中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)三角形綜合問題【含解析】

1、1三角形綜合問題專題點(diǎn)撥】三角形綜合問題是指針對(duì)三角形的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合性的考查，特別是等腰三角形、等 邊三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)應(yīng)用，及其與三角形相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)之間的綜合考 查?！窘忸}策略】從具體問題入手T探索三角形知識(shí)點(diǎn)T綜合各點(diǎn)聯(lián)系T綜合把握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在 關(guān)系T綜合應(yīng)用并解決問題【典例解析】類型一：三角形邊角關(guān)系問題例題 1:（2016 青海西寧3分）下列每組數(shù)分別是三根木棒的長(zhǎng)度，能用它們擺成三角形的是（ ）A 3cm， 4cm， 8cm B 8cm， 7cm， 15cmC 5cm， 5cm， 11cm D 13cm， 12cm， 20cm 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系【

2、解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，即兩短邊的和大于最長(zhǎng)的邊， 即可作出判斷【解答】解：A、3+4 8,故以這三根木棒不可以構(gòu)成三角形，不符合題意；B、8+7=15，故以這三根木棒不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、5+5 20,故以這三根木棒能構(gòu)成三角形，符合題意.故選 D變式訓(xùn)練 1 ：（2016 湖北荊門3分）已知 3 是關(guān)于 x 的方程 x2-（m+1） x+2m=0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并 且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰厶 ABC 的兩條邊的邊長(zhǎng)，則 ABC 的周長(zhǎng)為（）A. 7 B. 10 C. 11 D. 10 或 11類型二：三角形全等問題2例題 2: (2016 四川南充

3、) 已知 ABN 和厶 ACM 位置如圖所示，AB=AC AD=AE /仁/2.(1) 求證：BD=CE(2 )求證：/ M=/ N.BC【解析】(1)由 SAS 證明 ABDAACE 得出對(duì)應(yīng)邊相等即可(2) 證出/ BAN/ CAM 由全等三角形的性質(zhì)得出/ B=ZC,由 AAS 證明 ACMAABN 得出對(duì)應(yīng)角相等即可.AB=AC【解答】(1)證明：在厶 ABD 和厶 ACE 中，I 血二 AEABDAACE( SAS , BD=CE(2)證明：/ 1=/ 2,/1+/ DAE/ 2+/ DAE即/ BAN/ CAM由(1)得： ABDAACE/ B=/ C,fZC=Z&.在厶

4、ACMn ABN 中，【ZCM=NBAN ,ACMmABN( ASA),/ M=/ N.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練 2：(2016 四川瀘州)如圖，C 是線段 AB 的中點(diǎn)，CD=BE,CD/ BE 求證：/ D=/ E.3類型三：等腰或等邊三角形問題例題 3: （2016 山東省荷澤市3分）如圖， ACB 和厶 DCE 均為等腰三角形，點(diǎn) A, D, E 在同一直線上，連接 BE.（1）如圖 1,若/ CAB=/ CBA=/ CDEMCED=501求證：AD=BE2求/ AEB 的度數(shù).(2) 如圖 2,若/ ACBMDCE=120 ,

5、 CM%ADCE 中 DE 邊上的高，BN%AABE 中 AE 邊【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).【解析】（1）通過角的計(jì)算找出/ ACDMBCE 再結(jié)合 ACB 和厶 DCE 均為等腰三角 形可得出“ AC=BC DC=EC， 利用全等三角形的判定 （ SAS 即可證出厶 ACD BCE 由此即 可得出結(jié)論 AD=BE結(jié)合中的 ACdABCE 可得出/ ADCMBEC 再通過角的計(jì)算即可算出/ AEB 的度 數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1 ）的結(jié)論,通過解直角三角形即可求出線段AD DE 的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論.【解答】（1）證明：/ CABdCB

6、AdCDEMCED=50 ,/ACBdDCE=180-2X50=80./ACBdACDdDCB/DCEdDCBdBCE上的高，試BN4/ ACDMBCE/ ACB 和厶 DCE 均為等腰三角形，AC=BC DC=EC:心 c:在 ACD和厶 BCE 中，有，ZACD=ZBCE，Lbe-tc ACDABCE( SAS,AD=BE解： ACD BCE /ADCMBEC點(diǎn) A D, E 在同一直線上，且/ CDE=50 , /ADC=180-ZCDE=130,/ BEC=130 .vZBECZCEDZAEB 且ZCED=50, ZAEBZBEC-ZCED=130-50=80.(2) 證明： ACB

7、和厶 DCE 均為等腰三角形，且ZACBZDCE=120 , ZCDMZCEMH (180-120)=30./ CML DE ZCMD=90 ,DM=EM在 RtCMD 中,ZCMD=9 ,ZCDM=3 ,vZBECZADC=180-30=150,ZBECZCEMZAEB ZAEBZBEC-ZCEM=15 -30=120, ZBEN=180-120=60在 Rt BNE 中，ZBNE=90 ,ZBEN=60 ,vAD=BE AE=AD+DE AE=BE+DE=5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：(1)通過角的計(jì)算結(jié)合等腰三角形的

8、性質(zhì)證出 ACdABCE(2)找出線段 AD DE 的長(zhǎng)本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，利用 角的計(jì)算找出相等的角，再利用等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后根據(jù)全等三角形 的判定定理證出三角形全是關(guān)鍵.變式訓(xùn)練 3:(2016 黑龍江齊齊哈爾 12 分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn) A (-三，0) 的兩條直線分別交 y 軸于 B C 兩點(diǎn)，且 B、C 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程 x2- 2x- 3=0 的兩個(gè)根(1) 求線段 BC 的長(zhǎng)度；(2) 試問：直線 AC 與直線 AB 是否垂直？請(qǐng)說明理由；(3) 若點(diǎn) D 在直線 AC 上，且 DB=DC 求

9、點(diǎn) D 的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下，直線 BD 上是否存在點(diǎn) P,使以 A、B、P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是 等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.類型四：直角三角形問題例題 4:(2016 湖北隨州 3 分)如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 , M N 分別是 ABAC 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BC 至點(diǎn) D,使 CDfBD,連接 DM DN MN 若 AB=6,貝 U DN= 3.6【考點(diǎn)】三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線；平行四邊形的判定與性質(zhì).【解析】連接 CM 根據(jù)三角形中位線定理得到NM 丄 CB MIN/ BC 證明四邊形2平行四邊形，得到 DN=

10、CM 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM= AB=3,等量代換即可.【解答】解：連接 CM/ M N 分別是 AB AC 的中點(diǎn)， NM= CB MIN/ BC 又 CD= BD MN=CD 又 MIN/ BC四邊形 DCMN!平行四邊形，DN=CM/ACB=90 , M 是 AB 的中點(diǎn),tCM 予 AB=3i-iDN=3故答案為：3.（2016 青海西寧2分）如圖，OP 平分/ AOB / AOP=15 , PC/ OA PDLOADCMN!于點(diǎn) D,7PC=4,貝 U PD=_.R類型五：相似三角形問題例題 5:（2016 陜西）某市為了打造森林城市，樹立城市新地標(biāo)，實(shí)現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在

11、城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園小亮、小芳等同學(xué)想用一些測(cè)量工具和所學(xué) 的幾何知識(shí)測(cè)量“望月閣”的高度，來檢驗(yàn)自己掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力他們經(jīng)過觀察 發(fā)現(xiàn)，觀測(cè)點(diǎn)與“望月閣”底部間的距離不易測(cè)得，因此經(jīng)過研究需要兩次測(cè)量，于是他們 首先用平面鏡進(jìn)行測(cè)量.方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM 上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個(gè)標(biāo)記，這個(gè)標(biāo)記在直線BM 上的對(duì)應(yīng)位置為點(diǎn) C,鏡子不動(dòng)，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動(dòng)，走到點(diǎn)D 時(shí)，看到“望月閣”頂端點(diǎn)A 在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合，這時(shí)，測(cè)得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在陽(yáng)光下，他們用測(cè)影長(zhǎng)的方法進(jìn)

12、行了第二次測(cè)量，方法如下：如圖，小亮從 D 點(diǎn)沿 DM 方向走了 16 米,到達(dá)“望月閣”影子的末端F 點(diǎn)處，此時(shí)，測(cè)得小亮身高FG 的影長(zhǎng) FH=2.5 米，F(xiàn)G=1.65 米.如圖，已知 AB 丄 BM EDLBM GFLBM 其中，測(cè)量時(shí)所使用的平面鏡的厚度忽略不計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB 的長(zhǎng)度.【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用.【解析】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出厶 ABBAEDC ABFAGFH 進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出AB 的長(zhǎng).【解答】解：由題意可得：/ ABCMEDCMGFH=90 ,/ACBMECD/AFB=/ GHF8故厶 ABSA

13、EDC ABFAGFH則坐具AB二翌ED DL GF FH即AB屈期_BC+18. - 一，-一 ！-鑽嚴(yán)解得：AB-99,答：“望月閣”的高 AB 的長(zhǎng)度為 99m.變式訓(xùn)練 5:(2016 黑龍江齊齊哈爾8分)如圖，在 ABC 中，ADL BQBEL AC垂足分別為 D,E, AD 與 BE 相交于點(diǎn) F.(1)求證： ACSABFD(2)當(dāng) tan/ABD-1 AC-3 時(shí)，求 BF 的長(zhǎng).Rn c類型六：解直角三角形問題例題 6：(2016 山東省德州市4分)2016 年 2 月 1 日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭成功將第 5 顆新一代北斗星送入預(yù)定軌道，如圖，火箭從

14、地面L 處發(fā)射，當(dāng)火箭達(dá)到 A 點(diǎn)時(shí)，從位于地面 R 處雷達(dá)站測(cè)得 AR 的距離是 6km,仰角為 42.4 ; 1 秒 后火箭到達(dá) B 點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得仰角為 45.5 (1 )求發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR;(2)求這枚火箭從 A 到 B 的平均速度是多少(結(jié)果精確到0.01 )?(參考數(shù)據(jù)：son42.4 0.67 , cos42.4 0.74 , tan42.4 0.905 , sin45.5 0.71 ,COS45.5 0.70 , tan45.5 1.02 )9【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.【解析】(1)根據(jù)題意直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出LR=AR?coHARL 求出答案即可；(2)根據(jù)題

15、意直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BL=LR?tanZ BRL 再利用 AL=ARsinZ ARL求出 AB 的值，進(jìn)而得出答案.【解答】解：(1 )在 Rt ALR 中，AR=6km / ARL=42.4,pr由 cos / ARL=，得 LR=AF?cosZARL=6 cos42.4 4.44 ( km). AF答：發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR 為 4.44km ;(2)在 Rt BLR 中，LR=4.44km,ZBRL=45.5,DT由 tan / BRL= .，得 BL=LR?tanZ BRL=4.44X tan45.5 4.44 1.02=4.5288 (km),It又 sin / AR

16、L=得 AL=ARsinZ ARL= si n4 2.4 4.02 ( km), Af AB=BbAL=4.5288-4.02=0.50880.51(km).答：這枚火箭從 A 到 B 的平均速度大約是 0.51km/s .【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.變式訓(xùn)練 6:(2016 海南)如圖，在大樓 AB 的正前方有一斜坡 CD, CD=4 米，坡角/ DCE=30，小紅在斜坡下的點(diǎn) C 處測(cè)得樓頂 B 的仰角為 60,在斜坡上的點(diǎn) D 處測(cè)得樓頂 B 的仰角為 45其中點(diǎn)AC、E 在同一直線上.(1)求斜坡 CD 的高度 DE（2）求大樓 AB

17、的高度（結(jié)果保留根號(hào)）10【能力檢測(cè)】1.（2016 貴州畢節(jié) 3 分）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A.三條高的交點(diǎn) B 三條角平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)2.（2016 廣西桂林8分）如圖，平行四邊形 ABCD 勺對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) 0, E,F 分別是 0A 0C 的中點(diǎn)，連接 BE, DF（1 ）根據(jù)題意，補(bǔ)全原形；3.（2016 湖北隨州 10 分）愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形” 如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM BN 是 ABC

18、的中線，ANL BN 于點(diǎn) 卩，像厶 ABC 這樣的三角形均為“中 垂三角形”.設(shè) BC=a AC=b AB=c.【特例探究】（1、如圖 1,當(dāng) tan / PAB=1 c=4 卡：時(shí)，a=_沁,b= 4;如圖 2,當(dāng)/ PAB=30 ,c=2 時(shí)，a= 浙 ,b= V1S ;【歸納證明】（2、請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想 a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖 3 證明你的結(jié)論.11【拓展證明】(3) 如圖 4, ?ABC中，E、F 分別是ADDBC 的三等分點(diǎn)，且 AD=3AE BC=3BF 連接 AF、4.(2016 湖北武漢 10 分)在厶 ABC 中，P 為邊

19、AB 上一點(diǎn).如圖 1 ,若/ ACP=ZB,求證： AC = AP- AB(2)若 M 為 CP 的中點(diǎn)，AC= 2, 女口圖 2,若/ PBM=ZACP AB= 3, 求 BP 的長(zhǎng)；5.(2016 山東省濟(jì)寧市3分)某地的一座人行天橋如圖所示,天橋高為 6 米，坡面BC 的坡度為 1:1 ,為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度， 使新坡面的坡度為 1:二.(1 )求新坡面的坡角 a;(2)原天橋底部正前方 8 米處(PB 的長(zhǎng))的文化墻 PM 是否需要拆橋？請(qǐng)說明理由.BE、CE 且 BE! CE 于 E, AF 與 BE 相交點(diǎn) G AD=3 二,AB=3,求 AF 的長(zhǎng).,/

20、 A=ZBM= 60,直接寫出衛(wèi)BP的長(zhǎng).C12P A R13【參考答案】變式訓(xùn)練 1：（2016 湖北荊門3分）已知 3 是關(guān)于 x 的方程 x2-（m+1） x+2m=0 的一個(gè)實(shí)數(shù)根，并 且這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是等腰厶 ABC 的兩條邊的邊長(zhǎng)，則 ABC 的周長(zhǎng)為（）A. 7 B . 10 C . 11 D . 10 或 11【考點(diǎn)】解一元二次方程 -因式分解法；一元二次方程的解；三角形三邊關(guān)系；等腰三角 形的性質(zhì)【解析】把 x=3 代入已知方程求得 m 的值；然后通過解方程求得該方程的兩根，即等腰 ABC 的兩條邊長(zhǎng)，由三角形三邊關(guān)系和三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可.【解答】解：把

21、x=3 代入方程得 9-3 （m+1） +2m=0,解得 m=6，則原方程為 x2- 7x+12=0，解得 x1=3， x2=4，因?yàn)檫@個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰 ABC 的兩條邊長(zhǎng)，1當(dāng) ABC 的腰為 4，底邊為 3 時(shí)，則 ABC 的周長(zhǎng)為 4+4+3=11;2當(dāng) ABC 的腰為 3，底邊為 4 時(shí)，則 ABC 的周長(zhǎng)為 3+3+4=10.綜上所述，該 ABC 的周長(zhǎng)為 10 或 11.故選： D變式訓(xùn)練 2：（2016 四川瀘州）如圖，C 是線段 AB 的中點(diǎn)，CD=BE,CD/ BE 求證：/ D=ZE.【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).14【解析】由 CD/ BE 可證得/ ACDMB

22、,然后由 C 是線段 AB 的中點(diǎn)，CD=BE, 利用 SAS 即可證得 ACD CBE 繼而證得結(jié)論.【解答】證明：/ C 是線段 AB 的中點(diǎn)， AC=CB/CD/1 BE /ACDMB,在ACD 和CBE 中，rAOCB；+ ZACD=ZB,LCD=BE ACD CBE( SAS), /D=ZE.變式訓(xùn)練 3:(2016 黑龍江齊齊哈爾 12 分)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn) A (-二，0) 的兩條直線分別交 y 軸于 B C 兩點(diǎn)，且 B、C 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程 x2- 2x- 3=0 的兩個(gè)根(1) 求線段 BC 的長(zhǎng)度；(2) 試問：直線 AC 與直線 AB 是

23、否垂直？請(qǐng)說明理由；(3) 若點(diǎn) D 在直線 AC 上，且 DB=DC 求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；(4)在(3)的條件下，直線 BD 上是否存在點(diǎn) P,使以 A、B、P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是 等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.15【解析】(1)解出方程后，即可求出 B、C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出 BC 的長(zhǎng)度；(2)由AB、C 三點(diǎn)坐標(biāo)可知 OA=OC?O,所以可證明 AO&ABOA 利用對(duì)應(yīng)角相等 即可求出/ CAB=90 ;(3)容易求得直線 AC 的解析式，由 DB=DC 可知，點(diǎn) D 在 BC 的垂直平分線上，所以 D 的縱坐標(biāo)為 1，將其代入直線 AC

24、 的解析式即可求出 D 的坐標(biāo)；(4)A B P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：AB=APAB=BPAP=BP 然后分別求出 P 的坐標(biāo)即可.【解答】(1)Vx2-2x-3=0, x=3 或 x= - 1, B ( 0, 3), C (0,- 1), BC=4(2)vA(-二,0),B(0,3),C(0, -1),OA=二，OB=3 OC=12OA=OB?OC/ AOCMBOA=90,【考點(diǎn)】三角形綜合題.16 AOC BOA/ CAOMABO/ CAOMBAOMABOMBAO=90,/ BAC=90 ,ACLAB(3)設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b ,把 A (

25、-, 0)和 C (0, - 1)代入 y=kx+b ,17-l=b直線 AC 的解析式為：y=-亠二 x- 1,3/ DB=DC點(diǎn) D在線段 BC的垂直平分線上,D的縱坐標(biāo)為 1 ,把 y=1 代入 y= - x- 1,x=-2 二，D的坐標(biāo)為(-2，1),(4) 設(shè)直線 BD 的解析式為：y=mx+n,直線 BD 與 x 軸交于點(diǎn) E,把 B (0, 3)和 D (- 2 乙 1)代入 y=mx+n,f- E （- 3 一，0）, OE=3 扣,/ BEO=30 ,同理可求得：/ ABO=30 ,/ ABE=30 ,當(dāng) PA=AB 時(shí)，如圖 1,解得：解得直線BD的解析式為：y=.x+3,

26、 X=3二tan18此時(shí)，/ BEAKABE=30 , EA=ABP 與 E 重合，P 的坐標(biāo)為（-3 .= 0）,當(dāng) PA=PB 寸，如圖 2,此時(shí)，/ PAB=/ PBA=30 ,/ ABE=/ ABO=30 ,/ PAB=/ ABO PA/ BC:丄PAO=90 ,點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為-二，y=2,P (- .= 2),當(dāng) PB=AB 時(shí)，如圖 3,由勾股定理可求得：AB=2.二,EB=6,若點(diǎn) P 在 y 軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn) P 為 Pi, 過點(diǎn) Pi作 PiF 丄x軸于點(diǎn) F, PiBAB,EPi=6- 2 .二 sin / BEO x- 3, P1(-3,3-朋),若點(diǎn) P 在 y

27、軸的右側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn) P 為 P2,過點(diǎn) P2作 P2G 丄X軸于點(diǎn) G,副19-P 2B=AB=,EP2=6+2 J,-sin / BEO= ,EP JGF2=3+:常,令 y=3+代入 y=丄二 x+3 ,3-x=3,.P2（3，3+左）,綜上所述，當(dāng) A、B P 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（-3 二，0）,（_ 忑,2）， （- 3, 3占），（3, 3+譏）.20副21變式訓(xùn)練 4:(2016 青海西寧2分)如圖，0P 平分/ AOB / AOP=15 , PC/ OA PDLOA 于點(diǎn) D,PC=4,貝 U PD= 2.0SA【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；含30 度

28、角的直角三角形.【解析】作PELOA 于 E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD 根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ ACPMAOB=30 ,由直角三角形中 30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得 PE 即可求得 PD【解答】解：作 PEIOA 于 E,/ AOPMBOP PDLOB PEI OA PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等） ，/ BOPMAOP=15,/ AOB=30 ,/ PC/ OB/ ACPdAOB=30,在 Rt PCE 中，PE= PC=X4=2 （在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的2 2一半）, PD=PE=2（2016 黑龍江齊齊哈爾8分）如圖，在厶 ABC

29、 中，ADLBC BE!AC 垂足分別為 D,E , AD 與 BE 相交于點(diǎn) F.故答案是：2.22(1)求證： ACSABFD(2)當(dāng) tan / ABD=1 AC=3 時(shí)，求 BF 的長(zhǎng).【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).【解析】(1)由/ C+ZDBF=90，/ C+ZDAC=90，推出/ DBF2DAC 由此即可證明.(2)先證明 AD=BD 由厶 ACSABFD 得：_= =1，即可解決問題.BF BD【解答】(1)證明：TADL BCBELACZBDFZADCZBEC=90,ZC+ZDBF=90, ZC+ZDAC=90, ZDBFZDAC ACSABFD(2)TtanZABD=1Z

30、ADB=90=1 AD=BD BF=AC=3RDlC變式訓(xùn)練 6:(2016 海南)如圖，在大樓 AB 的正前方有一斜坡 CD, CD=4 米，坡角ZDCE=30，小紅 在斜坡下的點(diǎn) C 處測(cè)得樓頂 B 的仰角為 60,在斜坡上的點(diǎn) D 處測(cè)得樓頂 B 的仰角為 45 其中點(diǎn)AC、E 在同一直線上.(1)求斜坡 CD 的高度 DE(2)求大樓 AB 的高度(結(jié)果保留根號(hào))23sfT【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題.【專題】應(yīng)用題；解直角三角形及其應(yīng)用.【解析】(1)在直角三角形 DCE 中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE 的長(zhǎng)即可；(2)過 D 作 D

31、F 垂直于 AB,交 AB 于點(diǎn) F,可得出三角形 BDF 為等腰直角三角形，設(shè) BF=DF=x 表示出 BC, BD, DC 由題意得到三角形 BCD 為直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于 x 的方程， 求出方程的解得到 x 的值，即可確定出 AB 的長(zhǎng).【解答】解：(1)在 Rt DCE 中，DC=4 米，/ DCE=30，/ DEC=90 , DE= DC=2 米；(2)過 D 作 DF 丄 AB 交 AB 于點(diǎn) F,/ BFD=90，/ BDF=45 ,/ BFD=45，即 BFD 為等腰直角三角形，設(shè) BF=DF=x 米,四邊形 DEAF 為矩形，AF=DE=2 米，即 AB= (x+

32、2)米，在 Rt ABC 中，/ ABC=30 ,AB V3 2啤禎(右+4) BC= .： = =璉撫=米，BD= : BF= : x 米, DC=4 米，/ DCE=30，/ ACB=60 ,/ DCB=90 ,24偽+4嚴(yán)在 Rt BCD 中，根據(jù)勾股定理得： 2x2=：；+16,解得：x=4+-或 x=4 -,可.25則 AB=( 6+?) 米或(6-)米. r【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，坡度坡角問題，熟練掌握勾股定理 是解本題的關(guān)鍵.【能力檢測(cè)】1.（ 2016 貴州畢節(jié) 3 分）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A.三條高的交點(diǎn) B 三條角平分線的

33、交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).【解析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解答即可.【解答】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線 的交點(diǎn)，故選：D.2.（2016 廣西桂林8分）如圖，平行四邊形 ABCD 勺對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) O, E, F 分別是 OA OC 的中點(diǎn)，連接 BE, DF（1 ）根據(jù)題意，補(bǔ)全原形；（2）求證：BE=DF【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).【解析】（1）如圖所示；（2）由全等三角形的判定定理 SAS 證得厶 BEdADFO

34、 得出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即【解答】（1 ）解：如圖所示:(2)證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形，對(duì)角線 AG BD 交于點(diǎn) 0,-詩(shī).J* JP* 產(chǎn)瀘73260B=0, 0A=0G又 E, F 分別是0A0C 的中點(diǎn)，0E0A 0F0G2 2 0E=0FTdEOF;在 BE0 與厶 DF0 中，尹単心/mF , BE0 DF0( SAS,BE=DF3.（2016 湖北隨州10 分）愛好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形” 如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM BN 是 ABC 的中線，ANL BN 于點(diǎn) 卩

35、，像厶 ABC 這樣的三角形均為“中 垂三角形”.設(shè) BC=a AC=b AB=c.【特例探究】（1、如圖 1,當(dāng) tan / PAB=1 c=4 .二時(shí)，a= 4 二 ,b= 4 二 ;如圖 2,當(dāng)/PAB=30 ,c=2 時(shí)，a= 的 ,b=A_;【歸納證明】（2、請(qǐng)你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想 a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來， 并利用圖 3 證明你的結(jié)論.【拓展證明】（3、如圖 4, ?ABCC 中，E、F 分別是 AD BC 的三等分點(diǎn)，且 AD=3AE BC=3BF 連接 AF、BE、CE,且 BE! CE 于 E, AF 與 BE 相交點(diǎn) G AD=3 二,AB=

36、3,求 AF 的長(zhǎng).27【考點(diǎn)】四邊形綜合題.【解析】（1）首先證明 APB PEF 都是等腰直角三角形，求出PA PB PE、PF,再利用勾股定理即可解決問題.連接 EF，在 RT PAB RT PEF 中，利用 30性質(zhì)求出PAPB PE PF，再利用勾股 定理即可解決問題.（2） 結(jié)論 a2+b2=5c2.設(shè) MP=x NP=y,則 AP=2x, BP=2y,利用勾股定理分別求出a2、b2、2c 即可解決問題.（3） 取 AB 中點(diǎn) H,連接 FH 并且延長(zhǎng)交 DA 的延長(zhǎng)線于 P 點(diǎn)，首先證明厶 ABF 是中垂三角 形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題.【解答】（1 ）解：如圖 1

37、 中，ICE=AE CF=BF EF/ AB EF= AB=2 二，/tan / PAB=1/ PAB2PBA2PEF=/ PFE=45,PF=PE=2 PB=PA=4AE=BF= =2 匚b=AC=2AE=4, a=BC=4 匚故答案為 4 , 4 匚如圖 2 中，連接 EF,CE=AE CF=BFLEF/ AB EF=TAB=1,/ PAB=30 ,PB=1 PA=乙在 RT EFP 中，/ EFP=/ PAB=30 , PE=_ , PF= ,2 2AE=i fl=，BF=m=，28a=BC=2BF=匚,b=AC=2AE=,故答案分別為二，#：(2) 結(jié)論 a2+b2=5c2.證明：如圖 3 中，連接 EF./ AF、BE 是 中線，EF/ AB EF=AB, FPEAAPB配 _PN=t AP=西=爰，設(shè) FP=x, EP=y,貝 U AP=2x, BP=2y, a2=BC=4BF=4(Fh+BP)=4x2+16y2,b2=AC=4AE=4 (P+AP) =4y2+16x2,c2=ABa=AF2+BF2=4x2+4y2, a2+b2=20 x2+20y2=5(4x2+4y2)=5cl(3) 解：如圖 4 中，在 AGE 和厶 FGB 中，ZAGE=ZFGB“ ZAEGZFBG