成考專升本高等數(shù)學一真題及答案

1、成考專升本高等數(shù)學一真題及答案一、選擇題1函數(shù)的定義域為【 D 】A B C D 解：z的定義域為：，故而選D。2設(shè)在處間斷，則有【 D 】A在處一定沒有意義；B; (即)；C不存在，或；D若在處有定義，則時，不是無窮小3極限【 B 】A B C1 D 0解：有題意，設(shè)通項為：原極限等價于：4設(shè)，則【 A 】A BC D解：對原式關(guān)于x求導，并用導數(shù)乘以dx項即可，注意三角函數(shù)求導規(guī)則。所以，即5函數(shù)在區(qū)間上極小值是【 D 】A-1 B1 C2 D0解：對y關(guān)于x求一階導，并令其為0，得到；解得x有駐點：x=2，代入原方程驗證0為其極小值點。6對于函數(shù)的每一個駐點，令，若，則函數(shù)【C】A有極大

2、值 B有極小值 C沒有極值 D不定7多元函數(shù)在點處關(guān)于的偏導數(shù)【C】A BC D8向量與向量平行，則條件：其向量積是【B】A充分非必要條件 B充分且必要條件C必要非充分條件 D既非充分又非必要條件9向量、垂直，則條件：向量、的數(shù)量積是【B】A充分非必要條件 B充分且必要條件C必要非充分條件 D既非充分又非必要條件10已知向量、兩兩相互垂直，且，求【C】A1 B2 C4 D8解：因為向量與垂直，所以，故而有：11下列函數(shù)中，不是基本初等函數(shù)的是【B】A BC D解：因為是由，復合組成的，所以它不是基本初等函數(shù)。12二重極限【D】A等于0 B等于1 C等于 D不存在解：與k相關(guān)，因此該極限不存在。

3、13無窮大量減去無窮小量是【D】A無窮小量 B零 C常量 D未定式解：所謂的無窮大量，或者無窮小量只是指的是相對而言，變量的一種變化趨勢，而非具體的值。所以，相對的無窮大量減去相對的無窮小量沒有實際意義，是個未定式。14【C】A1 B CD解：根據(jù)原式有：15設(shè)，則【D】ABCD解：對原式直接求導，注意乘積項的求導即可。16直線上的一個方向向量，直線上的一個方向向量，若與平行，則【B】A BC D17平面上的一個方向向量，平面上的一個方向向量，若與垂直，則【C】A BC D18若無窮級數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱稱無窮級數(shù)【C】A發(fā)散 B收斂 C條件收斂 D絕對收斂19下面哪個是二次曲面中拋物柱面的表

4、達式【A】A BC D20設(shè)是矩形：，則【 A 】A. B. C. D. 解：關(guān)于單位1對于一個矩形區(qū)域進行二重積分就是計算矩形區(qū)域的面積。由題意知：，則：21設(shè)，則【 D 】A B C D解：由于，得 將代入，得=22利用變量替換，一定可以把方程化為新的方程【 A 】A    B    C    D解：z是x，y的函數(shù)，從，可得，故z是u，v的函數(shù)，又因為，。所以z是x,y的復合函數(shù)，故，從而左邊=因此方程變?yōu)椋?23曲線在點處的切線斜率是【A】A B C2 D解：。所以，在點(0,1)處，切線的斜率是

5、：24【 A 】A0 B C D解：因為，所以25【 C 】A B C0 D1解：因為 有界，所以 26已知向量，求向量在軸上的投影及在軸上的分量【A】A27，51 B25，27 C25，51 D27，25解：A因此 ，27向量與軸與軸構(gòu)成等角，與軸夾角是前者的2倍，下面哪一個代表的是的方向【C】A， B，C， D，解：C設(shè)的方向角為、，按題意有=，=2由于 即 化簡得到解得 或因為、都在0到的范圍里，因此可以通過解反三角函數(shù)得到：，或者，28已知向量垂直于向量和，且滿足于，求【B】A BC D解：B因為垂直于向量和，故而必定與平行，因此又因為即：解得 ，所以 29若無窮級數(shù)收斂，且收斂，則稱

6、稱無窮級數(shù)【D】A發(fā)散 B收斂 C條件收斂 D絕對收斂 30設(shè)D是方形域：，【 D 】A. 1 B. C. D. 解：D31若，為無窮間斷點，為可去間斷點，則【 C 】A B C D解：由于為無窮間斷點，所以，故。若，則也是無窮間斷點。由為可去間斷點得，故選C。32設(shè)函數(shù)是大于零的可導函數(shù)，且，則當時，有【 A 】A BC D解：考慮輔助函數(shù)33函數(shù)函數(shù)可能存在極值的點是【 B 】A B C D不存在解：由作圖知道，函數(shù)在第二象限是減函數(shù)，在第一象限是增函數(shù)。當x=0時，函數(shù)取得最小值y=5。34，則【 D 】A BC D解：35設(shè)，則【 C 】A BC D解：對y關(guān)于x求一階導有：所以，36

7、設(shè)直線與平面平行，則等于【 A 】A. 2 B. 6 C. 8 D. 10解：直線的方向向量為，平面的法向量為。因為直線和平面平行，所以兩個向量的內(nèi)積為0。即：得到：37若，則【 A 】A. 4 B. 0 C. 2 D. 解：因為所以38和在點連續(xù)是在點可微分的【A 】A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.無關(guān)條件解：由定理直接得到：如果函數(shù)的偏導數(shù)在點連續(xù)，則函數(shù)在該點的全微分存在。39在面上求一個垂直于向量，且與等長的向量【D】A BC D解：由題意設(shè)向量，因為垂直于且，所以有：，即：由以上方程解得，同號故而所求向量或者40微分方程的通解是【 B 】A. B. C. D. 解：令，

8、由一階線性非齊次微分方程的公式有：二、判斷題1是齊次線性方程的解，則也是。（ ）2（不顯含有），令，則。（ ）解：根據(jù)微分方程解的性質(zhì)得到。3對于無窮積分，有。（ ）4在的鄰域內(nèi)可導，且，若：當時，；當時，。則為極小值點。（ ）解：根據(jù)極值判定定理第一充分條件，為極大值點。5在上連續(xù)，在上有一階導數(shù)、二階導數(shù)，若對于,則在上的圖形是凸的。（ ）6二元函數(shù)的極大值點是。（ ）解：原式中，當且僅當x=0時，取到極小值0 ；同樣，當且僅當y=0時，取到極小值0 。所以，函數(shù)的極小值點位于（0，0）7設(shè)，其中，則1。（ ）解：直接求微計算：8設(shè)由，所確定，則1。（ ）解：由題意得到積分區(qū)域為各向尺度為

9、1的立方體，其體積即為1。9函數(shù)的定義域是。（ ）解：由對數(shù)定義得到。10設(shè)，則。（ ）11是齊次線性方程的線性無關(guān)的特解，則是方程的通解。()12齊次型微分方程，設(shè)，則。()13對于瑕積分，有，其中為瑕點。()14在的鄰域內(nèi)可導，且，若：當時，當時，。則為極大值點。()解：根據(jù)極值判定定理第一充分條件，為極小值點。15設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，是的內(nèi)點，如果曲線經(jīng)過點時，曲線的凹凸性改變了，則稱點為曲線的拐點。()16設(shè)是矩形區(qū)域，則1 （ ）解：顯然該積分表示長為3，寬為1的矩形面積，值應為3。17若積分區(qū)域是，則。（ ）解：是一個外環(huán)半徑為2，內(nèi)環(huán)半徑為1的圓環(huán)，積分式是在圓環(huán)上單位1的二重積分，

10、所以求的是圓環(huán)的面積。原式=18設(shè)是由，所確定，函數(shù)在上連續(xù)，那么。（ ）解：。19設(shè)不全為0的實數(shù)，使，則三個向量共面。（ ）20二元函數(shù)的極大值點是極大值。（ ）21若為非齊次方程的通解，其中為對應齊次方程的解，為非齊次方程的特解。()解：根據(jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。22若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則，使得。()23函數(shù)在點可導。()24在處二階可導，且，。若，則為極大值點。()25若，則為一條水平漸近線。()解：根據(jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條鉛直漸近線。26設(shè)表示域：，則1。（ ）解：由定義得知表示以原點為中心，半徑為1的正球體，故而z軸方向關(guān)于球體的積

11、分值為0。27微分方程的通解為。（ ）解：對應的線性一階齊次方程是：結(jié)合原方程，等式右邊項含x，所以通項公式為：將通項公式帶入原式，得到：代入，得到：最后得到：28設(shè)，且滿足，則6。（ ）解：經(jīng)計算向量積得到模值為36。29,則。（ ）30設(shè)為，與為頂點三角形區(qū)域，。（ ）31若為非齊次方程的通解，其中為對應齊次方程的解，為非齊次方程的解。（ ）解：根據(jù)齊次線性方程解的性質(zhì)，與必須是線性無關(guān)的解，是其特解。32若為的一個原函數(shù)，則。（ ）33函數(shù)可微可導，且。（ ）34在處二階可導，且，。若，則為極小值點。（ ）解：根據(jù)極值判定定理第二充分條件可以直接得到。35若，則為一條鉛直漸近線。（ ）解

12、：根據(jù)函數(shù)漸近線的定義和概念可以得到，為一條水平漸近線。36二元函數(shù)的最小值點是。（ ）解：因為原式中，當且僅當x=0時，取到極小值0 ；同樣，當且僅當y=0時，取到極小值0 。所以，函數(shù)的極小值點位于（0，0）37微分方程的一個特解應具有的形式是。（ ）解：原微分方程的特征函數(shù)是：，。得到兩個無理根：。即是特征根。因此，特解的形式為：38設(shè)，則（ ）解：經(jīng)計算得到微分表達式。39微分方程的通解為。（ ）解：由微分方程通解求解準則直接得到。40設(shè)由，所確定，且，則。（ ）解：變換積分方程即可求得。三、填空題1若，則。解：，因此。2求的導數(shù)。解：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：3設(shè)，則。解：所以，4設(shè)求

13、。解：由5將函數(shù)展開成的冪級數(shù)是。解：因為：而且：所以，6極限。解：07求。解：8。解：原式：原式分子有界，分母有界，其余項均隨著趨于無窮而趨于無窮。這樣，原式的極限取決于分子、分母高階項的同階系數(shù)之比。9設(shè)的頂點為,，求三角形的面積是。解：由向量的模的幾何意義知的面積.因為得，所以。于是10無窮級數(shù)的和是。解：先將級數(shù)分解：第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和已知求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和，考察因此原級數(shù)的和 11已知，則_，_。解：，由所給極限存在知, , 得, 又由, 知。12已知，求。解：先兩邊取對數(shù)再兩邊求導因為所以13。解：直接積分就可以得到：14求平行于軸，且過點和的平面方程是。解

14、：由于平面平行于軸，因此可設(shè)這平面的方程為：因為平面過、兩點，所以有解得，以此代入所設(shè)方程并約去，便得到所求的平面方程：15無窮級數(shù)的收斂發(fā)散性是。解：收斂因為：所以：無窮級數(shù)收斂16。解：17計算廣義積分。解：18設(shè)，則。解：19冪級數(shù)的收斂區(qū)間是。 解：此級數(shù)是缺項的冪級數(shù)令因為當，即時，級數(shù)絕對收斂；當，即時，級數(shù)發(fā)散。所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為20冪級數(shù)的收斂域是。解：由于該冪級數(shù)缺項冪級數(shù)，則直接用比值判別法求之。設(shè)當，即時，原級數(shù)絕對收斂；當即時，原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間是四、解答題1 圓柱形罐頭，高度與半徑應怎樣配，使同樣容積下材料最?。?解：由題意可知：為一常

15、數(shù)，面積故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。故：時，用料最省。 2求，其中是由平面，及所圍成的區(qū)域。 解：把化為先對z積分，再對y和x積分的累次積分，那末應把投影到平面上，求出投影域.它就是平面與平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域。  我們?yōu)榱舜_定出對z積分限，在固定點，通過此點作一條平行于z的直線，它與上下邊界的交  點的豎坐標：與，這就是對z積分的下限與上限，于是由積分公式得：  其中為平面區(qū)域：，如下圖紅色陰影部分所示：  再把域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分，得： 3求，其中是圓環(huán)。 解：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，

16、顯然，這個二重積分化為極坐標計算比較方便。  把，代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標系的積分形式。如下：       在對其進行累次積分計算：     4求二重積分，其中是由所圍成的區(qū)域。解：因為是正規(guī)區(qū)域，所以我們可先對y后對x積分，也可先對x后對y積分。這里我們采用前者  先對y后對x積分：  5求的極值。 解：設(shè)，則，。解：方程組，得駐點(1，1)，(0，0)。對于駐點(1，1)有，故，因此，在點(1，1)取得極小值f(1，1)=-1。對于駐點(0，0)有，故因此，在點(0，0)不取得極值。 五、證明題1 求證：當&g