高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算說課稿1新人教A版必修

1、2.1 指數(shù)函數(shù)在初中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了整數(shù)指數(shù)冪的概念及其運(yùn)算性質(zhì).本節(jié)內(nèi)容在組織學(xué)生回顧平方根、立方根的基礎(chǔ)上，類比出一個正數(shù)的n次方根定義，進(jìn)而將指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)，從而完成了指數(shù)由整數(shù)指數(shù)到有理數(shù)指數(shù)的一次推廣，在利用多媒體演示對無理數(shù)與無理數(shù)指數(shù)冪的近似推廣，完成了指數(shù)由有理數(shù)指數(shù)到實數(shù)指數(shù)的二次推廣，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪，使學(xué)生對指數(shù)冪的概念以及運(yùn)算性質(zhì)有了一個比較完整的認(rèn)識，同時也為研究指數(shù)函數(shù)作好了知識上的準(zhǔn)備.根式的概念是教學(xué)中的難點(diǎn)，教材中通過復(fù)習(xí)平方根、立方根的定義，然后類比出n次方根的定義.為了更好地分解這一難點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)放慢速度，多舉幾個

2、具體的例子，幫助學(xué)生理解，并在此基礎(chǔ)上類比出n次方根的一般定義與性質(zhì).方根的性質(zhì)實際上是平方根、立方根性質(zhì)的推廣，教學(xué)時，可以以平方根、立方根、四次方根為基礎(chǔ)來加以說明，加深對這一性質(zhì)的理解.分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)概念是教學(xué)中的又一個難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)多舉實例讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，明確分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示的是根式的一種新的寫法，并通過根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來鞏固、加深對這一概念的理解.由于學(xué)過負(fù)整數(shù)次冪，正分?jǐn)?shù)次冪引入后，學(xué)生不難理解負(fù)分?jǐn)?shù)次冪的意義，因此，教學(xué)中可以放手讓學(xué)生自己得出.在掌握了有理數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上，利用多媒體演示對無理數(shù)與無理數(shù)指數(shù)冪的近似推廣，從而直觀形象地給

3、出了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也可以推廣到無理數(shù).有了把指數(shù)范圍擴(kuò)充到實數(shù)范圍內(nèi)的知識上的準(zhǔn)備，又有前面所學(xué)的對函數(shù)概念和性質(zhì)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，順理成章地引出了指數(shù)函數(shù)概念、怎樣作出指數(shù)函數(shù)圖象、怎樣研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及與其他函數(shù)結(jié)合的研究.教材是通過死亡后生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)的關(guān)系這樣一個實際問題引入指數(shù)函數(shù)的，既說明指數(shù)函數(shù)的概念來自實踐，認(rèn)識到指數(shù)函數(shù)對實際生活的意義，也便于學(xué)生接受.但在教學(xué)中，學(xué)生往往容易忽略定義域，因此，在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)定義的教學(xué)時，既要明確其定義域，又要讓學(xué)生去探索成立的條件，明確底數(shù)a是一個大于零且不等于1的常數(shù)，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生掌握概念的能力，又鍛煉了學(xué)生分析問

4、題和處理問題的能力.在理解指數(shù)函數(shù)的定義的基礎(chǔ)上掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)，而理解底數(shù)a的值對于函數(shù)值變化的影響（即對指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響）是教學(xué)的一個難點(diǎn).教學(xué)時為了幫助學(xué)生理解，可以充分利用圖象.教學(xué)時可以先要學(xué)生在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=2x和y=（）x的圖象，通過兩個具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生共同分析、歸納總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).有條件的學(xué)校也可以利用幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件，定義變量a作出函數(shù)y=ax的圖象，進(jìn)而改變a的值，使學(xué)生在動態(tài)變化的過程中理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)識規(guī)定底數(shù)a是一個大于零且不等于1的常數(shù)的原因.2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（1）從容說課指數(shù)是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的預(yù)備

5、知識，初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì).為了講解指數(shù)函數(shù)，需要把指數(shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)冪、實數(shù)指數(shù)冪；為了完成這個擴(kuò)充，必須先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)，以及無理數(shù)指數(shù)冪的概念；為了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.首先要介紹根式的概念，本課主要學(xué)習(xí)根式的概念以及n次方根的性質(zhì).學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根、立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣.因此，在引入根式的概念時要結(jié)合這些已學(xué)內(nèi)容，列舉多個具體例子以便學(xué)生理解.根式的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進(jìn)行，每種情況中，都要分a0，a=0，a0三種情況介紹，并結(jié)合具體例子講解，其中要強(qiáng)調(diào)（a0，n是偶數(shù)）表示一個正數(shù)，抓住這一點(diǎn)，理解n次

6、方根的性質(zhì)就容易了.當(dāng)n是偶數(shù)時，=|a|（因為總是一個非負(fù)數(shù)），這是本課的一個難點(diǎn)，講解時可先復(fù)習(xí)=|a|這一性質(zhì)，并結(jié)合具體例子加以講解，有助于學(xué)生理解=|a|這一性質(zhì).三維目標(biāo)一、知識與技能理解根式的概念，掌握n次方根的性質(zhì).二、過程與方法1.通過師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間互相交流，使學(xué)生逐步學(xué)會共同學(xué)習(xí).2.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會數(shù)學(xué)知識發(fā)展的邏輯合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性，做一個具備嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度的人.3.通過探究、思考，培養(yǎng)學(xué)生思維遷移能力和主動參與的能力.三、情感態(tài)度與價值觀1.新知識的發(fā)現(xiàn)是因為面臨的問題以原有的知識得不到解決所引發(fā)出來的思考，通過學(xué)習(xí)根式的概念，使學(xué)生認(rèn)清基本概念的來龍去脈，加深對

7、人類認(rèn)識事物的一般規(guī)律的理解和認(rèn)識，體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.2.在教學(xué)過程中，通過學(xué)生的自主探索，來加深理解n次方根的性質(zhì)，具有探索能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的重要方面.教學(xué)重點(diǎn)1.根式的概念.2.n次方根的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)1.根式概念的理解.2.n次方根性質(zhì)的理解.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、打印好的作業(yè).教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師：你們知道考古學(xué)家是怎樣來判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的嗎？生：對生物體化石的研究.師：那么他們是怎樣來判斷該生物體所處的年代的?你們知道嗎?（眾生搖頭）師：考古學(xué)家是按照這樣一個規(guī)律來推測的.

8、問題：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系，這個關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢?我們可以先來考慮這樣的問題：當(dāng)生物死亡了5730，2×5730，3×5730，年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?生：，（）2，（）3，.師：當(dāng)生物體死亡了6000年，10000年，100000年后，它體內(nèi)碳14的含量P分別為原來的多少?生：（），（），（）.師：由以上的實例來推斷關(guān)系式應(yīng)該是什么?生：P=（）.師：考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道，生物死亡t年后

9、，體內(nèi)碳14含量P的值.那么這些數(shù)（），（），（）的意義究竟是什么呢？它和我們初中所學(xué)的指數(shù)有什么區(qū)別?生：這里的指數(shù)是分?jǐn)?shù)的形式.師：指數(shù)可以取分?jǐn)?shù)嗎?除了分?jǐn)?shù)還可以取其他的數(shù)嗎?我們對于數(shù)的認(rèn)識規(guī)律是怎樣的?生：自然數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）實數(shù).師：指數(shù)能否取分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)呢？如果能，那么在脫離開上面這個具體問題以后，關(guān)系式P=（）就會成為我們后面將要相繼研究的一類基本初等函數(shù)“指數(shù)函數(shù)”的一個具體模型.為了能水到渠成地研究指數(shù)函數(shù)，我們有必要認(rèn)識一下指數(shù)概念的擴(kuò)充和完善過程，這就是我們下面三節(jié)課將要研究的內(nèi)容：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（有理數(shù)指數(shù)冪）、無理數(shù)指數(shù)冪.（引入課題，書寫課題指數(shù)與指數(shù)冪

10、的運(yùn)算）二、講解新課（一）探求n次方根的概念師：32=9，那么，在這個等式中3對于9來說，扮演著什么角色？9對于3來說又扮演著什么角色呢?生：9叫做3的平方數(shù)，3叫做9的平方根.師：若53=125，那么125對于5來說，扮演著什么角色？5對于125來說又扮演著什么角色呢?生：125是5的立方數(shù)，5是125的立方根.師：如果x2=a，那么x對于a來說扮演著什么角色？生：x是a的平方根.師：能否用一句話描述你的結(jié)論？生：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根.師：如果x3=a，那么x對于a來說又扮演著什么角色？生：x是a的立方根.師：能換一種說法表述你的結(jié)論嗎？生：如果一個數(shù)的立方等于a

11、，那么這個數(shù)叫做a的立方根.師：如果x4=a，x5=a，又有什么樣的結(jié)論呢？生：如果一個數(shù)的四次方等于a，那么這個數(shù)叫做a的四次方根；如果一個數(shù)的五次方等于a，那么這個數(shù)叫做a的五次方根.師：如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否據(jù)此得到一個一般性的結(jié)論？生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.師：上述結(jié)論中的n的取值有沒有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定義，并強(qiáng)調(diào)n的取值范圍，師板書如下定義）一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根（nth root），其中n1，且nN*.（二）概念理解課堂訓(xùn)練

12、：試根據(jù)n次方根的定義分別求出下列各數(shù)的n次方根.（多媒體顯示，生完成）（1）25的平方根是_；（2）27的三次方根是_；（3）32的五次方根是_；（4）16的四次方根是_；（5）a6的三次方根是_；（6）0的七次方根是_.（師組織學(xué)生緊扣n次方根的定義，完成以上各題）方法引導(dǎo)：在n次方根的概念中，關(guān)鍵的是數(shù)a的n次方根x滿足xn=a，因此求一個數(shù)a的n次方根，就是求出哪個數(shù)的n次方等于a.（三）n次方根的性質(zhì)合作探究：觀察并分析以上各數(shù)的方根，你能發(fā)現(xiàn)什么？（學(xué)生交流，師及時捕捉與如下結(jié)論有關(guān)的信息，并簡單板書）1.以上各數(shù)的對應(yīng)方根都是有理數(shù)；2.第（1）、第（4）的答案有兩個，第（2）、

13、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一個；3.第（1）題的答案中的兩個值互為相反數(shù).師：請仔細(xì)分析以上各題，你能否得到一個一般性的結(jié)論？（提供一個比較發(fā)散的問題，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力和數(shù)學(xué)的分析問題、解決問題的能力）生甲：一個數(shù)的奇次方根只有一個.生乙：一個數(shù)的偶次方根有兩個，且互為相反數(shù).師：是否任何一個數(shù)都有偶次方根？0的n次方根如何規(guī)定更合理？生：因為任何一個數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，所以負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的n次實數(shù)方根等于0.師：你能否把你所得到的結(jié)論再敘述的具體一些呢？（組織學(xué)生交流，得出以下結(jié)論）n次方根的性質(zhì)實際上是平方根和立方根性質(zhì)的推廣，因此跟立方根

14、和平方根的情況一樣，方根也有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù).這時，a的n次方根用符號表示.（2）當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)a的正的n次方根用符號表示，負(fù)的n次方根用符號表示.正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成±（a0）.注：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0；當(dāng)a0時，0，所以類似=±2的寫法是錯誤的.（四）根式的概念式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).例如叫做根式，其中5叫做根指數(shù)，6叫做被開方數(shù).（五）n次方根的運(yùn)算性質(zhì)求下列各式的值：（1）（）2；（

15、2）；（3）；（4）（a3）.（生板演，師組織學(xué)生評析）解：（1）（）2=5；（2）=2；（3）=|2|=2；（4）=|3a|=a3.師：上面的例題中涉及了哪幾類問題?生：主要涉及了（）n與的問題.合作探究：（1）（）n的含義是什么？其化簡結(jié)果是什么呢？（2）的含義是什么？其化簡結(jié)果是什么呢？（組織學(xué)生結(jié)合例題及其解答，進(jìn)行分析討論、歸納出以下結(jié)論）（1）（）n=a.例如，（）3=27，（）5=32.（2）當(dāng)n是奇數(shù)時，=a；當(dāng)n是偶數(shù)時，=|a|=例如，=2，=2；=3，=|3|=3.（六）例題講解（生板演，師組織學(xué)生進(jìn)行課堂評價）【例1】 求下列各式的值：（1）（）3；（2）；（3）；（4

16、）（ab）.解：（1）（）3=8；（2）=10；（3）=3；（4）=|ab|=ab.【例2】 化簡下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）=；（2）=；（3）=；（4）=x2；（5）=.三、課堂練習(xí)1.若xR，yR，下列各式中正確的是A.=x+yB.=xyC.+=2xD.+=02.=成立的條件是A.0 B.x1C.x1D.x23.在；（各式中nN，aR）中，有意義的是A.B.C.D.4.當(dāng)8x10時，=_.參考答案：1.D 2.D 3.B 4.2x18四、課堂小結(jié)師：請同學(xué)們互相交流一下你在本課學(xué)習(xí)中的收獲.（生互相交流，而后由師多媒體顯示如下內(nèi)容）1.若xn=a（n1，nN*），則x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時，實數(shù)a的n次方根用符號表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根用符號±表示，負(fù)數(shù)的偶次方根無意義.式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).2.在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的奇次方根是一個正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次方根是一個負(fù)數(shù).正數(shù)的