勾股定理競賽試題

1、勾股定理培優(yōu)訓練B8.已知ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtACD再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的1.A.如圖，ABC的頂點A、B、C在邊長為1B.的正方形網格的格點上,C.BtUAC于點D.則BD的長為（）D.2.A.3.E、如圖，四邊形ABCAB=ADAD/BC.B-:ABC中，AB=ACZBAC=90,直角ZF,給出以下四個結論：ZABC=60,C.EPF的頂點/BCD=30,BC=那么AACD的面積是（）2_D.】二P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交ABAC于A.n-22B.2n

2、1C.2n9.已知直角三角形的斜I邊為2，周長為2+掘.則其面積是A.B.1C.卜12210.卜列五個命題：面積是（）（1）若直角三角形的兩條邊長為5和12,則第三邊長是13;AE=CFMEPF是等腰直角三角形EF=AP當ZEPF在ABC內繞P旋轉時（點E不與A、B重合）S四邊形AEPISxABC2,則上述結論始終正確的有（A.1個B.2個C.3個D.4個4.如圖，已知圓柱底面的周長為4dm圓柱高為（2）如果a0,那么1.=a（3）若點P（a,b）在第三象限，則點P（-a,-b+1）在第一象限;（4）對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；（5）兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等.其中

3、不正確命題的個數是（）A.2個B.3個C.4個D.5個.如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cmBC=8cm現將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，貝UCD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm.2002年8月在北京召開的國際數學大會會標取材于我國古代數學家趙爽的勾股圓方圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形較短的直角邊為a,較長的直角邊為b,那么（a+b）2的值為（）2dm,在圓柱的側面上，過點A和點C嵌有一圈金屬A.13B.19C.25D.169絲，則這圈金

4、屬絲的周長最小為（）A.4谿2dmB.2、：dmC.2、m5.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果從點13.如圖，矩形ABCD勺邊長AB=BC=8,將矩形沿EF折疊，使C點與A點重合，貝晰痕EF的長是達點B,那么所用細線最短需要（）cm.A.10nC.M9/+16D.4.!，dmA開始經過4個側面纏繞n圈到D.A.7.5B.6C.10D.56.在AABC中，ZACB=90,AC=12,BC=5,AM=ACBN=BC貝UMN勺長為（A.2B.2.6C.37.如圖，在ABC中，ZBAC=30,AB=ACD.14 AD是BC邊上的中線，ZACE旦ZBACCE交AB于點E,2交

5、AD于點F.若BC=Z則EF的長為（）C.1二.填空題.如圖，AAB。和CED均為等邊三角形，AC=BCAdBC若BE我，貝UCD.在RtABC中，/C=90,D為BC上一點，/DAC=30,BD=2AB=，貝UBC的長是已知a,b,c是直角三角形的三條邊，且avbvc,斜邊上的高為h,則下列說法中正確的是.(只填序號)ab+h=(a+b+1)h;b+ch=bc；由國甌、噂匚可以構成三角形；直角三角形的面積的最大值是.222.某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m8m.現要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形.求擴建后的等腰三角形花圃的周長.如圖

6、，在四邊形ABCD,AB=2,CD=1,ZA=60,ZB=ZD=90,則四邊形ABCD勺面積是.16. 如圖，四邊形ABC*矩形，點E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點F,ZAED=ZCED點G是DF的中點.若BE=2,AG=&則AB的長為.17. 三.解答題如圖，已知ADAABC的高，ZBAC=60,BC=3,AC=2試求AB的長.操作發(fā)現：將一副直角三角板如圖擺放，能夠發(fā)現等腰直角三角板ABC勺斜邊與含30。角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合.問題解決：將圖中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30，點C落在BF上，AC與BD交于點0,連接CD如圖.(1) 求證：CDO是等腰三

7、角形；(2)若DF=8,求AD的長.21.已知a,b,cABC的三邊長,是什么三角形.23.已知，如圖，在RtABC中，ZACB=90,ZA=30,CtAB交AB于點E,且CD=ACDF/BC分別與ABAC交于點GF.(1)求證：GE=GF(2)若BD=1,求DF的長.24. 已知：如圖，AB(,ABAC,AEBC&上的高.求證:25. 已知：ABC是鈍角三角形，CD垂直BA延長線于D,求證:22_2BC2AB2AC22ABAD26.如圖，在RtABg,/C=90,aE+bU=eU.在四邊形ABCW，已知AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD%BDC=90，四邊形ABCD勺面

8、積27.如圖，ABC中，ZA=90,心20,A10,延長AB到D使CD手AOAB求BD的長.為2 .如圖，在RtABC中，ZACB=90,ZCAB=30,ZACB的平分線與/ABC的外角平分線交于E點，則ZAEB=().28.如圖，將矩形ABC船EF折疊，使點D與點B重合，已知AA3,AA9,求BE的長.3 (A)500(B)450(C)400(D)350.如圖，RtABCZO90,/B=30,BC=6,D為AB中點，P為BC上一動點，連接AP、DP,則AP+DP的最小值是(第3題)4、如圖，方格圖中小正方形的邊長為1,將方格中陰影部分29.如圖，折疊矩形的一邊AD使點D落在BC邊的點F處，已

9、知A申8cm,BO10cm,求EC的長.5、如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從頂點A爬到頂點(A)V3a(B)(12)a(C)3a(D)Z|30.已知：如圖，ABC中，/C=90,D為AB的中點，E、F分別在ACBC上，且DHDF求證:1.5米的同學落在地面,他們測得地面部分的影6、某數學課外實驗小組想利用樹影測量樹高，他們在同一時刻測得一名身高為上的影子長為1.35米，因大樹靠近一幢大樓，影子不會落在地面上（如圖）BC=3.6CD=1.8AB=14.已知一個梯形的四條邊長分別為A.52、3、4、5,則此梯形的面積為（10.3C.3)C145D.37、一直角三角形兩邊分別為3和5,則第三邊

10、為A、4B、34C、4或V34D、215.如圖，四邊形ABCg,ZA=Z890,/ABA60,A44,CA10,貝UBD的長等8、王英在荷塘邊觀看荷花，突然想測試池塘的水深，她把一株豎直的荷花（如右圖）拉到岸邊，花柄正好與水面成600夾角，測得AB長60cm，則荷花處水深OA為A.4.13B.83C.12D.10,3A、120cmB、60j3cmC、60cmD、cm20%/39、等腰三角形的底角是15。，腰長為10,則其腰上的高為10、已知，如圖(1)在ABC中，ZACB90,AC=8,BC=6,CDCE分別是斜邊AB上的中線和高。貝U下列結論錯誤的是（）/、AAB=10BCD=516.如圖，

11、ABC中，AAAO2,BC邊上有10個不同的點R,P2,P10,記MjAR2RBRC245CCE=DDE=BE=5211、如圖（3）,在等腰直角三角形ABg,z/C=90,D為BC的中點,將ABC疊，使點A與點D重合，EF為折痕，貝UAFCF=（）M2M10的值為（A.4B.14C.40D.A不能確定（第14題圖）（第15題圖）A.2:1B.3:2C.5:3D.7:512、如圖（10）是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、GD的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是（A.46B.47C.48D.4913、如圖，已知ABg,/ABG

12、90。，AB=BC三角形的頂點在相互平行的三條直線l1,12,|3上，且|1,l2之間的距離為1,l2,|3之間的距離為3，則點B到AC的距離是如圖將邊長為12cm的正方形ABC斯疊，使A點落在邊CD上的E點，然后壓平得折痕FG若FG的長為13cm,則CE的長=（）cm（A）5（B）6（Q78如圖，P為正方形ABC納一點，PA：PB：PO1:2:3,則ZAPB=如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，A市受臺風影響持續(xù)的時間是40hMABOAC4ECNBP分別為則此直角三角形的周長最小值是條直角邊長是21CABPDAADCGCBEFCFKPABBEC

13、EB10hEF的長為都會受到影響，若臺風移動的速度和方向不變G在線段DK上，正方形BEFGC.1.5cmD.2cmDP=3AP(F27.如圖，將長為4cm寬為2cm的矩形紙片BC、DA上的點D.以上都不對30hD0.5cm1cmFDC.3Ar-FRD.*2D20hCAM28.正方形ABCD的邊長為4,E、F動點），貝UEF+FP的最小值為（PKRF的位置如圖所示ABCD折疊，使點B落在CD邊上的中點E處壓平后得到折痕MN,則線段AM的長度26.如圖，每個小正方形的邊長為1,A、B、C是小正方形的頂點ABCD中，AB=6,BC=8若將矩形折疊15B.4D.6如圖，在矩形15A.2C.5資料收集于

14、網絡，如有侵權請聯系網站刪除得到，若兩個三角形重疊部分的面積為1cm2,則它移動的距離AA等于正方形ABCD,正方形BEFG和正方形的邊長為2,則DEK的面積為（A.4B.2D23.29.如圖，梯形ABCD下底分別為14,對角線AC=4BD=3,則梯形ABCD的面積為24、如圖，在正方形ABCD中，BD=BE,CE/BD,BE交CD于F點，則ZDFE的度數為(A.45B.60C.75D.90如圖所示，AEAB,BCCD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直線上，如按照圖中所標注的數據及符號，則圖中實線所圍成的圖形面積是30、（本題滿分7分）一次“探究性”學習課中，（1）請你分別觀

15、察a、b、c與n的關系，并用含自然數n（n1）的代數式表示:ab=c=（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想。老師設計了如下數表:n2345a22-132-1；42-152-1b46810c22+132+142+152+125.根據天氣預報，某臺風中心位于A市正東方向300km的點O處（如圖4）,正以20km/h的速度向北偏西60方向移動，距離臺風中心250km范圍內31、（本題滿分8分）資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除如圖，某城市A接到臺風警報，在該市正南方向260km的B處有一臺風中心，沿BC方向以15km/h的速度移動，已知城市A到BC的距離AD=10

16、0km.(1) 臺風中心經過多長時間從B移動到D點？已知在距臺風中心30km的圓形區(qū)域內都會受到不同程度的影響，若在點D的工作人員早上6:00接到臺風警報，臺風開始影響到臺風結束影響要做預防工作，則他們要在什么時間段內做預防工作？34、如圖（7）入8。的左CED均為等邊三角形，AC=BC,AC_BG若BE2，貝UCD=資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除32、（本題滿分9分）如圖，梯形ABCD中,AD/BC且ABBC,已知AD=1,AB=BC=4.（1）求DC的長。（2）若E為AB中點，連結DE,CE,求證：DE平分ZADC,CE平分ZDCB35.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=BC=12

17、,E為AB中點，/DCE=45，求DE的長（10分）33.（本小題滿分9分）恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB50km,A、B到直線X的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P,向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和S1PAPB，圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A，連接BA交直線X于點P）,P到A、B的距離之和S2PAPB.（1）求S、S,并比較它們的大??；（2）

18、請你說明S2PAPB的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q,使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小.并求出這個最小值.22、（本題8分）如圖，四邊形ABCD為等脫少衫，AD/BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,且ACBDADhBC。七求證：DH=】（AD+BC）BC2若AC=6，求梯形ABCD的面積。36、某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（ABVBC）的對角線的交點。旋轉（r），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與

19、矩形ABCD的邊CD、BC的交點。該學習小組成員意外的發(fā)現圖（三角板一直角邊與OD重合）中，BN2=CD2+CN2,在圖中（三角板一邊與OC重合），CN2=bn2+CD2,請你對這名成員在圖和圖中發(fā)現的結論選擇其一說明理由。試探究圖中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由。的結論證明并求其值。將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞。點旋轉到圖，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N,直接寫出BN、CN、CM、DM這四條線段之間所滿足的數量關系（不需要證明）38.（8分）如圖，ABC的邊AB=3,AC=2,1、H求圖中三個陰影部分的面積之

20、和的最大值是多少？m分別表示以AB、AC、BC為邊的正方形,39.已知a、b、c為VABC的三邊，（1）若a4b2c22（若a2b22十+管cb的佰（2）石abcbc口J|且。abac37、（本題12分）如圖，四邊形ABCD位于平面直角坐標系的第一象限，B、C在x軸上，A點函數y-x上，且AB/CD/y軸，AD/x軸，B（1,0）、C（3,0）。試判斷四邊形ABCD的形狀。A；D若點P是線段BD上一點PEBC于E,M是PD的中點，如EM、BAMoC求證：AM=EM在圖中，連結AE交BD于N,則下列兩個結論:40.如圖，河流的兩岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排間隔為50米的電線桿C、D、E

21、某人在河岸PQ的A處測得CAQ30，然后沿河岸走了110米到達B處，測得DBQ45o,求河流的寬度。MW/41.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8,將紙片折疊，使頂點/B落在邊Q的E點上，折痕的一端G點在邊BC上，BG=10.FfU當折痕的另一端F在AB邊上時，如圖，求EFG的面積；當折痕的另一端F在AD邊上時，如圖，證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長.小BNDM活令值不變；MN_2_2BNDMMN2只供學習與交流的值不變。其中有且僅有一個是正確的，請選擇正確A7、如圖，正方形網格中的ABG若小方格邊長為1,則ABC是()A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、以上答案都不對三

22、、解答題1、有一邊長為4米的水池的池中央，豎著一根竹竿，竹竿高出水面1m,一陣風吹來，竹竿倒向一邊,竹竿的頂端恰好靠在池邊，頂端與水面相平。求這里的水深是多少米？一、填空1、若三角形的三邊之比是7:24:25,則這個三角形是三角形。2、ABg,/A是ZB的2倍，/C比ZA+ZB還大12,則這個三角形是三角形。3、若直角三角形兩直角邊的比是3:4,斜邊長是20,則斜邊上的高是。4、在RtABC中，/C=90,(1)若a=6,b=8,則c=;(2)若c=13,b=12,則a=;(3)若a=21,c=28，則b=;5、小華和小紅都從同一點O出發(fā)，小華向北走了9米到A點，小紅向東走了12米到了B點，貝

23、UAB=米。6、若一塊直角三角板，兩直角邊分別為12cm和5cm,不移動三角板，能畫出的線段最長是cm。7、在RtABC中，ZACB=90,CDAB于D,AC=6,AB=10，則BD=。8、在等腰直角三角形中，斜邊長為50cm，則它的面積為。9、在直角三角形中，三邊長分別為5、12,則第三邊長為。10、等腰三角形腰和底邊的比是3:2,若底邊長為6,則底邊上的高為。11、小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面積為48m2,其對角線長為10m,為建柵欄，要計算這個矩形魚池的周長，那么魚池的周長為米。12、現有兩根木棒，它們的長分別為40cm和50cm,若要釘成一個直角三角形木架，則所需最短的木棒

24、的長度為。二、選擇題2、小明要外出旅游，他帶的行李箱長40cm，寬30cm,高60cm,一把70cm長的雨傘能否裝進這個行李箱？3、如圖：有一圓柱，它的高等于8cm,底面直徑等于4cm(3)在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到上底面與A相對的B點處的食物，求螞蟻需要爬行的最短路程。1、下列三角形中，一定是直角三角形的有(個A、1個B、2個C、3個D、44、如圖，是由四個大小完全相同的直角三角形拼合而成的,求直角三角形兩直角邊的長。若圖中大小正方形的面積分別為62.5和4,有兩個內角互余的三角形；三邊長為m2n2、2nm、m2+n2(mn0)的三角形;三邊的比為3:4:5的三角形；三個內角的比

25、是1:2:3的三角形；2、有長度為9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒，能搭成(首尾順次相連)數為()A、1個B、2個C、3個D、4個3、若線段a,b,c組成RtA，則它們的比可以為()A、2:3:4B、3:4:6C、5：12：13D、4:6:74、三角形的三邊長為(a+b)2=c2+2ab,則這個三角形是()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形角三角形.5、一直角三角形的斜邊比一直角邊大4,另一直角邊長為8,則斜邊長為(A、6B、8C、10D、126、直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm,則其面積為()A、12cm2B、10cm2C、8cm2D、6cm2直角三

26、角形的個D.銳5、如圖，/ADC=90,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積。6、廠門的上方是一個半圓，一輛裝滿貨物的卡車，寬為1.6m,高為2.6m,這輛卡車能否通過廠門(要4、已知在ABC中，AD=8,AB=17,AC=10,ADBC,求BC的長。資料收集于網絡，如有侵權請聯系網站刪除求卡車的上端與門的距離不小于0.2m）?（圖中單位：m）5、如圖，在ABC中，CE是AB邊上的中線，CDLAB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的長。8、如圖，在ABC中，CDAB于D,若AB=4,AC=3,BC=2，求BD的長。12、ABC中，AB=15,AC=13

27、,ADBC,且AD=12，求ABC的面積。例2.四邊形ABCD中ZDAB=60,ZB=ZD=RtZ,BC=1,CD=2求對角線AC的長解：延長BC和AD相交于E,則ZE=30CE=2CD=4,在RtABE中設AB為x,則AE=2x根據勾股定理x2+52=(2x)2,x2=3在RtABC中，AC=d12:竺1=-V21，337、如圖，ABC中，ZC=90,AB的垂直平分線交BC于M,交AB于N,若AC=8,MB=2MC,求AC。例3.已知ABC中，AB=AC,ZB=2ZA求證：AB2BC2=ABXBC證明：作/B的平分線交AC于D,則ZA=ZABD,/BDC=2/A=ZCAD=BD=BC作BMA

28、C于M,貝UCM=DMAB2BC2=(BM2+AM2)(BM2+CM2)提局訓練1、若一個三角形的邊長分別是12、16和20,則這個三角形最長邊上的高長是。2、如圖是一個長方體盒子，它的長、寬、高分別為3dm2dm2dmA和B是這個盒子兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著盒子表面面爬到B點最短路程是dm.3、有一直角三角形，其兩邊分別為12和16,則該三角形的三條角平分線的交點到斜邊的距離4. 1.ABC中，AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分別是中線和高。那么S3bc=,CH=,MH=梯形兩底長分別是3和7,兩對角線長分別是6和8,貝US梯形=已知：

29、ABC中，AD是高，AbcAFC(5)EFMCCCDEBAF.(11)(12)FDABHMCBCFpi00CBGDEBD即ACBDDE/AC（2001年希望杯數學邀請賽解：根據勾股定理ADBC,ADDFAHFH,EHBHDF/BCBDAB/CD,ADBCbaDE=VDHMDBC,MEAC,MFABEHFDa2-b2=bc求證ZA=2ZB個數是偶數。（用反證法）在ABC中，ZC是鈍角求證每一組勾股數中至少有-已知直角三角形三邊長均為整數，且周長和面積的數值相等，求各邊長10等腰直角三角形ABC斜邊上一點P,求證：AP2+BP2=2CP211.已知ABC中，ZA=RtZ,M是BC的中點，E,F分別在AB,ACMEMF求證：EF2=BE2+CF213.ABC中，AB=AC=2,BC邊上有100個不同的點記mi=APi2+BPiXPiC（I=1,2，100）（1990年全國初中數學聯賽題）12.RtABC中，ZABC=90,/C=60,BC=2,D是AC的中點DF,貝UDF的長是.求證：AE=AF6.已知：M是ABC內白且BD=BF,CD=CE求