線段的垂直平分線(一)教學設(shè)計

1、1第一章 證明（二）3線段的垂直平分線（一）一、學生知識狀況分析學生對于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因為在七年級學習生活 中的軸對稱中學生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。二、教學任務(wù)分析本節(jié)課的教學目標是：1知識目標：1經(jīng)歷探索、 猜測過程， 能夠運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里 和判定定理2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2能力目標：1經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.2體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神.3學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.3情感與價值觀要求1能積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲.2

2、在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.4教學重點、難點 重點是寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題。難點是兩者的應(yīng)用上的區(qū)別及各自的 作用。三、教學過程分析本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探究新課； 第三環(huán)節(jié)：想一想；第四環(huán)節(jié)：做一做 ；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習；第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)第七 環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。2第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側(cè)的 河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？其中到兩個倉庫的距離相等”要強調(diào)這幾個字 在題中有很重要的作用.在七年級時研究過線段的性

3、質(zhì)，線段是一個軸對 稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸. 我 們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.所以在這個問題中，要求在“AB一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成.進一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎？”教師演示線段垂直平分線的性質(zhì):定理 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.同時，教師板演本節(jié)的題目：1.3線段的垂直平分線（一）第二環(huán)節(jié)：探究新知第一環(huán)節(jié)提出問題后，有學生提出了一個問題：“要證線段垂直平分線上的點到線段兩 個端點的距離相等，可線段垂

4、直平分線上的點有無數(shù)多個，需一個一個依次證明嗎？何況不可能呢.”教師鼓勵學生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，有學生提出：“如果一個圖形上每一點都具有某種性質(zhì)，那么只需在圖 形上任取一點作代表，就可以了. ”教師肯定該生的觀點，進一步提出：“我們只需在線段垂直平分線上任取一點代表即可， 因為線段垂直平分線上的點都具有相同的性質(zhì).”已知：如圖，直線MN丄AB，垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點.求證：PA=PB.分析：要想證明PA=PB,可以考慮包含這兩條線段的兩個三角形是否全等.3證明：MN丄AB，4/ PCA= / PCB=90TAC=BC,PC=PC,PCAPCB(SAS).;

5、 PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).教師用多媒體完整演示證明過程.同時，用多媒體呈現(xiàn):第三環(huán)節(jié)：想一想你能寫出上面這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個命題不是 如果那么 的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成 如果那么 的形式，逆命題就容易寫出.鼓勵學生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是 有一個點是線段垂直平分線上的點”.結(jié)論是 這個點到線段兩個端點的 距離相等”.此時，逆命題就很容易寫出來.“如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點 到線段兩個端點的距離相等.”寫出逆命題后時，就想到判斷它的真假.如果真，貝嚅證明它；如果假，貝嚅用反例說 明.請同學

6、們自行在練習冊上完成.學生給出了如下的四種證法。證法一:已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PA=PB.求證：P點在AB的垂直平分線上.證明：過點P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB, PC=PC， RtPACRtAPBC（HL定理）. AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上.證法二：取AB的中點C,過PC作直線.vAP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC（SSS）./ PCA=/PCB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.又v/PCA+/PCB=180，/ PCA=/PCB=/90 即PC丄AB5 P點在AB的垂直平分線上.6證法三：過P點作/APB的角平分線.TAP=BP，/1 =/2,PC

7、=PC,APCBPC(SAS). AC=BC,ZPCA=ZPCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等).又/PCA+/PCB=180/PCA=ZPCB=90 P點在線段AB的垂直平分線上.證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC.vAC=CB，/PCA=ZPCB=90, P在AB的垂直平分線上.四種證法由學生表述后，有學生提問：“前三個同學的證明是正確的，而第四個同學的證 明我有點弄不懂.”師生共析：如圖(1)，PD上AB，D是垂足，但D不平分AB;如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說明一般情況下：過P作AB的垂直平分線 是不可能實現(xiàn)的，所以第四 個同學的證法是錯誤的.從同學們的推

8、理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題, 我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理.我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平 分線.現(xiàn)在我們學習了線段垂直平分線的性質(zhì) 定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出 已知線段的垂直平分線呢？第四環(huán)節(jié)：做一做活動內(nèi)容：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.活動目的：探索尺規(guī)方法作線段垂直平分線的思路與過程以及體驗其中的演繹思維過程?；顒舆^程：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個到線段兩個端點距離相等的點，這樣才 能確定已知線段的垂直平分線.下面

9、我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù).師生共析P(1)B7已知：線段AB（如圖）.求作：線段AB的垂直平分線.1作法：1分別以點A和B為圓心，以大于2 AB的長為半徑作 弧，兩弧相交于點C和D.2.作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.師根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進行 交流.生從作法的第一步可知AC=BC,AD=BD. C、D都在AB的垂直平分線上（線段垂直平分線的判定定理）. CD就是線段AB的垂直平分線（兩點確定一條直線）.師我們曾用刻度尺找線段的中點， 當我們學習了線段垂直平分線的作法時.一旦垂直 平分線作出，線段與線

10、段垂直平分線的交點就是線段AB的中點，所以我們也用這種方法作線段的中點.活動效果及注意事項：活動時可以先讓學生討論，然后點名學生板演，下面學生可以模 仿著做，最后教師進行歸納和總結(jié)。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習課本P261.如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點，如果EC=7cm,那么ED= _ cm；如果/ECD=60，那么/EDC=_解：AB是線段CD的垂直平分線, EC=ED.又TEC=7 cm， ED=7 cm./ EDC= / ECD=60 .2.已知直線I和I上一點P,利用尺規(guī)作I的垂線，使它經(jīng)過點P. 已知：直線I和I上一點P.求作：PC丄I.作法：I、以點P為圓心，以任意長為半徑作弧，直線L相交于點A和B.2.作線段AIB的垂直平分線PC.r.8直線PC就是所求的垂線第六環(huán)節(jié)：課時小結(jié)本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學會用尺規(guī)作線 段的垂直平分