歸一化的)屮=E5屮nn也是體系的一個可能狀態(tài)。屮=E5屮nn也是體系的一個可能狀態(tài)。3 .態(tài)疊加原理：if-««也可以說，當(dāng)體系處于態(tài)也可以說，當(dāng)體系處于態(tài)'八Cnn設(shè)>>n是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加UJFWjF時，體系部分地處于態(tài)'?''n中。4. 任何一個波函數(shù)r，t都可以看做是各種不同動量的平面波的迭加。5. 波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出：，屮舟2丁-iV(r,ty-rtNNN匚+/卉=當(dāng)勢場V(r)不顯含時間t時，其解是定態(tài)解n(r,t)八n(r)e八n(r)

4、一2滿足定態(tài)薛定諤方程H*n=EnWn其中H=|R2+V(ft)2卩注：定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。2波函數(shù)的歸一化條件：j|屮|dE=1(對整個空間積分)(全)相對幾率分布：波函數(shù)常數(shù)因子不定性；J(r)(r)波函數(shù)相位因子不定性：6 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)一般應(yīng)滿足三個基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。8. 幾率流密j=*八J亠''度與幾率密度：?=，"滿足連續(xù)性方程-j9. 定態(tài)所需的條件10.一維無限深方勢阱010.一維無限深方勢阱0(1)若V(x)0：xa-0或x_a本征值EnLsxa（2）若、0,xV(x)=00,x則本征值En1n刁Sa211.

5、自由粒子波函數(shù)（推導(dǎo)過程）n本征函數(shù):a-an二-,',本征函數(shù)12.一維諧振子V：x：2-Nex?h本征函數(shù)廠NneH13、可以用分離變量法求解得到（在笛1x<aa亠aa)坐標(biāo)中）性諧振子的、_1n!x_或x_a1+1n=1,2,3,.能級Enxnynznxnynznx,ny,nz=0,1,2,nyNne$r22Hnx(：x)Hny(:y)Hnz(:Z)第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量1量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符A的定義：第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量1量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄

6、米算符A的定義：*Adr=(A)*dr此為坐標(biāo)表像中的表示式厄米算符的本征值是實數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。附：力學(xué)量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備、封閉等條件。3.力學(xué)量的測量值:在力學(xué)量F的本征態(tài)中測量F,有確定值，即它的本征值;在非F的本征態(tài)中測量F,可能值是F的本征值。將（x）用算符F的正交歸一的本征函數(shù)展開:(X)八c?n(x)，(x)dxn6二n(X)(X)dX,力學(xué)量的平均值是F='（x）F（X）dX/叫(x)*(x)dx亠一邛1或F=2卩c汀dkn附：本書中五個基本原理（1）量子力學(xué)中態(tài)的表示（2）態(tài)疊加原理：（3）定態(tài)薛定諤方程：（4）力學(xué)量

7、與算符的關(guān)系:（5）自旋：波函數(shù)r,t4.連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為：函數(shù)。5簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關(guān)的本征函數(shù)有若干個，這種現(xiàn)象稱為簡并。簡并度：F?算符的屬于本征值n的線性無關(guān)的本征函數(shù)有f個，我們稱F的第n個本征值'n是簡并。6.動量算符p的本征函數(shù)（即自由粒子波函數(shù)）（二廠、：eipr正交歸一性'*p(rTp(r)d7.角動量Z分量Lz一i則在'（X）態(tài)中測量力學(xué)量F得到結(jié)果為九n的幾率為Cn:得到結(jié)果在九T丸+心范圍內(nèi)的幾率為em；：,m二丁,一丨，一：,本征函數(shù)Lz的本征值8.平面轉(zhuǎn)子(設(shè)繞z軸旋轉(zhuǎn))8.平面轉(zhuǎn)子(設(shè)繞z軸旋轉(zhuǎn))課本P1013

8、.5題哈密頓量212d22d能量本征態(tài)能量本征值EmEm9.L",Lz有共同的本征函數(shù)一球諧函數(shù)Ym：Ym3,®)=(-1)邛訂叫(cose)eimtp|(l-|m|)!(2l+1)!Nim=j|X,(l=o,1,2，；m=o,±l,±2,，±1)'二lm!LVlm十=l(l-Vlm二,：LzYm廠=m'Y,m1.-r1-10中心力場中,定態(tài)薛定諤方程中心力場中，勢場V(r)二V(r),-L,H，角動量L為守恒量。V(r)-=E'->lr-,L；Lz為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為l,，,m=l,1-1,-

9、111.氫原子a=2$-e2(玻爾半徑)'；nlm(r,：)=Rnl(r)YmLJ)能級簡并度能級簡并度fn=n一軌道磁矩蘭Tm,譏BOhr(為玻爾磁子)旋磁比MzMzeLzm一AcJe:Z2類氫離子En-護(hù)？n邛旋磁比MzMzeLzm一AcJe:Z2類氫離子En-護(hù)？n邛12.守恒力學(xué)量的定義：若（即力學(xué)dt量F的平均值不隨時間變化），則稱F為守恒量。力學(xué)量F的平均值隨時間的變化滿足dFdt:F.:t因而力學(xué)量F為守恒量的條件為：，且F,HPct13宇稱算符宇稱算符的定義：0（r）二（-r）本征值本征函數(shù)。注：宇稱出現(xiàn)在一維無限深勢阱、自旋中。l-A,B三AB-BA14.15.對易式

10、定義：對易式滿足的基本恒等式：A,BC丨-A,B：A,C1A,BC二BA,B：A,B1CAB,CI-AB,CIlA,CIBA,B,C小B,C,A小C,A,BII（Jacobi恒等式）16.一些重要的對易關(guān)系:x0,'-p：.,p.1-0,x：.,p一-ixp!xp!|",PR二陀廳帀衣“-L叮"-Lx,Ly=iLz,Sx,Sy1=isz,Jx,JyhiJzL2,L：.】=0,s2,0,J2,J：丄0附：要會證明對易關(guān)系注：量子力學(xué)證明題多關(guān)于算符和自旋。17若算符A、B對易，即A,B=°，則A和B有共同的本征函數(shù)系。在A和B的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測量A

11、、B，都有確定值。18.不確定關(guān)系：若算符A、B不對易，即A，B，則必有J®A)2(AB)2工1A,B1A邊B蘭一A,B簡記為2特別地，x'px.2第四章態(tài)和力學(xué)量的表象1.Q表象是以Q的本征函數(shù)系'山x'為基底的表象，在這個表象中，有QUnX=QnUnX'八antUnXa?t)，屮十=(a*(t),a(t),，a；(t)<ajt)算符F對應(yīng)一個矩陣(方陣)算符F對應(yīng)一個矩陣(方陣)，矩陣元是*Fnm=unFumdxnm.nm*選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是FF',歸一化條件是歸一化條件是=1本征值方程是F附：在自身表

12、象中表示算符的矩陣為對角矩陣。亠12.幺正變換：在量子力學(xué)中，兩個表象之間的變換是幺正變換，滿足S=S；態(tài)的變換是b=Sa；算符的變換是F=SFS。幺正變換不改變算符的本征值。亠1S二S來證明。附：證明某個算符勢厄密算符坐標(biāo)表像中用厄密算符的性質(zhì)'Ad=.（A'）dr來證明。任意表象中則用幺正變換（即：表示算符的矩陣的轉(zhuǎn)置共厄等于算符本身）量子態(tài)可用狄拉克符號右矢A或左矢A表示。述量子力學(xué)理論，而且使用十分方便?；傅耐陚湫裕哼t|n)n|=l,Jdxx)(x|=l,n坐標(biāo)表象F(x,t)(x,t)(1) i(x,t)=H(x,t)ct(2) HUn(X)二EnUn(X)*(3)

13、 Um(x)Un(x)dx=mn(4) (X)八CiUn(x)n(5) Cn二u；(x)(x)dx*(6) F二(x)F(x)dx*狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡狄拉克符號f|屮）=H屮）atHn）=Enn）即YCnn）nCnn；F=|f|寧）阿屮）=1(7) (x)(x)dx=11.定態(tài)微擾理論1.定態(tài)微擾理論第五章微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是:方面要求Ho的本征值和本征函數(shù)已知或較易計算，另一方面又要求Ho把H的主要部分盡可能包括進(jìn)去,使剩下的微擾H比較小，以保證微擾計算收斂較快，即(1)非簡并情況HnkE(0)匚Ek_EnEk二Ek°

14、)Hnkkk(0)(0)Ek一Enk=k0)kkHnk(0)而Ek_En(0)n(2) 簡并情況能級的一級修正由久期方程detHH11£)H21H11£)H21H12H22-EHifkH2fk-0fk2fk2ffff給出。E9有fk個實根，記為分別把每一個根e!1?.代入方程fk'H丄EkJia.rO2，即可求得相應(yīng)的解，記為a：、.，于是得出新的零級波函數(shù)無aglk巧=|kjv相應(yīng)能量為EkEkEk0)Eg2.變分法選擇嘗試波函數(shù)(,)，計算H的平均值：H，它是變分參量的函數(shù)，由極值條件"'0出0，求出.HCo)，它表示基態(tài)能量的上限。3 .由k

15、)-*的躍遷幾率是21ti2Wk_(t)=a(t)m=押fH；ket>kdt*0此公式適用的條件是Wkjm(t)|；1,對于m=k4 .周期性微擾：光的吸收和發(fā)射，選擇定則等。第七章自旋與全同粒子1自旋基本假設(shè)的內(nèi)容：2. 自旋實驗基礎(chǔ)：3. 自選角動量、軌道角動量及相應(yīng)磁矩:4. 自旋角動量算符自選波函數(shù)的形成及當(dāng)自旋與軌道作用可忽略時的波函數(shù)5. 什么情況有奇宇稱、偶宇稱？e兀丿6. 電子自旋假設(shè)的兩個要點：(a)s=一_(b)內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值：叫=%=內(nèi)2必g因子（回轉(zhuǎn)磁比值）：gs=2,gL=18旋量波函數(shù)8旋量波函數(shù)'r,Sz=y-®2）丿的意義及其

16、歸一化。9.自旋與軌道無耦合時:'USzSz一二/的本征態(tài):Sz一二/的本征態(tài):1°般自旋態(tài):般自旋態(tài):Ss)=二a:(!，b:10自旋算符與泡利矩陣h_-<5=1=1（單位算符）=2+(3(Jyx+(j(jzy=0=0=02Kyx巾1xCJ=CJ=*10、J°y<i°z1°_1二X二z-z二X*01、a卉q0、Sy=-S>J0y2J0丿21°TS2=3-24附：會證明泡利矩陣11.總角動量在中心力場V（r）（例如Coulomb場）中運動的電子的相對論波動方程（Dirac方程），在非相對論極限下，Hamilton量中將

17、出現(xiàn)一項自旋軌道耦合作用(r)s飛(r)=12臚c21dVrdr22電子的能量本征態(tài)可選為（H丄，J,Jz）的共同本征態(tài)，而空間角度部分與自旋部分的波函數(shù)則可取為22（L,J,Jz）的共同本征態(tài)”jT+1/2*ljmj（e,®,Sz）J=11/2（I式0）本征值分別為l（l廠,j（j八,mjgc.j）12. 堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)由于（r）SL項的存在，使得Enlj1/2'Enlj4/2。例如3p112-3s!/2（5896A）Na:3p3/2y3s1/2（5890A）還可以解釋反常塞曼效應(yīng)。附：只有考慮了電子的自旋光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)才能得到解釋。13. 兩個電子的自旋單態(tài)與

18、三重態(tài)兩個角動量的耦合2y（S=Sz）的共同本征函數(shù)asSMs1f*°(驊(7)+0(7)10，師打2）1_i丿（三重態(tài)）Ag(1)B(2)-和1)。(習(xí)00（單態(tài)）V2若JJ二是兩個獨立的角動量，貝UJ=JJ二也是角動量。J12,J2,J2,JZ）jjjm）,耦合表象基矢）Ji2,Jiz,J；J2z）|jimjm?H無耦合表象基矢）jij2jm）=：Z|jim皿22皿2Xjm皿22皿2丨jijzjmm2C_G系數(shù)C-G系數(shù)的性質(zhì)：mm2，j的取值：j1*j2,j1*j2一1,j1*j2一2,，j1j2,14. 全同粒子（1）量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來很強(qiáng)的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對稱性ps或者交換反對稱性_-:：ja。（3）全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為一整數(shù)倍（S=0,1,2，）的粒子，波函數(shù)對于兩個粒子交換總是對稱的，例如二介子（S=0）,光子（S=1）。它們遵守Bose統(tǒng)計，稱