初中數(shù)學(xué)幾何圖形輔助線添加方法大全

1、初中數(shù)學(xué)添加輔助線的方法匯總作輔助線的基本方法一：中點、中位線，延長線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使 延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達(dá) 到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是垂線或 角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔

2、助線的做法仍會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似 形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知 角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商 見?！蓖辛忻锥ɡ砗兔啡~勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外

3、離），那么，輔助線往往 是連心線或內(nèi)外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條 件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為 輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相 反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角一一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助 線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，貝U弧上的弦是輔助線；如遇弦，貝慮心距為輔助線如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離

4、和所夾的弦都可視為輔 助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。九：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多 種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。?添輔助線有二種情況：1按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90；證線段倍半關(guān)系可倍線 段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

5、2按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線 往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（1）平行線是個基本圖形：當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線（2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線

6、組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。 出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線 段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基 本圖形。5）三角形中位線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點 沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平 行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的 中點，則可過帶中點線段的端點添

7、半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。（6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等 線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添 對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一 組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將 四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線（7）相似三角形：相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時（中點可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過端點添則可以分點或另一端點的線段為平行方向

8、，這類題目中往往 有多種淺線方法。（8）特殊角直角三角形當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1:V2;30度角直角三角形三邊比為1:2:V3進(jìn)行證明9）半圓上的圓周角出現(xiàn)直徑與半圓上的點，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦-直徑；平面幾何中總共只有二十多個基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥， 石灰，木等組成一樣。二基本圖形的輔助線的畫法1.三角形問題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形 的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2

9、：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的 條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段 的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法 或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段， 而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形中常用輔助線的添法 平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似

10、，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方 法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或 中位線（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o 助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決 的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形

11、內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰5）過梯形上底的兩端點向下底作高6）平移對角線（7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中， 添加的輔助線并不一定是固定不變的、 單一的。 通 過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問 題的關(guān)鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié) 論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一 般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能

12、力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應(yīng)的半徑），通過垂徑平分定理，來 溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是 直角這一特征來證明問題。3）見切線作半徑命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用切線與半徑垂直這一 性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線 可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。（5）兩圓相交作公共弦對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可 以把兩圓中的圓周角

13、或圓心角聯(lián)系起來。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某 邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān) 系證明，如：例1:已知如圖1-1:D EABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACB DE CE.證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB AC于M N,在厶AMN中，AM+ANMDb DE+ NE;(1)在厶BDM中,M+MDBD(2)在厶CEN中,CN+NE CE(3)由(1) + (2) + (3)得：AM+AN+M聊MDb CN+NEM+DE NE+ BD+CE AB+ ACBD+DE+ EC(

14、法二：)如圖1-2，延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在厶ABFPGFCffiAGD沖有：AB+ AFBD+DG GF?(三角形兩邊之和大于第三邊)(1)GF+FO GE CE(同上)(2)DG GEDE(同上)(3)由(1) + (2) + (3)得：AB+ AF+GF+FC+DG GE BD+DG GF+GE CE+ DE二AB+ ACBD+ DE EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外角定理：例如： 如圖.2-1已知.D為ABC內(nèi)的任

15、二點求證:.乙.BAC.分析 因為/BDC與/BAC不在同一個三角形中，沒有直接系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外證法一：延長BD交AC于點E,這時/BDC是EDC的外角,/BDOZDEC同理/DEOZBAC :丄BDOZBAC證法二：連接AD,并延長交BC于FvZBDF是ABD的外角/BDFZBAD同理，ZCDFZCADZBDF+ZCDFZBAt+ZCAD位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；圖2 1的聯(lián)即：/BDOZBAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小 角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。分析：要證BECFEF,

16、可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE CF, EF移到同一個三角形中，而由已知/1=Z2，Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN FN, EF移到同一個三角形中。證明：在DA上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在厶DBEm DNE中:DN DB（輔助線的作法）T12（已知）ED ED （公共邊）DBEADNE（ SAS BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）構(gòu)造全/3=同理可得：CF=NF在AEFN中EN+ FN EF（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEF。注意：當(dāng)證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然 后用全等

17、三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。 -lii* -11- - -I I-*- -li-I-* - - - - - I四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖4-1:ABC的中線，且/1= /2，Z3=/4，求證：BECFEFBD CD（中點的定義）1CDM （對頂角相等）ED MD（輔助線的作法）BDEACDM（ SAS又/1= /2，/3=/4（已知）/1+ /2+/3+/4=180（平角的定義）證明：延長ED至M使DM=D，連接CM MR在厶BD3 CDM中,A圖4M/ 3+/2=90,即：/EDF=90 / FDM=/EDF=90在厶ED3 MDF中ED

18、MD（輔助線的作法）EDFFDM （已證）DF DF （公共邊）EDFA MDF（ SAS EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）在CMF中,CF+CM MF（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+ CFEF注：上題也可加倍FD,證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角 形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1:ABC的中線，求證：AB+ AC2AD分析：要證一AB+A42AR由圖想到:一AB+. BDAD,AC+. CDAd.所以有 一AB+AC+BD+CDAD+AD= 2AD左邊比要證結(jié)論多BD+C

19、D故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線，把所要K證的線段轉(zhuǎn)一移到同一個三角形中去。.B:iDC證明：延長AD至E,使DE=AD連接BE,貝U 1AE=2ADE AD%AABC的中線（已知） BD= CD（中線定義）在厶ACDPEBD中ACDA EBD（SAS BE= CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABE中有：AB+ BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+ AC2AD（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形） 練習(xí)：已知ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD六、截長補(bǔ)短法作輔助線例如：已知如圖6-1:在A

20、BC中,ABAC,/1=Z 2,P為AD上任一點。求證：AB-AC m wrwrnri1!wvrTinBnirararvTE_wrrnrBl4 * a airlE_irvrnrarvirwnirwrB_PB- PCo分析.：.要證:A.B -ACPBPCL想到利用三角形三.證明：（截長法）邊關(guān)21PND系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小再連接PN貝y PO PN又在PNB中,PB- PNPB- PG在AB上截取AN= AC連接PN,在厶APNffiAAPC中AN AC（輔助線的作法）T12（已知）AP AP（公共邊）APNA APC（ SAS PO PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）在

21、BPN中，有PB- PN PM- PC（三角形兩邊之差小于第三邊） AB- ACPB- PC。七、延長已知邊構(gòu)造三角形:例如-：如圖.7-1.:已知.AEBD-ADLAC于-A?旦Q BD于一B,求證：AD_BC分析：欲證.AA.BC.先證分別含盲_AD一BC的三角形全等，有幾種方案：.ADCfA.BCD.AOD與旦OQA AB.D與BAC但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可 設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA CB它們的延長交于E點, ADL ACBC_ BD （已知）/ CAE=Z DBE= 90 （垂直的定義）在厶DBE與CAE中EE（公共角）

22、DBECAE（已證）BD AC（已知）DBEA CAE(AAS ED= ECE圧EA（全等三角形對應(yīng)邊相等） ED- E心EC- EB即：AD=BQ（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。） 八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如一：如圖8-1:ABCDAD/LBC求證：AB三CD分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD AB/ CDAD BC（已知）/ 1二/2,7 3二/4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在厶ABC與CDA中12（已 證）TAC CA（公共邊）34（已證）ABCA CDA(AS

23、A A吐CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長分析.：.要證BD.2C.E想到要構(gòu)造線段2.CE同的平分線垂直，想到要將其延長。證明：分別延長BA, CE交于點F。 BE! CF（已知）時CE與7 ABCF求證：BD= 2CE7 BEF=Z BEC= 90 （垂直的定義）在BEF與BEC中,12（已知）BE BE（公共邊）BEFBEC（已證）BEFA BEC（ASA二CE=FE= CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）2vZBAC=90 BE! CF（已知）/BAC=ZCAF= 90Z1+ ZBDA= 90Z1+ ZBFC= 90ZBDAZBFC在厶ABD與ACF中

24、 ABDAACF（AASBD= CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）BD= 2CE十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1;AC BD相交于O點，且A吐DC AO BD求證：ZA=ZD。分析：要證ZA=ZD,可證它們所在的三角形厶ABOPADCS等，而只有AB= DC和對頂角兩個條件，差一個條件,.，難以證其全等一，只有另尋其它的三-角形全等，由.A.B.DC-AC三BD若連接.一BC則一ABC和一DCB全等，所 以，證 得乙A三乙衛(wèi)?證明：連接BC,在厶ABCffiADCB中A、. D圖10 1AB DC （已知） ACDB （已知）BC CB（公共邊）DCB（SSS）/A=ZD（全

25、等三角形對應(yīng)邊相等）卜一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1:AB=DC, /A=ZD求證：/ABC=ZDCB分析.： 由.AB. DCZA三厶D,想到如取.AD的中點.N連接N旦NC再由SAS公理有_*?!“宰-DCNL一故.旦NkCN上.AB.N一乙PCN.下面只需證乙._N旦乙NC,再取一旦C的中點M連接MN則由SSS公理有一NBM一NCM.所以乙一NB.Cfe.ZNCB問題得證。證明：取AD BC的中點N、M連接NB NM NCAN=DN BM=C皿在厶ABNffiADCN中vAN DN （輔助線的作法）A D （已知）AB DC （已知）ABNDCN（SAS/ABN=ZDC

26、NNNC（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在厶N(yùn)BMfANCM中NB=NC（已證）vBM=CM （輔助線的作法）圖11 1NM=NM （公共邊）NMB2ANCM (SSS)/-ZNBC=/NCB全等三角形對應(yīng)角相等)二/NBCkZABNZNCB+ ZDCM卩ZABC=ZDCB巧求三角形中線段的比值例一1.如圖.I丄 在.ABC中旦D：D8一1:3_,AE_EA 2:3,求一-AF：FC。解：過點D作DG/AC,交BF于點G所以DG FC=BD BC因為BD DC= 1:3所以BD BO 1:4即DG FO 1:4,FO4DG因為DG AF=DE AE又因為AE ED= 2:3所以DG AF=3:2A

27、F=-DG-DG即3所以AF:FO3:4DG= 1:6例2.如圖2,BO CD AF=FC,求EF:FD解:過點C作CG/DE交AB于點G貝U有EF: GC= AF: AC因為AF=FC所以AF:AO 1:2E = -GC即EF: GC= 1:2,2因為CG DE= BC: BD又因為BO CD所以BC: BD= 1:2CG DE= 1:2即DE= 2GCH D2GC- -GC= -GC因為FA ED- EF=?2所以EF:FA小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩 線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中 的奧妙！例3.如圖3,BD DC

28、= 1:3,AE: E吐2:3,求AF:FD解：過點B作BG/AD,交CE延長線于點G所以DF: BG= CD CB因為BD DC= 1:3所以CD CB= 3:4因為AF:BG= AE: EB又因為AE E吐2:3AF = -BG所以AF:BG= 2:3即 ：-BGt8- 9所以AF:DF=34例4.如圖4,BD DC= 1:3,AF=FD,求EF:FG解：過點D作DG/CE,交AB于點G所以EF:DG= AF:AD-GCi -GC=L 32 2條已知即DF: BG= 3:4,E DC因為AF=FD所以AF:AD= 1:2圖4即EF: DG= 1:2-因為DG CE= BD BC,又因為BD

29、 CD= 1:3,所以BD B01:4即DG CE= 1:4,CE= 4DG174DG- DG = -DG因為F3 CE- EF=2-DGt -DG所以EF:FC= ?2= 1:7練習(xí):1.如圖5,BD= DC, AE ED= 1:5,求AF: FB。2.如圖答案：1、AE EO求BF:AD DB=6,1:3,3:1,FC。1:10;2.9:1初中幾何輔助線一初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，

30、三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片圓形半徑與弦長計算,切線長度的計算,是直徑，成半圓, 圓周角邊兩條弦, 要想作個外接圓, 如果遇到相父圓, 若是添上連心線, 汪意點輔助線，

31、是虛線, 基本作圖很關(guān)鍵, 切勿盲目亂添線, 弦心距來中間站。 勾股定理最方便。 想成直角徑連弦。 直徑和弦端點連。 各邊作出中垂線。 不要忘作公共弦。 切點肯定在上面。畫圖注意勿改變。平時掌握要熟練。方法靈活應(yīng)多變。圓上若有一切線,要想證明是切線,弧有中點圓心連,弦切角邊切線弦,還要作個內(nèi)接圓,內(nèi)外相切的兩圓,要作等角添個圓,假如圖形較分散,解題還要多心眼,分析綜合方法選,切點圓心半徑連。半徑垂線仔細(xì)辨。垂徑定理要記全。同弧對角等找完。內(nèi)角平分線夢圓 經(jīng)過切點公切線。 證明題目少困難。對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線二由角平分線想到的輔助線口訣：

32、圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平 行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于 有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。1從角平分線上一點向兩邊作垂線；2利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造 對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相 何規(guī)律，在解

33、決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定 理所涉及到的輔助線作以介紹關(guān)的幾EACDO猜想是如圖1-1，/AOC=BOC如取OE=OF并連接DE DF,則有OEDAOFD從而為我例1. 如圖1-2,AB/CD, BE平分/BCD, CE平分/BCD點E在AD上，求證：BC=AB +CD分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平 分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分 問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分 使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相等

34、，延長要證明延長后的線段 與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目 的。簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB再證明CF=CD從而達(dá)到證明的目的 這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延 長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。例2. 已知：如圖1-3，AB=2ACZBADCAD DA=DB求證DC!AC分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3. 已知：如圖1-4，在ABC中,ZC=2Z B,ADC,求證：AB-AC=CD們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。形。構(gòu)造平

35、分ZBACAC圖1-3還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的 倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的線 截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長 明呢？練習(xí)1.已知在ABC中，AD平分/BAC/B=2/ C,求證：AB+BD=AC2.已知：在厶ABC中,ZCAB=ZB, AE平分/CAB交BC于E，AB=2AC求證：AE =2CE3.已知：在厶ABC中,ABAC,A為ZBAC的平分線，M為AD上任一點。求證：BM-CMAB-AC4.已知：D是厶ABC的ZBAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB DG求證：BD+CDAB+AC（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點向角

36、兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1.如圖2-1，已知ABADZBACZFAC,CD=BC求證：ZADCZB=180?分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中和差段上來證A分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADC與/B之和為平角例2.如圖2-2，在ABC中，/A=90?, AB=ACZABD2CBD求證：BC=AB+AD分析：過D作DELBC于E,貝U AD=DE=CEJ則構(gòu)造出 三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從 用了相當(dāng)于截取的方法。例3.已知如圖2-3，ABC的角平分線BM CN相交于A4B3C2D12.已知在厶ABC中,ZC=9

37、0? AD平分/CAB CD=1.5,求AG3.已知：如圖2-5,ZBACZCAD,ABAP CEL AB,全等中利點P。求證：/BAC的平分線也經(jīng)過點P。分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證的距離相等。練習(xí):1.如圖2-4/AOPhB0P=15? PC/OA, PDLO女口果PC=4貝UPD=()DB=2.5.圖2-2B ACA，1AE=2（AB+AD .求證：/D+ZB=18024.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中,E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，ZFAE=/ DAE求證：AF=AD+CF5.已知：如圖2-7，在RtABC中,ZACB=90?,CPAB垂足為D, AE平分Z

38、CAB交CD于F,過F作FH/AB交BC于H求證CF=BH（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形，垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交）。例1. 已知：如圖3-1，ZBADZDAC ABAC,CPAD于1BC中點。求證：DH=（AB-AC2分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可例2.已知：如圖3-2,AB=ACZBAC=90? AD為ZABC的平分線，CEL BE.求證：BD=

39、2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可延長此垂線與另外一 邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形D, H是C證。例3.已知：如圖3-3在厶ABC中,AD AE分別/BAC的內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD交AD的延 長線于F連結(jié)FC并延長交AE于M求證：AM=ME分析：由AD AE是/BAC內(nèi)外角平分線，可得EALAF,從而有BF/AE，所以想到利 用比例線段證相等。例4.已知：如圖3-4，在ABC中,AD平分/BAC AD=AB CMLAD交AD延長線于M1求證：AM*(AB+AC2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD自然想到以AD為軸作對稱變換，作ABD關(guān)于AD1的對稱AED然后

40、只需證DM= EC另外由求證的21結(jié)果AM(AB+AC，即卩2AM=AB+AC也可嘗試作厶2ACM于CM的對稱FCM然后只需證DF=CFW可。練習(xí)：1.已知：在厶ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中點，AE是/BAC的平分線，且CE丄AE于E,連接DE求DE2.已知BE BF分別是ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AFLBF于F,AE11BE于E,連接EF分別交AB AC于M N,求證MN=BCN圖3-32（四）、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而

41、也構(gòu)造等腰三3.已知CE人。是厶ABC的角平分線，/B=60,求證:4.已知：如圖在厶ABC中,ZA=90,AB=AC BD是/ABC的平角形。如圖4-1和圖4-2所示。1.已知，如圖，ZE+CDBC=AB+A三由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補(bǔ)短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一 條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長 線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之

42、差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點 或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運(yùn)用三角形三邊 的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1:D EABC內(nèi)兩點,求證:AB+ACBD+DE+CE.證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB AC于MN,圖1 1在厶AMNKAM+ANMD+DE+NE；)在厶BDM中,MB+MDBD( 2)在厶CEN中,CN+NECE(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE和厶GDE中有:AB+AFBD+DG+G

43、三角形兩邊之和大于第三邊）（1）GF+FCGE+Cd同上）（2）DG+GED0同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC（法二：圖1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G在厶ABF和GFC圖2 1AB+ACBD+DE+)EC在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于 這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1:已知DABC內(nèi)的任一點，求證：/BDC2BAC分析 因為/BDC與ZBAC

44、不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線 構(gòu)造新的三角形，使/BDC處于在外角的位置，ZBAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E,這時ZBDOAEDC勺外角，ZBDCZDEC同理ZDECZBAC/-ZBDCZBAC證法二：連接AD并廷長交BC于F,這時ZBDF是ABD的夕卜角，/ZBDFZBAD同理，ZCDFZCAD/ZBDF+ZCDFZBADZCAD即：ZBDCZBAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì) 證明。三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如

45、：如圖3-1:已知ABC的中線，且Z仁Z2,Z3=Z4,求證：BE+CFEF圖3 1分析：要證BE+CFE,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE CF, EF移到同一 個三角形中，而由已知/1=72,/3=74,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把EN FN,EF移到同個三角形中。證明：在DN上截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在厶DBEmNDE中:” DN=D（輔助線作法）彳71=72（已知）ED=E（公共邊）DBEANDE（ SAS BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FNE（三角形兩邊之和大于第三邊） BE+CFEJF

46、注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角 形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補(bǔ)短法作輔助線例如：已知如圖6-1 :在ABC中，ABAC/仁/2,P為AD上任一點求證：AB-ACPB-PC分析：要證:AB-AOPB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因為欲證的線段 之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN再連接PN貝U PC=PN又在PNB中,PB-PNPB-PC證明：（截長法）在AB上截取AN=A（連接PN,在厶APNOAAPC中* AN=AC（輔助線作法）/仁/2（已知）A

47、P=AP（公共邊）APNAAPC（SAS，二PC=P（全等三角形對應(yīng)邊相等）在BPN中，有PB-PNPM-P三角形兩邊之差小于第三邊） AB-ACPB-PC例4如圖，已知RtABC中，/ACB=90,BD是/CAB勺平分線，DMlLAB于M,且A1M=MB求證：CD=2DB1.如圖，AB/ CD AE DE分別平分/BAD各/ADE求證：AD=AB+CD四由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的 中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊

48、 中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1,AD是ABC的中線，貝USAABE=SAACE= - SAABC（因為 ABD與 ACD是等底同高的）。例1.如圖2，AABC中,AD是中線，延長AD至U E,使DE=AD DF是ADCE的中線。側(cè),C在AE的異已知AABC的面積為2,求：ACDF的面積解：因為AD是ABC的中線，所以 SAAC=, SAABC=X2=1，又因CD是 SACD=SAAC=1 ,因DF是ACDB的中線，所以 SACD=工22ACDF的面積為。Z（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3,在四邊形ABCD

49、中,AB=CD E、F分別是BC AD的中點,線分別交EF的延長線G H。求證：/BGEMCHE證明：連結(jié)BD,并取BD的中點為M連結(jié)ME MF ME是ABCD的中位線, MF是AABD的中位線，M巴.ABMFEMBGEMl AB=CDME=MFMEFMMFE從而/BGEMCHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知AABC中,AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長。AACE的中線,BA CD的延長ME CD /MEFMCHE解：延長AD至U E,使DE=AD貝U AE=2AD=2=4。在ACD和EBD中, AD=EDZADCMEDB CD=BDACDAEBD二AC=BE從而

50、BE=AC=3在AABE中,因AF+BE=42+32=25=AB，故/E=90, BD=.：=丄，故BC=2BD=2_例4.如圖5,已知AABC中,AD是/BAC的平分線, 的中線。求證：AABC是等腰三角形。證明：延長AD到E,使DE=AD仿例3可證：ABEDACAD故EB=AC/E=Z2, 又/仁/2,/仁/E, AB=EB從而AB=AC即AABC是等腰三角形AD又是BC邊上圖5（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,已知梯形ABCDK AB/DC, ACLBC, ADL BD求證：AC=BD證明：取AB的中點E,連結(jié)DE CE則DECE分別RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=

51、AB因此/CDEM AB/DC,/CDEM1,ZDCEN2,/仁/2,在ADE和BCE中, DE=CE/ 仁/2,AE=BEADEABCE二AD=BC從而梯形ABCD!等腰梯形，因此AC=BD（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形，/BAC=90,E垂直于BD交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE證明：延長BA CE交于點F,在ABEF和ABEC中,vZ仁/2,BE=BEZBEF=/ BEC=90,為RtABDDCEBD平分/ABC交AC于點D, C圖7A BEFA BEC二EF=EC從而CF=2CE例二：如圖5-1:ABC的中線，求證：AB+AC2AD又/1+ZF=Z3+ZF=90,故/ 仁/3。在ABD和ACF中，I/ 仁/3,AB=ACZBAD2CAF=90,ABDA ACF二BD=CF二BD=2CE注：此例中BE是等腰A BCF的底邊CF的中線。（六）中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結(jié)，便可得到全等 三角形例一：如圖4-1:ADABC的中線，且/1 =BD=C（中點定義）/仁/