基本計數(shù)原理概念及例題

1、基本計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理：做一件事情，完成它有 N 類辦法，在第一類辦法中有M 種不同的方法，在第二類辦法中有 M 種不同的方法，在第 N 類辦法中有 M 種不同的方法，那么完成這件事情共有 M+M+MN種不同的方法。2、 分步乘法計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N 個步驟，做第一 步有 ml 種不同的方法，做第二步有 M 不同的方法，做第 N 步有 M 不同的方法.那么完成這件事共有 N=MM.MN種不同的方法。3、 排列：從n個不同的元素中任取m(mc n)個元素，按照.一定順序 排成一列，叫做從n個不同元素中取 出m個元素的一個排列4、 排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(mCn)個元

2、素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一 個排列從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數(shù)，用符號表示。5、 公式：6、 組合：從n個不同的元素中任取n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。7、 公式：nOn1n12n22rnrrnn& 二項式定理：(a b) Cna Cna b C.a b Ca b Cnb展開式的式通項公式：Tr,Cnan rbr(r 0, 1n)10、二項式系數(shù)cn為二項式系數(shù)(區(qū)別于該項的系數(shù))11、楊輝三角：(1)對稱性：cncnrr 0, 1, 2,n(2)系數(shù)和：cnc；cn2n(3)最值：n 為偶數(shù)時，n+ 1 為奇數(shù)，中間

3、一項的二項式系數(shù)最大且為第nn2 1 項，二項式系數(shù)為 C2; n 為奇數(shù)時，(n 1)為偶數(shù)，中間兩項的二項式n 1n 1系數(shù)最大即第 口項及第 1 項，其二項式系數(shù)為 cF2 2排列組合例題1 . (2010?山東濰坊)6 個人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為()A. 40B. 50C. 60D. 70答案B解析 先分組再排列，一組 2 人一組 4 人有 C26= 15 種不同的分法；兩組各 3 人共有 C36A22= 10 種不 同的分法，所以乘車方法數(shù)為25X2 = 50,故選 B.2有 6 個座位連成一排，現(xiàn)有 3 人就坐，則恰有兩個空座位相鄰的不同坐法

4、有 （）A 36 種 B 48 種C 72 種 D 96 種 答案 C 解析 恰有兩個空座位相鄰,相當(dāng)于兩個空位與第三個空位不相鄰,先排三個人,然后插空,從而共 A33A24= 72 種排法，故選 C.3只用 1,2,3 三個數(shù)字組成一個四位數(shù),規(guī)定這三個數(shù)必須同時使用,且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn),這樣的四位數(shù)有 （)A. 6 個 B 9 個C. 18 個D 36 個 答案 C 解析 注意題中條件的要求,一是三個數(shù)字必須全部使用,二是相同的數(shù)字不能相鄰,選四個數(shù)字共有 C13= 3（種）選法，即 1231,1232,1233，而每種選擇有 A22XC23= 6（種）排法，所以共有 3X6= 18（

5、種） 情況,即這樣的四位數(shù)有 18 個4男女學(xué)生共有 8 人,從男生中選取 2 人,從女生中選取 1 人,共有 30 種不同的選法, 其中女生有 （）A 2 人或 3 人B 3 人或 4 人C 3 人D 4 人 答案 A 解析 設(shè)男生有 n 人,則女生有 （8 n） 人, 由題意可得 C2nC18n= 30,解得 n= 5 或 n= 6,代入驗證, 可知女生為 2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級,上樓可以一步上一級,也可以一步上兩級,若規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完,則方法有 （）A. 45 種B 36 種C. 28 種D 25 種 答案 C 解析因為 10+ 8 的余數(shù)為

6、2，故可以肯定一步一個臺階的有 6 步，一步兩個臺階的有 2 步，那么共有C28= 28 種走法6某公司招聘來 8 名員工,平均分配給下屬的甲、乙兩個部門,其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個 部門,另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門,則不同的分配方案共有（）A. 24 種 B . 36 種C. 38 種 D . 108 種 答案 B 解析 本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個部門,共有2 種方法,第二步將 3 名電腦編程人員分成兩組，一組1 人另一組 2 人，共有 C13 種分法，然后再分到兩部門去共有C13A22 種方法，第三步只需將其他3 人分成兩組，一組

7、1 人另一組 2 人即可，由于是每個部門各4 人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C13 種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有2C13A22C13=36（ 種） 7 .組合數(shù) Crn（nr 1, n, r Z）恒等于（）1n1Cr1n1 B （n1）（r 1）Cr1n1 CnrCr1n11n1 答案 D解析/Crn= n! r !x（n r） !=nx（n 1） ! rx（r 1） !x（n 1） （r 1） ! = nrCr 1n 1,故選 D.&已知集合 A= 5 , B= 1,2 , C= 1,3,4，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的 坐標(biāo)，則確定的不同點

8、的個數(shù)為 （）A 33 B 34C 35 D 36 答案 A解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中不含1 的有 C12?A33= 12 個；2所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有1 個 1 的有 C12?A33+ A33= 18 個；3所得空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)中含有2 個 1 的有 C13= 3 個.故共有符合條件的點的個數(shù)為12+ 18 + 3= 33 個，故選 A.9（2010?四川理， 10）由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是 （ ）A 72 B 96C108 D 144 答案 C解析 分兩類：若 1 與 3 相鄰，有 A22?

9、C13A22A2= 72（個）,若 1 與 3 不相鄰有 A33?A33= 36（個）故共有 7236=108 個10（2010?北京模擬）如果在一周內(nèi) （周一至周日 ）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一 所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A. 50 種 B . 60 種C. 120 種 D . 210 種 答案 C解析 先安排甲學(xué)校的參觀時間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有 6 種： （1,2） 、（2,3） 、（3,4） 、（4,5） 、（5,6）、（6,7），甲任選一種為 C16,然后在剩下的 5 天中任選 2 天有序地安排其余兩所學(xué)

10、校參觀，安排方 法有 A25種，按照分步乘法計數(shù)原理可知共有不同的安排方法C16?A25= 120 種，故選 C.二、填空題11安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有 _種 （用數(shù)字作答 ） 答案 2400解析先安排甲、乙兩人在后 5 天值班，有 A25= 20（種）排法，其余 5 人再進(jìn)行排列，有 A55= 120（種） 排法，所以共有 20X120= 2400（種）安排方法.12今有 2 個紅球、 3 個黃球、 4 個白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個球排成一列有 _種不同的排法

11、 （ 用數(shù)字作答 ） 答案 1260 解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有 C49?C25?C33= 1260 （種） 排法13（2010?江西理， 14）將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個組各 2 人，另兩個組各 1 人，分赴世博會的四 個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 _ 種（用數(shù)字作答 ） 答案 1080解析先將 6 名志愿者分為 4 組，共有 C26C24A22 種分法，再將 4 組人員分到 4 個不同場館去，共有A44 種分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44= 1 080 種14（2010?山東濟寧 ）要在如圖所示的花圃中的5 個區(qū)域中種

12、入 4 種顏色不同的花， 要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法 （用數(shù)字作答 ） 答案 72 解析 5 有 4 種種法， 1 有 3 種種法， 4 有 2 種種法若 1、3 同色，2 有 2 種種法，若 1、3 不同色，2 有 1 種種法，.有 4X3x2X(1X2+ 1X1) = 72 種.三、解答題15. (1) 計算 C981 00 C1 99200；求 20C5n+ 5 = 4(n + 4)Cn 1n+ 3 + 15A2n+ 3 中 n 的值.解析(1)C98100 + C199200= C2100+ C1200= 100X992 + 200= 4950+ 200 = 5150.(2)

13、20X(n + 5) ! 5! n!= 4(n + 4)X(n + 3) ! (n 1) ! 4! + 15(n + 3)(n + 2)，即(n + 5)(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n +1)6 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1)n6 + 15(n + 3)(n + 2),所以(n + 5)(n + 4)(n + 1) (n + 4)(n + 1)n = 90,即 5(n + 4)(n+ 1) = 90.所以 n2 + 5n 14= 0,即卩 n= 2 或 n= 7.注意到 n 1 且 n Z,所以 n = 2.點撥 在( 1 )中應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)使問題

14、簡化,若直接應(yīng)用公式計算,容易發(fā)生運算錯誤,因此,當(dāng)mn2時，特別是 m 接近于 n 時，利用組合數(shù)性質(zhì)1 能簡化運算.16. (2010? 東北師大附中模擬 ) 有一排 8 個發(fā)光二極管,每個二極管點亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光,若每次恰 有 3 個二極管點亮,但相鄰的兩個二極管不能同時點亮,根據(jù)這三個點亮的二極管的不同位置和不同顏 色來表示不同的信息,求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？解析 因為相鄰的兩個二極管不能同時點亮,所以需要把 3 個點亮的二極管插放在未點亮的 5 個二極 管之間及兩端的6 個空上，共有 C36 種亮燈辦法.然后分步確定每個二極管發(fā)光顏色有2X2X2 = 8(種)方法

15、，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有C36X2X2X2=160(種).17. 按下列要求把 12 個人分成 3 個小組,各有多少種不同的分法？(1) 各組人數(shù)分別為 2,4,6 個；(2) 平均分成 3 個小組；(3) 平均分成 3 個小組,進(jìn)入 3 個不同車間.解析 (1)C212C410C66=13 860( 種)；(2) C412C48C44A33= 5 775( 種)；(3) 分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個小組分別進(jìn)入三個不同車間,故有C412C48C44A33?A3=3C412?C48?C44= 34 650( 種)不同的分法.18. 6 男 4 女站成一排,求滿足下列條件的排法共有多少種？(1) 任何 2 名女生都不相鄰有多少種排法？(2) 男甲不在首位,男乙不在末位,有多少種排法？(3) 男生甲、乙、丙排序一定,有多少種排法？(4) 男甲在男乙的左邊 (不一定相鄰 )有多少種不同的排法？解析 (1)任何 2 名女生都不相鄰,則把女生插空,所以先排男生再讓女生插到男生的空中,共有A66?A47 種不同排法.(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分類，若甲在末位，則有A99 種排法，若甲不在末位，則甲有 A18種排法,乙有 A18 種排法,其余有 A88 種排法,綜上共有(A99 + A18A18?A88)種排法.方法二：無條