不等式知識(shí)結(jié)構(gòu)與知識(shí)點(diǎn)

1、WORD格式不等式知識(shí)構(gòu)造及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一知識(shí)構(gòu)造二知識(shí)點(diǎn)1、不等式的根本性質(zhì)對(duì)稱性abba 傳 遞 性 ab,bcac可加性a bacbc 同 向 可 加 性 ab , cda cb d異向可減性ab, c dacbd可積性 ab, c0acbcab, c0acbc同向正數(shù) 可乘性 ab0, cd0ac bd異向正數(shù) 可除性ab0,0 cabddc平方法那么ab0a nbn ( nN, 且n1)開方法那么a b 0n an b(n N ,且 n 1)倒數(shù)法那么 ab011b 011a; aabb2、幾個(gè)重要不等式 a2b22ab a，bR ,當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取"" 號(hào).變形

2、公式： aba2b2.專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式根本不等式ababa， bR,a b時(shí)取到等號(hào).2當(dāng)且僅當(dāng)ab2aba b2變形公式：ab. 用根本不等式求最值時(shí)積定和最小，和定積2最大，要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等 .三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式ab c3abc (a、b、cR )3當(dāng)且僅當(dāng) a b c時(shí)取到等號(hào) . a2b2c2abbccaa， bR 當(dāng)且僅當(dāng)abc 時(shí)取到等號(hào). a3b3c33abc( a0,b0,c0) 當(dāng)且僅當(dāng)abc 時(shí)取到等號(hào).假設(shè) ab0, 那么ba2 當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)假設(shè) ab0,那么ba2 當(dāng)僅當(dāng)a=babab時(shí)取等號(hào)專業(yè)

3、資料整理WORD格式bbmaamanab 0，m0， n0) 規(guī)律：小于1同加那么變大， 大于11n其中 (abb專業(yè)資料整理WORD格式同加那么變小 .當(dāng) a0時(shí)，xax2a2xa或 xa;xax2a2axa.專業(yè)資料整理WORD格式絕對(duì)值三角不等式ababab .3、幾個(gè)著名不等式平均不等式：a 12ababa2b2a， bR ,當(dāng)且僅b 122當(dāng) a b 時(shí)取"" 號(hào).即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均 .ab2a2b2(ab)2變形公式： ab;a2b2.222冪平均不等式： a12a22.an21 ( a1a2.an ) 2.n二維形式的三角不等式：x12y12x

4、22y22( x1x2 )2( y1 y2 ) 2( x1 , y1 , x2 , y2R).二維形式的柯西不等式( a2b2 )(c2d 2 )( acbd )2 (a,b, c, dR). 當(dāng)且僅當(dāng)ad bc時(shí)，等號(hào)成立 .三維形式的柯西不等式：( a12a22a32 )(b12b22b32 )(a1b1a2 b2a3b3 )2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2 )(b12b22.bn2 )(a1b1a2b2.anbn ) 2 .專業(yè)資料整理WORD格式向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個(gè)向量，那么, 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k ，使k時(shí)，等號(hào)成立 .排序不等式排序原理：設(shè)

5、a1a2.an ,b1b2.bn為兩組實(shí)數(shù). c1 , c2 ,., cn是 b1 ,b2 ,., bn的任一排列，那么a1bna2bn 1.an b1a1c1a2c2.an cna1b1a2b2.anbn. 反序和亂序和順序和 當(dāng)且僅當(dāng) aa. a 或 bb .b 時(shí)，反序和等于順序和.12n12n琴生不等式 : 特例 : 凸函數(shù)、凹函數(shù)假設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù)f ( x) ,對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn) x1 , x2 ( x1x2 ),有f (x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )或f ( x1x2)f ( x1 )f ( x2 ).那么稱f(x)為凸或2222凹函數(shù) .4、不等式證明的幾

6、種常用方法常用方法有： 比較法作差， 作商法、綜合法、 分析法； 其它方法有： 換元法、 反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法， 數(shù)學(xué)歸納法 等 . 常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項(xiàng)，如( a1) 23(a1)2 ;242將分子或分母放大縮小，如11112212(),k 2,k2,kk( k 1)k (k 1)2 kkkkk 112(k N * , k 1) 等.kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0) (a0,b24ac0) 解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù). 二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根. 三求：求對(duì)應(yīng)方程的根. 四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象. 五解集：根

7、據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿奇穿偶切，結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集.f ( x)0f ( x)g ( x)07、分式不等式的解法： 先移項(xiàng)通分 標(biāo)準(zhǔn)化， 那么g( x)“或時(shí)f ( x)0f (x) g( x)0g( x)g( x)0專業(yè)資料整理WORD格式同理規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解f ( x)a(a0)f ( x)0f (x)f (x)0f ( x)a(a 0)a2a2f (x)f (x)0f (

8、 x)0 f (x)0f ( x)g( x)g(x) 0或f (x) g ( x)g ( x)0g( x)0f (x) g(x)2f (x) g( x)2f ( x)0f ( x)g( x)g ( x)0f ( x)g ( x)規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1時(shí),af (x)a g( x)f ( x) g( x) 當(dāng)0 a1時(shí),a f ( x)ag ( x)f (x) g ( x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法當(dāng) a1時(shí) ,f ( x)0當(dāng)0 a1時(shí),logaf (x) log a g (x)g ( x

9、)0f ( x)g( x)f ( x)0log a f ( x)loga g( x)g (x)0 .f ( x)g( x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11 、 含 絕 對(duì) 值 不 等 式 的 解 法 ：定 義 法 ：aa(a0 )a(a.平方法：0 )f (x)g (x)f 2 ( x) g 2 ( x).同解變形法，其同解定理有： xaa xa(a0); x axa或xa(a0);f (x)g( x)g(x)f ( x)g( x) ( g( x)0)f ( x)g (x )f ( x)g( x) 或 f ( x)g (x ) ( g (x )0)專業(yè)資料整理WORD格式規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)

10、值的符號(hào).專業(yè)資料整理WORD格式12、含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax2bxc 0 且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)展分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a與0的大?。挥懻撆c 0 的大??；討論兩根的大小 .14、恒成立問題不等 式 ax2bxc 0 的 解 集 是 全體 實(shí) 數(shù) 或 恒 成 立 的 條 件 是 ：當(dāng) a0 時(shí)b0, c0; 當(dāng) a 0 時(shí)a 0不等式 ax2bxc0 的解集是全0.體實(shí)數(shù)或恒成立的條件是：當(dāng)a0 時(shí)b 0, c 0; 當(dāng) a0 時(shí)a 00.f (x

11、)a 恒成立f (x)maxa;f ( x)a 恒成立f ( x)maxa;f (x)a 恒成立f (x)mina;f ( x)a 恒成立f ( x) mina.15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線AxByC0 的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入AxByC 后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)一樣.所以，在實(shí)際判斷時(shí)， 往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)如原點(diǎn)，由Ax0By0 C的正負(fù)即可判斷出 Ax By C0 ( 或0) 表( x0 , y0 )示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 .即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).法二： 根據(jù) AxByC0 ( 或0) ，觀察B的符號(hào)

12、與不等式開口的符號(hào)，假設(shè)同號(hào)，Ax By C0 ( 或0)表示直線上方的區(qū)域；假設(shè)異號(hào)，那么表示直線上方的區(qū)域. 即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)zAxBy ( A, B 為常數(shù)的最值：法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)zAxBy x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的最值存在，那么這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng) z 值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最小值專業(yè)資料整理WORD格式法二：畫移定求：l0 :

13、AxBy 0第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線線 l0據(jù)可行域，將直線 l0平行移動(dòng)確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解( x, y)將最優(yōu)解 ( x, y)代入目標(biāo)函數(shù) z Ax By 即可求出最大值或最小值.，平移直；第四步，專業(yè)資料整理WORD格式第二步中 最優(yōu)解確實(shí)定方法：利用 z 的幾何意義：yA xz ,z為直線的縱截距 .BBB假設(shè) B 0, 那么使目標(biāo)函數(shù)zAxBy 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z 取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z 取得最小值；假設(shè) B 0, 那么使目標(biāo)函數(shù)zAxBy 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z 取得最小值，使直線的縱截距最小的

14、角點(diǎn)處，z 取得最大值.常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：“截距型： z Ax By;“斜率型： zy 或zyb ;xxa“距離型：zx2y2或z x2y2 ;z (x a)2( y b)2或z( x a) 2( yb)2 .專業(yè)資料整理WORD格式在求該 “三型 的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，題簡(jiǎn)單化 .可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義 求解，從而使問專業(yè)資料整理WORD格式16. 利用均值不等式：a b2a2b 22ab a， b R ； a b 2 ab； ab求最值時(shí)，你是否注2意到“ a， b R 且“等號(hào)成立時(shí)的條件，積(ab)或和 (ab) 其中之一為定 值？一正、二定、三相等a2b2a b2ab，注

15、意如下結(jié)論：22aba b Ra b當(dāng)且僅當(dāng) ab時(shí)等號(hào)成立。a2b 2c2abbcca a，b R當(dāng)且僅當(dāng) abc時(shí)取等號(hào)。a b 0，m0， nbbmana0，那么a1bnbam如：假設(shè) x0 ， 23x4 的最大值為x設(shè) y23x42212243x當(dāng)且僅當(dāng) 3x4，又 x0， x2 3時(shí)， y max243x3專業(yè)資料整理WORD格式又如： x2y1，那么 2 x4y的最小值為2x22 y2 2x 2y2 21，最小值為2217.不等式證明的根本方法都掌握了嗎？比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。如：證明 111122232,n2111,1111,12232n2n

16、 1 n122311111,11223n 1n122n18 .解分式不等式f (x)a a0 的一般步驟是什么？g( x)移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x 的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。 19.用“穿軸法解高次不等式“奇穿，偶切，從最大根的右上方開場(chǎng)23如： x 1 x 1 x 2020. 解含有參數(shù)的不等式要注意對(duì)字母參數(shù)的討論如：對(duì)數(shù)或指數(shù)的底分 a1或 0a1討論21. 對(duì)含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去解？找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后取各段的并集。專業(yè)資料整理WORD格式例如：解不等式| x3| x11 解集為x|x1專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式22、會(huì)用不等式| a | b | | ab | | a | b | 證明較簡(jiǎn)單的不等問題專業(yè)資料整理WORD格式如：設(shè)f (x )x2x13，實(shí)數(shù) a滿足 | xa|1求證：f ( x)f (a)2(|a| 1)專業(yè)資料整理WORD格式|( xa)( xa1)| (|xa| 1)證明：|f (x)f ( a)|( x2x13213|xa|xa1| |xa1|) ( aa)|x|a|1又|x| |a| |xa|1， |x|a| 1 f ( x)f (a)2|a|