一道高考試題的錯解引發(fā)的思考

1、學習必備歡迎下載一道高考試題的錯解引發(fā)的思考導數(shù)是高中新課程的新增內容，它也是研究函數(shù)性態(tài)的有力工 具。近年來高考中，關于導數(shù)的題目是常見的。然而，學生在解決 這些問題的過程中常常由于個別環(huán)節(jié)的疏忽而導致失誤丟分。下面 就 20102010 年高考文科數(shù)學全國一卷中的第 2121 題在解答中的典型錯誤 談談自己所思考的問題，以提高解題的準確性。題目（20102010 年全國i文 2121）已知函數(shù)（i）當時，求的值（ii）若在上是增函數(shù)，求的取值范圍其中第（i）問是容易作答，就不再闡述了。第（ii）問是關于 求字母參數(shù)取值范圍的問題，也是學生容易出錯的問題。筆者對學 生的解答過程記錄如下：解：

2、第（ii）問. .由于在上是增函數(shù)，所以在上有成立，即，也就是，從而 時, 有. .令，(1 1) 當時, 顯然成立; ;(2 2) 當時, 則，有；(3 3) 當時，則，有；學習必備歡迎下載綜上可知然而，正確答案是.整體看這個解答的思路是沒有問題的，那 么求解過程中是哪個環(huán)節(jié)出了問題？事實上，關于導數(shù)及其應用這一部分常會遇到兩類題目：一類是 已知函數(shù)求其單調區(qū)間；另一類是已知函數(shù)的單調區(qū)間，求函數(shù)解 析式中字母參數(shù)得范圍.20102010 年全國i文 2121 題第二問就屬于第二 類問題.從這兩類數(shù)學問題的本質來看，它們又是緊密聯(lián)系的.為 了對本文中的錯解進行深入探討，現(xiàn)從下面兩個問題進行探

3、討：1 1 已知函數(shù)求其單調區(qū)間例 1 1 確定函數(shù) 在哪個區(qū)間內是增函數(shù)，哪個區(qū)間內是減函數(shù).解：函數(shù)的導數(shù)為.由，解得或. .因此，函數(shù)在和是增函數(shù). .由，解得 O Ovx xv2 2.因此，函數(shù)在是減函數(shù).這道題的求解是容易的.但稍微留心的學生便會產生一個疑問： 可不可以寫成函數(shù) 在和是增函數(shù).函數(shù) 在是減函數(shù).答案是 肯定的.只不過是解答中所列的不等式 和 中沒有等號罷了，因此 解出的不等式也沒有等號.關于這部分內容，北師大版高中數(shù)學選修 1 1 1 1,第四章導數(shù)應用 中“導數(shù)與函數(shù)的單調性”這一節(jié)指出：學習必備歡迎下載導函數(shù)的符號與函數(shù)的單調性之間具有如下的關系：如果在某個區(qū)間內

4、，函數(shù) 的導數(shù)，則在這個區(qū)間上，函數(shù) 是增加的；如果在某個區(qū)間內，函數(shù) 的導數(shù)，則在這個區(qū)間上，函數(shù) 是 減少的.由于學生對教材知識理解的不到位，因此很多學生在解此類問題 時候，所列出的不等式都是 和，很少去思考能否寫成 和.事實上， 在數(shù)學分析中導數(shù)與函數(shù)的單調性這部分內容有下面兩 個定理一個推論是需要教師注意的：定理 1 1 若函數(shù) 在 內可導，則 在 內遞增（遞減）的充要條件 是 ，.定理 2 2 若函數(shù) 在 內可導，則 在 內嚴格遞增（遞減）的充 要條件是：1對一切，有；2在內的任何子區(qū)間上. .推論設函數(shù)在內可導.若，則在內嚴格遞增（嚴格遞減）.例 2 2 函數(shù)的單調區(qū)間.解：由，可

5、知函數(shù) 在區(qū)間 上是遞增的.但還有這的錯誤解答：由，解得或. .所以函數(shù)在和上單調遞增. .產生這樣錯誤的原因在于對教材中給出的導函數(shù)的符號與函數(shù) 的單調性之間的關系理解不清楚，對教材中的結論生搬硬套.需要 注意得是，學習必備歡迎下載上面的推論只是嚴格單調的充分條件.如，雖然，但它在整個數(shù)軸上是嚴格遞增的.從函數(shù)的連續(xù)性和凹凸性看，點是拐點，雖然在 點兩側的函數(shù)導數(shù)值符號相反，由于 在 上連續(xù), 因此在整個數(shù)軸上，其圖像是遞增的.例 3 3 函數(shù)，求其單調區(qū)間.解：因為定義域是，所以函數(shù)在上是遞減的.其實這個題目中 也可以寫成，只是在這個分式中分子不為零， 所以寫成更好一些.從上面的問題中，可

6、以看出用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間時，所列 的不等式應該是和更嚴密一些，至于是否，可以結合函數(shù)的定 義域及式子本身的特征來進一步選取.這樣以來，對于“已知函數(shù) 的單調區(qū)間，求函數(shù)解析式中字母參數(shù)得范圍”的問題就不會出現(xiàn) 漏解、錯解的現(xiàn)象.2 2 已知函數(shù)在某一區(qū)間單調，求函數(shù)解析式中字母范圍例 4 4 已知，函數(shù)在時是單調遞增函數(shù).求 的取值范圍.解法 1 1:因為函數(shù) 在 時是單調遞增函數(shù)，所以在成立，所以，而在上，因此. .解法 2 2:由，解得或，學習必備歡迎下載所以函數(shù) 的單調增區(qū)間是 和. .由于在是單調遞增函數(shù)，所以，得，因此. .對于解法 1 1,如果不注意列出，則勢必造成漏解現(xiàn)象.

7、對于解法 2,2,看到在時是單調遞增函數(shù)，但并不是說是函數(shù)的 單調增區(qū)間，只說明 可能是這個函數(shù)的單調區(qū)間的一部分.3 3 對 20102010 年高考文科數(shù)學全國一卷中的第 2121 題第（ii）問錯 誤的思考3.13.1正如例 4 4 的解法 2 2,對題意有準確的理解.20102010 年高考文 科數(shù)學全國一卷中的第 2121 題第（ii）問中： 在 上是增函數(shù)，并 不是說是函數(shù)的單調增區(qū)間，可能是函數(shù)的單調增區(qū)間的一部 分.3.23.2從例 1 1、例 2 2 中可看到，對于求函數(shù)的單調區(qū)間這樣的問 題，是用（），還是（），對于問題的求解是沒有影響的.而例3 3 需要考慮函數(shù)的定義域及其導函數(shù)的特征，所以寫成比寫成更好一些.3.33.3由例 4 4,可以看到對于已知函數(shù)在某一區(qū)間單調，求函數(shù)解析式中字母范圍這類問題，就要認真分析、多加思考是用（）,還是（）.再看 20102010 年高考文科數(shù)學全國一卷中的第