線段的垂直平分線(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1第一章 證明（二）3線段的垂直平分線（一）一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生對于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因?yàn)樵谄吣昙墝W(xué)習(xí)生活 中的軸對稱中學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1知識目標(biāo)：1經(jīng)歷探索、 猜測過程， 能夠運(yùn)用公理和所學(xué)過的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里 和判定定理2能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線2能力目標(biāo)：1經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識和能力.2體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.3學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果.3情感與價(jià)值觀要求1能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲.2

2、在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)是寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題。難點(diǎn)是兩者的應(yīng)用上的區(qū)別及各自的 作用。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：探究新課； 第三環(huán)節(jié)：想一想；第四環(huán)節(jié)：做一做 ；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)第七 環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。2第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課教師用多媒體演示：如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的 河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？其中到兩個(gè)倉庫的距離相等”要強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字 在題中有很重要的作用.在七年級時(shí)研究過線段的性

3、質(zhì)，線段是一個(gè)軸對 稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對稱軸. 我 們用折紙的方法，根據(jù)折疊過程中線段重合說明了線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.所以在這個(gè)問題中，要求在“AB一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成.進(jìn)一步提問：“你能用公理或?qū)W過的定理證明這一結(jié)論嗎？”教師演示線段垂直平分線的性質(zhì):定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.同時(shí)，教師板演本節(jié)的題目：1.3線段的垂直平分線（一）第二環(huán)節(jié)：探究新知第一環(huán)節(jié)提出問題后，有學(xué)生提出了一個(gè)問題：“要證線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩 個(gè)端點(diǎn)的距離相等，可線段垂

4、直平分線上的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，需一個(gè)一個(gè)依次證明嗎？何況不可能呢.”教師鼓勵(lì)學(xué)生思考，想辦法來解決此問題。通過討論和思考，有學(xué)生提出：“如果一個(gè)圖形上每一點(diǎn)都具有某種性質(zhì)，那么只需在圖 形上任取一點(diǎn)作代表，就可以了. ”教師肯定該生的觀點(diǎn)，進(jìn)一步提出：“我們只需在線段垂直平分線上任取一點(diǎn)代表即可， 因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)都具有相同的性質(zhì).”已知：如圖，直線MN丄AB，垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點(diǎn).求證：PA=PB.分析：要想證明PA=PB,可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等.3證明：MN丄AB，4/ PCA= / PCB=90TAC=BC,PC=PC,PCAPCB(SAS).;

5、 PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).教師用多媒體完整演示證明過程.同時(shí)，用多媒體呈現(xiàn):第三環(huán)節(jié)：想一想你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？這個(gè)命題不是 如果那么 的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成 如果那么 的形式，逆命題就容易寫出.鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。原命題的條件是 有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”.結(jié)論是 這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的 距離相等”.此時(shí)，逆命題就很容易寫出來.“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn) 到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.”寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假.如果真，貝嚅證明它；如果假，貝嚅用反例說 明.請同學(xué)

6、們自行在練習(xí)冊上完成.學(xué)生給出了如下的四種證法。證法一:已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB.求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.證明：過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB, PC=PC， RtPACRtAPBC（HL定理）. AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.證法二：取AB的中點(diǎn)C,過PC作直線.vAP=BP，PC=PC.AC=CB，APCBPC（SSS）./ PCA=/PCB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.又v/PCA+/PCB=180，/ PCA=/PCB=/90 即PC丄AB5 P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.6證法三：過P點(diǎn)作/APB的角平分線.TAP=BP，/1 =/2,PC

7、=PC,APCBPC(SAS). AC=BC,ZPCA=ZPCB(全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等).又/PCA+/PCB=180/PCA=ZPCB=90 P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上.證法四：過P作線段AB的垂直平分線PC.vAC=CB，/PCA=ZPCB=90, P在AB的垂直平分線上.四種證法由學(xué)生表述后，有學(xué)生提問：“前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的，而第四個(gè)同學(xué)的證 明我有點(diǎn)弄不懂.”師生共析：如圖(1)，PD上AB，D是垂足，但D不平分AB;如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB.這說明一般情況下：過P作AB的垂直平分線 是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四 個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的.從同學(xué)們的推

8、理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題, 我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理.我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平 分線.現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì) 定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出 已知線段的垂直平分線呢？第四環(huán)節(jié)：做一做活動內(nèi)容：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.活動目的：探索尺規(guī)方法作線段垂直平分線的思路與過程以及體驗(yàn)其中的演繹思維過程。活動過程：用尺規(guī)作線段的垂直平分線.要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn) 在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才 能確定已知線段的垂直平分線.下面

9、我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù).師生共析P(1)B7已知：線段AB（如圖）.求作：線段AB的垂直平分線.1作法：1分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于2 AB的長為半徑作 弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D.2.作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.師根據(jù)上面作法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請與同伴進(jìn)行 交流.生從作法的第一步可知AC=BC,AD=BD. C、D都在AB的垂直平分線上（線段垂直平分線的判定定理）. CD就是線段AB的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.師我們曾用刻度尺找線段的中點(diǎn)， 當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時(shí).一旦垂直 平分線作出，線段與線

10、段垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn).活動效果及注意事項(xiàng)：活動時(shí)可以先讓學(xué)生討論，然后點(diǎn)名學(xué)生板演，下面學(xué)生可以模 仿著做，最后教師進(jìn)行歸納和總結(jié)。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)課本P261.如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)，如果EC=7cm,那么ED= _ cm；如果/ECD=60，那么/EDC=_解：AB是線段CD的垂直平分線, EC=ED.又TEC=7 cm， ED=7 cm./ EDC= / ECD=60 .2.已知直線I和I上一點(diǎn)P,利用尺規(guī)作I的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P. 已知：直線I和I上一點(diǎn)P.求作：PC丄I.作法：I、以點(diǎn)P為圓心，以任意長為半徑作弧，直線L相交于點(diǎn)A和B.2.作線段AIB的垂直平分線PC.r.8直線PC就是所求的垂線第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學(xué)會用尺規(guī)作線 段的垂直平分